北京市东城区2018-2019学年九年级数学上学期期末教学统一检测2
A．3：4
B．9：16
C．9：1
D．3：1
7．将抛物线 y 1 x2 1 绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为 2
A． y 2x2 1
B． y 2x2 1
C． y 1 x2 1 D． y 1 x2 1
AB 的两个端点分别为 A（1，2），B（3，2）
(1) 若抛物线经过原点，求出 m 的值；
(2)求抛物线顶点 C 的坐标（用含有 m 的代数式表示）； (3)若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出 m 的取值范围.
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
AE BC .
19. 如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，∠ABC=∠ACD， （1）求证：△ABC∽△ACD （2）若 AD=2，AB=5.求 AC 的长．
20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式.京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质， 甚至角色和命运.如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛.现有三张不透明的卡片，其中 两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不 同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回， 重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为 “红脸”的两张卡片分别记为 A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为 B）
北京市东城区 2018-2019 学年九年级数学上学期期末教学统一检测
一、 选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin 的值是
3
Ａ．
5
3
Ｂ．
4
4
Ｃ．
3
4
Ｄ．
5
6
3．反比例函数 y=x的图象位于
A．第一、第二象限
B. 第一、第三象限
C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限
4．如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若 AOB 72 ，
则 ACB 的度数是
A．18°
B．30°
C．36°
D．72°
第 2 题图
5.在平面直角坐标系 xoy 中，△OAB 各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），
11.
请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 y 轴的交点坐标为
(0, 3) .此二次函数的解析式可以是
12. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为 ．
13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 150°，AB 的长为 18cm，BD 的 长为 9cm，则DE的长为 cm．
（2）解：△ABC∽△ACD ∴ AC AB …………………………………….4 分 AD AC
Q AD=2, AB=5 ∴ AC 5 2 AC
∴AC= 10 …………………………………5 分 20. 解：画树状图为：
………………………..3 分 由树状图可知，所有可能出现的结果共有 9 种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
27．如图，M 为正方形 ABCD 内一点，点 N 在 AD 边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点 E 为 MN 的中点，点 P 为 DE 的中点，连接 MP 并延长到点 F，使得 PF＝PM，连接 DF． （1）依题意补全图形； （2）求证：DF＝BM； （3）连接 AM，用等式表示线段 PM 和 AM 的数量关系并证明．
0.955；
② 随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在 0.95 附近摆动，显示出一定的稳
定性，可以估计大豆发芽的概率是 0.95；
③ 若大豆粒数 n 为 4000，估计大豆发芽的粒数大约为 3800 粒．
其中推断合理的是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③日期
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、 管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界 前列.大桥全长近 55km.汽车行驶完全程所需的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的关系式为 10.如图，身高 1.6 米的小丽在阳光下的影长为 2 米，在同一时刻，一棵大树的影长为 8 米， 则这棵树 的高度为米
A1 红脸
A2 红脸
B 黑脸
21. 已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 自变量 x 的部分取值及对应的函数值 y 如下表所
示：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
6
11
…
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式
22.如图，一次函数 y＝x＋4 的图象与反比例函数 y＝ k (k 为常数且 k≠0)的图象交于 x
(5)若函数 y x 1 的图象上有三个点 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1<3<x2<x3， x3
则y1、y2、y3之间的大小关系为________；
26 . 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的表达式为 y 2x2 4mx 2m2 2m ，线段
② 作直线 PQ，交 AB 于点 O;
③ 以点 O 为圆心，OA 长为半径做圆，交线段 BC 于点 E;
④ 连接 AE.
所以线段 AE 就是所求作的高.
根据小明设计的尺规作图过程
（1） 使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）
（2） 完成下面的证明
证明：AP=BP, AQ=
,
PQ 为线段 AB 的垂直平分线. O 为 AB 中点. AB 为直径，⊙O 与线段 BC 交于点 E, AEB ．（ ）(填推理的依据)
17.4sin 30 - 2 cos 45 3 tan 30 +2sin 60
=4 1 - 2 2 - 3 3 +2 3 4分
2
2
3
2
= 35分
18.(1)略 ……………..2 分
(2)BQ, 90°(直径所对的圆周角是直角) ……………..5 分 19. 证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD ………………………2 分
17.计算： 4 sin 30 — 2 cos 45 — 3 tan 30 +2 sin 60
18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程 已知：平行四边形 ABCD.
Q
A
D
O
B
C
P
.
求作： AE BC ,垂足为点 E.
作法：如图,
① 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 1 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 P,Q 两点； 2
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …
3
1
537
y…
m
0 -1 3 2
…
5
3
325
则 m 的值为________；
(3)如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据
描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质________________________；
A(－1，a)，B 两点，与 x 轴交于点 C．
（1）求 a，k 的值及点 B 的坐标；
3 （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ACP＝ S△BOC，直接写出点 P 的坐标．
2
23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 OA 喷出，OA 长为 1.5 米.水流在各
个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示， 落点 B 到 O 的距离为 3 米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离
A
E B
O
C D
F
25.有这样一个问题：探究函数
y
x 1
的图象与性质．
x3
小彤根据学习函数的经验，对函数
y
x 1
的图象与性质进行了探究.
x3
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1) 函数 y x 1 的自变量 x 的取值范围是___________； x3
(2) 下表是 y 与 x 的几组对应值:
x（米）之间近似满足函数关系 y ax2 x （c a 0)
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度．
24. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 为 AB 上一点，以 AE 为直径作⊙O 与 BC 相切 于点 D，连接 ED 并延长交 AC 的延长线于点 F． （1）求证：AE＝AF; （2）若 AE＝5，AC＝4，求 BE 的长．
果有 4 种，所以 P（两张都是“红脸”）＝ 4 ．………………………..5 分 9 4
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是 ．
9
21. 解：（1）直线 x=-1………………………..1 分 （2）∵当 x=0 时，y=3 ， ∴这个二次函数的表达式为：y=ax2+bx+3 ∵当 x=-1 时，y=2 ; 当 x=1 时，y=6,
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市东城区初三第一学期期末数学试卷+答案
东城区2018—2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学学校________________ 班级_____________ 姓名_____________ 考号_____________ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是A．1 B．2 C D．3．若要得到函数y＝（x＋1）2＋2的图象，只需将函数y＝x2的图象A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数2yx=的图象上，若x1＜x2＜0，则A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜05．A，B是⊙O上的两点，OA＝1，AB的长是13π，则∠AOB的度数是A．30°B．60°C．90°D．120°6．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是A．2 B．4 C．6 D．87．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是A．B．C．D．8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的下面有四个推断：①当移植棵数是1500时，表格记录的成活棵数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，1cos3A ，AB＝6，则AC的长是________．10．若抛物线y＝x2＋2x＋c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：________．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为________．12．如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD ＝1，AB ＝4，则⊙O 的半径是________．13．某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB ，OA 的长分别为0.7m ，0.3m ，观测点O 到旗杆的距离OE 为6m ，旗杆MN 的高度为________m ．14．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，若AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是________． ①AB ＝AD ；②BC ＝CD ；③AB AD =；④∠BCA ＝∠DCA ；⑤BC CD =．15．已知函数y＝x2－2x－3，当－1≤x≤a时，函数的最小值是－4，实数a的取值范围是________．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数kyx=（x＞0）的图象上运动，k的值为________，OM长的最小值为________．三、解答题（本题共68分，第17—24题，每小题5分，第25题6分，第26—27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos302sin453tan60|1︒-︒+︒+．18．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°（1）求证：△ADE∽△BEC；（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．20．在△ABC中，∠B＝135°，AB BC＝1（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．21．北京2018年中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程，语文、数学、外语、体育四科为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′BC′，其中点A′，C′分别是点A，C的对应点．（1）作出△A′BC′（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA′，求∠C′A′A的度数．23．如图，以40m／s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是当少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？24．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋4与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象交于点A （－3，a ）和点B ．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标； （2）直接写出不等式24kx x<+的解集．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E ．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）若AE ＝4，DF ＝3，求tan A ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n （m ≠0）与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为（－2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线142y x m n=--过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x＋a和l2：y＝－x＋b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC=，以点B作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P′C⊥PC，使点P′落在直线BC的上方，且满足:1:P C PC'=BP，AP′．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP′C∽△BPC；（2）当点P在AB上时，①在图2中画出△AP′C；②连接BP′，求BP′的长；（3）点P在运动过程中，BP′是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP′取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2，1），P3（72，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是________；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y＝－1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧，已知点E，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．答案1—8 ACBCBDDC9．210．2（答案不唯一）11．（2，－1）12．2.513．1514．②⑤15．A≥116．12，17．2cos302sin453tan60|1︒-︒+︒+223122=⨯-⨯+1=1=18．①当A在优弧BC中间时，∵△ABC内接于⊙O，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵△ABC 是等腰三角形， ∴1(180)652ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=︒ ∴△ABC 的顶角是50°，底角是65°．②当A 在劣弧BC 中间时， ∵∠BAC ＝50°， ∴∠BA 1C ＝130° 又∵A 1B ＝A 1C ， ∴1111(180130)2522A BC ACB ∠=∠=︒-︒=︒ ∴△ABC 的顶角为130°，底角为25°．综上，△ABC 的顶角是50°，底角是65°或者顶角为130°，底角为25°． 19．（1）∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ∴AD ⊥AB ，∠B ＝∠A ＝90° ∴∠ADE ＋∠AED ＝90°， 又∵∠AED ＋∠BEC ＝90° ∴∠ADE ＝∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC ． （2）∵△ADE ∽△BEC∴AE ADBC BE = ∴213BE= ∴32BE =∴37222AB AE EB =+=+=． 20．（1）延长CB ，过点A 作AD 垂直CB 延长线于点D ，∵∠ABC ＝135°， ∴∠ABD ＝45°，在Rt △ABD 中，AB =ABD ＝45°，∴sin 452AD AB =⨯︒== ∴1112122ABC S BC AD =⨯=⨯⨯=△． （2）∵∠ABD ＝45°，∠D ＝90°∴△ABD 为等腰直角三角形 ∵AD ＝2，∴DB ＝2，DC ＝DB ＋BC ＝2＋1＝3在Rt △ACD 中，AC =（2）322．（1）（2）Rt △ABC 中，∵∠C ＝30°，∠A ＝90° ∴∠B ＝60°∵△A ′BC ′由△ABC 旋转所得 ∴△A ′BC ′≌△ABC∴BA ＝BA ′，∠BA ′C ′＝∠BAC ＝90° ∴△ABA ′为等腰三角形 又∵∠ABC ＝60°∴△ABA ′为等边三角形 ∴∠BA ′A ＝60°∴∠C ′A ′A ＝∠BA ′C ′＋∠BA ′A ＝90°＋60°＝150°．23．（1）t ＝2s ，h ＝20m ；（2）1≤t ≤3解析：（1）由已知可得，h ＝－5（t －2）2＋20∴当t ＝2时，h 有最大值20∴小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m ．（2）由题意：20t －5t 2＝15解得t 1＝1；t 2＝3．有图象可知：当1≤t ≤3时，h ≥15．∴当1≤t ≤3时，满足题意．24．（1）∵点A （－3，a ）在直线y ＝2x ＋4上∴a ＝－2∵点A （－3，－2）在反比例函数(0)k y k x =≠上 ∴k ＝6∵点B 在y ＝2x ＋4上和6y x=上 ∴624y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩，16x y =⎧⎨=⎩∴B （1，6） 反比例函数表达式为6y x=（2）由图象可知：－3＜x＜0或x＞6．25．（1）连接OD∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∵AB为⊙O的直径，且D在⊙O上∴∠ADB＝90°，即AD⊥DB∴D为BC中点又∵O为AB中点∴OD∥AC又∵OD⊥DF∴AC⊥DF，即DF⊥AC（2）方法一：连接BE∵AB 为⊙O 的直径，且E 在⊙O 上∴∠AEB ＝90°，即AE ⊥EB又∵DF ⊥AC∴DF ∥BE∴△DFC ∽△BEC ∴12DF CD BE BC == ∵DF ＝3∴BE ＝6∵∠AEB ＝90°∴在Rt △BEA 中，63tan 42BE A AE === 方法二：过O 作OH ⊥AC 于点H由垂径定理可知：OH 垂直平分AE∴∠AHO ＝90°，AH ＝2由（1）可知四边形ODFH 为矩形∴OH ＝DF ＝3在Rt △AHO 中，3tan 2OH A AH == 26．（1）∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n ＝m （x －1）2－m ＋n ∴对称轴为x ＝1（2）①∵抛物线是轴对称图形∴点A ，B 关于x ＝1对称∵A （－2，0）∴B （4，0）∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n 过点B 且直线142y x m n =--过点B ∴1680240m m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线解析式为122y x =- 抛物线解析式为2142y x x =-++ ②∵C 为直线122y x =-与抛物线2142y x x =-++的交点 ∴2122142y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ ∴40x y =⎧⎨=⎩或372x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∵B （4，0）∴C （－3，72-） 如图：y ＝－x ＋b 1过点B （4，0）时，b 1＝4∵P 1在y ＝－x ＋b 1上且P 1在抛物线对称轴x ＝1上，∴P 1（1，3）y ＝－x ＋b 2过点C （－3，72-）时，2132b =- ∵P 2在y ＝－x ＋b 2上且P 2在抛物线对称轴x ＝1上∴P 2（1，152-） ∴1532t -≤≤ 27．解：（1）①在Rt △ABC 中∵AC ＝2，BC =∴tan 2BC BAC AC ∠===∴∠BAC ＝60° ②∵AC BC ==P C PC '= ∴AC P C BC PC '==∵∠ACB ＝∠ACP ＋∠PCB ＝90°∠P ′CP ＝∠P ′CA ＋∠ACP ＝90°∴∠P ′CA ＝∠PCB∴△AP ′C ∽△BPC（2）① ②由（1）可知∠BAC ＝60°∴∠ABC ＝90°－∠BAC ＝30°∴AB ＝2AC ＝4∵△AP ′C ∽△BPC∴∠P ′AC ＝∠PBC ＝30° ∴AP P C PB PC ''==∵点P 在AB 上∴PB =∴AP ′＝1连接P ′B∠P ′AB ＝∠CAP ′＋∠BAC ＝30°＋60°＝90°在Rt △P ′AB 中AP ′＝1，AB ＝4，∠P ′AB ＝90°∴BP '==（3）由△AP ′C ∽△BPC 可得AP P C PB PC ''==AP ′＝1，为定值 ∴P ′是在以A 为圆心，半径为1的圆上①如图，此时BP ′取得最大值，∴∠P ′AC ＝180°－∠BAC ＝120°∵△AP ′C ∽△BPC∴∠P ′AC ＝∠PBC ＝120°∴BP ′取得最大值时，∠PBC ＝120°②如图，此时BP ′取得最小值∵△AP ′C ∽△BPC∴∠PBC ＝∠BAC ＝60°∴BP ′取得最小值时，∠PBC ＝60°28．（1）分别以P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，若与⊙O有交点，则P是⊙O的和睦点，所以P2，P3满足。
2019年北京市东城区九年级上册期末考试数学试题(有答案)
北京市东城区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（+1）2+2的图象，只需将函数y=2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由 a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（1，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，若1＜2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随的增大而减小，∵1＜2＜0，∴点A（1，y1），B（2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S△ABC=8，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7.已知函数y=﹣2+b+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A.B．C．D．【分析】根据已知条件“ａ＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是=﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=a2+b+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与轴交点的个数．8.小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m ）成活率（m/n）移植棵数（n）成活数（m ）成活率（m/n）50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=2+2+c与轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=2+2+c 与轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=2+2+c 与轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系Oy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定 B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=2﹣2﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=2﹣2﹣3=（﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以=1 为对称轴的抛物线，当且仅当=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=2﹣2﹣3，当﹣1≤≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系Oy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当=y时，=，解得=±2，进而得到OM 的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当=y时，=，解得=±2，又∵＞0，∴=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）+3tan60°+|1﹣|．17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△ABC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△ABC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB 的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，由△ABC 旋转所得，∵△A′B′C′≌△ABC，∴△A′B′C′∠BAC=90°，∴BA=BA′，∠BA′C′＝∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，+∠BA′A=150°．∠BA′C′∴∠C′A′A=【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线y=2+4与反比例函数y=（≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2+4的解集为﹣3＜＜0或＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2）过O作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=m2﹣2m+n（m≠0）与轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y=﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l1：y=+a 和l2：y=﹣+b 组成图形G．当图形G与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点 B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点 C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=m2﹣2m+n，∴抛物线的对称轴为直线=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=m2﹣2m+n过点B，直线y=﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣2++4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y=﹣+b1过点B 时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣+4，当=1 时，y=﹣+4=3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y=﹣+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣﹣，当=1时，y=﹣﹣=﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C 时点P 的坐标．27．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′Ｃ；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC= =，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系Oy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标A的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O 的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P 为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离（3）①如图3中，当点O到C′D′EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，∴﹣5≤A≤﹣3时，满足条件；的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1②）①如图3 中，当点O 到A′B′当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，∴﹣1≤A≤1时，满足条件；综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤A≤﹣3或﹣1≤A≤1．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京东城区18-19学度初三上年末考试-数学
ACE DCBA 北京东城区18-19学度初三上年末考试-数学初三数学试题2018.1学校班级姓名考号【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的、 1、抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是A 、〔2，1〕B 、〔-2，-1〕C 、〔-2，1〕D 、〔2，-1〕2、以下图形中，是中心对称图形的是ABCD3、如图，在△ABC 中，假设DE ∥BC ，AD =5，BD =10，DE =4， 那么BC 的值为A.8B.9C.10D.124.以下事件中，属于必然事件的是A.随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上B.打开电视任选一频道，正在播放北京新闻C.一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D.某种彩票的中奖率是10%，那么购买该种彩票100张一定中奖5.如图，假设AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，那么∠C 的 度数为A 、116°B 、58°C 、42°D 、32°6、x =1是方程x 2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为A.-2B.-1C.1D.27.如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，那么图中阴影部分的面积为 A.6πB.5π C.4πD.3π8.二次函数2y ax bx c =++的图象如下图，那么一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数Q PNMOCBAOCA B2c b y x-=在同一坐标系内的图象大致为【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、关于x 的一元二次方程有一个根为0、请你写出一个符合条件的一元二次方程是、 10.将抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为、11、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,假设⊙O 的半径OC 为2，那么弦BC 的长为、12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上，OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转、当12OAOB =时,OP OQ的值为；当1OAOBn=时，OP OQ的值为.(用含n 的式子表示)【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13、解方程：. 14、排水管的截面为如下图的圆O ,半径为10，圆心O 到水面的距离是6，求水面宽AB .15D 在边AB 上，满足且∠ACD =∠ABC ，假设AC =2，AD =1，求DB 的长16、在平面直角坐标系xoy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴画出ABC △；22410x x --=E⑵画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..17.2(1)求该二次函数的解析式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3)假设A 〔m ,y 1〕,B (m +2,y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12?y y >18、为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如下图的测量方案.测量同学眼睛A 、标杆顶端F 、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC =1米，CD =5米，请你根据所给出的数据求树高ED .【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕 19、如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m 、假设矩形的面积为4m 2，请你计算AB 的长度〔可利用的围墙长度超过6m 〕、20.如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)假设CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.21.色外其余都相同〕，其中有白球2个，黄球1个.假设从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5. 〔1〕求口袋中红球的个数；〔2〕假设摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.22、李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2000千克核桃，并借一仓库储存、在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天、假设核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A.B.C. D.【答案】D【解析】解：A 、不是中心对称图形，本选项错误； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、是中心对称图形，本选项正确． 故选：D ．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 的值是A.B.C. D.【答案】A【解析】解：由图可得，直角三角形的斜边长 ， ，故选：A ．锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，即 的对边除以斜边．本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦，记作 ．3. 反比例函数的图象位于A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限【答案】B【解析】解： 反比例函数中 ， 此函数的图象位于一、三象限． 故选：B ．直接根据反比例函数的性质进行解答即可．本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．4.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，．故选：C．根据圆周角定理，由，即可推出结果．本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．5.在平面直角坐标系xoy中，各顶点的坐标分别为：，，，以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图所示：相似比为2，，故选：A．利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案．此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：：1，则的面积与的面积之比为A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，∽ ，：：1，：：4，．故选：B．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点关于原点O的对称点的坐标为，此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为．故选：D．先确定抛物线线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出旋转后抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率是；随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是；若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为，所以大豆发芽的概率大约是，此推断错误；根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计大豆发芽的概率是，此推断正确；若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．故选：D．根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列大桥全长近汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为______【答案】【解析】解：大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为，故答案为：．依据行程问题中的关系：时间路程速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式．本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．10.如图，身高米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为______米【答案】【解析】解：同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，，，米．故答案为．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．11.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向下；与y轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______．【答案】答案不唯一【解析】解：设二次函数的解析式为．抛物线开口向下，．抛物线与y轴的交点坐标为，．取，时，二次函数的解析式为．故答案为：答案不唯一．根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．12.如图，AB为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为______．【答案】5【解析】解：连接OD，于点E，直径AB过O，，，由勾股定理得：，即的半径为5．故答案为：5．连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为______cm．【答案】【解析】解：，，，的长．故答案为．利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式：为扇形的圆心角，r为扇形的半径，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．14.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且，则的度数是______．【答案】【解析】解：的度数为，由旋转可得，，中，，，中，，由旋转可得，，故答案为：．先根据的度数和的度数，可得的度数，再根据中，，可得的度数，进而得出中的度数，可得的度数．本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．15.如图，以等边的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若，则阴影部分的面积是______．【答案】【解析】解：如图，连接OD，OE，DE．是等边三角形，，，，都是等边三角形，，，是等边三角形，，弓形DE与弓形BE的面积相等，，是等边三角形，，阴故答案为．如图，连接OD，OE，证明阴即可解决问题．本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，N是的中点，连接MN，若，，则线段MN的最大值为______．【答案】6【解析】解：连接CN．在中，，，，，，，，，的最大值为6，故答案为6．连接根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可解决问题．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：【答案】解：．【解析】依据、、角的各种三角函数值，代入计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18.如图，在中，点D在AB边上，，求证： ∽ ；若，求AC的长．【答案】解：，，∽解： ∽，，，，．【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．根据相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）19.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD．求作：，垂足为点E．作法：如图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；作直线PQ，交AB于点O；以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；连接AE．所以线段AE就是所求作的高．根据小明设计的尺规作图过程使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹完成下面的证明证明：，______，为线段AB的垂直平分线．为AB中点．为直径，与线段BC交于点E，____________填推理的依据．【答案】BQ90 直径所对的圆周角是直角【解析】解：图形如图所示：理由：连接AQ，BQ，AP，BP．，，为线段AB的垂直平分线，为AB中点，为直径，与线段BC交于点E，直径所对的圆周角是直角，．故答案为：BQ，90，直径所对的圆周角是直角．根据要求画出图形即可解决问题；只要证明即可解决问题；本题考查线段垂直平分线的性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率图案为“红脸”的两张卡片分别记为、，图案为“黑脸”的卡片记为【答案】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以两张都是“红脸”，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．【解析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法用到的知识点为数状图和概率，概率所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．21.已知二次函数自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：求此二次函数的表达式．【答案】解：当时，；当时，，二次函数图象的对称轴为直线，即．将，，代入，得：，解得：，此二次函数的表达式为．【解析】由当和时y值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式．本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．22.如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，B两点，与x轴交于点C．求a，k的值及点B的坐标；若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标．【答案】解：把点代入，得，把代入反比例函数；反比例函数的表达式为联立两个函数的表达式得解得或点B的坐标为；当时，得点设点P的坐标为，解得，点或．【解析】利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k，然后联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为米水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米建立平面直角坐标系，水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系．求y与x之间的函数关系式；求水流喷出的最大高度．【答案】解：由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则函数表达式为：；，故函数有最大值，当时，y取得最大值，此时，答：水流喷出的最大高度为2米．【解析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；，故当时，y取得最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.如图，已知中，，E为AB上一点，以AE为直径作与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．求证：；若，，求BE的长．【答案】证明：连接OD，切于点D，，，又，，，，，，；∽ ，，，，即，．【解析】连接OD，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：函数的自变量x的取值范围是______；则的值为；如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；观察图象，写出该函数的一条性质______；若函数的图象上有三个点、、，且，则、、之间的大小关系为______；【答案】当时y随x的增大而减小答案不唯一【解析】解：，；当时，；如图所示：由图象可得，当时，y随x的增大而减小答案不唯一；由图象可得，当时，；当时，．、、之间的大小关系为．故答案为：；；当时，y随x的增大而减小；．依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；把代入函数解析式，即可得到m的值；依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；依据函数图象，即可得到函数的增减性；依据函数图象，即可得到当时，；当时，．本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为，．若抛物线经过原点，求出m的值；求抛物线顶点C的坐标用含有m的代数式表示；若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【答案】解：抛物线经过原点，，解得，；，顶点C的坐标为；由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动．当抛物线过点A时，或1；当抛物线过点B时，或5．所以时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且．【解析】将，代入，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点C的坐标；由所求顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线上移动分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转化思想和数形结合思想的应用．27.如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且，点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得，连接DF．依题意补全图形；求证：；连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．【答案】解：如右图所示；点P为线段DE的中点，在和中，≌ ，，为MN的中点，，，，；结论：，证明：连接AF，由可知： ≌ ，，，，在正方形ABCD中，，，又，，又，，，在和中，，≌ ，，，，为等腰直角三角形，又，．【解析】根据题意可以画出完整的图形；由，点E为MN的中点可知，要证明，只要证明即可，要证明，只要证明 ≌ 即可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；首先写出线段PM和AM的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”，记作记线段AB为图形M，其中，，求；记函数的图象为图形M，且，直接写出k的取值范围；记为图形M，其中，，，且，直接写出t的值．【答案】解：如下图所示由题意得：点A、点B关于y轴对称，则：，即：；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，由题意得：，即：，则，，即：，则，点N的坐标为，把点N的坐标代入直线表达式得：，解得：，而，故：；当时，如下图所示，过点O作交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，则，，，即：，，由题意得：，，则：，，，解得：，当时，同理可得：，当时，，即当时，t的值为0或或．【解析】如下图所示，由题意得：点A、点B关于y轴对称，即可求解；如下图所示，当时，过点O作，交圆于点Q，则：，则，即可求解；分、、三种情况，求解即可．本题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．。
1.2019北京初三数学东城二模(答案)
东城区2018-2019学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷 2019.68.B (解析：过B 作AC 垂线BE ，EB 2+)25(2=a 2，21×EB ×5=a)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.y(x+1)(x-1) 10.丙 11. 6 12. 90 13.1x ＞ 14. 答案不唯一，如2,-3 15.5216. 3，甲 【12.BA （∠BAC+∠ACD=∠ABD+∠CDB(因为∠ABD ，∠CDB 在1×3的方格内，所以互余)；15.B （解析1：延长CA 交圆于F ，连接BF ，∵∠BOF=∠EOD ，∴BF=DE ，作OG ⊥BF ，弦心距=1/2BF;解法2，将三角形ADE 绕A 点旋转至AB ，AE 重合组成直角三角形）16.A 】 三. 解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分） 17. 图略 -----------------2分AF,BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形-----------------5分01118.(2019)1()2sin 4524=25π--+-︒L L L 分分19.2(2-1)-3(5+1)6142153621111314x x x x x x ≥---≥-≥≤-L L L L L L L L 解： 分分分分-------------5分.分分）（分方程有两个实数根（）（）（54.m 3,1-m ，3若方程有一根大于41-,10)1)(1(01-220)2-44m -1-m 4-120.212222ΛΛΘΛΛΛΛΘ>∴>∴==∴=+--∴=+-∴≥=+==∆m x x m x x m mx x m m m21.（1）证明：ΘAE//BD AE=BD,∴四边形AEBD 是平行四边形.-----------1分. ΘAB=AC,D 为BC 中点， BC AD ⊥∴,090=∠∴ADB ,∴四边形AEBD 是矩形------------------2分. （1）解：Θ四边形AEBD 是矩形， 090AEB ∴∠=.°30AE 2,ABE ∠==Q, BE ∴=.BC=4.EC ∴=----------------------3分.//,.1.------------------4.21.3AE BC AEF BCF EF AE CF BC EF EC ∴∆∆∴==∴==Q ∽分分22.解：（1）把(,3)A m 代入6y x=， 得2m =．………………………………………………………………1分 把(2,3)A 代入2y kx =+，得12k =．………………………………………………………………2分（2）(6,1)P 或(6,1)P --………………………………………………………………5分23. （1）抽样调查----------1分.（2）=a 0.17, 50=b , 500=c .----------4分. （3）图略--------5分（4）8(0.05+0.17+0.32)=4.32----------6分.答：五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有4.32万人.24.（1）证明：如图，连接OA∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝45°∴∠AOC ＝90°………………………………………………………………1分 ∵OC ∥AD∴∠AOC ＋∠OAD=180°…………………………………………………2分 ∴∠OAD ＝90°.∴OA ⊥AD∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线…………………………………………………………3分 （2）解：如图，作CE ⊥AB 于点E 由（1）可知，∠AOC ＝90°∵OA ＝OC∴AC ＝5………………………………………………………………4分 在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°sin ∠CAE ＝CE AC ＝35∴CE ＝3，AE ＝4………………………………………………………………5分 在Rt △BCE 中，∠CEB ＝90°，∠ABC ＝45° ∴∠BCE ＝45° ∴CE ＝BE ＝3∴AB ＝AE ＋BE ＝7………………………………………………………………6分25.（1）9.80；………………………2分 （2）画出函数图象………………………4分D（3）5.43，8.30………………………6分26.解： （1）∵2221y x mx m =-+-．2()1x m =--．∴抛物线的顶点坐标为(,1)m -．…………………………1分（2）由对称性可知，点C 到直线1y =-的距离为4． ∴3OC =．∴213m -=．∵0m >，∴2m =．……………………………………………3分（3）k 的取值范围为：1322k ≤<或3k >．……………………………………………6分 27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形.在等边△ABC 和等边△ADE 中 AB ＝AC AD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分∴BD=CE ……………………………………3分（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ∴∠G ＝∠BDF∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90° ∴∠BDF ＝30°∴∠G ＝30°……………………………………………………4分 由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90° ∵∠AED ＝60°，∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分 在△BDF 和△CGF 中 BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BD F ≌△CGF （AAS ） ∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分 （3）1……………………………………………………7分 28.(1)∵A(2，0)，B(0，2),∴△AOB 是等腰直角三角形， 如图，作OH ⊥AB 于点H ， ∴点H 是AB 的中点.∵AB=2√2，∴d （点O ，直线AB ）=OH=√2； .............................................................................. 2分 （2）22t -≤≤+·································································································· 5分． （3）3k =-+1k =-···························································································· 7分．EBA。
2019年12月东城区初三数学期末试卷及答案
分
3 ∴反比例函数的表达式为 y＝－
x
联立两个函数的表达式得
y x4 3
y x
x1 x 3
解得
或
y3
y1
∴点 B 的坐标为 B(－ 3， 1). ………………………………………………………………
3分
（2 ）P(－6 ， 0)或 (－ 2， 0) …………………………………………………………５
分
23.解：（ 1）由题意可得，
东城区 2018-2019 学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学参考答案评分标准 2019.1
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
A
B
D
D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
55 9. t
v
10. 6.4
11. y 2x2 3, 答案不唯一
12.5
∵ OE＝ OD
∴∠ OED＝∠ ODE.
∴∠ OED＝∠ F.
∴ AE＝ AF ………………………………………………3…分………
（ 2 ）∵ OD∥ AC
∴△ BOD∽△ BAC………………………………………………4 …分………
BO OD
∴
AB AC
∵AE＝ 5， AC＝ 4
BE 2.5 2.5
即
所以，顶点 C 的坐标为 (m,2 m) …………………4 …分
（3 ）由顶点 C 的坐标可知，抛物线的顶点 C 在直线 y=2x 上移动． 当抛物线过点 A 时， m=2 或 1； 当抛物线过点 B 时， m=2 或 5． 所以 m=2 时，抛物线与线段 AB 有两个公共点，不符合题意．
2018-2019学年北京市东城区九年级二模数学试卷(含答案)
东城区2018-2019学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷 2019.6一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1.若分式31-x 有意义，则x 的取值范围是 A ．3≠xB ．3<xC ． 3>xD ．3=x2.若a= ，则实数a 在数轴上对应的点P 的大致位置是 A. B. C. D.3.下图是某几何体的三视图，该几何体是A ．棱柱B ．圆柱C ．棱锥D ．圆锥4. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+22y x y x 的解为A.B.C.D.⎩⎨⎧=-=02y x5.下列图形中，是中心对称图形但不是．．轴对称图形的是A. B., C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）.将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（-2，0）．则点B的对应点B'的坐标为A．（5，2）B．（-1，-2）C．（-1，-3）D．（0，-2）7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离约为A．1000sinα米B．1000tanα米C．1000tanα米D．1000sinα米8.如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为x(s),△PAB的面积为y(cm2).表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为图1 图2 A ．5B ．52C ． 2D ．25二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.分解因式：= ．10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加东城区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数x （单位：分）及方差s 2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．甲 乙 丙 丁 x7 8 8 7 s 211.20.91.811. 如果2x y -=，那么代数式2(2)4(2)x x y y x +-+-的值是 ．12. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，则∠BAC+∠ACD=________°．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y 1=－x+a 与直线y 2=bx －4相交于点P （1,－3），则关于x 的不等式－x+a ＜bx －4的解集是 .14.用一组,k b 的值说明命题“若0k >，则一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k =____________，b =____________.15. 如图，B ，C ，D ，E 为⊙A 上的点，DE ＝5，∠BAC +∠DAE ＝180°，则圆心A 到弦BC的距离为．16.运算能力是一项重要的数学能力。
北京市东城区2018-2019学年度第一学期期末数学试题及答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学目标检测初三数学试卷 2019.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．已知tan 1A =，则锐角A 的度数是A ．030 B ．045C ．060D ．0752. 下面图形中，为中心对称图形的是A． B ． C ．D ．3．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2和5，且圆心距127O O =，则这两圆的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．相离4．下列事件中是必然事件的是 A ．北京一月一日刮西北风 B ．当x 是实数时，20x ≥C ．抛掷一枚硬币，出现正面向上D ．一个电影院某天的上座率超过50%5．如图，已知P A ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，60P ∠=，8PA =，那么弦长是 A ．4B ．8C ．D ．6．如图，圆锥形烟囱帽的底面直径为80，母线长为50，则烟囱帽的侧面 积是 A ．4000π B ． 3600π C ．2000π D ．1000π 7．已知△ABC 和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的周长是△ABC 的一半，AB ＝8cm ，则A′B′ 等于A ．64cmB ．16cmC ．12cmD ．4cmB（第10题）8．下列命题：①若a+b+c=0，则b 2－4ac ＜0；②若b=2a+3c ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac>0，则二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3. ④若b>a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 其中正确的是A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．10．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ．11. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4. 则⊙O 的直径= .12. 己知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE ＝3，连接BE与对角线AC 相交于点M ，则AMMC的值是 .三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13.计算：0tan 602sin 452cos30+-14. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，OC ⊥AB 于C ，求OC 的长．15. 如图，已知CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，，算cos BCD ∠的值．16. 如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为（4，2）．（1）画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的11OA B △; （2）求点A 旋转到点1A 所经过的路线长．17．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 . （2）当4x =时,=y .（3）由二次函数的图象可知，当函数值0y <时，x 的取值范围是 .ＡC（第11题）18. 彤彤和朵朵玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，彤彤先从中抽出一张，朵朵从剩余的3张牌中也抽出一张．彤彤说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜． （1）请用树状图（或列表）表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）若按彤彤说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．四、解答题：（本题共20分，每小题5分，）19. 如图，小明为了测量一铁塔的高度CD ，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为︒30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为︒60，请你帮助小明计算出这座铁塔的高度．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈ 1.73≈，24.25≈）20．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分. （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．21． 已知:如图, BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C , 交半圆O 于点E ，且E 为DF 的中点. （1）求证：AC 是半圆O的切线；（2）若6ADAE ==，，求BC 的长．C ︒30 ︒60 A B DNBNBN22．如图，在直角坐标平面xOy 中，抛物线1C 的顶点为A （-1,-4），且过点B （－3,0） （1）写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点M 的坐标；（2）将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；（3）写出阴影部分的面积S .五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）23．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图1 图224．如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1) 求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．(1.41≈1.73≈，2.24≈)25．如图，是一个放在平面直角坐标系中的矩形，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，3,4OA OC ==，平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线运动的时间为t （秒）. (1) 写出点B 的坐标； （2）t 为何值时，12MN AC =; (3)设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； 当t 为何值时，S 有最大值？并求S 的最大值．OABC O A x C y东城区2018-2019学年度第一学期期末教学目标检测初三数学参考答案 2019.1一、 选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9. （-2，-3） 10.1211. 8 12. 223或三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）22325⨯-==13.解:分分14.解： 连结OA,……………1分∵OC ⊥AB,AB ＝8， ∴由垂径定理，12AC BC AB ===4.…………3分 223.5Rt OCA OC AC OC ∆=+∴===2在中，由勾股定理，OA 分.15.:435.2 CD AB .34cos ,54cos cos .55ABC AC BC AB BCD A AC ABC A AB BCD A ==∴=∴∠=∠==∴∠==解在Rt △中，，，由勾股定理，分是边上的高，分在Rt △中,分16．解：(1)图略………3分(2) 点A 旋转到点A 1所经过的路线长=ππ2418090=⨯…………5分 17．（1）（1，-4）………2分（2）5y = …………4分 （3）135 x -<<分18.解：(1) 树状图为：ＡC共有12种可能结果． ············································································ 2分 （2）游戏公平． ·············································································· 3分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴ 彤彤获胜的概率P =126=21． ···························································· 4分 朵朵获胜的概率也为21． ····································································· 5分∴ 游戏公平．四、解答题：（本题共20分，每小题5分，） 19．解：∵∠CBD=600，∠CAB ＝30°，∴∠ACB=300 ．∴AB=BC=40．……………2分在Rt △BDC 中， 0sin 60CDBC=∴0sin 604034.6CD BC =⋅==≈（米）………4分 答：这座铁塔的高度约为34.6米．…………5分 20．解：（1）223351931()5524y x x x =-++=--+∵，∴函数的最大值是．……3分 答：演员弹跳的最大高度是米． （2）2344341 3.45x y BC ==-⨯+⨯+==当时，， 所以这次表演成功．……5分21.解：（1）连接OE ,∵E 为DF 的中点，305－＜194194C︒30︒60 A B DN∴DE EF =．∴ OBE CBE ∠=∠.∵OE OB =， ∴OEB OBE ∠=∠. ∴ OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC .∵BC ⊥AC ， ∴∠C=90°.∴ ∠AEO =∠C =90°. 即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴ AC 是半圆O 的切线.………………… 2分 （2）设O的半径为x ， ∵OE AC ⊥，∴222(6)x x +-=.∴3x =.………………3分 ∴12AB AD OD OB =++=. ∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.…………4分∴AO OEAB BC =. 即9312BC= ∴4BC =.……………5分22.解： (1) M(1,0) ……………1分（2）设抛物线1C 的解析式为2(1)4y a x =+-，将点B （-3,0）代入得1a =, ∴2(1)4y x =+-.∵将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ， ∴抛物线2C 的解析式为2(1)4y x =--.………3分（3）S=8 …………5分 五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．解：（1）BM DN MN +=成立．…………2分 如图，在MB 的延长线上，截得BE=DN ，连接AE 易证：ABE ADN △≌△ ∴AE=AN.∴∠EAB=∠NAD.000090,45,45.45.BAD NAM BAM NAD EAB BAM ∠=∠=∴∠+∠=∴∠+∠=∴EAM NAM ∠=∠.又AM 为公共边，∴AEM ANM △≌△……………5分 ME MN ∴=.ME BE BM DN BM ∴=+=+ DN BM MN ∴+=.（2）DN BM MN -=……………7分24．解： (1)由已知条件可知： 抛物线212y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点．∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 1,32m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 ……………………2分 ∴ 21322y x x =+- .(2) ∵21322y x x =+-，∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-．设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得1,232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线PC 的解析式是1322y x =-.……………3分(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0). 在Rt △O CD 中，∵ O C =32，3OD =，∴CD =． ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． ∵ ∠C O D =∠AED =90o ，∠CD O 公用， ∴ △C O D ∽△AED ．∴ OC CD AE AD=， 即3226AE =． ∴AE ． ∵2.688 2.5>，∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离．…………… 7分25．解：（1）点B 的坐标是（3,4）……………1（2）当0＜t ≤3时，(图1)∵MN//AC,且1.2MN AC =∴M 是OA 的中点. ∴t=1.5秒. 当3＜t ＜6 时，（图2） 设直线m 与x 轴交点为D ，∵MN//AC,且1.2MN AC =∴M 是AB 的中点.可证：△A MD ≌△BMN ． ∴BN=AD=t-3. ∴△BMN ∽△BAC ．∴BN MNBC AC =． ∴3132t -=． ∴ 4.5t =秒.1.5.3t AC =1当秒或t=4.5秒时，MN=分2(3) 当0＜t ≤3时，OM =t ．（图3） 由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =43t ，S=223t ． ······························· 4分 当3＜t ＜6时，(图4) ∵ OD =t ，∴ AD = t-3．易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-3，BN =6-t ． 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =43BN =8-43t ，∴ AM =-4+43t ． S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-34(4)23t -+-214(8)(6)3t t ⨯---4(3)2t -=2243t t -+．当0＜t ≤3时，∵ 抛物线S=223t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=3时，S 可取到最大值2233⨯=6；东城09，1 第 11 页 共 11 页 11当3＜t ＜6时，∵ 抛物线S=2243t t -+的开口向下，它的顶点是（3，6），∴ S ＜6．……… 8分综上，当t=3时，S 有最大值6．图4。
北京市东城区2018届九年级上期末考试数学试题(有答案)-名师推荐
北京市东城区2018 届九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．2.边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC 中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OC=．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．3.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2 先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．解：∵k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.A，B是⊙O上的两点，OA=1，的长是，则∠AOB的度数是（）A．30 B．60°C．90°D．120°【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=60°，∴∠AOB=60°，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．6.△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．解：∵点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，∴=，∴△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S △ABC =8，故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. 已知函数y=﹣x 2+bx+c ，其中b ＞0，c ＜0，此函数的图象可以是（）A .B ．C ．D ．【分析】根据已知条件“a＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=﹣1＜0，b ＞0，c ＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数．8. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．解：①当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；④若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．故选：C．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.已知在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．10.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：2 ．【分析】根据抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．解：因为要使抛物线y=x2+2x+c 与x 轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，取c=2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据已知得出关于c 的不等式是解此题的关键．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B 点位置即可．解：∵A（﹣2，1），点B 与点A 关于点O 中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC 的长，由勾股定理可得出OA 的长．解：连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA﹣1）2+22，解得，OA=，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．13.某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别为0.7m，0.3m，观测点O到旗杆的距离OE为6m，则旗杆MN的高度为15m．【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN 的高度．解：∵AB∥NE，∴△ABO∽△NEO，∴，即，解得：NE=14，∴MN=14+1=15，故答案为：15【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论的序号是②⑤ ．①AB=AD；②BC=CD；③ ；④∠BCA=∠DCA；⑤ ．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．解：①∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误；②∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；③∵∠ACB 与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15.已知函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3 的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a 时函数的最小值为﹣4，可得实数a 的取值范围．解：函数y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 的图象是开口朝上且以x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当x=1 时，函数取最小值﹣4，∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a 时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥1【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y= 的图象上运动，k的值为12 ，OM长的最小值为．【分析】先根据P（4，3），求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，O M最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．解：∵A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交于点P，∴P（4，3），代入函数y=可得，k=4×3=12，∴y=，∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，∴根据双曲线的对称性可得，当点M 在第一象限角平分线上时，OM 最短，当x=y时，x=，解得x=±2，又∵x＞0，∴x=2，∴M（2，2），∴OM==2 ，故答案为：12，2．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．三、解答题（本题共68 分，第17-24 题，每小题5 分，第25 题6 分，第26-27，每小题5 分，第28 题8 分）17．（5分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，=﹣+3+﹣1，=4﹣1．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．18．（5 分）已知等腰△A BC 内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△A BC 的顶角和底角的度数．【分析】画出相应图形，分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．解：（1）圆心O 在△A BC 外部，在优弧BC 上任选一点D，连接BD，CD．∴∠BDC=∠BOC=50°，∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=25°；（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）÷2=65°．【点评】本题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE 的长度，结合AB=AE+BE 即可求出AB的长度．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，∴BE=，∴AB=AE+BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△A D E∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．20．（5分）在△A BC中，∠B=135°，AB=，BC=1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．【分析】（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；（2）等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．解：（1）延长CB，过点A作AD⊥BC，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，∴△ABC的面积=×BC×AD=1；（2）∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∵AD=2，∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，在Rt△ACD中，AC==．【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（5 分）北京2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率．解：（1）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理）、（物理、历史、思想品德）、（物理、历史、生化）、（物理、地理、思想品德）、（物理、地理、生化）、（物理、思想品德、生化）、（历史、地理、生化）、（历史、思想品德、生化）、（地理、思想品德、生化）；（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是，即从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．22．（5 分）如图，在Rt△A BC 中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C 的对应点．（1）作出△A'BC'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AA'，求∠C'A'A的度数．【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：（1）如图所示：△A'BC'即为所求；（2）在Rt△ABC 中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，∵△A′B′C′由△ABC 旋转所得，∴△A′B′C′≌△ABC，∴BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，∴△ABA′为等腰三角形，又∵∠ABC=60°，∴△ABA′为等边三角形，∴∠BA′A=60°，∴∠C′A′A=∠BA′C′+∠BA′A=150°．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．（5 分）如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t﹣5t2．（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得t 的取值．解：（1）∵h=﹣5t2+20t=﹣5（t﹣2）2+20，∴当t=2 时，h 取得最大值20 米；答：小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m；（2）由题意得：15=20t﹣5t2，解得：t1=1，t2=3，由图象得：当1≤t≤3 时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3 时，飞行高度不低于15m．【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）直接写出不等式＜2x+4的解集．【分析】（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐标；（2）在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．解：（1）把A（﹣3，a）代入y=2x+4，可得a=﹣2，∴A（﹣3，﹣2），把A（﹣3，﹣2）代入y=，可得k=6，∴反比例函数的表达式为y=．解方程组，得或，∴B（1，6）；（2）在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．25．（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与边BC，AC 分别交于点D，E．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若AE=4，DF=3，求tanA．【分析】（1）连接OD，作OG⊥AC 于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；（2）过O 作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；（2） 过O 作OG⊥AC，由垂径定理可知：OG 垂直平分AE ，∴∠AGO=90°，AG=2，由（1）可知：四边形ODFG 为矩形，∴OG=DF=3，在Rt△AGO中，tanA=．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．26．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m≠0）与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1） 写出抛物线的对称轴；（2） 直线y=x ﹣4m ﹣n 过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1：y=x+a 和l 2：y=﹣x+b 组成图形G ．当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n 的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l过点B、C 时b 的值，进而可得出点P 的坐标，再结合函数2图象即可找出当图形G 与线段BC 有公共点时，点P的纵坐标t 的取值范围．解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B 关于直线x=1 对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，，∴直线所对应的函数表达式为y=x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组， ，解得： ， ．∵点B 的坐标为（4，0）， ∴点C 的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l 2：y=﹣x+b 1过点B 时，0=﹣4+b 1，解得：b 1=4，∴此时直线l 2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1 时，y=﹣x+4=3， ∴点P 1的坐标为（1，3）；当直线l 2：y=﹣x+b 2过点C 时，﹣=3+b 2，解得：b 2=﹣，∴此时直线l 2所对应的函数表达式为y=﹣x ﹣，当x=1时，y=﹣x ﹣=﹣，∴点P 2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G 与线段BC 有公共点时，点P 的纵坐标t 的取值范围为﹣≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n 的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l过点B、C 时点P 的坐标．227．（7分）如图1，在△A BC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：PC=1：，连接BP，AP'．（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；（2）若点P在AB上时，①在图2 中画出△AP′C；②连接BP'，求BP'的长；（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．【分析】（1）①利用锐角三角函数求出∠BAC，②先判断出= ，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；（3）先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：（1）①在Rt△A BC中，AC=2，BC=2，∴tan∠BAC==，∴∠BAC=60°；②∵∴，==，，∵P'C⊥PC，∴∠PCP'=∠ACB=90°，∴∠P'CA=PCB，∴△AP'C∽△BPC；（2）①如图1 所示；②如图2，由（1）知，∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴AB=2AC=4，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=∠PBC=30°，，∵点P 在AB 上，∴BP=，∴AP'=1；连接P'B，∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'= =；（3）由（1）知，△AP'C∽△BPC，∴，∴∴AP'=1 是定值，∴点P'是在以点A 为圆心，半径为AP'=1 的圆上，①如图3，点P'在BA 的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，∵△AP'C∽△BPC，∴∠P'AC=PBC=120°，∴BP'取得最大值时，∠PBC=120°；②如图4，点P'在线段AB 上时，BP'取得最小值，∵△AP'C∽△BPC，∴∠PBC=∠BAC=60°，∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC 是解本题的关键．28．（8 分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G，若在图形G 上存在一点N，使M，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2（，1），P3（，0），P4（5，0）中，⊙O的和睦点是P2、P3；（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（，），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标xA的取值范围．【分析】（1）分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O 有交点，则P 是，⊙O的和睦点；（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r 的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；解：（1）如图1 中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1 为半径画圆，若与⊙O有交点，则P 是，⊙O 的和睦点，观察图象可知，⊙O 的和睦点是P2、P3．故答案为：P2、P3．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．∵P（4，3），∴OP=5，满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6，∴4≤r≤6．（3）①如图3中，当点O到C′D′的距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，≤﹣3时，满足条件；∴﹣5≤xA②）①如图3 中，当点O 到A′B′的距离OM=1 时，此时点A′的横坐标为1当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标为﹣1，≤1时，满足条件；∴﹣1≤xA≤﹣3或﹣1综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤xA≤1．≤xA【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京东城2019届初三数学上学期期末试卷与答案
1 1 东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学 2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1.1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是Ａ．35Ｂ．34Ｃ．43Ｄ．453．反比例函数y=6xx 的图象位于A ．第一、第二象限．第一、第二象限 B. 第一、第三象限C. 第二、第三象限第二、第三象限 D. 第二、第四象限4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若72AOB ∠=°，则ACB ∠的度数是A ．18°B．30°2 C ．36°D ．72°5.5.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy 中，△中，△OAB OAB 各顶点的坐标分别为：各顶点的坐标分别为：O O （0，0），A （1，2），B （3，0），以原点O 为位似中心，相似比为2，将△，将△OAB OAB 放大，若B 点的对应点B′的坐标为 （﹣（﹣66，0），则A 点的对应点A′坐标为 A ．（﹣（﹣22，﹣，﹣44）B ．（﹣（﹣44，﹣，﹣22）C ．（﹣（﹣11，﹣，﹣44）D ．（1，﹣，﹣44）6. 如图，在 ABCD 中，点E 在DC 边上，连接AE AE，交，交BD 于点F ，若DE DE：：EC=3EC=3：：1，则△DEF 的面积与△的面积与△BAF BAF 的面积之比为A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：17．将抛物线 2112yx =+ 绕原点O 旋转180°180°，则旋转后的抛物线的解析式为，则旋转后的抛物线的解析式为，则旋转后的抛物线的解析式为 A ． 221y x =−+B ．221y x =−−OBCA3 C ．2112y x =−+ D ． 2112y x =−−8.8.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m96282 382 570 9481904 2850 发芽的频率m n0.9600.9400.9550.9500.9480.9520.950下面有三个推断：①当n 为400时，发芽的大豆粒数为382382，发芽的频率为，发芽的频率为0.9550.955，所以大豆发芽的概率是，所以大豆发芽的概率是0.9550.955；；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.950.95；；③若大豆粒数n 为40004000，估计大豆发芽的粒数大约为，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（其中推断合理的是（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③．②③日期日期二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的关系式为10. 如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，4 则这棵树的高度为的高度为 米11. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是此二次函数的解析式可以是12. 如图，AB 为⊙为⊙O O 的直径，弦CD CD⊥⊥AB 于点E ，若CD=8CD=8，，OE=3OE=3，，则⊙则⊙O O 的半径为的半径为．13.13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB AB，，AC 夹角为150°150°，，AB 的长为18cm 18cm，，BD 的长为9cm 9cm，则，则DDDD �的长为 cm cm．．14. 如图，△如图，△ODC ODC 是由△是由△OAB OAB 绕点O 顺时针旋转40°40°后得到的图形，若点后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠上，且∠AOC=105°AOC=105°AOC=105°，则∠，则∠，则∠C= C= °．5 15. 如图，以等边△ABC 的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若AB =4=4，，则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是______. ______.16.16.如图，在如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，的中点，N N 是''A B 的中点，连接MN MN，若，若BC=4,BC=4,∠∠ABC=60ABC=60°，则线段°，则线段MN 的最大值为的最大值为________. ________.三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.ABDOC6 17. 计算：4sin 302cos 453tan 30+2sin 60°°°°—— 18.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD..求作：AE BC ⊥,垂足为点E. 作法：如图作法：如图, ,① 分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P,Q 两点； ② 作直线PQ PQ，交，交AB 于点O;③ 以点O 为圆心，为圆心，OA OA 长为半径做圆，交线段BC 于点E; ④ 连接AE.所以线段AE 就是所求作的高就是所求作的高. . 根据小明设计的尺规作图过程（1） 使用直尺和圆规，补全图形使用直尺和圆规，补全图形;;（保留作图痕迹）PQODBC A7 （2） 完成下面的证明证明： AP=BP, AQ= ,∴PQ 为线段AB 的垂直平分线的垂直平分线. .∴O 为AB 中点中点.. AB 为直径，⊙为直径，⊙OO 与线段BC 交于点E, ∴AEB ∠= °．（ ）(填推理的依据填推理的依据) ) ∴AE BC ⊥.19. 如图，在△如图，在△A A BC 中，点D 在AB 边上，∠ABC =∠ACD ， （1）求证：△）求证：△A A BC ∽△ACD （2）若AD =2=2，，AB =5.=5.求求AC 的长．20.20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式..京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运甚至角色和命运..如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛..现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回．．，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1A1、、A2A2，图案为“黑脸”的卡片记为，图案为“黑脸”的卡片记为B）8 A 1 红脸红脸 A 2 红脸红脸B 黑脸 21. 已知二次函数2(0)y ax bx c a ++≠ 自变量x 的部分取值及对应的函数值y 如下表所示：x… -2 -1 0 1 2 ……323611…（1）写出此二次函数图象的对称轴； （2）求此二次函数的表达式22.22.如图，一次函数如图，一次函数y ＝x ＋4的图象与反比例函数y ＝xk (k 为常数且k ≠0)的图象交于 A (－1，a )，B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求a ，k 的值及点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且S△ACP＝23S△BOC，直接写出点P 的坐标．y9 23.23.某广场有一个小型喷泉，某广场有一个小型喷泉，某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求水流喷出的最大高度．24. 如图，如图，已知已知Rt △ABC 中，∠中，∠A A CB ＝9090°，°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：AE ＝AF ;（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．FEODBC A10 25.25.有这样一个问题：探究函数有这样一个问题：探究函数13x y x −=−的图象与性质． 小彤根据学习函数的经验，对函数13x y x −=−的图象与性质进行了探究的图象与性质进行了探究. . 下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1) 函数13x y x −=−的自变量x 的取值范围是的取值范围是_________________________________；； (2) 下表是y 与x 的几组对应值的几组对应值: :则m 的值为的值为________________________；；(3)(3)如图所示，如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；(4)(4)观察图象，写出该函数的一条性质观察图象，写出该函数的一条性质观察图象，写出该函数的一条性质________________________________________________________________________；；(5)(5)若函数若函数13x y x −=−的图象上有三个点A(xx 1，yy 1)、B(xx 2，yy 2)、C(xx 3，yy 3)，且xx 1<3<xx 2<xx 3，则yy 1、yy 2、yy 3之间的大小关系为之间的大小关系为________________________；；26 . 26 . 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为222422y x mx m m =−+−+，线段ABx … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y…35m13-132533275…11 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）(1) 若抛物线经过原点，求出m 的值；(2)(2)求抛物线顶点求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；(3)(3)若抛物线与线段若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围的取值范围. .2727．如图，．如图，M 为正方形ABCD 内一点，点N 在AD 边上，且∠BMN ＝90°90°，，MN ＝2MB ．点E 为MN 的中点，点P 为DE 的中点，连接MP 并延长到点F ，使得PF ＝PM ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：DF ＝BM ；（3）连接AM ，用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明．yx–1–2–3–412345678910–1–2–3–412345678910O12 28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 及以原点为圆心，及以原点为圆心，11为半径的O ，给出如下定义:P 为图形M 上任意一点，上任意一点，Q Q 为O 上任意一点，如果P,Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到O 的“圆距离”，记作(M O)d −(1) 记线段AB 为图形M,M,其中其中A(-1, 2), B(1,2),求(M O)d −; （2）记函数y=kx+4（0k >）的图象为图形M ，且(M O)1d −≥，直接写出k 的取值范围的取值范围; ;(3)(3)记△记△记△CDE CDE 为图形M ，其中C(t 23,2)D(t 23,2),E(t,4)−−+−，,且(M O)1d −=， 直接写出t 的值的值. .东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测初三数学参考答案及评分标准 2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号1 2 3 45 6 7 8 答案 D A B C A B D D二、填空题（本题共16分，每小题2分）13 9.55t v =10. 10. 6.4 6.4 11.223,y x =−+答案不唯一答案不唯一 12.5 13. 152π14. 14. 45° 45° 15.3 16. 6三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）17.4sin 30-2cos 453tan 30+2sin 601233=4-2-3+242232=35°°°°−×××× 分分18.(1)18.(1)略略 ……………..2分90°((2)BQ, 90°(直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角)) ……………..5分19. 证明：（1）∵∠ABC =∠ACD ，∠A =∠A∴△∴△A A BC ∽△ACD ………………………2分（2）解：△）解：△A A BC ∽△ACD∴ACABAD AC =…………………………………….4 分Q AD =2, AB =5∴52AC AC =∴AC= 10 …………………………………5分20.解：画树状图为：14 ………………………..3分由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P （两张都是“红脸”）＝49．………………………..5分 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是49．21. 解：（1）直线x=-1………………………..1分 （2）∵当x=0时，y=3 ，∴这个二次函数的表达式为：y=a xx 2+bx+3 ∵当x=-1时，y=2 ; 当x=1时，y=6, �2=aa −bb +36=aa +bb +3 ………………………………3分 ∴�aa =1bb =2∴这个二次函数的表达式为：y=xx 2+2x+3………………………….5分 22.解：（1）把点A (－1，a )代入y ＝x ＋4，得a ＝3，…………………………1分∴A (－1，3)把A (－1，3)代入反比例函数y ＝xk ∴k ＝－3. ………………………………………………………………2分∴反比例函数的表达式为y ＝－x315 联立两个函数的表达式得=+=x y x y 34解得 =−=31y x 或 =−=13y x ∴点B 的坐标为B (－3，1). ………………………………………………………………3分 （2）P (－6，0)或(－2，0) …………………………………………………………5分23.23.解：解：（1）由题意可得， 抛物线经过（抛物线经过（00，1.51.5）和（）和（）和（33，0）， 221.5.330.0.5,1.5.13.22c a c a c y x y x x = ×++= =− = =−++解得解得::即与之间的函数表达式为………3分 （2）解：221311+2.222y x x x =−++=−−（）………………………..5分 ∴当x=1时，时，y y 取得最大值，此时y=2.y=2.，，………………………..6分答：水流喷出的最大高度为2米．24.证明：（1）连接OD∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC …………………………………………………………1分∴∠ODC＝90°又∵∠ACB＝90°∴OD∥AC∴∠ODE＝∠F…………………………………………………………2分∵OE＝OD∴∠OED＝∠ODE.∴∠OED＝∠F.∴AE＝AF …………………………………………………………3分（2）∵OD∥AC∴△BOD∽△BAC…………………………………………………………4分∴BO OD AB AC=∵AE＝5，AC＝4即2.5 2.554BEBE+=+………………………………………………………5分FEODB CA16 17 ∴BE ＝53…………………………………………………………6分 25. 解：解：(1)x (1)x (1)x≠≠3；…………………1分(2) 12；…………………2分(3)(3)如图所示；如图所示；(4)(4)当当x>3时y 随x 的增大而减小等的增大而减小等((答案不唯一答案不唯一))；…………………5分(5) yy 1<yy 3<yy 2．…………………6分26.解：（1）∵抛物线经过原点, 2120220, 1.2m m m m ∴=−+∴== 分（2）222(2)2y x mx m m =−−++22()2x m m =−−+ 所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………4分（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动．上移动．当抛物线过点A 时，m=2或1；当抛物线过点B 时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意．有两个公共点，不符合题意．xy–1–2–3–412345–1–2–3123456789O18 结合函数的图象可知，m 的取值范围为15m ≤≤且2m ≠…………………6分27.27.解：解：（1）…………………………………………………………1分（2）∵点P 为线段DE 的中点∴DP ＝EP在△MPE 和△FPD 中FPCDA NEB M19 MP FP MPE FPD EP DP = ∠=∠ =∴△MPE ≌△FPD （SAS ）…………………………………………………………2分 ∴DF ＝ME∵E 为MN 的中点∴MN ＝2ME∵MN ＝2MB∴MB ＝ME ＝D F ．…………………………………………………………3分（3）结论：2AM PM = …………………………………………………………4分 连接AF由（由（22）可知：△MPE ≌△FPD ∴∠DFP ＝∠EMP. ∴DF ∥ME. ∴∠FDN ＝∠MND. 在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD ＝90° 又∵∠BMN ＝90° FPC DA NEBM20 ∴∠MBA ＋∠MNA ＝180° 又∵∠MNA ＋∠MND ＝180° ∴∠MBA ＝∠MND ∴∠FDN ＝∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA = ∠=∠ =∴△∴△F F AD ≌△MAB （SAS ） ∴∠FAD ＝∠MAB FA ＝MA ∴∠FAM ＝∠DAB ＝90° ∴△FAM 为等腰直角三角形为等腰直角三角形…………………………………………………………6…………………………………………………………6分∴2FM AM = 又∵FM ＝2PM∴ 2AM PM = …………………………………………………………7分28.解：（1）21 21 ∵A （﹣1,2），B （1,2） ∴H （0,2） ∴d （M -O ）＝1…………………………………………………2分(2)∴03k <≤ ………………………………………………4分1238830,3,3733t t t ==−= （）分。