八年级数学上册 全册全套试卷综合测试卷(word含答案)

八年级数学上册 全册全套试卷综合测试卷（word 含答案）

一、八年级数学三角形填空题（难）

1．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．

【答案】15 【解析】 【分析】

作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度 【详解】 作EH AB ⊥ ∵AE 平分∠BAC

BAE CAE ∴∠=∠ EC EH ∴=

∵P 为CE 中点

4EC EH ==∴

∵D 为AC 中点，P 为CE 中点

=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设， 15x BEF S =-△∴

15+x+y BCD BDA S S ==△△∴

y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴ 15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴

1

=

302

BEA S AB EH ?=△∵ =15AB ∴

【点睛】

本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用

△BFP的面积来表示△BEA的面积

2．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．

【答案】30°

【解析】

【分析】

延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F

点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出

△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

【详解】

解：

延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，

∵BD是∠ABC的平分线

在△BDE与△BDF中，

ABD CBD

BD BD

AED DFC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△BDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF，

又∵∠BAD+∠CAD＝180°

∠BAD+∠EAD＝180°

∴∠CAD＝∠EAD，

∴AD为∠EAC的平分线，

过D点作DG⊥AC于G点，

在Rt△ADE与Rt△ADG中，

AD AD

DE DG

=

?

?

=

?

，

∴△ADE ≌△ADG （HL ）， ∴DE ＝DG ， ∴DG ＝DF ．

在Rt △CDG 与Rt △CDF 中，CD CD

DG DF

=??

=? ， ∴Rt △CDG ≌Rt △CDF （HL ）， ∴CD 为∠ACF 的平分线， ∠ACB ＝74°， ∴∠DCA ＝53°，

∴∠BDC ＝180°﹣∠CBD ﹣∠DCA ﹣∠ACB ＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°． 故答案为：30° 【点睛】

本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】

∵多边形内角和与外角和共1080°， ∴多边形内角和=1080°?360°=720°， 设多边形的边数是n ， ∴(n ?2)×180°=720°，解得n=6. 故答案为6.

点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．

4．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．

【答案】40° 【解析】

试题分析：延长DE 交BC 于F 点，根据两直线平行，内错角相等，可知

∠ABC=BFD ∠=80°，由此可得100DFC ∠=?，

然后根据三角形的外角的性质，可得BCD ∠=EDC ∠-FD C ∠=40°. 故答案为：40°.

5．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______．

【答案】22

【解析】

【分析】

先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．

【详解】

解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，

解得a=4，b=9，

①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形，

②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长

=9+9+4=22．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.

6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．

【答案】240.

【解析】

【详解】

试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．

考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．

二、八年级数学三角形选择题（难）

7．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（）

A．104条B．90条C．77条D．65条

【答案】C

【解析】 【分析】

n 边形的内角和是(2)180n -?，即内角和一定是180度的整数倍，即可求解，据此可以求

出多边形的边数，在根据多边形的对角线总条数公式()32

n n -计算即可．

【详解】

解：2

2100180113

÷=，则正多边形的边数是11+2+1=14．

∴这个多边形的对角线共有()()

314143==7722

n n --条． 故选：C ． 【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；要注意每一个内角都应当大于0?而小于180度．同时要牢记多边形对角线总条数公式

()32

n n -．

8．如图：在△ABC 中，G 是它的重心，AG ⊥CD ，如果32BG AC ?=，则△AGC 的面积的最大值是（ ）

A ．23

B ．8

C ．43

D ．6

【答案】B 【解析】

分析：延长BG 交AC 于D ．由重心的性质得到 BG =2GD ，D 为AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC =2GD ，即有BG =AC ，从而得到AC 、GD 的长．当GD ⊥AC 时，△AGC 的面积的最大，最大值为：1

2

AC ?GD ，即可得出结论． 详解：延长BG 交AC 于D ．

∵G 是△ABC 的重心，∴BG =2GD ，D 为AC 的中点． ∵AG ⊥CG ，∴△AGC 是直角三角形，∴AC =2GD ，∴BG =AC ．

∵BG ?AC =32，∴AC =32=42，GD =22．当GD ⊥AC 时，．△AGC 的面积的最大，最大值为：

12

AC ?GD =1

42222??=8．故选B ．

点睛：本题考查了重心的性质．解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．

9．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为

①111

345a b c ，，；==

=②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°；

④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =

⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c ===

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C 【解析】

根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：

2

2

2

1

11+3

4

5

≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；

当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；

根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形； 令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；

由a 2=5，b 2=20，c 2=25，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形. 故选：C.

点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.

10．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ） A ．6 B ．7

C ．8

D ．9

【答案】D 【解析】

试题解析：设这个多边形的边数为n ， 由题意可得：（n-2）×180°=1260°， 解得n=9，

∴这个多边形的边数为9， 故选D ．

11．如图，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD =S △ADC ，则AD 为（ ）

A．高B．角平分线C．中线D．不能确定

【答案】C

【解析】

试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．

解：设BC边上的高为h，

∵S△ABD=S△ADC，

∴，

故BD=CD，即AD是中线．故选C．

考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．

12．如下图，线段BE是ABC

的高的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．

【详解】

解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了三角形的高线的画法，掌握三角形的高的画法是解题的关键．

三、八年级数学全等三角形填空题（难）

13．如图，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．CP＝25

4

，PD

＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．

【答案】5． 【解析】 【分析】

由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出

227

4

CE CP PE =-=

，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出25

4

CO CP ==

，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE +=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】

∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ， ∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°， ∴222257

446CE CP PE ?? ??

-?=-==， ∵CP ∥OA ， ∴∠OPC ＝∠AOP ， ∴∠OPC ＝∠BOP ， ∴25

4

CO CP ==

， ∴72544

8OE CE CO =+=

+=， ∴22228610OP OE PE ++=， 在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，

∴1

2

5DM OP =

=； 故答案为：5． 【点睛】

本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP 是解题的关键．

14．在ABC 中给定下面几组条件： ①BC=4cm ，AC=5cm ，∠ACB=30°； ②BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°； ③BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=90°； ④BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=120°．

若根据每组条件画图，则ABC 能够唯一确定的是___________（填序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】

根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】

解：①符合全等三角形的判定定理SAS ，即能画出唯一三角形，正确；

②根据BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC 和△BCD ， 错误；

③符合全等三角形的判定定理HL ，即能画出唯一三角形，正确； ④∵∠ABC 为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确. 故答案为：①③④． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．

15．如图，52A ∠=?，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______?，BPC ∠=_____?，联结AP ，则

PAB ∠=______?，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．

【答案】116 64 26 在 【解析】 【分析】

∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= 1

2

（∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-

（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；

∠BCP= 1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠ABC），∠PBC=

1

2

∠CBF=

1

2

（∠A+∠ACB），由三角形内角

和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；

作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；

同理可证OA平分∠BAC，故点O在直线AP上．

【详解】

解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

∴∠OBC+∠OCB= 1

2

（∠ABC+∠ACB）

= 1

2

（180°-∠A）

=90°- 1

2

∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-90°+ 1

2

∠A

=90°+ 1

2

∠A

=90°+26°

=116°；

如图，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，

∴∠BCP= 1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠ABC），

∠PBC= 1

2

∠CBF=

1

2

（∠A+∠ACB），

由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC

=180°- 1

2

[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]

=180°- 1

2

（∠A+180°）

=90°- 1

2

∠A

=90°-26°

=64°．

如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，

∴PG=PK，PK=PH，

∴PG=PH，

∴AP平分∠BAC，

∴PAB

∠=26°

同理可证OA平分∠BAC，

点O在直线AP上．

故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.

【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．

16．如图,C为线段AE上一动点(不与A． E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边

△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：

①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有________（填序号）

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．

③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；

②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．

④没有条件证出BO=OE，得出④错误；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．

【详解】

解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC BC

ACD BCE CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，结论①正确．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠ACP=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，

ACP BCQ

CAP CBQ AC BC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BCQ（AAS），

∴CP=CQ，结论③正确；

又∵∠PCQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE，结论②正确．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠AEO，

∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，

∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；

综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．

故答案是：①②③⑤．

【点睛】

此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

17．如图，ABC ?中，090,,102ACB AC BC AB ∠===，点G 为AC 中点，连接

BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结

论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。其中

正确的结论的序号为___________。

【答案】③④ 【解析】 【分析】

作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．构造全等三角形，证明△CAP ≌△BCG （ASA ），△EAG ≌△EAP （SAS ），即可分步判断①②③，利用四点共圆可以证明④正确． 【详解】

解：如图，作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．

∵CE ⊥BG ， ∴∠CFB=∠ACB=90°，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠CBG ，

∵BG 是△ABC 的中线，AB ＞BC ， ∴∠ABG≠∠CBG ，

∴∠ACE≠∠ABG ，故①错误，

∵∠ACP=∠CBG ，AC=BC ，∠CAP=∠BCG=90°， ∴△CAP ≌△BCG （ASA ）， ∴CG=PA=AG ，∠BGC=∠P ，

∵AG=AP ，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE ， ∴△EAG ≌△EAP （SAS ）， ∴∠AGE=∠P ，

∴∠AGE=∠CGB ，故③正确，

∵90,,ACB AC BC AB ∠===， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC=BC=10， ∴AG=CG=5，

∴BG ==， ∵

??12?1

2

CG CB CF = ，

∴CF = ∵CA=CB ，∠ACB=90°，AH=HB ， ∴∠BCH=∠ACH=45°， ∵∠CFB=∠CHB=90°， ∴C ，F ，H ，B 四点共圆， ∴∠HFB=∠BCH=45°， ∴∠EFH=∠HFB=45°， ∴FH 平分∠BFE ，故④正确， 综上所述，正确的只有③④. 故答案为：③④ 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉各项性质是解题的关键．

18．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________． 【答案】16或12． 【解析】 【分析】

根据线段垂直平分线性质得出AE =BE ，CG =AG ，分两种情况讨论：①DE 和FG 的交点在△ABC 内，②DE 和FG 的交点在△ABC 外． 【详解】

∵DE ，FG 分别是△ABC 的AB ，AC 边的垂直平分线，∴AE =BE ，CG =AG ．分两种情况讨论： ①当DE 和FG 的交点在△ABC 内时，如图1．

∵BC =12，GE =2，∴AE +AG =BE +CG =12+2=14，△AGE 的周长是AG +AE +EG =14+2=16． ②当DE 和FG 的交点在△ABC 外时，如图2，△AGE 的周长是AG +AE +EG = BE +CG +EG =BC =12． 故答案为：16或12．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

四、八年级数学全等三角形选择题（难）

19．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D 【解析】 【分析】

由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90?；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到

DE DF =.

【详解】

∵DE AC ⊥,BF ∥AC,

∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180?， ∴∠CED=∠F=90?，

∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，

∴∠DAB+∠DBA=1

2

(∠CAB+∠ABF)=90?， ∴∠ADB=90?，即AD BC ⊥，③正确；

∴∠ADC=∠ADB=90?， ∵AD 平分∠CAB,

∴∠CAD=∠BAD,

∵AD=AD,

∴△ADC≌△ADB,

∴DB=DC，②正确；

又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，

∴△CDE≌△BDF,

∴DE=DF，①正确；

故选：D.

【点睛】

此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.

20．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )

A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个

C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．

【详解】

∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．

∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；

与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；

∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=1

2

∠EOD，∠BOC=

1

2

∠MOE，

∴∠AOB=1

2

(∠EOD+∠MOE)=

1

2

×180°=90°，故C选项结论正确；

在Rt△AOD和Rt△AOE中，

AO AO

AD AE

=

?

?

=

?

，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理

可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

21．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知

AH DF =，即可作出判断. 【详解】

①正确：∵ABC △是等边三角形， ∴60BAC ?∠=，∴CA AB =．

∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．

又∵90BAD ?∠=，∴150CAD BAD BAC ?∠=∠+∠=， ∴DA CA =，∴()

1

180150152

ADC ACD ???∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30° ∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG ∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75° ∠AFG≠∠AGD ∴AF≠AG

③，④正确，由题意可得45DAF ABH ?∠=∠=，DA AB =， ∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ?∠+∠=． 又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，

在DAF

△和ABH中

()

AFD BHA

DAF ABH AAS

DA AB

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴DAF

△≌ABH．∴DF AH

=．

⑤正确：∵150

CAD?

∠=，AH CD

⊥，

∴75

DAH?

∠=，又∵45

DAF?

∠=，∴754530

EAH???

∠=-=

又∵AE DB

⊥，∴2

AH EH

=，又∵=

AH DF，∴2

DF EH

=

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.

22．如图，在ABC

?中，AC BC

=，90

ACB

∠=?，AE平分BAC

∠交BC于点

E，BD AE

⊥于点D，DF AC

⊥交AC的延长线于点F，连接CD，给出四个结论:①45

ADC

∠=?;②

1

2

BD AE

=;③AC CE AB

+=;④2

AB BC FC

-=;其中正确的结论有 ( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】

试题解析：如图，

过E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ ⊥AB ， ∴∠EQA=∠EQB=90°， 由勾股定理得：AC=AQ ， ∴∠QEB=45°=∠CBA ， ∴EQ=BQ ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE ， ∴③正确；

作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，

∵∠CAD=

1

2

∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ， ∴∠DBC=∠CAD ， 在△ACN 和△BCD 中，

DBC CAD AC BC

ACN DCB ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ， ∴CN=CD ，AN=BD ， ∵∠ACN+∠NCE=90°， ∴∠NCB+∠BCD=90°， ∴∠CND=∠CDA=45°，

∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ， ∴AN=CN ，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°， ∴CN=NE ， ∴CD=AN=EN=1

2

AE ， ∵AN=BD ， ∴BD=

1

2

AE ， ∴①正确，②正确； 过D 作DH ⊥AB 于H ， ∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°， ∠DBA=90°-∠DAB=67.5°， ∴∠FCD=∠DBA ，

∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ， ∴DF=DH ， 在△DCF 和△DBH 中

90F DHB FCD

DBA DF DH ∠∠???

∠∠???

＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ， ∴BH=CF ，

由勾股定理得：AF=AH ，

∴

2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF

AF AF AM AF AF +++++++====， ∴AC+AB=2AF ， AC+AB=2AC+2CF ， AB-AC=2CF ， ∵AC=CB ， ∴AB-CB=2CF ，

∴④正确． 故选D

23．已知OD 平分∠MON，点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合)，且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为（ ） A ．∠OAB+∠BCO=180°

B ．∠OAB=∠BCO

C ．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO

D ．无法确定

【答案】C 【解析】

根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.

故选C.

24．如图，Rt ACB 中，90ACB ?∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过

P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：

①135APB ?∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=

；④S 四边形

2

3

ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）