第12章--整式的乘除知识点复习总结1
第12章 整式的乘除知识点总结（1）
一、同底数幂的乘法
1.法则:同底数幂相乘,_________________________________.
2.公式:=⋅n m a a ___________.
3.该公式可以反向利用,即=+n m a ____________.
4.相关的结论:
（1）()⎩⎨⎧=-为奇数）为偶数）n n A n
_________(_________( （2）()⎩⎨⎧=-为奇数）（为偶数）（n n B A n ___
_______________________ 二、幂的乘方
1.法则:幂的乘方,________________________________.
2.公式:()=n
m a __________. 3.该公式可以反向利用,即=mn a ________=________.
三、积的乘方
1.法则:积的乘方,____________________________________________.
2.公式:()=n
ab __________. 3.该公式可以反向利用,即=n n b a __________.
4.若===6432,2,3b a b a 则________.
5.计算:()20142013212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
四、同底数幂的除法
1.法则:同底数幂相除,______________________________________.
2.公式:______________________________.
3.该公式可以反向利用,即___________________________.
4.()()=-÷-3
10a a _________. 5.()()=÷4
722a a ________. 6.()()=+÷+3
6b a b a ______________. 五．单项式乘以单项式
1._____________________
2._____________________
3.对于只在一个单项式中出现的字母,则要在结果里面保留.
六、单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的__________,再将所得的积_________.
1.在进行运算时,要用到乘法____________,同时还要注意符号问题:同号________,异号________.
七、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
八、多项式的标准形式
多项式的标准形式中,各个单项式之间是相加的.
1.把多项式6322--x x 化为标准形式为_____________________.
九、多项式中不含某项的问题
若一个多项式中不含某项,则先把该多项式化为标准形式,再让该项系数_________.
1.若()()62+-x m x 的结果中不含x 的一次项,则=m ________.
2.若()()x b x a x 中不含++的一次项,则b a 、的关系是_____________.
十、多项式相等的问题
若两个多项式相等,则它们对应的________相等.
若F Ex Dx C Bx Ax ++=++22,则____________________________.
1.若()().________________,,322==++=--B A B Ax x x x 则。
华师大版数学八年级上册第12章 整式的乘除 小结与复习
第12章小结与复习【学习目标】1．让学生熟记整式乘除的计算法那么、平方差公式和完全平方公式；2．让学生学会灵活运用法那么、乘法公式进展整式的乘除运算；3．让学生能够熟练地利用提公因式法、公式法分解因式．【学习重点】运用法那么、乘法公式进展整式的乘除运算和因式分解．【学习难点】乘法公式与因式分解．自学互研生成能力知识模块一整式的乘除法运算典例1：计算：(1)3x3·(－2x2)；(2)[(－2x)3]2；(3)－2xy(5x2y－4xy＋1)；(4)(2a－2b)(3a＋7b)；(5)9x3÷(－3x2)；(6)(3x3y－x2y2＋2x2y)÷(－x2y)．解：(1)原式＝－6x5；(2)原式＝64x6；(3)原式＝－10x3y2＋8x2y2－2xy；(4)原式＝6a2＋8ab－14b2；(5)原式＝－3x；(6)原式＝－3x＋y－2.学法指导：做这一类题的方法是：主要是两个乘法公式正用、逆用，只要看到a＋b、a－b、ab、a2＋b2就要想到乘法公式．行为提示：因式分解要分析题目的构造特点，当不能用某一公式解决时要综合运用两个或两次公式解题．对于整式的乘除与公式的综合应用，关键要熟记本章的法那么、公式，灵活选用不同的方法解题．学法指导：解决这一类题目是，首先观察式子特点，有公因式要先提公因式，然后再根据因式特点选择公式进展因式分解．学法指导：此题应先因式分解，然后利用整体思想运用整式的除法进展化简，最后再代入求值．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．典例2：先化简，再求值：2a 2b －[3a 2b －ab(b －2a)]÷⎝⎛⎭⎫－12ab ，其中a ＝1，b ＝3. 解：原式＝2a 2b －[3a 2b －(ab 2－2a 2b )]÷⎝⎛⎭⎫－12ab ＝2a 2b －(5a 2b －ab 2)÷⎝⎛⎭⎫－12ab ＝2a 2b －(－10a ＋2b)＝2a 2b ＋10a －2b.当a ＝1，b ＝3时，原式＝2×1×3＋10×1－2×3＝6＋10－6＝10.知识模块二 乘法公式的运用典例3：x ＋y ＝7，xy ＝10，求3x 2＋3y 2的值．解：原式＝3(x 2＋y 2)＝3[(x ＋y)2－2xy]＝3(72－2×10)＝3×29＝87.典例4：实数a ，b 满足(a ＋b)2＝1，(a －b)2＝25，求a 2＋b 2＋ab 的值．解：(a ＋b)2＝1，得a 2＋2ab ＋b 2＝1①，(a －b)2＝25，得a 2－2ab ＋b 2＝25②.由①－②，得4ab ＝－24，所以ab ＝－6.由①＋②，得2a 2＋2b 2＝26，所以a 2＋b 2＝13.所以a 2＋b 2＋ab ＝13＋(－6)＝7.知识模块三 因式分解典例5：分解因式：(1)ax －ay ＋bx －by ；(2)25a 2b 2＋10ab ＋1；(3)(x －y)2－4(x －y －1)；(4)3ap 2－18apq ＋27aq 2.解：(1)原式＝a(x －y)＋b(x －y)＝(x －y)(a ＋b)；(2)原式＝(5ab)2＋2×5ab ＋12＝(5ab ＋1)2；(3)原式＝(x －y)2－4(x －y)＋4＝(x －y －2)2;(4)原式＝3a(p 2－6pq ＋9q 2)＝3a(p －3q)2.知识模块四 整式乘除与因式分解的综合运用典例6：先化简，再求值：(am 2－6amn)÷am －(4m 2－9n 2)÷(2m －3n)，其中m ＝－3，n ＝13. 解：原式＝(m －6n)－(2m －3n)(2m ＋3n)÷(2m －3n)＝m －6n －(2m ＋3n)＝－m －9n.当m ＝－3，n ＝13时，原式＝－(－3)－9×13＝0. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学互研〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论〞展示在黑板上，通过交流“生成新知〞．知识模块一 整式的乘除法运算知识模块二 乘法公式的运用知识模块三 因式分解知识模块四 整式乘除与因式分解的综合运用检测反应 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
(完整版)整式的乘除知识点归纳
整 式 的 乘 除知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数. 如：bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0,系数分别为1,-2,1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式.注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x5、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数)同底数幂相乘，底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变,指数相乘。
如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =,求3102a b+的值；7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除,底数不变，指数相减。
整式的乘除知识点总结
整式的乘除知识点总结1、同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘, 底数_____, 指数_____, 即 _____（ ）。
2、幂的乘方, 底数_____, 指数_____, 即 _____（ ）。
3、积的乘方法则: 积的乘方等于把积的每一个因式分别______, 再把所得的幂______, 即 ______（ 为正整数）。
4、同底数幂的除法法则: 同底数幂相除, 底数______, 指数______, 即 ______ 。
5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于______, 即 ______（ ）。
6、负整数指数幂法则：任何不等于零的数的 （ 为正整数）次幂, 等于这个数的 次幂的______。
式子： ______（ ）。
7、可变形为p p aa 1=-_____________或_____________。
8、用科学记数法表示数的方法: 用科学记数法表示一个数, 就是把一个数写成______ 是非零整数)的形式。
方法: (确定 是只有______位整数的数；(确定 , 当原数的绝对值大于或等于10时, 等于原数的整数位减1；当原数的绝对值小于1时, 为______, 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含整数数位上的零）。
9、单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘, 把它们的______、______分别相乘, 其余字母连同它的指数不变, 作为积的因式。
10、单项式乘多项式法则: 单项式与多项式相乘, 就是根据分配律用______去乘______每一项, 再把所得的积______。
字母表示为 ___________。
11、多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘, 先用___________的每一项乘___________的每一项, 再把所得的积________。
字母表示： _______________12、平方差公式：两数和与这两数差的积, 等于它们的平方差。
用式子表示为=-+))((b a b a ________。
《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)知识讲解(猪猪老师)
《整式的乘除》全章复习与巩固（猪猪老师）
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：
(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：()0
10.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n n a a
-=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即c b a m ,,,mc mb ma c b a m ++=++)((都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.。
整式乘除知识点总结归纳
整式乘除知识点总结归纳一、整式的基本定义1. 整式的定义：整式是由多项式相加（减）得到的式子。
多项式是一个或多个单项式的和。
整式可以包含有限个数的变量，并且变量的次数为非负整数。
2. 整式的分类：整式可以根据变量的次数和系数的种类进行分类，分为一元整式和多元整式；再细分为单项式、多项式和混合式。
二、整式的乘法整式的乘法是代数学中的基本运算之一，它涉及到多项式之间的相乘。
在进行整式的乘法时，主要需要掌握以下几个要点：1. 单项式相乘：同底数的单项式相乘，指数相加；不同底数的单项式相乘，底数相乘，指数相加。
2. 多项式相乘：多项式相乘时，需要用分配律（乘法分配律）进行展开，然后对每一对单项式进行乘法运算。
3. 多项式的乘法规则：多项式相乘的规则与单项式相乘的规则一致，同底数指数相加，底数相乘。
需要注意的是，展开乘法时，需要对每一对单项式进行乘法运算，并将得到的结果进行合并。
例题：（1）计算：（3x+4y）*（2x-5y）解：按照乘法分配律，展开得到：6x^2-15xy+8xy-20y^2合并同类项，得到最终结果：6x^2-7xy-20y^2三、整式的除法整式的除法是代数学中的难点之一，它涉及到多项式之间的相除。
在进行整式的除法时，主要需要掌握以下几个要点：1. 用辅助线将被除式和除数进行排列，然后进行长除法计算。
2. 长除法计算过程：（1）确定被除式中的最高次项，选择一个除数，使得除数的最高次项与被除式中的最高次项相同。
（2）将除数乘以一个常数倍数，使得乘积的最高次项与被除式中最高次项的系数相同。
（3）将得到的乘积与被除式相减，得到一个新的多项式。
（4）重复以上步骤，直至新的多项式的次数小于除数的次数。
（5）最终得到商式和余数。
例题：（2x^2+7xy-3y^2）÷（x-2y）解：按照长除法步骤，得到商式和余数为：2x+11y-5 和 -21y+12所以，商式为2x+11y-5，余式为-21y+12。
第12章整式的乘除知识点总结
（3）两个公式可以相互转化.
（4）反向利用完全平方公式可以用于分解因式,是公式法里面的两个非常重要且常用的公式.
（5）有关的重要结论:
（6）完全平方式的判断判断所给的多项式是不是完全平方式只需要判断两个完全平方项所对应的数或式子的2倍是否等于多项式的第三项（或第三项的相反数）即可,若等于,则是;若不等于,则不是.
解:原式 （有些学生的结果到此为止）
（这才是最终的结果）.
●例4.已知 ,求 的值.
分析本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.
解:
∴
●例5.已知 求 的值.
★5.整式的乘法
整式的乘法运算有三种:（1）单项式·单项式;（2）单项式·多项式;（3）多项式·多项式.
单项式·单项式系数与系数相乘,同底数幂相乘,单独的幂保留.
（7）配方法配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解因式、解方程（如在九年级要学习的解一元二次方程）等.把题目所给的多项式进行变形、拆项等处理,使多项式中出现完全平方式的过程,叫做配方,利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.
●例14.若 是完全平方式,则 ________.
分析:根据完全平方式的判断方法,两个完全平方项 与25所对应的 的乘积的2倍,应等于 .所以 ,解得
分解因式: .
解:原式
说明:当然,这里还用到了配方法和其它的公式.
●例20.已知 ,求 的值.
解:
∴ ,得到
∴ .
例21.将代数式 化为 的形式.
解:
这里, .
即积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
（1）公式可推广:
第12章 整式的乘除 期末复习课件
顺口溜
公式的常 用变形
a2＝(a+b)(a－b)＋b2； b2＝a2－(a＋b)(a－b)
5．因式分解
（1）因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 因式分解的过程和 （2）因式分解的方法 ①提取公因式法； ②运用公式法； ③十字相，四查。 的形式，叫做多项式的因式分解．
2 3 4
例 3：计算－(－3a b ) 的结果是( D ) A．81a8b12 B．12a6b7 C．－12a6b7 D．－81a8b12
数学·人教版（RJ）
第十二章 |复习（一） 考点四 同底数幂的除法 例4 下列运算正确的是( B ) A．a6 ÷a2 ＝a6 ÷2 ＝a3 B．x3 ÷x2 ＝x3 －2 ＝x C．(－a)2×a3÷a3＝a2×(a3÷a3)＝a2 D．(－0.25)2012×42013＝－4×(0.25×4)2012＝－4 易错警示 (1)要牢记幂的运算性质，相关知识不要混淆； (2)混合运算要按从高级到低级、同级运算从左到右的顺序进 行．
数学·人教版（RJ）
第十二章 |复习（一） 考点五 整式的乘法
例5：当x＝－7时，求代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值．
解：原式＝2x2＋2x＋5x＋5－（x2+x-3x-3） ＝2x2＋2x＋5x＋5－x2-x+3x+3 ＝x2＋9x＋8， 当 x＝－7 时， 原式＝（-7）2+9ⅹ（-7）+8=－6.
的过程正好相反．
考点攻略 第十二章 |复习（一）
考点一 同底数幂的乘法
2 3
例 1：计算 a · a 的结果是( D ) 6 5 A．2a B．2a 6 5 C．a D．a
考点二 幂的乘方
第12章 整式的乘除(知识点+例题)
第12章 整式的乘除与因式分解 知识链接一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。
例1：计算 （1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n aa a a ++⋅⋅⋅例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）23x 2y y x -⋅（）（2-）例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。
例4：计算（1）m 2a （）；（2）()43m ⎡⎤-⎣⎦；（3）3m 2a -（）3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：n n n ab a b ⋅（）=例5：计算（1）()()2332xx -⋅-；（2）()4xy -；（3）()3233a b -例6：已知a b 105,106==，求2a 3b 10+的值。
例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯4．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例8：计算（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 两数和乘以这两数的差
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
=20232-(20232-1)
=1．
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为
平方差公式.
项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为
（ ）
A．22
B．24
C．30
D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
1
1
1
· + · = (x-y)x·x+(x-y)·y
程所揭示的乘法公式
．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴可得乘法公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)．
6．计算：(1-a)(1+a)(1+a2)=
【详解】解：(1-a)(1+a)(1+a2)
=(1-a2)(1+a2)
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
八年级数学上册 第12章 整式的乘除章末复习课件
第二十七页，共三十页。
应注意(zhù yì)的几个问题： 1．同底数(dǐshù)幂的乘除法是本章学习的基
础。
2.熟练运用乘法公式，准确掌握其特点。
如:(x-3)(y+3)=xy-9 (×)
3.运算法则(fǎzé)和公式的逆向应用
2
(2)ab = 1 [(a+b)2-(a-b)2]
4
= 1 (324-16)
12/13/2021
4
=77
第十四页，共三十页。
计算 ： (jìsuàn) (1)（5x+6y-7z)(5x-6y+7z)
=[5x+(6y-7z)][5x-(6y-7z)]
=25x2-(6y-7z)2 12/=13/20221 5x2-36y2+84yz-49z2
只在被除式里出 现(chūxiàn)的字母
1）符号 2）不要漏项
第二十四页，共三十页。
重点 和难 (zhòngdiǎn) 点重点： 同底数(dǐshù)幂的除法法则；
(zhòngdiǎn)：零指数、负指数的意义；
整式除法的法则。
难点： 灵活应用法则
数学思想：1）整体的思想
12/13/2021
2）转化的思想
故m3+m2=m
m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003
=m2+m+2003 =1+2003
=2004
12/13/2021
第二十一页，共三十页。
例：用适当方法(fāngfǎ)化简算式： (22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 解：(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)