.2矩形的判定(教案)
北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案
北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案一. 教材分析《矩形的判定》是北师大版数学九年级上册第二章“平面几何”的一个学习单元。
本节课的主要内容是让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
在教材中，矩形的判定被放在了一个重要的位置，因为它不仅是学习平面几何的基础，也是后面学习其他几何图形的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念，如点、线、面等，并对这些概念有了初步的理解。
同时，学生也学习了一些基本的几何运算，如加减、乘除等。
但是，学生对矩形的认识可能只停留在直观的层面，对其定义和性质可能不够清晰。
三. 教学目标1.让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3.提高学生的几何运算能力。
四. 教学重难点1.矩形的判定方法的掌握。
2.如何将矩形的判定方法应用于实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和发现来掌握矩形的判定方法。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来帮助学生直观地理解矩形的性质和判定方法。
3.采用分组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中提高自己的理解和应用能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.矩形的判定方法的动画和图形。
3.分组合作的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些实际问题，如判断一个窗户是否为矩形，引导学生思考矩形的判定方法。
2.呈现（10分钟）使用多媒体展示矩形的判定方法的动画和图形，让学生直观地理解矩形的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，通过解决一些实际问题来运用矩形的判定方法。
4.巩固（10分钟）对学生的操练结果进行讲解和点评，帮助学生巩固矩形的判定方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将矩形的判定方法应用于实际问题，如设计一个矩形的房间。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，帮助学生梳理矩形的判定方法。
【素养目标】人教版数学八年级下册18.2.1.2 矩形的判定教案(表格式)
第2课时矩形的判定教学设计课题矩形的判定授课人素养目标1.理解并掌握矩形的判定方法．2.通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，培养学生分析问题和解决问题的能力．3.使学生能应用矩形的判定方法进行证明和计算.教学重点矩形判定定理的理解与应用教学难点矩形的判定定理与性质定理的区别和联系.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过生活情境探究矩形的判定，这也是矩形的概念.【情境导入】同学们我们首先回忆一下：1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面的一个例子：工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB＝CD，EF=GH；(2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据的数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．概念可以判定矩形，比照平行四边形的判定，那矩形性质的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢？我们来看下.【教学建议】让学生根据生活情境，清晰地了解到矩形是由平行四边形的一个角转变成直角演变而来的，这是矩形的判定，也是它的概念.活动二：动手验证，探究新知设计意图通过置疑材料引发同学的思考，引导学生先想到平行四边形，再想到矩形.探究点1对角线相等的平行四边形是矩形如图，为了防蚊虫，数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时，数学老师只利用卷尺测量了两组对边的长度是否分别相等，又测量了两条对角线的长度是否相等，就犀利地指出该纱门不规正，要求重新制作．同学们想一想，数学老师是如何判断纱门不是矩形的？我们可以这么思考：1．为什么测量两组对边的长度是否分别相等？答：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．2．为什么测量两条对角线的长度是否相等？答：由矩形的对角线相等的性质，我们猜测：对角线相等的平行四边形是矩形．下面我们来验证我们的判断：【教学建议】(1)让学生思考，教师总结矩形的判定定理．(2)提醒学生：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，换句话说，这一条件必须建教学步骤师生活动设计意图利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形.【对应训练】教材P55练习．探究点2有三个角是直角的四边形是矩形前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？我们一起来验证一下：已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【对应训练】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF，DE分别是△BDC，△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝BD.∵DE是△ADC的角平分线，∴DE⊥AC.∴∠DEC＝90°.同理得∠CFD＝90°.又∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形.立在平行四边形的基础上.【教学建议】引导学生逆向思考，告诉学生要判定矩形只要知道三个角是直角就足够了，因为由四边形内角和定理，很容易知道第四个角也是直角．另外提醒学生：只有“有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理是在四边形的基础上进行，另外两个判定方法均在平行四边形的基础上进行.活动三：运用新知，巩固提升设计意图巩固学生对矩形判定定理的掌握情况. 例(1)(教材P54例2)如图①，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．(2)(教材P54例2变式题)如图②，已知ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4 cm，求ABCD的面积．分析：(1)先证明ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，【教学建议】提醒学生：矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解题时常用到等腰三角形的性质.教学步骤师生活动即可求出∠OAB 的度数． (2) 先证明ABCD 是矩形，再结合勾股定理求相应线段长，进而求出面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.又OA ＝OD ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形． ∴∠DAB ＝90°.又∠OAD ＝50°，∴∠OAB ＝40°.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD.∵△AOB 是等边三角形，∴AO ＝BO ＝AB ＝4 cm .∴AC ＝BD ＝8 cm . ∴ABCD 是矩形．∴∠ABC ＝90°. 在Rt △ABC 中，∵AB ＝4 cm ，AC ＝8 cm ， ∴BC ＝AC 2－AB 2＝82－42＝43(cm )． ∴矩形ABCD 的面积为4×43＝163(cm 2)． 【对应训练】1．依据所标数据，下列不一定是矩形的是( B )2.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥AB ，∠AOB ＝60°，E ，F 分别是OB ，OD 的中点，连接AE ，CE ，CF ，AF. (1)求证：四边形AECF 为矩形； (2)若AB ＝3，求矩形AECF 的面积． (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 分别是OB ，OD 的中点，∴OE ＝12OB ，OF ＝12OD.∴OE ＝OF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，∠AOB ＝60°，∴∠BAO ＝90°，∠ABO ＝30°，∴OA ＝12OB ＝OE. ∴AC ＝EF ，∴AECF 为矩形．(2)解：由(1)得OA ＝OE ＝OC ＝OF ，∠AOB ＝60°，∠ABO ＝30°， ∴△OAE 是等边三角形，∠OFA ＝∠OAF ＝12∠AOB ＝30°＝∠ABO.∴AE ＝OA ，AF ＝AB ＝3.在Rt △OAB 中，由勾股定理易得OA ＝3，∴AE ＝OA ＝ 3. ∴矩形AECF 的面积＝AF·AE ＝3 3.教学步骤 师生活动 活动四：随堂训解题方法：判定一个四边形是矩形时，首先要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上判定，然后再根据已知条件选择合理的方法．注意：(1)对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)． (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．(3)两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形．例1 如图，C 是BE 的中点，四边形ABCD 是平行四边形．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形；(2)若AB ＝AE ，求证：四边形ACED 是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC.∵C 是BE 的中点，∴BC ＝CE ，∴AD ＝CE.∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC.∵AB ＝AE ，∴DC ＝AE. 又四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 是矩形． 例2 如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H.求证：四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°. 又AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴∠EAB ＋∠ABG ＝12×180°＝90°.∴∠EFG ＝∠AFB ＝90°.同理可证∠AED ＝∠BGC ＝90°.∴四边形EFGH 是矩形．例3 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线M N ∥BC ，设M N 交∠BCA 的平分线于点E ，交△BCA 的外角平分线于点F.练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：矩形的判定方法有哪几种？ 【知识结构】【作业布置】1．教材P 60习题18.2第1，2，3，8，14题． 2．相应课时训练．板书设计18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定1．矩形的概念．2．矩形的判定定理1. 3．矩形的判定定理2.教学反思本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法，教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让同学之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识．教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学生需要根据已知条件灵活选用判定方法，提升分析问题和解决问题的能力.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在AC 上运动到什么位置，四边形AECF 是矩形？请说明理由．(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且M N ∥BD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO ，∴OF ＝OC. 同理可证OC ＝OE ，∴OE ＝OF. (2)解：由(1)知OF ＝OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ，∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.又∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°，∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°.∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13，∴OC ＝12EF ＝132.(3)解：当点O 运动到AC 的中点处时，四边形AECF 为矩形．理由如下：当点O 运动到AC 的中点处时，OA ＝OC.由(1)知OE ＝OF ，∴四边形AECF 为平行四边形．由(2)知∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 为矩形．例1 如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且M ，N 分别为OA ，OC 的中点，连接并延长BM 至点E ，使EM ＝BM ，连接DE ，D N .(1)求证：△AMB ≌△C N D ；(2)若BD ＝2AB ，且AB ＝5，D N ＝4，求四边形DEM N 的面积．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，OA ＝OC.∴∠BAM ＝∠DC N又M ，N 分别为OA ，OC 的中点，∴AM ＝OM ＝12OA ，C N ＝O N ＝12OC.∴AM ＝C N .在△AMB 和△C N D 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝CN ，∠BAM ＝∠DCN ，AB ＝CD ，∴△AMB ≌△C N D(SAS )．(2)解：∵△AMB ≌△C N D ，∴BM ＝D N ，∠ABM ＝∠CD N .∵BM ＝EM ，∴D N ＝EM.∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO.∴易得∠MBO ＝∠N DO.∴EM ∥D N .∴四边形DEM N 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BD ＝2OB.∵BD ＝2AB ，∴AB ＝OB. 又M 是AO 的中点，∴BM ⊥AO.∴∠EM N ＝90°.∴四边形DEM N 是矩形．∵AB ＝5，D N ＝BM ＝4，∴AM ＝AB 2－BM 2＝52－42＝3.由(1)知OM ＝AM ＝12OA ，O N ＝C N ＝12OC ，OA ＝OC ，∴M N ＝OM ＋O N ＝2AM ＝6.∴矩形DEM N 的面积为M N ·D N ＝6×4＝24.例2 如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，G 为AD 的中点，CG 的延长线交BA 的延长线于点F ，连接FD.(1)求证：AB ＝AF ；(2)若AG ＝AB ，∠BCD ＝120°，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠AFG ＝∠DCG. ∵G 为AD 的中点，∴AG ＝DG.又∠AGF ＝∠DGC ，∴△AGF ≌△DGC ，∴AF ＝DC ，∴AB ＝AF.(2)解：四边形ACDF 是矩形．证明：∵AF ＝CD ，AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠FAG＝60°.∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝FG.∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.∵AG＝DG，∴易得AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．。
《矩形的判定》教案精品 2022年数学
第2课时矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC中，AB＝AC，AD 是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE 是△BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE 平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC，OB＝OD.假设ON＝OB，那么ON ＝OD.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，假设题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形〞证明四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB ＝12∠DAB，∠HBA＝12∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝12(∠DAB＋∠ABC)＝12×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形〞来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)假设E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA ＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD ＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：假设题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】矩形的性质和判定与动点问题如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解析：(1)设经过t s时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝13 2.方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，假设题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形〞来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的根本思路和方法．教师在例题练习的教学中，假设能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．第3课时多项式1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3．能正确区分单项式和多项式．(重点)一、情境导入列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，那么长方形的周长是________；(2)图中阴影局部的面积为________；(3)某班有男生x人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人．观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？二、合作探究探究点一：多项式的相关概念【类型一】单项式、多项式与整式的识别指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，a ＋b 3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x，a 7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：2x 2＋x ，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7；多项式有：x 2＋y 2，a ＋b3，6xy ＋1，2x2－x －5；整式有：x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy＋1，17m 2n ，2x 2－x －5，a 7.方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】 确定多项式的项数和次数写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．(1)23x 2－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x 2－3x ＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项． 【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式．解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m ＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m ＋2＝6，解得m ＝4，此多项式是－5x 4＋104x 4－4x 4y 2. 方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】 与多项式有关的探究性问题假设关于x 的多项式－5x 3－mx2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，求m 、n 的值．解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0.解：∵关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，∴m ＝0，n －1＝0，那么m ＝0，n ＝1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a 米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。
《矩形的判定》(第2课时)教案 探究版
第2课时《矩形的判定》教案一、教学目标知识与技能经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用．过程与方法1．在探索判定方法的过程中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯．2．在画矩形的过程中，培养学生的动手实践能力，积累数学活动的经验．情感、态度激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立思考、合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣．通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神．二、教学重点、难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学过程设计（一）情境导入（此部分可进行视频讲解）媛媛想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框呢？看看谁的方法可行？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论．小组合作交流，得出“找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作”是为了保证所做的相框是平行四边形，然后只需要利用直尺和三角尺帮他检验这个平行四边形是否有一个角是直角就可以了．除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探讨．设计意图：通过学生动手操作自制相框，可以让学生验证自己的想法，提高学生的动手实践和猜想能力，拓展学生的思维空间．（二）探究新知（此部分可进行视频讲解）做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=1180902⨯︒=︒．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想． 猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =90°．求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵∠A =∠B =90°， ∴∠A +∠B =180°． ∴AD ∥BC ．∵∠B +∠C =180°，∴AB ∥CD ．∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 又∵∠A =90°，∴四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力． 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不DCBA是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．（三）典例精析例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=．∴S□ABCD=AB·BC=4×例2 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE．求AE的长．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=12BD（矩形的对角线相等且互相平分），∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）．∵ED=3BE，∴BE=OE．又∵AE⊥BD，∴AB=AO．∴AB=AO=BO，即△ABO是等边三角形．∴∠ABO=60°．∴∠ADB=90°-∠ABO=30°．在Rt△AED中，∵∠ADB=30°，∴AE=12AD=12×6=3．例3 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成证明过程．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=12∠BAC，∠CAN=12∠CAM．∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=12(∠BAC+∠CAM)=12×180°=90°．在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC．∴∠ADC=90°．又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°．∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．想一想在例题3中，若连接DE，交AC于点F（如图）．（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论．师生活动：教师出示“想一想”，学生思考并完成本题．解：（1）四边形ABDE是平行四边形；证明：∵四边形ADCE为矩形，∴AE∥DC，AE=DC，∴AE∥BD．又∵∠ADC=90°，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC底边的中线．∴BD=DC．∴AE=BD．∴四边形ABDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）DF=12AB，DF∥AB．∵四边形ADCE为矩形，∴DF=12DE．又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，AB∥DE．∴DF=12AB，DF∥AB．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．（四）课堂练习（此部分可进行视频讲解）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题． 答案 1．12．2．证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，AB =DE ，AE =BD ． ∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ．∴CD ∥AE ，CD =AE ．∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB =AC ，∴AC =DE ．∴平行四边形ADCE 是矩形． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （五）课堂小结 矩形的常用判定方法：（1）一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握矩形的判定方法． （六）布置作业1．已知：如图，在□ABCD 中，M 是AD 边的中点，且MB =MC ． 求证：四边形ABCD 是矩形．ED CBA2．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M，N 分别是BC和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．参考答案1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．2．证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC．∴四边形ABCD是菱形．∵M，N分别是BC和AD的中点，∴DN=12AD，BM=12BC．∴DN=BM．∵BN=DM，∴四边形BMDN是平行四边形．∵∠DBN=12∠ABD=12×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBM+∠DBN=60°+30°=90°．∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、课堂检测设计1．能够判断一个四边形是矩形的条件是（）．A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等2．如图，过菱形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH是__________．3．已知：□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．4．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是□ABCD 外一点，且∠AEC =∠BED =90°．求证：□ABCD 是矩形． 参考答案 1．C ． 2．矩形．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠DAB +∠ABC =180°．又∵AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，H GFEDCBA∴∠EAB +∠ABG =21×180°=90°． ∴∠AFB =90°．同理可证∠AED =∠BGC =∠CHD =90°．∴四边形EFGH 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 4．证明：如图，连接OE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA =OC ，OB =OD ． ∵∠AEC =∠BED =90°， ∴OE =12AC =12BD ． ∴AC =BD ．∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．。
18.2.2矩形的判定(教案)
5.培养学生的数学运算与数据分析素养：在例题和练习中，提高学生准确进行数学运算和数据分析的能力，为解决更复杂的几何问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形的定义及其性质：明确矩形的定义，理解矩形的性质，如对边平行、对角线相等、四个角都是直角等。
2.教学难点
-矩形判定定理的理解：学生对定理的理解可能停留在表面，难以深入理解其背后的几何本质。
-突破方法：通过动态图示、实际操作等方式，帮助学生直观感受判定定理的几何意义。
-矩形判定定理的应用：在具体问题中，学生可能难以识别和应用合适的判定定理。
-突破方法：提供多样化的问题情境，指导学生如何选择合适的定理进行判定。
18.2.2矩形的判定（教案）
一、教学内容
本节课选自高中数学教材选修系列2中的第18章“平面几何中的特殊图形”，具体为18.2.2节“矩形的判定”。教学内容主要包括以下几个要点：
1.矩形的定义：回顾矩形的定义，即四边都相等且对角线互相平分的四边形。
2.矩形的性质：简要介绍矩形的性质，如对边平行、对角线相等、四个角都是直角等。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“除了判定定理，还有哪些方法可以帮助我们识别矩形？”
矩形的判定[人教版]教案
![矩形的判定[人教版]教案](https://img.taocdn.com/s3/m/97d9b4165a8102d276a22fe1.png)
教学目的：
1、使学生掌握矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形。
并会用它们进行有关的论证或计算。
2、会计算矩形的面积。
教学重点：
矩形的两个判定定理。
教学关键：
矩形的定义。
教学过程：
复习提问：
矩形比平行四边形多了哪些性质？
（对角线相等、四个角都是直角。）
新课讲解：
定理1有三个角是直角的四边形是矩形。
问：矩形判定定理1是矩形性质定理1的逆定理吗？（不是）
判定定理的对象是四边形还是平行四边形？（四边形）
谁能口述证明？A B
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠D=90°
∴AB∥CD，AD∥BC D C
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
1、根据矩形定义，可以在某些条件下直接判定一个平行四边形是是矩形，也可以在某些条件下，判定一个四边形是矩形，当判定一个四边形是矩形时，必须先判定它是平行四边形，如有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
2、讲矩形判定定理1。除用定义判定矩形外，还有什么方法判定一个四边形或平行四边形是矩形呢？（引导学生从平行四边形性质定理与判定定理的关系考虑）
对角线相等的平行四边形-—是矩形。
有三个角是直角的四边形
课外作业：
课本：习题4.3 A组2、3、4。
∴∠ABC=∠DCB。
又∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°。
∴∠ABC=90°。
∴四边形ABCD是矩形。
判定定理2的对象是四边形还是平行四边形？若将其改为四边形还需添加什么条件？
八年级数学下册《矩形的判定》教案、教学设计
3.各小组展示讨论成果，全班分享讨论。
4.教师点评各小组的讨论情况，针对存在的问题进行指导和解答。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我将设计以下练习题：
1.基础题：判断哪些图形是矩形，哪些不是，并说明理由。
2.提高题：运用矩形性质解决实际问题，如计算矩形面积、周长等。
-设想评价：课堂问答关注学生的即时理解和反应；小组讨论评价学生的合作能力和交流技巧；课后作业则侧重于学生的独立思考和问题解决能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过以下方式激发学生的学习兴趣，为新知的学习做好铺垫。
1.利用生活实例引入：向学生展示一些生活中常见的矩形物品，如书本、电视、门等，引导学生观察它们的共同特征，为新课的学习提供直观的感知。
2.提出问题：为什么这些物品的形状都是矩形？矩形具有哪些特殊的性质？通过问题引导学生思考，激发他们的好奇心。
3.回顾已学知识：让学生回顾平行四边形、菱形、正方形的性质及判定方法，为新课矩形的判定做好知识准备。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.介绍矩形的定义：四边形中对边相等且四个帮助的品质，使其在合作学习中，体验到共同成长的快乐。
4.引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是提高自身素质的需要，更是为国家、为社会作贡献的重要途径。
二、学情分析
八年级学生在学习《矩形的判定》这一章节时，已具备了一定的几何基础，掌握了平行四边形、菱形、正方形的性质及判定方法。在此基础上，学生对矩形的认识处于初步阶段，需要进一步引导和拓展。此外，学生在解决几何问题时，逐渐形成了自己的思维方式和方法，但逻辑推理能力、问题分析能力仍有待提高。针对这些情况，教学过程中应注重以下几点：
1.2矩形(教案)
一、教学内容
本节教学内容选自中学数学教材九年级下册第二章“几何图形及其性质”中的1.2节“矩形”。主要内容包括：
1.矩形的定义与性质：矩形是四边形的一种特殊类型，具有四个角都是直角，对边平行且相等的性质。
2.矩形的判定方法：通过分析四边形的对角线、角度、边长关系等，判定一个四边形是否为矩形。
在课程总结环节，我注意到部分学生对矩形周长和面积的计算方法还不够熟练。因此，我打算在下一节课开始时，先进行一次简短的小测试，以检验学生对这部分知识的掌握程度，然后针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和练习。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如计算矩形的周长和面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和直角器制作一个矩形，并测量其周长和面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
3.矩形的周长与面积：运用矩形性质，推导出计算矩形周长和面积的方法。
4.矩形的对角线性质：证明矩形的对角线互相平分、相等，并讨论其对角线长度关系。
5.实际应用：运用矩形知识解决生活中的实际问题，如房屋设计、园林规划等。
本节课将结合实际例子，让学生掌握矩形的基本性质和判定方法，并能运用矩形知识解决相关问题。
（3）矩形的周长与面积计算：掌握矩形周长和面积的计算方法，提高学生的数学运算能力。
举例：讲解矩形周长和面积的计算公式，并通过实际例题，让学生熟练运用这些公式进行计算。
2.教学难点
（1）矩形的判定方法：对于一些特殊的四边形，学生可能难以判断其是否为矩形，需要引导学生掌握多种判定方法，提高识别能力。