向量加减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量加减运算及几何意义
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
向量的加法运算及其几何意义一
向量加法满足结合律
向量加法的代数性质
VS
将两个向量首尾相连，得到的平行四边形的对角线向量就是这两个向量的和。
三角形法则
将一个向量的起点与另一个向量的终点重合，则这两个向量的和就是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量。
平行四边形法则
向量加法的几何意义
VS
平面向量的加减运算可以应用于物理学中的很多方面，如力学、运动学等。
在磁场中，若有两个分磁感应强度 $B_1$ 和 $B_2$，它们的合磁感应强度 $B$ 可以表示为 $B = B_1 + B_2$。
向量加法在电磁学中的应用
向量加法在数学中的运用
06
在平面直角坐标系中，向量表示为有序数对 (x,y)。
向量的加法运算可以表示为：向量(x₁,y₁) + 向量(x₂,y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量在函数中的运用
向量的加法可以表示为：点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₁+x₂,y₁+y₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) = 点(x₂,y₂) + 点(x₁,y₁)，并且点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃) = 点(x₁,y₁) + 点(x₂,y₂) + 点(x₃,y₃)。
01
02
03
在代数学中，向量可以表示为二维数组：(a,b)。
向量在代数学中的运用
向量的加法可以表示为：向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = (a₁+a₂,b₁+b₂)。
向量的加法满足交换律和结合律，即向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂) = 向量(a₂,b₂) + 向量(a₁,b₁)，并且(向量(a₁,b₁) + 向量(a₂,b₂)) + 向量(a₃,b₃) = 向量(a₁,b₁) + (向量(a₂,b₂) + 向量(a₃,b₃))。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
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三、几何意义：
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？
（ 三 A 角 形 法 则 ）
练习：
（2）当
b 共线时，怎样作 a b 呢？ a， (3) BC BA AC (4) OD OA AD B a OA b OB O A (5) OA OB BA a b BA B O A
2.2.1 向量加减法运算 及其几何意义
一、创设情景
活动一：
（1）
A
B
C
AB+BC=AC
（2）
C
A
C
B
AB+BC=AC
（3）
求 两 个 向 量 和 的 运 算 ， 叫 做 向 量 的 加 法
AB+BC=AC
A B
上述分析表明：两个向量可以相加，并 且两个向量的和还是一个向量
向量加法的三角形法则：
b a (1) AB AD DB (2) BA BC CA
例3 已知向量
a, b, c, d ，求作向量 a b ， c d。
a b
b a d
cd
c
B A
D
a
b
d
C
c
O
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b,
则
OC c, OD d ,
BA a b
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
a
＜
思考3：如图，当在数轴上两个向量共线时，如何作出两个
向量的和？他们的大小关系呢？
a
b
A （ 1） B C
a
b
（ 2）
ab
C
ab
A
B
若 若
方向相同时，则 方向相反时，则
综合以上探究我们可得结论：
= =
|a|-|b|(或|b|-|a|)
| a b || a | | b |
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a, (a b) c a (b c).
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
D
C
b
AC a b DB a b
变式一 变式二 本例中，当
a b a b ?
A
a
B
本例中，当 满足什么条件时， a ,b 互相垂直？ a 与 b a b a b
a满足什么条件时， ,b
a与b互相垂直
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
b
平行四边形法则
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数
思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？ 如设
：
a 的相反数记作 a 。
x, y R , x y x ( y )
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设
AB b, AC a AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
B
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出
a b 吗？
一般地
a
O
a
a b
b
B
b
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
CAB 60 .
2 3 tan CAB 3 2
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b
（1） （2）
。
a a
a b
b
b
a b
（ 4）
（3）
a b a
b
a
b
a b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b, 你能用 a , b表示 AC, DB 吗？
a b
C
B A 已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
活动二：成语接龙
鸿鹄之志
志同道合
合二为一
一心一意
向量加法的三角形法则的特点： 加法 向量加法的三角 形法则 连接 首尾相连
C
指向 首指尾
A
B
AB+BC=AC
尝试练习一：
根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
思考1 ？
向量的加法可以用三角形法则计算，那么还 有别的法则可以计算向量的加法吗？
知识回顾
1.向量、零向量、平行向量、相等向 量的含义分别是什么？ 2.如何表示向量？
A B
在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运 算类比。向量是否也能进行运算呢？ 今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的 线性运算指的哪些运算呢？
向量的加法、减法、数乘运算以 及他们之间的混合运算
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： （1） 的相反向量仍是 0 。 0
a
(a) a （2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
同 起 点 的 对 角 线
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即 a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
B
尝试练习二：
已知向量 a、 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法 b 则作出 a b
①
b
a
②
b
a
由例1可知：
当向量 a、 b 不共线时，和向量的长度 | a b | 与向量
a、 b 的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
三角形的两边之和大于第三边
当向量 不共线时，则
思考2 ？
1.如何求
0
与任一向量 a 的和？
规定：a + 0 = 0 + a = a 2.向量加法的三角形法则与平行四边 形法则有什么区别与联系？
三 角 形 法 则: B
b
平行四边形法则: C B C
b b
A O
a
O
a
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b