武汉大学计算机学院组合数学第一章排列与组合
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
排列与组合的基本概念和计算方法
排列与组合的基本概念和计算方法排列与组合是概率论中非常重要的概念，它们用于解决计算和统计问题。
在本文中，我们将探讨排列与组合的基本概念以及它们的计算方法。
一、排列的基本概念和计算方法排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
排列中的每个元素都是独立的，不可重复利用。
对于给定的 n 个元素中选取 r 个进行排列，排列的种类数可以用数学符号 P(n, r) 表示。
计算排列的种类数的公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
这个公式可以理解为从 n 个元素中选取一个元素进行排列，然后再从剩下的n-1 个元素中选取一个元素进行排列，依次类推，直到选取 r 个元素进行排列。
例如，我们有一个由 A、B、C、D 四个字母组成的集合，需要从中选取三个字母进行排列。
那么，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4 × 3 × 2 = 24 种排列方式。
二、组合的基本概念和计算方法组合是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
组合中的元素是无序的，不考虑元素的排列顺序。
对于给定的 n 个元素中选取 r 个进行组合，组合的种类数可以用数学符号 C(n, r) 或者 nCr 表示。
计算组合的种类数的公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)其中 nCr 表示从 n 个元素中选取 r 个元素进行组合。
例如，我们有一个由 A、B、C、D 四个字母组成的集合，需要从中选取三个字母进行组合。
那么，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4 种组合方式，分别是 ABC、ABD、ACD 和 BCD。
三、排列和组合的应用场景排列和组合的数学概念和计算方法在实际生活中有广泛的应用。
数学排列与组合
数学排列与组合在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列的方式，而组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其顺序。
在实际问题中，排列和组合可以用来解决各种计数和概率问题。
一、排列排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
假设我们有n个元素，要从这n个元素中选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以表示为P(n, r)，其中P表示排列数。
排列数的计算可以使用以下的公式：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的连乘。
阶乘的计算方式如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1举个例子来说明，假设我们有5个不同的球，要从这5个球中选择3个进行排列，那么排列的总数可以计算如下：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 60所以，在这个例子中，从5个不同的球中选择3个进行排列的方式有60种。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其顺序。
在组合中，元素的顺序不重要。
假设我们有n个元素，要从这n个元素中选择r个元素进行组合，那么组合的总数可以表示为C(n, r)，其中C表示组合数。
组合数的计算可以使用以下的公式：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)举个例子来说明，假设我们有5个不同的球，要从这5个球中选择3个进行组合，那么组合的总数可以计算如下：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10所以，在这个例子中，从5个不同的球中选择3个进行组合的方式有10种。
三、应用场景排列和组合在实际问题中有广泛的应用。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学第一章
P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) 球入盒模型：n个不同的球，取r个放入r个不同的 盒子里,每盒一个的方式数为P(n, r)。 ♦ 例1.7
♦ 例1.8
♦ 二、 n-元集的r-可重(线)排列 ♦ Def 1.3(n-元集的r-可重(线)排列)
Theorem 1.4 n-元集的r-可重(线)排列个数 为nr. 678 4r 4 ♦ Proof •••L•
n = p1 p2 ... pk ≥ 2
β1 β2 βk
α1
α2
αk
s | n ⇒ s = p1 p2 ... pk ,0 ≤ βi ≤ αi .
(α1 +1)(α2 +1)...(αk +1) = ∏(αi +1)
i=1 k
§1.2 (线)排列
♦ 一、 n-元集的r- (线)排列 ♦ Def 1.1(P5) ♦ 计算公式：
♦ 二、n-元集的r-可重组合 ♦ Def 1.12(n-元集的r-可重组合)
Theorem 1.15 n-元集的r-可重组合数为 C(n + r – 1, r)。 ♦ Proof ♦ (采用一一对应技巧) ♦ 假定n个不同的元素分别为1, 2, …, n.从中 可重复取r个元素的组合为：a1, a2,…, ar.
本到同等学历考试,到博士生入学考试)
♦ 20世纪40年代, 随着计算机的出现, 组合
研究焕发了青春和活力,有着广阔的应用 前景: 计算机科学、空间技术、信息处理、人工智能、
数字通信、物质结构、物理学、化学、生物学、过程 控制、经济管理、国防工业、实验设计、心理学、工 艺美术。
♦ 组合数学研究的问题： ♦ (1)存在性; ♦ (2)构造性(Design); ♦ (3)计数(?Algorithms); ♦ (4)优化。 ♦ 学习目的： – (1)组合内容; – (2)组合方法; – (3)组合技巧; – (4)组合思维.
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
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所求的字符串个数为：3 23 33 648 个。
2014-1-7 9
1.2 一一对应
例 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个 方格叫做它的块。某甲从家中出发上班，向东要 走过m块，向北要走过n块，问某甲上班的路径有 多少条？ y 解 问题可划为求右图从点 (m,n) (0,0)到(m,n)的路径数: 每一条从点(0,0)到(m,n)的路径与 一个由m个x和n个y的排列相对应 x (0,0) 所求路径数为： ( m n, m) C
2014-1-7
14
1.3 排列
例1.15 若例1.14中A单位的两人排在两端，B单位 的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？ 解 共有 7!(6 5 4) 604800 种方案。
2014-1-7
15
1.3 排列
例1.16 求20000到70000之间的偶数中由不同的数 字所组成的5位数的个数。 解 设所求的数的形式为 abcde 其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8} (1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有 3 4 P (8,3) 4032 (2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有
故1000!的末尾有249个0
2014-1-7 30
习题
1.2 1.4 1.5 1.8 1.9
3
1.1基本计数法则
乘法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产 生方式。 例1.1 设一个符号由两个字符组成，第1个字符 由a,b,c,d,e组成，第2个字符由1,2,3组成，则由 乘法法则，该符号有5 3 15 种方式。
2014-1-7
4
★〇〇〇★ 共有 (5 4) ( 20 19 18) P (5,2) P ( 20,3) 136800 种图案。
2014-1-7
13
1.3 排列
例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，排在 一列合影，要求B单位的人排在一起，问有多少 种不同的排列方案？ 解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位A进 行排列，可得 8! 种排列。 B单位的3人共有 3!个排列， 故共有 8!3! 排列方案。
n ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 ak ak 1 a1 a0 (mod 3) 于是 n 0 (mod 3) iff ak ak 1 a1 a0 0 (mod 3)
2014-1-7 27
1.5 组合
P ( n, r ) C ( n, r ) r! C ( n, r )
P ( n, r ) r!
2014-1-7
20
1.5 组合
例1.21 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数 的和正好被3除尽，问共有几种方案？ 解 将这300个数按照其被3除所得的余数分为三组： A={1,4,…,298}，B={2,5,…,299}，C={3,6,…,300} ① 三个数取自集合A：有C(100,3)种方案； ② 三个数取自集合B：有C(100,3)种方案； ③ 三个数取自集合C：有C(100,3)种方案； ④ 三个数分别取自集合A、B、C：有1003种方案； 所求的方案数为：3C(100,3)+1003=1485100
1.1 基本计数法则
例1.3 求比10000小的正整数中含有数字1的数的 个数。
解 比10000小的正整数可以写为
a1a2a3a4 , 0 ai 9
的形式。
共有104-1=9999个
其中不含1的正整数有 94-1=6560个
所求正整数的个数为 9999-6560=3439个。
2014-1-7 5
n! P ( n, r ) n( n 1)( n r 1) , 0! 1 ( n r )!
当r=n时有, P ( n, n) n ( n 1)2 1 n!
2014-1-7 12
1.3 排列
例1.13 由5种颜色的星状物，20种不同的花排成 如下的图案：两边是星状物，中间是3朵花，问 共有多少种这样的图案？ 解 图案的形状为
2014-1-7 23
1.5 组合
方法2： , , , , 1 2 3 4 将8个人分为4组，第1组有 C (8, 2) 种选择，第2 组有 C (6,2) 种选择，第3组有 C (4, 2) 种选择，第 4组有 C ( 2,2) 种选择，但由于各组与顺序无关， 故所求分配方案数为：
2 5 P (8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
2014-1-7 16
1.4 圆周排列
从n个对象中取r个沿一圆周排列的排列数用 Q( n, r )
表示，则有
P ( n, r ) Q ( n, r ) r abcd, dabc, cdab, bcda
2014-1-7181. Nhomakorabea 圆周排列
例1.20 5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下，问 有几种方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种方 案？ 解 (1) 9! 种方案； (2) 4!25 24 32 768 种方案。
2014-1-7
19
1.5 组合
定义 从n个不同的元素中，取出r个而不考虑其 次序，称为从这n个元素中取r个组合，其组合数 C 记为( n, r ) 。
14! C (14,5)9! 5!
2014-1-7
26
1.5 组合
例1.25 求5位数中至少出现一个6，而被3整除的 数的个数。 正整数n能够被3整除的的充要条件是n的各个数 字之和能够被3整除。 设 n ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 因为 10 1 (mod 3) ，所以
2014-1-7 2
1.1基本计数法则
1.1 基本计数法则
加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。
2014-1-7
9辆汽车和5个标志的一个排列可表示一种入场方 案，其重复数为5!，所求方案数为
14! 5!
2014-1-7 25
1.5 组合
方法2： 在9辆汽车和5个标志共14个位置中，首先选择5个 作为标志的位置，这有C (14,5) 种选择，对每一 种选择，将9辆汽车依次填入剩余的位置，这有 9!种填入方式，故所求方案数为
2014-1-7 22
1.5 组合
例1.23 假定有8位成员，两两配对分成4组，问有 多少种分配方案？ 解 方法1：
将8位成员排列，共有8!个排列，每个排列两 两划分，分成4组，其重复数为24.4!，所求分配方 案数为 8! 105 4 2 4!
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
a1 a2 a3
4 3 5 60
2014-1-7
8
1.1 基本计数法则
例1.9 求从a,b,c,d,e这5个字母中取6个所组成的字符 串个数。要求(1)第1个和第6个字符必为子音字符； (2)每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
第1章 排列与组合
组合数学
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和 优化的一门学科。 应用领域: 计算机科学、概率论、社会科学、生 物科学、信息论等。 参考书：
1. R.A.Rrualdi. Introductory Combinatorics
组合数学 机械工业出版社
2. 孙淑玲 许胤龙. 组合数学引论 中国科学技术大 学出版社
其中 pm n pm1 。
2014-1-7
29
1.5 组合
例6．求1000!的末尾有几个0 解 1000!的末尾所含0的个数为1000!的因子分解 中2和5的幂的最小者 1000!因子分解中5的幂为：
1000 1000 1000 1000 5 5 2 5 3 54 200 40 8 1 249
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
2014-1-7
28
1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
a d c b
特别地，
P ( n, n) n! Q ( n, n) ( n 1)! n n
2014-1-7 17
1.4 圆周排列
例1.19 5颗红色的珠子，3颗蓝色的珠子装在圆板 的四周，试问有多少种排列方案？若蓝色的珠子 不相邻又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起又 如何？ 解 (1)有 7! 种； (2)有 4!(5 4 3) 1440 种； (3)有 5!3! 种。
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
2014-1-7 24
1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有9辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9