用代数式表示
用代数式表示变化规律
探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法： 它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。
1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
①② ③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n.例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒. ………下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n 层…上面一层10根10根10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+6321=++104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++的个数:165355=⨯解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
代数式知识点、经典例题、习题及答案
1.2 代数式【考纲说明】1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。
2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。
【知识梳理】1、代数式：指含有字母的数学表达式。
2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。
单个字母或数字也是代数式。
3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用".”来代替。
（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。
如：100a或100•a，na或n•a。
（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。
如：（ 5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。
（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。
5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如"大”"小”"增加”"减少”。
"倍”"几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。
（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如"积的和”与"和的积”"平方差”"差的平方”等等。
（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。
【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。
其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（ ）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。
答案：D【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的12，故后一个矩形的面积是前一个矩形的14，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭。
用代数式表示规律
第三章 代数式
3.2 代数式
第3课时 用代数式表示规律
知识要点
1 2
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
1
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
想一想：
这是2020年12月的日历，你能发现日历中的数字有什么规律吗?
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
数有什么关系？
7 8 9 10 11 12
每行3个数的和都是是中间数的三倍. 13 14 15 16 17 18
（2）怎样表示这9个数的和比较简单？ 3行数的和依次为3(a+1)，3(a+7)，
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
…
3(a+13)，故9个数的和为9(a+7).
图中9个数的和为135，为中间数15的9倍. 19 20 21 22 23 24
（2）如果方框下移一行，中间数变为21
25 26 27 28 29 30
…
，此时9个数的和是多少？ 此时9个数的和为189，为中间数21的9倍. 115 116 117 118 119 120
（3）根据上述规律，你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗？
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
用代数式表示数的变化规律
用代数式表示数的变化规律： 1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面
是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; 2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间
的联系； 3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对
2.观察下列等式:
代数式用字母表示数
在工程技术领域，代数式可以用于解决实际问 题和优化设计方案，提高工程质量和效率。
3
计算机科学中的应用
代数式在计算机科学中也有广泛的应用，例如 算法分析、数据结构设计和密码学等。
代数式在数学教育中的重要性和意义
培养逻辑思维
01
学习代数式有助于培养逻辑思维能力，理解抽象概念和推理过
程。
增强解决问题的能力
代数式的简化方法
合并同类项
提取公因式
将代数式中的同类项合并成一项。
将代数式中的公因式提取出来，以便于进行 下一步的化简。
展开平方差公式
利用对数性质பைடு நூலகம்
利用平方差公式将代数式中的某些项展开成 其他项的和或差。
将对数的性质应用于代数式中，以便于简化 计算。
05
代数式的应用实例
用代数式解决实际问题
计算问题
意义
每个代数式都有特定的数学意义，表示数量之间的关系或运算。例如，2x+3表示 两倍的x与3的和。
02
字母表示数的历史发展
古代数学中的代数式
古埃及数学
使用符号表示未知数和方程的 解。
古希腊数学
使用文字描述数学问题，但未涉 及字母表示数。
中世纪阿拉伯数学
使用字母表示数，发展了代数概念 和算法。
字母表示数的起源
复杂代数式
包含基本运算、括号、乘方、乘除等复杂结构的式子。
简单代数式和复杂代数式
简单代数式
通常可以看作是只包含基本运算和括号的式子，例如：$2x+3$。
复杂代数式
通常包含基本运算、括号、乘方、乘除等复杂结构的式子，例如：$(x+1)^2-2(x-3)$。
多项式和分式的表示方法
代数式运算
代数式运算1.代数式像a 、a －7、a+7等这样的式子都是代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
注意：数字与字母、字母与字母相乘，“×”可以用“•”表示或省略不写，并且把数字写在字母前面；除法运算通常写成分数的形式。
2.（1）像代数式1.5a 、2a 2、1.5%m ×15、a 等都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或者一个字母也是单项式。
（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
（3）像代数式0.9a+0.8b 、πR 2－πr 2等，几个单项式的和（或差）叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式里含有几项就把这个多项式叫做极限式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。
（4）单项式和多项式统称为整式。
3.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值。
一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。
4.（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
（2）合并同类项：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。
（3）合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
（4）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算。
5.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
6.整式的加减运算：进行整式的加减运算时，有括号的要先去括号，再合并同类项。
【例1】一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（ ）。
A ．23y -B ．222x y +C ．2232y x -D ．23y【例2】若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（ ）。
3.1列代数式表示数量关系(第3课时反比例关系)(教学课件)-七年级数学上册(人教版2024)
概念归纳
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，
且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们
之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是
看一个实际问题
随着变化，且这两个量的比值或商一定（即工作效率一定），所以它
们是成正比例的量，它们的关系是成正比例关系.
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是
成正比例的量，它们成正比例关系.
新知探究
问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城
市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m³.解答下列问题：
随堂练
1.下面每组中的两种量成反比例关系的是( C )
A. 长方形的周长一定，它的长和宽
B. 利率一定，存款的本金和利息
C. 圆锥的体积一定，它的底面积和高
D. 折扣一定，商品的原价和折后价
随堂练
2. [2024·上海杨浦区期末]下面各组变量的关系中，成反比例
关系的是(
B )
A. 人的身高与年龄
24
20
15
12
10
需要的天数
(天)
分层练习-巩固
(1)每天组装数量用 p 表示，需要的天数用 t 表示.请用式子
表示出 p ， t 和组装手机总数之间的关系.
解： (1) pt ＝12 000.
(2) p 与 t 成什么比例关系？
解： (2) p 与 t 成反比例关系.
(3)如果这批组装任务需要8天完成，那么每天需要组装多少部手机？
代数式的概念
代数式的概念代数式是数学中的一个重要概念，它是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式。
在数学中，代数式用来表示数学关系和运算过程。
本文将介绍代数式的定义、基本要素和常见运算规则。
一、代数式的定义和基本要素代数式是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。
其中，字母通常用来表示未知数或变量。
代数式可以是一个数、一个字母、一个字母与一个数的乘积，或者多个代数式之间的运算组合。
在代数式中，数字和字母是基本要素。
数字表示具体的数值，而字母则表示未知数或变量，代表一类数。
字母可以是任何一个字母，如x、y、a、b等。
代数式中的运算符号有加法、减法、乘法、除法等，它们用来表示不同的数学运算操作。
括号在代数式中用来改变运算顺序或表示分组。
二、代数式的常见运算规则1. 加法和减法规则：代数式中的加法和减法运算遵循交换律和结合律。
交换律指加法和减法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相加（或相减）时，可以先将其中几个代数式相加（或相减），然后再与剩余的代数式相加（或相减）。
例如，a + b + c = c + b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法和除法规则：代数式中的乘法和除法运算遵循分配律、交换律和结合律。
分配律指乘法对加法的分配关系，即a × (b + c) = a × b + a × c；交换律指乘法和除法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相乘（或相除）时，可以先将其中几个代数式相乘（或相除），然后再与剩余的代数式相乘（或相除）。
例如，a × (b × c) = (a × b) × c，a ÷ (b ÷ c) = (a ÷ b) ÷ c。
3. 括号运算规则：代数式中的括号可以用来改变运算顺序或表示分组。
3.1 列代数式表示数量关系 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
感悟新知
知2－练
解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正 确表示出来. 解：购买乙种读本的费用= 单价× 数量，则购买乙 种读本的费用为12(90 －x)元.
感悟新知
知2－练
3-1.为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计
后发现: 一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市
塑料袋人数的2 倍少4人. 若一小时内使用超市塑料袋
综合应用创新
方法点拨 列代数式表示图形面积常见形式：
综合应用创新
题型 5 列代数式表示变化规律
例 9 [新考法 归纳法]如图3.1-3 是按规律排列的一组图形的 前三个，观察图形解答下列问题：
综合应用创新
思路引导：
综合应用创新
(1)第5 个图形中，一共有多少个点？
解：观察图形的变化可知： 第1 个图形中，一共有(6＋1)个点， 第2 个图形中，一共有(6×2＋1)个点， 第3 个图形中，一共有(6×3＋1)个点， 所以第4 个图形中，一共有(6×4 ＋1)个点， 第5 个图形中，一共有6×5＋1 ＝ 3 1(个)点；
综合应用创新
方法技巧 列代数式表示特征数的关键在于抓住各
类数的基本特点：如偶数是2 的倍数，奇数比 相邻偶数相差1 ，多位数等于相应数位上的数 字与相应计数单位乘积的和.
综合应用创新
题型 4 列代数式表示图形面积
例 8 如图3.1-2 ，有一块长为18 m，宽为10 m 的长方形土 地，现将三面留出宽都是x(0<x<8) m 的小路，余下的 部分为菜地，用含x 的代数式表示： 解题秘方：根据题中提供的数据以 及长方形的面积公式解决问题.
综合应用创新
(2)请用含n 的代数式表示出第n 个图形中点的数量. 解：第n 个图形中，一共有(6n＋1)个点.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本节课我们学习了下面几个内容：
①列代数式的意义；
②列文字语言的代数式；
③列实际问题中的代数式。
1、P93 习题3.1 第7题，第9题 2、相应的同步练习
做一做
某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每 升高100米降低0.7℃。如果山脚温度是28 ℃，那么山上300米处的温度为 25.9 ℃ ； .7 x ℃ 。 一般地，山上x米处的温度为28 0 100
Zx x k
那么山上2000米处的温度是
14 ℃
。
在解决实际问题时，列出代数式可以使问题 变得简洁。
2x
1 2
；
3 4
；
2－32 x 这个数的平方与3的平方的差可表示为 ，
与这个数的一半的差是9的数为
9 x
。
3、用代数式表示：“比k的平方的2倍小1的数” 为（ A ） A、2k2－1 C、2(k－1)2 B、(2k)2－1 D、(2k－1)2
4、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值 增长了x%，第三季度又比第二季度增长了x%， 则第三季度比第一季度增长了（ ）C
练习：P92 1
试一试
1、某市出租车收费标准是：起步价为7元，3 千米后每千米为1.8元。 8.8 （1）某人乘坐出租车4千米需 元； 12.4 6千米需 元；
（2）若这人乘坐x(x>3)千米，需 (1.8x+1.6)元。
7+1.8(x－3）=1.8x+1.6
练习：P92 3
2、如图所示，用代数式表示图中阴 影部分的面积。
Z x xk
3、用代数式表示：
①比a的倒数与b的倒数的和大1的数 ②被3整除得n的数 ③被5除商a余3的数 ④比x与y的积的倒数的4倍小3的数 ⑤a、b两数的平方和除以a、b两数的和的平方
Zx xk
1、P92
1
2、用代数式表示：设一个数为x， (1+10%)x 比这个数大10%的数是
3 这个数的2倍与 4 的和可表示为
例4
设某数为
x ，用代数式表示：
3 （1）比某数的 2 大1的数；
Zx xk
2 （3）某数与 5 的和的3倍；
（2）某数与它的 10 % 的源自；（4）某数的倒数与5的差。
例5
用代数式表示：
（1）a、b两数的平方和减去它们乘积的2倍； （2）a、b两数的和的平方减去它们的差的平方； （3）a、b两数的和与它们的差的乘积； （4）偶数，奇数。 还有其他代数 式来表示偶数 与奇数？