2.2.3向量数乘运算及其几何意义

例、如图：已知 AD = 3 ⋅ AB ， DE = 3 BC ， 如图： 是否共线． 试判断 AC 与 AE 是否共线． E
C A B D
例、 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 如图，在平行四边形ABCD中 AB中点 中点，
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 在线段BD上 且有BN= BD，求证： 3
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) 根据定义，求作向量3(2a (6a (a为非零向量)，并进行比较。 为非零向量) 并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， a,b，求作向量2(a+b) a+2 并进行比较。 并进行比较。 r
a
r 3(2a )
r b r
r r r r (1)向量 3a 的方向与 a的方向相同 向量 3a的长度是 a 的方向相同, 向量 r r 的3倍,即 3a = 3 a . 倍即 r r r r (2)向量−3a r 向量 的方向与 a的方向相反, 向量 −3a的长度是 a 的方向相反 r 的3倍,即 −3a = 3 a . 倍即
r r a+b
特点:共起点 特点 共起点
C
r b
A
A
r a
B
O
r a
r a
3.向量减法三角形法则: 3.向量减法三角形法则: 向量减法三角形法则
r b
B
r b
O
r a
A
r uuu r r BA = a − b
特点：共起点，连终点， 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
实际背景
一物体作匀速直线运动 ，一秒钟的位移对应 向量 a , 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
思考2 如图，设点M uuu 的重心， 思考2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心 r uuu r BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， uuu uuur r u 分别有什么关系？ AD与 DM 分别有什么关系？ A
uuu 1 uuu r r BD = BC 2 uuu r uuur u AD = - 3DM
三点共线。 三点共线。
D C
N
A
M
B
uuu r r r r r 如图， 例、如图，已知任意两个向量 a、 ，试作OA = a + b, b
uuu r r r uuur r r 你能判断A、 、 三点之 OB = a + 2b, OC = a + 3b. 你能判断 、B、C三点之
C
间的位置关系吗？为什么？ 间的位置关系吗？为什么？
(4) 在平行四边形ABCD中,AB = a, AD = b, AN = 3 NC,M为BC的
1 1 中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿ b − a+ 4 4
练习
为边ＢＣ的中点,求证: ＢＣ的中点 （5）在∆ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
1 (1) AD = ( AB + AC ) (2)3 AB + 2 BC + CA = 2 AD 2
D M C
b
A
r a
B
如图， 延长BA C,使AC=BA,在OB上取 BA到 例、 如图，在 ∆OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB D,使 OB.DC与OA交于E,设 交于E, 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 OA = a， = b， 请用 3 B a， b表示向量 OC， . DC
r r 3(2a ) = 6a
r r a +b
a
r r 2a + 2b
r r r r 2(a + b ) = 2a + 2b
r 2b
r 2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
λ， µ 是 实 数 ，
（ 1） λ µ a ) = ( λ µ ) a ; （
r
r
( 2 )( λ + µ )a = λ a + µ a ; ( 3 )λ ( a + b ) = λ a + λ b .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
练习
1 (3) D是∆ABC中BC边上一点，且BD = BC，设 AB = a, AC = b, 3 A 则AD等于（ C ）
1 A. (a − b ) 3 1 C . (2a + b) 3
1 B . (b − a ) 3 1 D . (2b + a ) B 3
D
C
2.2.3向量的数乘运算 向量的数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 1.向量加法三角形法则: 向量加法三角形法则 特点:首尾相接， 特点 首尾相接，首尾连 首尾相接 C r r r a+b b
2.向量加法平行四边形法则: 2.向量加法平行四边形法则: 向量加法平行四边形法则
B
r bLeabharlann r aur uu r uuu r ur uu uuu ur uu r r r 是两个不共线的向量， 设 e1 , e2是两个不共线的向量，AB = 2e1 + ke2 , CB = e1 + 3e2 , uuu r ur uu r 三点共线， 的值. CD = 2e1 − e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值 、 、 三点共线 的值
Ａ
Ｂ Ｄ Ｃ
小结: 小结
一、①λa
的定义及运算律 向量a 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0) b=λ b=λa
二、定理的应用： 定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 三点共线: AB=λ 3. 证明 两直线平行: 两直线平行: AB=λ AB=λCD AB∥ AB∥CD
r a r a r a r a r −a r −a r −a
r r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r r r a OC = OA + AB + BC = a + a + ar 记: a +r + a = 3a r uuu r r uuu r r 即: OC = 3a. 同理可得 PN = (−a) + (−a) + (−a) = −3a 同理可得: r r r 思考题2: 有什么关系? 思考题 r 向量 3a 与向量 a 有什么关系 向量 −3a 有什么关系? 与向量 a 有什么关系
rD b rE A
a
O C
r (1) 设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论正确的
是( B ). A. a与 − λ a的方向相反 C. λ a ≥ a
练习
a与 λ 2 a的方向相同 B. D. λ a = λ a (2) 下列四个说法正确的个数有( C ).
1 对于实数 m和向量 a、 b，恒有 m（a − b） m a − mb; = 2 对于实数 m、 n和向量 a，恒有 ( m − n ) a = m a − n a; 3 若 m a = m b ( m ∈ R ), 则有 a = b ; 4 若 m a = n a ( m 、 n ∈ R ), a ≠ 0, 则有 m = n;
M B D C
对于任意一个三角形， 对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心 垂心， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心 重心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 内心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心 三角形的三条中垂线的交点叫外心
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt， 在物理中位移与速度的关系： ， 力与加速度的关系： 力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度， 加速度都是向量， 其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、 而时间、质量都是数量
讲授新课 r r r r r r r 思考题1:已知向量 思考题 已知向量 a, 如何作出 a + a + a 和(−a) + (−a) + (−a)?
r r 特别地:（ − λ） = λ − a a r r r r λ a − b = λ a − λb
r
r
r
r
r
r
r
(
)
( )
向量的加、 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 数乘运算统称为向量的线性运算
例、计算下列各式
r r (1)( − 3 ) × 4 a = −12a r r r r r r ( 2)3( a + b ) − 2( a − b ) − a = 5b r r r r r r (3)(2a + 3b − c) − (3a − 2b + c)
r 3b r 2b
r a
r b
B
A
r b
O
r a
的两条对角线相交于点M， 例、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点 ，且 如图，平行四边形 的两条对角线相交于点
r r uuu r uuur r r uuur uuur uuuu uuuu r r b AB = a, AD = b ，你能用 a 、 来表示 MA、 、 和 MD 。 MB MC
A,B,C三点共线 A,B,C三点共线
直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD AB与CD不在同一直线上 AB与CD不在同一直线上
ur uu r 已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 uuu r ur uu uuu r r ur uu uuu r r ur uu r AB = 2e1 + 3e2， = 6e1 + 23e2， = 4e1 − 8e2， BC CD 求证 : A、B、D三点共线.