平均自由程
6-4 分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体分子速率分布律和能量分布律
平均自由程
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂
碰撞时两 分子质心距 离的平均值 称为分子的 有效直径
研究碰撞的意义：
分子间通过碰撞，实现能量的交换； 分子间通过碰撞交换能量达到能量按自由度均分； 分子间通过碰撞，由非平衡状态向平衡状态过渡； 分子间通过碰撞交换速度，使速度分布达到稳定。
二、平均自由程和平均碰撞频率的计算
1、分子碰撞模型 （1）分子视为直径为分子有效作用距离d 的刚球； （2）分子间的碰撞是弹性碰撞；
2、平均碰撞次数
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不 动，A以平均相对速 率 u 相对其它分子 运动。
圆柱体的截面积为 = d
2
，叫做分子的碰撞截面。
u t 2 •以折线为轴的曲折圆柱体积 u t d 2 •圆柱内分子数 n u t d 2 •单位时间内平均碰撞次数 n u d
•时间 t 内，A通过的折线长 平均相对速率
v
u 2v
u
B
u
v
A
A
d2v平均碰撞来自数Z 2 π d vn
2
3、平均自由程
v 1 2 z 2π d n
1 T 一定时 p
p nkT
p 一定时 T
kT 2 2π d p
一、平均自由程 和平均碰撞频率的定义
1、平均自由程 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程， 叫做自由程；分子在连续两次碰撞之间所经过 的路程的平均值叫做平均自由程。
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞 的平均次数，叫做分子的平均碰撞次数或平 均碰撞频率。 3、二者的关系
v v T Z
克劳修斯推导平均自由程公式阴极射线
克劳修斯推导平均自由程公式阴极射线
我们要找出阴极射线在克劳修斯推导平均自由程公式下的行为。
首先，我们需要了解克劳修斯推导平均自由程公式是什么。
克劳修斯推导平均自由程公式是用来描述气体分子在给定温度和压力下的平均自由程的。
这个公式是：
λ = (8πkT/πm)1/2
其中，λ 是平均自由程，k 是玻尔兹曼常数，T 是温度，m 是分子质量。
对于阴极射线，我们可以使用这个公式来描述其在气体中的平均自由程。
根据克劳修斯推导平均自由程公式，阴极射线在气体中的平均自由程为：米。
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
气体平均自由程计算公式(一)
气体平均自由程计算公式(一)
气体平均自由程
简介
气体平均自由程是指气体分子在碰撞前进程中的平均位移距离。
它是描述气体分子自由移动行为的重要参数，对研究气体动力学和传热传质过程具有重要意义。
计算公式
气体平均自由程可以通过以下公式计算：
[气体平均自由程公式](
其中，
•[λ]( 为气体平均自由程
•[μ]( 为气体分子的动力学粘度
•[d]( 为气体分子的等效直径
•[n]( 为气体分子的浓度
举例说明
假设我们要计算空气中氧气分子的平均自由程。
首先，我们需要获取相关数据：
•氧气分子的动力学粘度[μ]( = × 10^-5 Pa·s
•氧气分子的等效直径 [d]( = nm
•空气中氧气的浓度[n]( = × 10^25 m^-3
将数据代入计算公式，我们可以得到：
[气体平均自由程计算过程](
因此，在空气中，氧气分子的平均自由程约为× 10^-8 m。
总结
气体平均自由程是描述气体分子自由移动行为的重要参数。
通过计算公式，我们可以根据气体的动力学粘度、分子等效直径和浓度来计算气体的平均自由程。
这对于研究气体动力学和传热传质过程具有重要意义。
平均自由程
平均自由程
物理概念之一
在一定的条件下，一个气体分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
用符号λ表示，单位为米。
1定义
对于气体分子：相邻两次碰撞之间的平均距离，即称为分子的平均自由程。
若分子有效直径为d，气体压强为P，则平均自由程为
；对于室温下的空气分子
，当时，将达到500km。
对于半导体中的载流子：相邻两次碰撞之间的平均距离，即称为载流子的平均自由程；其典型的数值为10nm，这比晶格常数要大得多。
而在相邻两次碰撞之间的平均时间，即称为载流子的平均自由时间（Meanfreetime），其值t决定于平均自由程λ和热运动速度v，即有；典型的数值为1ps，即。
在气体分子的碰撞理论的刚球模型中，认为分子只在碰撞的一刹那发生相互作用，而在其他时间内，分子作直线运动。
相继两次碰撞间所走的路程叫分子的自由程。
由于气体分子的数目很大，碰撞频繁，运动的变化剧烈，故其自由程只有统计意义。
这个概念对研究气体的特性（如扩散）和电子或中子之类的粒子穿过固体的运动很重要。
平均自由程
关系式
一个分子在单位时间内与其他分子的碰撞的平均次数，为分子的平均碰撞频率，用表示
其中为平均速度，n为分子数密度，那么平均自由程：
因（在一定条件下）
所以：。
气体平均自由程
气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。
它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。
根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。
在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。
当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。
相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。
根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。
气体的平均自由程决定了气体的输运性质。
当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。
相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。
平均自由程名词解释
平均自由程名词解释
平均自由程 (average free path) 是物理学中的一个概念，表示粒子 (如电子、光子、声子等) 在介质中传播时，每次遇到障碍物 (如分子、原子、晶格等) 而被反弹的次数。
每次反弹的时间间隔称为平均自由程。
平均自由程是描述粒子在介质中传播时路径弯曲程度的指标，可以用来计算粒子在介质中的传播速度、扩散系数等。
在量子力学中，平均自由程还被用来描述粒子在介质中的散射现象。
平均自由程的计算公式为:
λ = 2πn/β
其中，n 是介质的折射率，β是粒子在介质中的波矢。
如果粒子是电磁波，则β=2π/λ，其中λ是波长。
如果粒子是电子，则β=h/(mc),其中 h 是普朗克常数，m 是电子质量，c 是光速。
平均自由程的概念在物理学、化学、材料科学等领域都有广泛的应用。
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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Electrical conduction of Semiconductors
重点：
1、迁移率( Mobility ) 2、散射机制(Scattering mechanisms) 3、迁移率、电阻率与温度的关系
§4.1 载流子的漂移运动 迁移率
The drift motion of carrier, mobility
总散射几率：
P Pj j
相应的平均自由时间： 1 1
j j
τ-P关系的数学推导
用N(t)表示t时刻未遭到散射的电子数，则在 t ~ t t 被 散射的电子数
N(t)Pt N(t) N(t t)
dN(t) lim N(t t) N(t) PN(t)
dt
t 0
t
上式的解为
N (t) N 0e Pt
（2）载流子的漂移运动
E
电子 空穴
理想情况 载流子在电场作用下不断加速
E 电子
实际情况
热运动+漂移运动
2、半导体的主要散射机构
• 电离杂质散射 • 晶格振动散射 • 中性杂质散射（在低温重掺杂半导体中较为显著） • 晶格缺陷散射（位错密度大于104cm-2时较为显著） • 载流子与载流子间的散射（载流子浓度很高时较为显
对n型半导体： σn = n0q（vd/E）= n0qμn （4-16）
对P型半导体：σp = p0qμp Nhomakorabea（4-17）
对一般半导体： σ = σp+ σp = nqμn + pqμp （4-15）
§4.2 载流子的散射
The Scattering of carriers
学习重点：
• 散射 — 使迁移率减小
一个格波波矢q 对应3(n-1)支光学波+3支声学波。
光学波=N (n-1)个纵波+2 N (n-1)个横波
声学波=N个纵波+2N个横波
晶格振动散射可理解为载流子与声子的碰撞，遵循两 大守恒法则
准动量守恒
hk'hk hq
能量守恒
E'E hva
由准动量守恒可知，晶格振动散射以长波为主。
一般，长声学波散射前后电子的能量基本不变，为 弹性散射。光学波散射前后电子的能量变化较大， 为非弹性散射。
（A）声学波散射：
在长声学波中，纵波对散射起主要作用（通过体变 产生附加势场）。
对于单一极值，球形等能面的半导体，理论推导得
到
Ps
16
2 c
k0T
(mn*
)
2
h4u 2
v
Ec
c
V V0
其中u纵弹性波波速。 由上式可知
3
Ps T 2
此式对于其它能带结构的半导体也适用
（B）光学波散射：
正负离子的振动位移会产生附加势场，因此 化合物半导体中光学波散射较强。例如： GaAs
其中N0为t=0时刻未遭散射的电子数
在 t ~ t 被t散射的电子数
N 0 Pe Pt dt
平均自由时间
1 N0
N0 PePttdt
0
1 P
2、电导率σ和迁移率μ与平均自由时间τ的关系
t=0时刻电子遭到散射，经过t时间后再次被散射前
q vx vx0 mn* E t
将所有的自由加速过程取平均，可以认为
学习重点：
• 漂移运动 • 迁移率 • 电导率
1、漂移运动
漂移运动：载流子在外电场作用下的定向运动。
E
漂移运动
电子 空穴
结论
在严格周期性势场（理想）中运动的载流子在 电场力的作用下将获得加速度，其漂移速度应越来 越大。
实
E
际
电子
情
况
载流子的散射 载流存子在破在坏半周导期体性中势运场的动作时用，因不素断：与振动 着载流的子晶速格度原的子或大杂小晶及质格杂缺方离热质陷子向振发均动 生发碰生撞改，变碰，撞这后种 现象称为载流子的散射。
散射：晶格振动、杂质、缺陷以及表面因素等均会引 起晶体中周期性势场的畸变。当载流子接近畸变区域时， 其运动状态会发生随机性变化。这种现象可以理解为粒子 波的散射，因此被称为载流子的散射。
2、迁移率及半导体的电导率
迁移率：在单位电场下载流子的平均漂移速度。
迁移率的 物理意义
表征载流子在电场作用下 做漂移运动的能力。
mn*
3、多能谷半导体的电流密度及电导有效质量
硅在三个晶轴方向上分布六个对称的为旋转椭球等能面 的能谷，则
Jx
n 3
q1Ex
n 3
q2 Ex
n 3
q3Ex
1 3
nq(1
2
3 )Ex
令 J x nqc Ex
其中
c
1 3
(
1
2
3 )
q n
mc
对于硅、锗，均可证明
1 1( 1 2 ) mc 3 ml mt
• 散射机构 — 各种散射因素
散射：晶格振动、杂质、缺陷以及表面因素等均会引 起晶体中周期性势场的畸变。当载流子接近畸变区域时， 其运动状态会发生随机性变化。这种现象可以理解为粒子 波的散射，因此被称为载流子的散射。
1、载流子散射
（1）载流子的热运动
电子
自由程：相邻两次散射之间自由运动的路程。 平均自由程：连续两次散射间自由运动的平均路程。 平均自由时间：连续两次散射间自由运动的平均运动时间。
著） • 能谷间散射：等同能谷间散射高温下较易发生；不同
能谷间散射一般在强电场下发生。
（1）电离杂质散射（即库仑散射）
载流子的散射几率P 散射几单率位Pi∝时N间iT-内3/2 一个载流子受到散射的平均 （次N数i：。为主杂质要浓用度于总描和述）散射的强弱。
（2）晶格振动散射
晶格振动表现为格波
N个原胞组成的晶体→格波波矢有N个。格波的总数 等于原子自由度总数
称c 为电导迁移率，mc称为电导有效 质量， 对于硅mc = 0.26m0 由于电子电导有效质量小于空穴电导有效质量，所以
电子迁移率大于空穴迁移率。
4、迁移率μ与杂质浓度和温度的关系
vx
vx0
q 0 mn*
E tPePt dt
vx
q mn*
En
根据迁移率的定义
vx
E
vx0 0
电子迁移率
n
q n
mn*
空穴迁移率
n
q p
m
* p
各种不同类型材料的电导率
n型：
n
nqn
nqp2型 n：
mn*
p
pq p
pq2 p
m*p
对一般半导体：
p
pq p
nqn
pq2 p
m*p
nq2 n
对于元素半导体，只是在高温条件下才考虑 光学波散射的作用。例如：Ge、Si
离子晶体中光学波对载流子的散射几率
3
P0
(hvl ) 2
1
(k0T ) 2
[
exp(
1 hvl
k0T
] ) 1
f
1 ( hvl k0T
)
§4.3 迁移率与杂质浓度和温度的关系
1、平均自由时间τ和散射几率P的关系 1 P
当几种散射机构同时存在时