高中数学第三章圆锥曲线与方程章末复习课课件北师大版选修2_1
如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内， 那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，
|BM|＝ 2＋32＋1＝ 26，
所以(|AM|＋|AC|)最小值 ＝8－ 26.
反思与感悟
应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后 得到相应的结论.
方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量
x( 或 y) 的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 Δ ，则有： Δ>0⇔直
线与圆锥曲线相交于两点； Δ ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； Δ<0⇔ 直
线与圆锥曲线无交点.
1 2 2.直线 l 截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝ 1＋k x1－x2 或 1＋k2y1－y2 ， 其中 k 是直线 l 的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A，B
2 2
的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2 可由一元二次方程的根与 系数的关系整体给出.
题型探究
类型一Leabharlann 圆锥曲线定义的应用x2 y2 例1 已知点M(2，1)，点C是椭圆 ＋ ＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点， 16 7 8－ 26 答案 解析 则|AM|＋|AC|的最小值是________.
2.抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数 p 的大小 . 当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为 y2 ＝ 2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.
知识点三
直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的
3 (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ， 2 求△AOB面积的最大值. 解答
反思与感悟
解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域 的方法求解.
此时最小值为 [1－－1]2＋0－12＝ 5.
反思与感悟
圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地 应用到解题中去.
跟踪训练 2
x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的
解析
离心率是 答案 A.2
B. 3
C. 2
3 D.2
b x2 y2 b b 双曲线a2－b2＝1 的两条渐近线方程为 y＝± － ＝－1， a ax，依题意a· 2 2 2 c － a b 故a2＝1，所以 a2 ＝1， 即 e ＝2，所以双曲线的离心率 e＝ 2.
离心率
四个
0<e<1
两个
e>1
一个
e＝1 p x＝－2 2p决定开口大小
准线方程 决定形状
的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小
知识点二 1.椭圆、双曲线的标准方程
待定系数法求圆锥曲线标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦 点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方 1 1 1 2 2 程设为 Ax ＋By ＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当A>B时，焦点在 x 轴上，当A 1 1 2 2 <B时，焦点在 y 轴上；双曲线方程可设为 Ax ＋By ＝1(AB<0)，当A<0 时， 1 焦点在 y 轴上，当B<0 时，焦点在 x 轴上. x2 y2 x2 另外，与已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为a2－ y2 2 2 2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为 x －y ＝λ(λ≠0). b
x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
过F)的距离相等的 点的集合 y2＝2px(p>0)
x y 标准方程 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
2
2
关系式
图形 对称性
a2－b2＝c2
封闭图形
a2＋b2＝c2
无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线
对称中心为原点
两条对称轴
无对称中心
一条对称轴
顶点
第三章 圆锥曲线与方程
章末复习课
学习目标
1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标
准方程.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单性质，会利用简单性质解决
相关问题.
5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
5 答案 P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______.
如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点 P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到 点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，
跟踪训练1 曲线是 答案
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内
解析
一动点，若 P到直线BC与到直线C1D1 的距离相等，则动点 P的轨迹所在的
A.直线 C.双曲线
B.圆 D.抛物线
类型二 例2
圆锥曲线性质的应用
解析
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点一
三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质 双曲线 抛物线
椭圆
平面内到两个定点 平面内到两定点F1，F2 平面内与一个定点F
定义
F1，F2距离之和等 的距离之差的绝对值等 和一条定直线l(l不 于常数(大于|F1F2|) 于常数(大于零且小于 的点的集合 |F1F2|)的点的集合
2
类型三
例3
直线与圆锥曲线的位置关系问题
x2 y2 6 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴一个端点到
右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C的方程； 解答
c 6 ＝ ， 设椭圆的半焦距长为 c，依题意有a 3 a＝ 3，
x2 2 ∴b＝1.∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1.
|BM|＝ 2＋32＋1＝ 26，
所以(|AM|＋|AC|)最小值 ＝8－ 26.
反思与感悟
应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后 得到相应的结论.
方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量
x( 或 y) 的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 Δ ，则有： Δ>0⇔直
线与圆锥曲线相交于两点； Δ ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； Δ<0⇔ 直
线与圆锥曲线无交点.
1 2 2.直线 l 截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝ 1＋k x1－x2 或 1＋k2y1－y2 ， 其中 k 是直线 l 的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A，B
2 2
的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2 可由一元二次方程的根与 系数的关系整体给出.
题型探究
类型一Leabharlann 圆锥曲线定义的应用x2 y2 例1 已知点M(2，1)，点C是椭圆 ＋ ＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点， 16 7 8－ 26 答案 解析 则|AM|＋|AC|的最小值是________.
2.抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数 p 的大小 . 当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为 y2 ＝ 2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.
知识点三
直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的
3 (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ， 2 求△AOB面积的最大值. 解答
反思与感悟
解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法 (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域 的方法求解.
此时最小值为 [1－－1]2＋0－12＝ 5.
反思与感悟
圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地 应用到解题中去.
跟踪训练 2
x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的
解析
离心率是 答案 A.2
B. 3
C. 2
3 D.2
b x2 y2 b b 双曲线a2－b2＝1 的两条渐近线方程为 y＝± － ＝－1， a ax，依题意a· 2 2 2 c － a b 故a2＝1，所以 a2 ＝1， 即 e ＝2，所以双曲线的离心率 e＝ 2.
离心率
四个
0<e<1
两个
e>1
一个
e＝1 p x＝－2 2p决定开口大小
准线方程 决定形状
的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小
知识点二 1.椭圆、双曲线的标准方程
待定系数法求圆锥曲线标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦 点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方 1 1 1 2 2 程设为 Ax ＋By ＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当A>B时，焦点在 x 轴上，当A 1 1 2 2 <B时，焦点在 y 轴上；双曲线方程可设为 Ax ＋By ＝1(AB<0)，当A<0 时， 1 焦点在 y 轴上，当B<0 时，焦点在 x 轴上. x2 y2 x2 另外，与已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为a2－ y2 2 2 2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为 x －y ＝λ(λ≠0). b
x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
过F)的距离相等的 点的集合 y2＝2px(p>0)
x y 标准方程 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
2
2
关系式
图形 对称性
a2－b2＝c2
封闭图形
a2＋b2＝c2
无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线
对称中心为原点
两条对称轴
无对称中心
一条对称轴
顶点
第三章 圆锥曲线与方程
章末复习课
学习目标
1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标
准方程.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单性质，会利用简单性质解决
相关问题.
5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
5 答案 P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______.
如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点 P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到 点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，
跟踪训练1 曲线是 答案
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内
解析
一动点，若 P到直线BC与到直线C1D1 的距离相等，则动点 P的轨迹所在的
A.直线 C.双曲线
B.圆 D.抛物线
类型二 例2
圆锥曲线性质的应用
解析
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点
内容索引
知识梳理
题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点一
三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质 双曲线 抛物线
椭圆
平面内到两个定点 平面内到两定点F1，F2 平面内与一个定点F
定义
F1，F2距离之和等 的距离之差的绝对值等 和一条定直线l(l不 于常数(大于|F1F2|) 于常数(大于零且小于 的点的集合 |F1F2|)的点的集合
2
类型三
例3
直线与圆锥曲线的位置关系问题
x2 y2 6 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴一个端点到
右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C的方程； 解答
c 6 ＝ ， 设椭圆的半焦距长为 c，依题意有a 3 a＝ 3，
x2 2 ∴b＝1.∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1.
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2019_2020学年高中数学第三章圆锥曲线与方程章末优化总结课件北师大版选修2_1
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2 分别为椭圆xa22＋ by22＝1 的左，右焦点．已知△F1PF2 为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足A→M·B→M＝－2， 求点 M 的轨迹方程．
[解析] (1)设 F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即 a－c2＋b2＝ 2c，整理得 2ac2＋ac－1＝0，得ac＝－1(舍去)或ac＝12. 所以 e＝12.
(2)由(1)知 a＝2c，b＝ 3c，可得椭圆方程为 3x2＋4y2＝12c2， 直线 PF2 的方程为 y＝ 3(x－c)． A，B 两点的坐标满足方程组y3＝x2＋34yx2－＝c12. c2， 消去 y 并整理，得 5x2－8cx＝0. 解得 x1＝0，x2＝85c，
专题一 圆锥曲线定义、性质的应用 1．圆锥曲线的定义常用于解决下列问题： (1)求轨迹问题； (2)求曲线上某些特殊点的坐标； (3)求过焦点的弦长、三角形问题． 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历 年高考的重点．重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等．而 该部分在高考中多以选择题、填空题为主，为中档题目．
A．1 C．3
B．2 D．4
[解析] 根据条件，得|PF1|＋|PF2|＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋2 |PF2|)2＝4. 所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4.
[答案] D
专题三 轨迹问题 求动点的轨迹方程，实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适 合的等式 F(x，y)＝0.因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于 反映这种联系的形式，建立等式．
(教师用书)高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末归纳提升课件 北师大版选修2-1
椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线，教材在 第一节给出了它们的定义，然后又分别展示了三种曲线的各 自独特的性质及几何特征；在圆锥曲线的共同性质中又给出 了圆锥曲线的统一定义，揭示了三种曲线的内在联系，焦 点、离心率和准线使本章知识构成了一个和谐的整体．这些 定义，不仅是推导它们各自的方程和性质的基础，而且也是 解题的重要工具．
2 2 x y ＋ ＝1， ∵ 8 4 ∴3x2＋4mx＋2m2－8＝0， y＝x＋m
Δ＝96－8m2>0⇒－2 3<m<2 3.
x1＋x2 2m m x3＝ 2 ＝－ 3 ，y3＝x3＋m＝ 3 . y3＋y4＝x3＋x4＋1 2 2 又 y4－y3＝－1 x4－x3 上， m 2 2 2 ∴( －1) ＋(1－ m) ＝1⇒5m2－18m＋9＝0， 3 3 3 ∴m＝ 或m＝3.经检验适合题意． 5 m x4＝ 3 －1 ⇒ y4＝1－2m 3
【解】
x y (1)过A、B的直线方程为 ＋ ＝1， a －b
即bx－ay－ab＝0.
2 b e2＝1＋ 2＝4， a 3 由题设，得 ab ＝ 3， 2 2 2 a ＋ b
a2＝3， 解得 2 b ＝1.
x2 2 所以双曲线的方程为 －y ＝1. 3
x2 (2)把直线方程y＝kx＋m(k≠0，m≠0)代入双曲线方程 3 －y2＝1. 整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线交于不同的两点， ∴Δ＝12m2＋k－36k2>0. 6km 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝ 2， 1－3k 2m ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝ . 1－3k2 设CD中点为P(x0，y0)，
x1＋x2 y1＋y2 3km m 则x0＝ ＝ ＝ 2，y0＝ 2. 2 2 1－3k 1－3k 依题意知AP⊥CD，且A(0，－1)， m 2＋1 －1 1－3k 1 所以kAP＝ ，即 ＝－ . kCD 3km k 1－3k2 整理得3k2＝4m＋1，代入Δ＝12m2＋12－36k2>0， 即m2－4m>0，解得m>4或m<0. 1 又3k ＝4m＋1>0，即m>－ ， 4
2 2 x y ＋ ＝1， ∵ 8 4 ∴3x2＋4mx＋2m2－8＝0， y＝x＋m
Δ＝96－8m2>0⇒－2 3<m<2 3.
x1＋x2 2m m x3＝ 2 ＝－ 3 ，y3＝x3＋m＝ 3 . y3＋y4＝x3＋x4＋1 2 2 又 y4－y3＝－1 x4－x3 上， m 2 2 2 ∴( －1) ＋(1－ m) ＝1⇒5m2－18m＋9＝0， 3 3 3 ∴m＝ 或m＝3.经检验适合题意． 5 m x4＝ 3 －1 ⇒ y4＝1－2m 3
【解】
x y (1)过A、B的直线方程为 ＋ ＝1， a －b
即bx－ay－ab＝0.
2 b e2＝1＋ 2＝4， a 3 由题设，得 ab ＝ 3， 2 2 2 a ＋ b
a2＝3， 解得 2 b ＝1.
x2 2 所以双曲线的方程为 －y ＝1. 3
x2 (2)把直线方程y＝kx＋m(k≠0，m≠0)代入双曲线方程 3 －y2＝1. 整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. ∵直线与双曲线交于不同的两点， ∴Δ＝12m2＋k－36k2>0. 6km 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝ 2， 1－3k 2m ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝ . 1－3k2 设CD中点为P(x0，y0)，
x1＋x2 y1＋y2 3km m 则x0＝ ＝ ＝ 2，y0＝ 2. 2 2 1－3k 1－3k 依题意知AP⊥CD，且A(0，－1)， m 2＋1 －1 1－3k 1 所以kAP＝ ，即 ＝－ . kCD 3km k 1－3k2 整理得3k2＝4m＋1，代入Δ＝12m2＋12－36k2>0， 即m2－4m>0，解得m>4或m<0. 1 又3k ＝4m＋1>0，即m>－ ， 4
最新北师大版选修2-1高中数学第三章《圆锥曲线与方程》ppt本章整合课件
由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4.
综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2-4������y-4=0,
所以
������1
+ ������2
=
4 ������
,由|AM|=2|MB|,得
y1=-2y2.
1+������
(|MA|>|MB|),
1-(1+������2������)2
∴有 y=0 或 x2-���3���2=1(y≥0).
又当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,±3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图.
当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为
(m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m,
圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹
方程.
解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则
|PA|+|PB|=8>6.
∴由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是������2
北师大版高中数学选修2-1课件第三章《圆锥曲线与方程》双曲线及其标准方程
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
双曲线及其标准方程
2
法门高中姚连省制作
一、教学目标：1.知识与技能：掌握双曲线的定义,标
准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过
程与方法：教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双
曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
||MF1|-|MF2||=2a
①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②|F1F2|=2c——焦距.
M
说明
（1）2a<2c；
思考：
（2）2a>0；
F
1
oF
2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
M在左支上|MF1|-|MF2|=-2a
7
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1.建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1|-|MF2|=±2a
y
M
F OF
1
2
（金戈铁骑 整理制作）
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
双曲线及其标准方程
2
法门高中姚连省制作
一、教学目标：1.知识与技能：掌握双曲线的定义,标
准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过
程与方法：教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双
曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
||MF1|-|MF2||=2a
①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②|F1F2|=2c——焦距.
M
说明
（1）2a<2c；
思考：
（2）2a>0；
F
1
oF
2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
M在左支上|MF1|-|MF2|=-2a
7
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1.建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1|-|MF2|=±2a
y
M
F OF
1
2
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末归纳总结课件 北师大版选修2-1
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、抛物线、双曲 线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一 部分是研究椭圆、抛物线、双曲线的几何性质，并利用它们的 几何性质解决有关几何问题．
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数 的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线方 程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解 决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解 决．
专题研究
1 定义、最值问题
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之 和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [解析] (1)如图，抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
∵点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F(1,0)的距离， ∴点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和 转化为在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 点 F 的距离之和最小．
ac22－－b3b2ac2＝1，整理得89e2＝1，
所以
e2＝98，e＝3
4
2 .
设 a>Байду номын сангаас，则双曲线ax22－a＋y212＝1 的离心率 e 的取值范围是
() A．( 2，2)
B．( 2， 5)
C．(2,5) [答案] B
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数 的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线方 程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解 决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解 决．
专题研究
1 定义、最值问题
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之 和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [解析] (1)如图，抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
∵点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F(1,0)的距离， ∴点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和 转化为在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 点 F 的距离之和最小．
ac22－－b3b2ac2＝1，整理得89e2＝1，
所以
e2＝98，e＝3
4
2 .
设 a>Байду номын сангаас，则双曲线ax22－a＋y212＝1 的离心率 e 的取值范围是
() A．( 2，2)
B．( 2， 5)
C．(2,5) [答案] B
高中数学北师大版选修2-1 第3章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(49张)
∴|AB|= 1 +
1 ������2
· |y1-y2|= 1 + 4· |0-2|=2 5.
∴所求直线的方程为 x+2y-4=0,弦长为 2 5.
专题一
专题二专题三ຫໍສະໝຸດ 专题四(方法二 )设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y 2). ∵点 M 是 AB 的中点 ,
∴x1+x2=4,y1+y 2=2.
2.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 中点弦问题 连接圆锥曲线上任意两点所得的线段叫圆锥曲线的弦,有关弦的 中点问题要注意根与系数的关系及“点差法”的灵活运用. 应用 在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所 在的直线的方程和弦长. 提示:题目中涉及弦的中点,既可考虑中点坐标公式,又可考虑“点 差法”. 解:(方法一)设弦的两个端点是A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,当直线 斜率不存在时,M不可能为弦中点, ∴可设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,整理得 (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0. 显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,
−
������2 ������2
=1(a>0,b>0).
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°), 即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末复习提升课件 北师大版选修21
显然M移到M′，AM′∥Ox时，
A，M，E共线，此时|ME|＋|MA|最小，
把 y＝－2 代入 y2＝8x，得 x＝12，∴M(12，－2).
解析答案
跟踪训练 4 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)，且(a＋ 3b)⊥(a－ 3b). (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程； 解 由题意得， a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)， ∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0， 化简得x32＋y2＝1，∴点 Q 的轨迹 C 的方程为x32＋y2＝1.
解析答案
2.分类讨论思想 分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对 研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论， 最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的 取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有 时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.
此时椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1.
故所求椭圆的标准方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
解析答案
3.函数与方程思想 圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能 较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值 问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外， 而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的 方法解有关圆锥曲线的最值问题. 方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的 条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程 思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常 重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经 常利用方程或方程组来解决.
高中数学选修2-1-第三章 圆锥曲线与方程 复习课件-北师大版
解:(2)由已知,直线 l2 的方程是 y=-n(x-m),将 y=-n(x-m)代入 x2 +y2=1 化简得 2
(1+2n2)x2-4mn2x+2m2n2-2=0. 由Δ=16m2n4-8(1+2n2)(m2n2-1)=8(1+2n2-m2n2)>0 ①
又 m =1,得 m2=n2+1.
②
1 n2
解:(2)①假设直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,
联立
y kx x2 2y2
m, 8,
可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
所以Δ=64k2-8m2+32>0.
x1+x2=-
1
4km 2k
2
,x1x2=
2m2 8 1 2k 2
,(*)
因为 OA ⊥ OB ,所以 OA · OB =0, 则 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 化简可得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
(2)要注意轨迹问题所包含的隐含条件,也就是曲线上点的坐 标的取值范围.
即时训练 1-1:(1)已知 F1,F2 分别为椭圆 C: x2 + y 2 =1 的左、右焦点,点 P 为 43
椭圆 C 上的动点,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( ) (A) x2 + y2 =1(y≠0)
36 27 (B) 4x2 +y2=1(y≠0)
将(*)代入上式可得 3m2=8k2+8.
|AB|= 1 k 2 |x1-x2|= 1 k 2
64k2 8m2 32 将 m2= 8 (k2+1)代入上式,可得|AB|=
高中数学第三章圆锥曲线与方程44.1曲线与方程课件北师大版选修2_1
线的方程是 x＝0
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是 A．一个点 C．两条直线
() B．一条直线 D．一个点和一条直线
答案：C
3．动点 P 到点(1，－2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
三、综合迁移·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y2＝x 与 y＝ x表示同一条曲线
()
(2)过点 P(x0，y0)斜率为 k 的直线的方程是xy－－yx00＝k (
)
(3)若点 P(x0，y0)在曲线 C 上，则有 f(x0，y0)＝0 ( )
(4)以 A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC 的 BC 边上中
[解] (1)把点 A(－4,3)的坐标代入方程 x2＋y2＝25 中，满足方 程，且点 A 的横坐标满足 x≤0，则点 A 在方程 x2＋y2＝25(x≤0) 所表示的曲线上；
把点 B(－3 2，－4)的坐标代入 x2＋y2＝25，因为(－3 2)2＋ (－4)2＝34≠25，所以点 B 不在方程 x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲 线上．
()
A．一个点
B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线
D．两条相交但不垂直的直线
解析：∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0 或 2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．
答案：D
3．方程 1－|x|＝ 1－y表示的曲线为
高中数学第3章圆锥曲线与方程模块复习课第3课时圆锥曲线的方程性质课件北师大版选修2_1
率为(
)
5
A.
3
C.
5
15
或
2
3
答案:D
5
B.
2
5
3
D. 或
5
4
专题归纳
高考体验
2 2
【例 5】已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,若椭
π
圆上存在一点 P,使得∠F1PF2= ,求椭圆离心率 e 的取值范围.
3
思维点拨:利用椭圆的定义及余弦定理,转化为有关a,c的不等式,
2
(|1 |+|2 |)2
2
=3|PF1|·|PF2|≤3·
=3a
.
4
2
当且仅当|PF1|=|PF2|=a 时,等式成立.
1
2
2
2
∴a ≤4c ,∴e ≥ ,∴e≤
故离心率
1
,1 .
4
2
1
e 的取值范围是 2 ,1
.
专题归纳
高考体验
反思感悟求圆锥曲线离心率及其取值范围的方法:
(1)定义法:寻求a,b,c之间的大小关系,代入可求.
即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
又△1 2 =12
1
3,所以2|PF1||PF2|sin
60°=12 3,
即|PF1||PF2|=48.②
由①②,得c2=16,所以c=4,则a=2.所以b2=c2-a2=12.
2
所以所求的双曲线方程为
4
2
− =1.
12
专题归纳
高考体验
反思感悟对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解