二次根式知识总结与测试(极力推荐)
二次根式
教学目标：
1、进一步了解二次根式有意义的条件及其基本性质，熟练化简含二次根式的式子；
2、熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。
教学重点、难点：
1、二次根式的意义及性质；
2、二次根式的混合运算；
3、综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子。
一：详细知识要点讲解；
【要点归纳】
1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是
一个非负数时，才有意义．
2. 二次根式的性质：
①
②
③
④
3. 二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成
假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
知识点1.二次根式的定义
形如()0
a的式子叫二次根式，其中a叫被开放数。
a
≥
例1 下列各式①2
1-
②
()23- ③()39-? ④
5
2-- ⑤22b a + ⑥
a -，
其中是二次根式的是____________（填序号）
例2 若式子
3
1-x 有意义，则x 的取值范围是________.
例3 已知y=4
322+-+-x x ，则
y
x =________。
【练 习】
1、若式子ab
a 1+
-有意义，则点（a,b ）在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 2、若2
)(11y x x x +=--
-，则x-y 的值为____________.
知识点2.最简二次根式
同时满足：①被开方数不含分母；②分母中不含二次根式；③被开方数不含能开得尽方的因
数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。
例1 二次根式2
22
40,2,30,12,2
1y x x
x ++中最简二次根式是___________.
【练 习】
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A 、7 B 、
3 C 、
2
1 D 、2
知识点3.同类二次根式
先将几个二次根式化成最简二次根式，如果被开放数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
例1 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A 、3和8
B 、
3和
3
1 C 、b a 2和2
ab D 、1+a 和
1-a
【练 习】
1、若最简二次根式32
-m 与35+m 是同类二次根式，则m=___________。
知识点4.二次根式的性质
①=2)(a ________（ ）
____(a >0)
②2
a = a =
____(a =0)
____(a < 0)
例1 若0)4(322=-+-+-c b a ，则a-b+c=___________。 例2 如果()a a 21122
-=-，则（ ）
A 、2
1<
a B 、2
1≤
a C 、2
1>
a D 、2
1≥
a
例3 设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简
2
a +|a+b|的结果是
A 、-2a+b
B 、2a+b
C 、-b
D 、b
【练 习】
1、当1＜x ＜3时 ，
()3
32
--x x 的值为（ ）
A 、3
B 、-3
C 、1
D 、-1 2、若代数式
()()2
2
42-+
-a a 的值为2，则a 的取值范围是（ ）
A 、a ≥4
B 、a ≤2
C 、2≤a ≤4
D 、a=2或a=4 3、若0|3|24=-+-y x ，则2xy=______。
知识点5.分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为 有理化因式 。
例1 观察下列等式：
，，
，
3-43
412-32
31121
21=+
=+
-=+
请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算:
(
)
220082007200814
51341231+??
? ?
?
+
+
+++
+
+
+
+
=______.
【练 习】
化简
2
31+，甲，乙两同学的解法如下：
甲：231+=
(
)()
232
32
323-=-
+
-．
乙：231+
=
(
)(
)232
32
32
32
32
3-=
+
-+
=
+-．
对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（ ）
A 、甲，乙解法都正确
B 、甲正确，乙不正确
C 、甲，乙都不正确
D 、乙正确，甲不正确
知识点6.二次根式的运算
（1）因式的外移和内移
因式内移时，若m<0，则将负号留在根号外，将根号外的因式平方后移到根号里面．即：
=x m
______。
因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： y x ( )
y x 2
= y x
=
-y x ( )
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 （3）二次根式的乘除法：
乘法法则：b a ?=ab ，成立的条件_____________.
除法法则：=b
a ______， 成立的条件_____________.
例1 已知a > b > 0,a+b=ab 6，则
b
a b a +
-的值为（ ）
A 、
2
2 B 、 2 C 、2 D 、
2
1
例2 先化简，再求值：
)
(11b a a b b
b
a ++
+
+ 其中a=
2
15+，b=
2
15-。
二次根式强化训练与复习巩固自测试题
一、填空题：
1．化简：
______；
_________．
2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．
4．当
，化简
_______．
5．比较
与
的大小：_______．
6．分母有理化：
（1）__________；（2）__________；（3）
__________．
7．已知，
，
，那么
________．
8．计算
_________．
9．如果x=-4，那么
的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
二、选择题：
1．下式中不是二次根式的为（ ） A ．
； B ．
； C ．
； D ．
2．计算得（ ）
A ．
； B ． C ． D ．17
3．若
，则化简
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
4．化简的结果是（）
A．B．C． D．
6．化简的结果是（）
A．2 B．C．D．以上答案都不对
7．把式子中根号外的移到根号内，得（）
A．B．C．D．
8．等式成立的条件是（）
A．B．C．D．
9．的值为（）
A．B．C．D．
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
A．且B．C．且D．且三、计算与化简：
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）（9）（10）
四、求值题：（每小题4分，共16分）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：
1．解方程：
2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，?且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
答案与提示：
一、填空题：
1．8；2．；3．，b≥0；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．√15／3；8．；9．4；10．x＞6；
二、选择题：
1．B；2．B；3．C；4．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；
三、计算与化简：
（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，?再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．
解：原式
．
四、求值题：
1．由于，所以；
2．解：∵，∴
∴，∴，∴
∴原式．
3．提示：由，得：，即：
，所以，；再化简，即：
．
4．提示：由于
，而，所以．5．提示：由，可知的取值范围：，则；则
．
五、解答题：
1．原方程可化为：，
∴∴
2．∵，∴，
又∵，∴，∴，∴；
∵，，，∴，，，
∴，∴△ABC是等边三角形．
3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，
得：，，，
所以．
答：加工后的房梁的最大截面积是