西南交大经管院《运筹学》运输与整数规划
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西南交大853运筹学重要考点(不明年限)
运筹学重要考点第一部分：线性规划1、线性规划与单纯形法（1）线性规划问题的数学模型（2）线性规划问题解的概念（3）线性规划问题的图解法（4）单纯形法①将所给问题标准化②计算、迭代步骤③最优性的判定（解的判定定理）④人工变量法：大M法和两阶段法2、对偶问题⑴原问题转化为对应的对偶问题⑵对偶问题的基本性质⑶对偶单纯形法的计算⑷影子价格3、灵敏度分析⑴价值系数灵敏度分析⑵约束条件灵敏度分析⑶技术系数灵敏度分析4、运输问题⑴表上作业法①初始基的确定：最小元素法、伏格尔法②最优解的判别：闭回路法、位势法③改进方法：闭环回路调整法⑵产销不平衡运输问题的求解第二部分：整数规划⑴分支定界法⑵割平面法⑶0-1规划建模及解法（隐枚举法）⑷指派问题①解法：匈牙利法②非标准指派问题第三部分：动态规划1、动态规划的基本思想2、动态规划的解题步骤⑴建立动态规划模型⑵采用逆序法求解3、动态规划的应用⑴最短路问题（一维资源分配问题）⑵生产经营问题①生产——库存问题②库存——销售问题③限期采购问题⑶可靠性问题⑷背包问题⑸设备更新问题第四部分：图与网路计划1、图的基本概念和性质2、最小树（Kruskal算法）3、最短路问题及算法⑴Dijcskra算法⑵Ford算法4、网路最大流问题5、最小费用最大流问题6、中国邮递员问题（奇偶图上作业法）7、网络计划⑴绘制网络图⑵计算时间参数和确定关键路径⑶网络计划的调整和优化单纯型对偶单纯型（改进单纯计算及参数灵敏度不考）运输整数规划（分支定界和割平面计算不考）动态规划（会计算即可）动态规划应用（只考一维资源费配背包可靠度排序）图论网络计划（知道关键路线特征及虚工作意义即可不考计算）。
西南交大经管院《运筹学》运输与整数规划
凑整法
例：max: z = 3x1 + x2
s.t.
2x1 + x2
≤5
2x1 + 3x2 = 5 x1, x2 为非负整数 松弛问题解: x = (2.5, 0 ) T, 四舍五入得不到可行解;
整数最优解: x = (1, 1) T
凑整法
例：max: x1 + 5x2
x2
s.t. x1 + 10x2 ≤ 20
-
Month Installed
2
3
1.10
1.11
1.12
1.13
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1.12
1.14
-
1.10
-
1.11
-
-
-
-
4 1.13 1.15 1.14 1.15 1.12 1.13 1.13 1.15
Units Produced
1
1 (RT) 10
1 (OT) 0
2 (RT) 0
Month 2 (OT) 0
如指派问题、背包问题、旅行推销商问题都是整数规划问 题； 整数规划又是最难求解的问题之一，至今还没有找到有效算 法。
邮局排班问题
例1：邮局一年365天都要有人值班，每天需要的职工数因 业务忙闲而异，据统计邮局每天需要的人数按周期变化， 一周内每天需要的人数如下表：
排班要符合每周连续工作五天，休息两天的规定。如 何排班可使用人最少。
operationsresearch运输与整数规划西南交通大学经济管理学院transportationproblem运输问题sourcesdestinations运输问题的特征每一个出发地都有一定的供应量supply配送到目的地每一个目的地都有需要从一定的需求量demand接收从出发地发出的产品需求假设therequirementsassumption可行解特性thefeasiblesolutionsproperty成本假设thecostassumption数解性质integersolutionsproperty选择顾客耐芙迪公司在3个工厂中专门生产一种产品这种产品有着优良的品质所以现在公司接到了许多订单产品供不应求
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划（Integer Programming，简称IP），是 要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规 划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只 介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
《管理运筹学》02-7运输问题
在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
交通运筹学第3章 整数规划
X1 4
(2)
4 2.1
X2 2 (4) 4 2 340
349.0 X2 3 (5) 340 (6) 5.444 1
5 341.39 1.571
X2 1 340 X2 2 (7) 无解
20
1.428 327.12 3
307.76
第3节 割平面法
割平面法的基本思想： 在整数规划问题的松弛问题中依次引进线性 约束条件(称Gomory约束，高莫雷约束或割 平面)，使问题的可行域逐步缩小。但每次 切割时，只割去问题的部分非整数解，而不 切割任何整数的可行解，直到使问题的目标 函数值达到最优的整数点成为缩小后可行域 的一个顶点，这样就可以用求解线性规划问 题的方法找出这个最优解。
31
第四节 0-1整数规划
将0-1规划的变量改为并且为整数，就可以用分支定界 法或割平面法求解。由于0-1规划的特殊性，用隐枚举 法更为简便。其求解步骤如下： 寻找一个初始可行解，得到目标函数值的下界，（最 小值为题则为上界）。 列出2个变量取值的组合，当组合解对应的目标值小于 （max）时，认为不可行，当大于等于（max）时，再 检验是否满足约束条件，得到0-1规划的可行解。 依据的值确定最优解。 这里的下界可以动态移动，当某个大于时，则将作为 新的下届。
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
14
（2）替代问题的求解 max Z=CX
(B)
AX=b X 0
采用相应的方法（如图解法）求解出替代问题的 最优解，观察其是否满足整数解的要求。如其最 优解就为整数，则结束；如含有分数，则需要进 行分支定界操作。
15
（3）分支与定界—增加约束
•如替代问题的解不符合整数条件，则需要对原问题进行分支。
运筹学2运输问题及目标规划
M N
另外要注意（记忆）： 1、对于运输问题模型，在m＋n个约束条 件中，因为隐含着一个总产量等于总销量的等式，所以相 互独立的约束条件个数为m＋n－1个，因此秩≤m＋n－1 2、区别于一般的线性规划问题，产销平衡 的运输问题一定具有可行解，同时也一定存在最优解。
这种模型用单纯形法完全可以求解。 但是如果用单纯形法求 解，先得在每个约束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可 行解)。因此，即使是 m = 3， n = 4 这样的简单问题, 变量数就有 （3×4）＋（3＋4）＝19个之多，计算起来非常复杂。
A B C 销量bj
3 1 7 3
11 9 4 6
3 2 10 5
10 8 5 6
7 4 9
对于运输问题，关键要素有三：产量、销量和运费。 解：设xij代表从第I个产地到第j个销地的运输量（I＝1，2，3； J＝1，2，3，4），用cij代表从第I个产地到第j个销地的运价，于是 可构造数学模型
Min Z cij xij
（2）求各非基变量（空格或非数字格）的检验数。即在表上求空 格的检验数，判别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算， 否则转入下一步； （3）迭代。确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在表 上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
表上作业法的难点是 1、找出初始基可行解
A2 的产品供应 B1 。由于A2 每天生产4吨，B1 每天只需要
3吨，即 A2 除每日能满足B1 的需要外还余1吨。因此在产
销平衡表 (A2 , B1) 交叉处填上3，表示 A2 调运3吨给B1 ，
再在单位运价表中将B1 这一列运价划去，表示 B1 的需求
已满足，不需要继续调运 (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3).
另外要注意（记忆）： 1、对于运输问题模型，在m＋n个约束条 件中，因为隐含着一个总产量等于总销量的等式，所以相 互独立的约束条件个数为m＋n－1个，因此秩≤m＋n－1 2、区别于一般的线性规划问题，产销平衡 的运输问题一定具有可行解，同时也一定存在最优解。
这种模型用单纯形法完全可以求解。 但是如果用单纯形法求 解，先得在每个约束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可 行解)。因此，即使是 m = 3， n = 4 这样的简单问题, 变量数就有 （3×4）＋（3＋4）＝19个之多，计算起来非常复杂。
A B C 销量bj
3 1 7 3
11 9 4 6
3 2 10 5
10 8 5 6
7 4 9
对于运输问题，关键要素有三：产量、销量和运费。 解：设xij代表从第I个产地到第j个销地的运输量（I＝1，2，3； J＝1，2，3，4），用cij代表从第I个产地到第j个销地的运价，于是 可构造数学模型
Min Z cij xij
（2）求各非基变量（空格或非数字格）的检验数。即在表上求空 格的检验数，判别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算， 否则转入下一步； （3）迭代。确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在表 上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
表上作业法的难点是 1、找出初始基可行解
A2 的产品供应 B1 。由于A2 每天生产4吨，B1 每天只需要
3吨，即 A2 除每日能满足B1 的需要外还余1吨。因此在产
销平衡表 (A2 , B1) 交叉处填上3，表示 A2 调运3吨给B1 ，
再在单位运价表中将B1 这一列运价划去，表示 B1 的需求
已满足，不需要继续调运 (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3).
第二讲 运输问题与整数规划介绍
用表上作业法求出空船的最优调度方案见表7.
港 口 C D F 每天缺少船只 A 1 B 1 1 1 E 1 1 1 3 每天多余船只 2 2 1 5
由表7知最少需周转的空船数为 2×1+13×1+5×1+17×1+3×1=40条。这样在不考虑维 修、储备等情况下,该公司至少应配备40+91=131条船。
应用举例
表上作业法比单纯形法简单，可将其他 问题转化为运输问题的形式来求解。
例1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10， 15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度 15 25 20 的生产能力及生产每台柴油机的成本如表1所示。又 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用0.15万元。要求在完 成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包括储存、 维护)费用最小的决策.
产大于销问题
应用举例(1)
当i＞j时，xij=0，令对应的cij=M，再加上一个假想的 需求D，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型: 表3 产销平衡表与单位运价表(合表)
销地 产地
Ⅰ 10.8 M M M 10
Ⅱ 10.95 11.10 M M 15
Ⅲ 11.10 11.25 11.00 M 25
无转运问题 新增“产地”： am+j= 0 新增“销地”： bi= 0
有转运问题
j =1,2,..., n i =1,2,..., m
转运问题
第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 转运点既作为产地又作为销地； 转运点既作为产地又作为销地； 第二步，各地之间的运距（或运价） 第二步，各地之间的运距（或运价）在原 问题运距（运价）表基础上进行扩展： 问题运距（运价）表基础上进行扩展：从 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 不存在运输线路的则记为M 不存在运输线路的则记为M（一个足够大 的正数） 的正数）；
港 口 C D F 每天缺少船只 A 1 B 1 1 1 E 1 1 1 3 每天多余船只 2 2 1 5
由表7知最少需周转的空船数为 2×1+13×1+5×1+17×1+3×1=40条。这样在不考虑维 修、储备等情况下,该公司至少应配备40+91=131条船。
应用举例
表上作业法比单纯形法简单，可将其他 问题转化为运输问题的形式来求解。
例1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10， 15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度 15 25 20 的生产能力及生产每台柴油机的成本如表1所示。又 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用0.15万元。要求在完 成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包括储存、 维护)费用最小的决策.
产大于销问题
应用举例(1)
当i＞j时，xij=0，令对应的cij=M，再加上一个假想的 需求D，就可以把这个问题变成产销平衡的运输模型: 表3 产销平衡表与单位运价表(合表)
销地 产地
Ⅰ 10.8 M M M 10
Ⅱ 10.95 11.10 M M 15
Ⅲ 11.10 11.25 11.00 M 25
无转运问题 新增“产地”： am+j= 0 新增“销地”： bi= 0
有转运问题
j =1,2,..., n i =1,2,..., m
转运问题
第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 转运点既作为产地又作为销地； 转运点既作为产地又作为销地； 第二步，各地之间的运距（或运价） 第二步，各地之间的运距（或运价）在原 问题运距（运价）表基础上进行扩展： 问题运距（运价）表基础上进行扩展：从 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 不存在运输线路的则记为M 不存在运输线路的则记为M（一个足够大 的正数） 的正数）；
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5
20 <=
20
0
0
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30
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<=
10
20
=
Total Cost
20
($millions)
77.4
北方飞机制造公司的最优生产进度安排
月份 1 (RT) 2 (RT) 3 (RT) 3 (OT) 4 (RT)
产量 20 10 25 10 5
序 服装 市场 租金 生产 销售 人工 设备 可用工 种类 需求 元/台 成本 价格 工时 工时 时/台
1 西服 150 5000 280 400 5 3 300 2 衬衫 800 2000 30 40 1 0.5 500 3 羽绒服 350 3000 200 300 4 2 300
服装厂生产模型
20
5
10
1.13
1.15
Northern Airplane Co. Production-Scheduling Problem
Production Cost Regular
Storage Cost
($millions)
Time Overtime ($millions per month)
Month 1 1.08
Nifty Co. Product-Distribution Problem
Unit Profit
Customer 1
Plant 1
$55
Plant 2
$37
Plant 3
$29
Customer 2 $42 $18 $59
Customer 3 $46 $32 $51
Customer 4 $53 $48 $35
x1 = 1.000 x2 = 4.333
x2 ≤ 4
zU = 5.33 zL = 5.00
SUB 3
z3 = 5.0 x1 = 1.0 x2 = 4.0
LP松弛
z0 = 5.545 x1 = 1.477 x2 = 4.068
SUB 2
max x1 + x2
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17
5x1 + 9x2 ≤ 44
问题：每月生产多少发动机的计划，使制造和存储的总成本达到最小
月份
1 2 3 4
计划安装量
最大产量 正常时间 加班时间
单位生产成本（百万 美元）
正常时间 加班时间
单位存储 成本（美
元）
10
20
10
1.08
1.10
15000
15
30
15
1.11
1.12
15000
25
25
10
1.10
1.11
15000
x1 + x2 + x3
+x6 + x7 ≥ 15
x1 + x2 + x3 + x4
+x7 ≥ 19
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
≥ 14
x2 + x3 + x4 + x5 + x6
≥ 16
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11
xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , 7
规模问题。
穷举法
方法简单，只可解小问题，计算量很大；对0-1整数规 划，计算量为2n，按指数增长：
n
计算量
计算时间
10
1.02×103
1.02毫秒
20
1.05×106
1.05秒
30
1.07×109
18 分钟
40
1.10×1012
13 天
50
1.73×1015
36 年
100
1.27×1030
4 亿亿年
选择顾客
耐芙迪公司在３个工厂中专门生产一种产品 这种产品有着优良的品质，所以现在公司接到了许多订单，产
品供不应求． 主要是由于运输成本的差异，销售一个产品得到的净利润也不
同，很大程度上取决于哪个工厂供应哪个顾客． 问题：公司需要向每一位顾客供应的产品数量是多少？每一个
工厂向每一个顾客供应多少单位的货物？
6x1+ 2x2 ≤ 17
0
1.0
2.0
3.0
4.0 x1
x2
5.0
整数最优解
线性规划最优解
4.0
5x1+ 9x2 ≤ 44
目标函数线 3.0
2.0
x1 ≤ 1
1.0
x1 ≥ 2
6x1+ 2x2 ≤ 17
0
1.0
2.0
3.0
4.0
x1
SUB 1
max: x1 + x2
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17
Total
Shipment
Customer 1 Customer 2 Customer 3 Customer 4 Production
Plant 1 7,000
0
1,000
0
8,000
=
Plant 2
0
0
0
5,000
5,000
=
Plant 3
0
6,000
1,000
0
7,000
=
Min Purchase Total Shipped Max Purchase
x2
整数规划问题：
5.0
max: z = x1 + x2
4.0
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17
5x1 + 9x2 ≤ 44 3.0
x1, x2 为整数
按线性规划求解： 2.0
x1= 1.477, x2= 4.068 1.0 z = 5.545
整数规划最优解 线性规划最优解 5x1+ 9x2 ≤ 44 目标函数线
LP解： x = (1.3, 3.3, 2, 7.3, 0, 3.3, 5) z = 22.3
整数解：x = ( 4, 4, 2, 6, 0, 4, 3)
z = 23
固定费用问题
例2: 服装厂可生产西服、衬衫和羽绒服。生产不同服装要使 用不同设备，该厂可从租赁公司租用这些设备（每种设备 可租用多台）。服装厂每月可用人工工时为 3000小时，该 厂如何安排生产可使每月利润最大。市场需求、设备租金 和其它经济参数见下表：
4 . 0 x1
求解整数规划方法
穷举法：方法简单，只可解小问题，计算量很 大；对0-1整数规划，计算量为2n，按指数增长；
凑整法：解的质量差，有时无法得到可行解 分枝定界: 计算效率高, 应用广泛; 割平面法: 有理论意义, 但计算效率较低； 启发算法: 效率高, 但不能保证找到最优解, 可解大
一二三四五六日 17 13 15 19 14 16 11
邮局排班模型
解：设 xi 为第 i 天开始上班的人数：
min: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
s.t.
x1
+x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17
x1 + x2
+x5 + x6 + x7 ≥ 13
-
Month Installed
2
3
1.10
1.11
1.12
1.13
1.11
1.13
1.12
1.14
-
1.10
-
1.11
-
-
-
-
4 1.13 1.15 1.14 1.15 1.12 1.13 1.13 1.15
Units Produced
1
1 (RT) 10
1 (OT) 0
2 (RT) 0
Month 2 (OT) 0
运筹学 Operations Research
运输与整数规划
西南交通大学经济管理学院
The Transportation Problem 运输问题
Sources
Destinations
运输问题的特征
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到目 的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
2.0
x1 ≤ 2
x1, x2 为非负整数
1.0
松弛问题解：x = (2, 1.8 ) T z = 11 四舍五入解：x = (2, 2.0 ) T 不是可行 0
解；
x = (2, 1.0 ) T z = 7 整数最优解：x = (0, 2.0 ) T z = 10
1.0 2.0 x1
分枝定界算法举例
7,000 <=
7,000 <=
7,000
3,000 <=
6,000 <=
9,000
2,000 <=
2,000 <=