2019年甘肃省兰州市中考数学试题
2019年兰州市初中学业水平考试数学（A ）
注意事项：
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分. 1. 2019-的相反数是 A.
20191 B. 2019 C. -2019 D. 2019
1
- 2.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b ，∠=80°，则∠2= A.130° B.120° C.110° D.100°
3.计算：312-=
A.3
B.23
C. 3
D.43
4.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是
5.1=x 是关于x 的一元二次方程022=++b ax x 的解，则2a+4b=
A. -2
B. -3
C.-1
D. -6
6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠C= A. 110° B.120° C.135° D.140°
7.化简：
=+-++1
2
112a a a A. 1-a B.1+a C.
11+-a a D.1
1
+a 8.已知△ABC ≈△C B A ''',AB=8,6=''B A ,则C
B BC
''= A. 2 B.
34 C. 3 D. 9
16
9.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为
A.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165
B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156
C.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165
D.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 541
56
10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1,已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为 A.（1，2） B.（2，1） C.（1，4） D.（4，1）
11.已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线2)1(2++-=x y 上，则下列结论正确的是 A.212y y >> B.122y y >> C. 221>>y y D.212>>y y
12.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM=
A.
2
1
B.22
C.1-3
D.1-2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.因式分解：=++a a a 232.
14.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，则∠B=. 15.如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数)0(>=
k x
k
y 的图象上，6=OABC S 矩形，则k=.
16.如图，矩形ABCD ，∠BAC=60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M,N 两点，再分别以点M,N 为圆心，以大于2
1
MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE=1，则矩形ABCD 的面积等于. 三、解答题：本大题共12小题，共86分. 17.（5分）计算：︒--++--45tan )2()13(|2|20
18.（5分）化简：)1)(1(2)21(-++-a a a a
19.（5分）解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧-<++<-13
1512x x x x
20.（6分）如图，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E ，求证：AC ∥
DF.
21.（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.
22.（7分）如图AC=8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D.依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由;
（2）求BD的长.
23.（7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，OC=2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA. （1）求反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.
24.（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
分析数据：
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.
25.（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD.
数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m.
问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）
26.（9分）如图，在△ABC 中，AB=AC=6cm ，BC=8cm ，点D 为BC 的中点，BE=DE ，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（︒≤≤830α），角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M,N 两点间的距离为ycm.
小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小涛的探究过程，请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是B,M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量,分别得到了y 与x 的几组对应值：
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ）,并画出函数y 关于x 的图象.
（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势：.
（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是cm.（保留两位小数）.
通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.
【模型呈现】
如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE ⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K型”.
推理过程如下：
27.（10分）如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过AD作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F. （1）求证：AD是⊙O的切线；
2.
（2）连接FC交AB于点G，连接FB.求证：GB
=
GO
FG⋅
28.（12分）二次函数22++=bx ax y 的图象交x 轴于点（-1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.
（1）求二次函数22++=bx ax y 的表达式；
（2）连接BD ，当t=2
3时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；
（4）当t=4
5时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q 的坐标.。
2019年甘肃省兰州市中考数学试题及参考答案
兰州市2019年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到k的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD／DB＝2／3，则AE／EC＝（）。
2019年兰州市中考数学试题(解析版)
2019年兰州市中考数学试题（解析版）（满分150分，时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. －2019的相反数是（ ）A.20191 B. 2019 C. －2019 D. －20191【答案】B ．【解析】－（－2019）＝20192.如图，直线a,b 被直线c 所截，a ∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）A. 1300.B. 1200.C. 1100.D. 1000. 【答案】D ．【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵ a ∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补， ∴∠2＝1800－800＝1000，3. 计算：12－3＝ （ ）A.3 . B. 23. C. 3 . D. 43 .【答案】A ．【解析】12－3＝23－3＝3. 4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】C ．【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A 、B ，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.5. x ＝1是关于的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6. 【答案】A ．【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.第2题图6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝400，则∠C ＝（ ）A. 1100.B. 1200.C. 1350.D. 1400.【答案】D ．【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400，∴∠C ＝1800－400＝1400，7. 化简：12112+-++a a a ＝ （ ） A. a －1 . B. a+1 . C.11+-a a . D. 11+a . 【答案】A ． 【解析】12112+-++a a a ＝1212+-+a a ＝1)1)(1(+-+a a a ＝a －1 .8.已知△ABC ∽△A′B′C′, AB ＝8，A ’B ’＝6， 则''C B BC＝ （ ） A. 2 . B. 34 . C. 3 . D. 916.【答案】B ．【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′,∴''B A AB ＝''C B BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴''CB BC ＝34. 故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165 B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C. ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165 D. ⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156 【答案】C ．【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y ＝5y+x,10. 如图，平面直角坐标系xoy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （－3，5），B （－4，3），A 1（3，3）.则点B 1坐标为（ ）A. （1，2）B. （2，1）C. （1，4）D. （4，1） 【答案】B ．【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B.11. 已知,点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y 1> y 2 . 故选A. 12. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M,则DM ＝（ ）A.21B. 22C.3－1 D. 2－1【答案】D ．【解析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 正方形的边长为2， ∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ ＝22,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM, 设OM ＝PM ＝x ∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO, ∴△CMP ∽△COQ∴OQ MP ＝COCM, 即1122xx -=， 解得x ＝2－1∴OM ＝PM ＝2－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a 3 +2 a 2+ a ＝___________.【答案】a （a +1）2．【解析】a 3 +2 a 2+ a ＝a （a 2 +2 a + 1）＝a （a + 1）2.14. 在△ABC 中，AB ＝AC, ∠A ＝400，则∠B ＝___________. 【答案】700．【解析】∵AB ＝AC, ∠A ＝400， ∴∠B ＝∠C ＝700.15. 如图， 矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝xk（x>0）的图象上，S 矩形OABC＝6，则k ＝___________.【答案】6．【解析】|k |＝S 矩形OABC ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k ＝6.16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB 、AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.【答案】33．【解析】 由题可知AP 是∠BAC 的角平分线∵∠BAC ＝600∴∠BAE ＝∠EAC ＝300 ∴AE ＝2 BE ＝2.∴AB ＝3∴∠AEB ＝600又∵∠AEB ＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC ＝∠ECA ＝300 ∴AE ＝EC ＝2 ∴BC ＝3∴S 矩形ABCD ＝33．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（3+1）0+（－2）2－tan450 . 【答案】4．【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分) 化简：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)【答案】a －2．【解析】解：a (1－2a )+2(a +1)(a －1)＝a －2a 2+2a 2－2 ＝a －2.19.（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x【答案】2<x<6．【解析】 解：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x由①得：x<6由②得：x>2所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB ＝DE, BF ＝EC. ∠B ＝∠E. 求证：AC ∥DF.【答案】AC ∥DF.【解析】证明：∵BF ＝EC∴BF+CF ＝EC+CF ∴BC ＝EF在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF (SAS) ∴∠ACB ＝∠EFD ∴AC ∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A 1,A 2,A 3,A 4表示）; 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B 1,B 2,B 3表示）.①② ① ②第20题图（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【答案】解：（1）12种．（2）61. 【解析】（1）解：二 一 B 1 B 2 B 3 A 1 A 1B 1 A 1B 2 A 1B 3 A 2 A 2B 1 A 2B 2 A 2B 3 A 3 A 3B 1 A 3B 2 A 3B 3 A 4A 4B 1A 4B 2A 4B 3（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝122＝61.22.（本题7分）如图， AC ＝8,分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B 和D ，依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O.（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长. 【答案】（1）菱形， （2）BD ＝6．【解析】 证明：（1）由图可知，BD 垂直平分AC ，且AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5,所以四边形ABCD 是菱形.（2）∵AC ＝8, BD ⊥AC 且BD 平分AC ，∴OA ＝OC ＝4∴在Rt △AOB 中，OB ＝22OA AB -＝2245-＝3,∴BD ＝2 OB ＝2×3＝6 ∴BD 的长为6.23. （本题7分）如图， 在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2,点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO. （1）求反比例函数y ＝xk（k ≠0）的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.【答案】（1）y ＝x3； （2）A （21，23）【解析】 解：（1）∵ OC ＝2,∴OM ＝1, BM ＝3, ∴点B(－1 ，－3 )， ∴ k ＝(－1) ×（－3 ) ＝3,∴y ＝x3. （2）∵S ACBO ＝33， S ACBO ＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3, ∴3+ S △AOC ＝33， ∴S △AOC ＝23. ∵OC ＝2 ∴21×OC×AN ＝23 ∴AN ＝23 设A （t ，23） ∴23t ＝3∴t ＝21 ∴A （21，23）.25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下： 问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC 的遮阳篷CD. 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC ＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC ＝30.560）；窗户的高度AB ＝2m. 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59, Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.【答案】0.5m ．【解析：在Rt △BCD 中，∠BCD ＝900，∠BDC ＝30.560，∵tan ∠BDC ＝CDBC, ∴BC ＝CD ⋅tan ∠BDC,在Rt △ACD 中，∠ACD ＝900，∠ADC ＝77.440， ∵tan ∠ADC ＝CDAC, ∴AC ＝CD ⋅tan ∠ADC, ∵AC －BC ＝AB,∴CD ⋅tan ∠ADC －CD ⋅tan ∠BDC ＝2 即 CD ⋅tan77.440－CD ⋅tan30.560＝2 （4.49－0.59）CD ＝2 ∴CD ＝0.5答：遮阳篷CD 长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm,BC ＝8cm,点D 为BC 的中点，BE ＝DE.将∠BDE 绕点D 顺时针旋转a 度（00≤a ≤830）.角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点.设B 、M 两点间的距离为x cm ，M 、N 两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是根据B 、M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值： x/cm0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.5038 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy 中，描出表中各组数值所对应的点（x ，y ）.并画出函数y 关于x 的图象：（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN ＝2BM 时，BM 的长度大约是_________cm （保留两位小数）.【答案】（1） x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50383.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.934.10 y/cm32.88 2.81 2.69 2.67 2.803.153103.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 （2）图略（描点可得）（3）随着自变量x 的不断增大，函数y 呈现先减小再增大的趋势. （4）4和1.33【解析】 （1）当x ＝0时，M 点与N 点分别和B 点E 点重合 MN ＝BE ＝3 当x ＝38时，假设DN 交CA 的延长线于点H ∵AB ＝AC, ∴∠B ＝∠C,又∵D 为BC 的中点， BE ＝DE.∴∠B ＝∠EDB, ED 为AC 边的中位线 根据旋转性质∠B ＝∠EDB ＝∠C ＝∠MDN, ∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB ＝∠MDB+∠MDN, ∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C ∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C, ∴△MDB ∽△DHC ∴BD CH ＝BMDC,∴4CH ＝384, CH ＝6＝AC 即A 点与H 点重合 ∴MN ＝6－BM ＝310. (2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN ＝2BM设BM ＝x ，MN ＝2x ，EN ＝3x －3 ， AN ＝6－3x ，∵∠NDB ＝∠H+∠C(外角性质)∠NDB ＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN ＝∠H+∠C∴∠MDB ＝∠H, ∠B ＝∠C,∴△MDB ∽△DHC∴BD CH ＝BMDC , ∴4CH ＝x 4, ∴CH ＝x 16， HA ＝HC －AC ＝x 16－6 又∵△HAN ∽△DEN∴ED AH ＝NEAN , ∴3616-x ＝3336--x x , 解得： x 1＝4， x 2＝34≈1.33 答：BM 为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如右图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900,将斜边AB 绕点A 顺时针旋转900得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE,进而得到AC ＝DE, BC ＝AE.我们把这个数学模型称为“K 型”推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝900, BC ＝2.将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定角度得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∠DAE ＝∠ABC, DE ＝1,连接DO 交⊙O 于点F.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接FB ，求证：FG 2＝GO •GB.【答案】答案见解析．【解析】 （1）证明：∵∠DAE ＝∠ABC 且∠ABC+∠CAB ＝900,∴∠EAD+∠CAB ＝900,∴∠DAB ＝900,∵AO 为⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB ＝900,∵ AC ＝1， BC ＝2∴AB ＝5,由模型可知，△AED ≌△BCA,∴AD ＝5,∴AO ＝25, ∴DO ＝25, ∵AD AE ＝DO AD ＝AODE ＝552, ∴△AED ∽△DAO∴∠EAD ＝∠ADO∴AE ∥DO∴∠ACF ＝∠CFO ＝∠ABF∵∠FGO ＝∠BGF,∴△FGO ∽△BGF∴BG FG ＝FGGO ∴FG 2＝GO •GB.28.(本题12分)二次函数y ＝a x 2+bx+2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B。
2019年甘肃省兰州市中考数学试题(含解析)
2019年甘肃省兰州市初中毕业、升学考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019甘肃省兰州市，1，4分）－2019的相反数是A.12019B. 2019C. -2019D.12019-【答案】B【解析】解：－2019的相反数是2019，故选B.【知识点】相反数2．（2019甘肃省兰州市，2，4分）如图，直线a,b被直线c所截，a∥b，∠=80°，则∠2=A.130°B.120°C.110°D.100°【答案】D【解析】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=80°，∠2+∠3=180°，∴∠2=100°，故选D.【知识点】对顶角的性质，平行线的性质3．（2019甘肃省兰州市，3，4分）计算：12－3=A. 3B. 23C. 3D. 43【答案】A【解析】解：原式=2333-=，故选A.【知识点】二次根式的化简，二次根式的运算4．（2019甘肃省兰州市，4，4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是3【答案】C【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的是C，故选C.【知识点】轴对称图形，中心对称图象5．（2019甘肃省兰州市，5，4分）x=1是关于x的一元二次方程220x ax b++=的解，则2a+4b=A. -2B. -3C.-1D. -6【答案】A【解析】解：把x=1代入x2+ax+2b=0，得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，∴2a+4b=2（a+2b）=-2，故选A. 【知识点】一元二次方程的解，整体代入6．（2019甘肃省兰州市，6，4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=A. 110°B.120°C.135°D.140°【答案】D【解析】解：根据圆内接四边形的对角互补，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故选D. 【知识点】圆内接四边形的性质7．（2019甘肃省兰州市，7，4分）化简：21211 aa a+-++=A.a-1B.a+1C.11aa-+D.11a+【答案】A【解析】解：原式=221211111a aaa a a+--==-+++，故选A.【知识点】分式的加减，分式的约分8．（2019甘肃省兰州市，8，4分）已知△ABC≈△A′B′C′，AB=8，则BCB C''=A. 2B.43C. 3D.169【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴8463BC ABB C A B===''''，故选B.【知识点】相似三角形的性质9．（2019甘肃省兰州市，9，4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为A.⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 65165B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156C.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165D.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156【答案】C【解析】解：根据题意，得56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩，故选C.【知识点】二元一次方程组的应用10．（2019甘肃省兰州市，10，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1,已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为 A.（1，2） B.（2，1） C.（1，4） D.（4，1）【答案】B【解析】解：∵A （－3，5），A 1（3，3），∴四边形ABCD 向右平移6个单位，向下平移2个单位，∵点B （－4，3），∴点B 1（2，1），故选B. 【知识点】图形的平移11．（2019甘肃省兰州市，11，4分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线2)1(2++-=x y 上，则下列结论正确的是A.212y y >>B.122y y >>C. 221>>y yD.212>>y y【答案】A【解析】根据题意，可得：抛物线开口向下，对称轴为x=－1，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵－1＜1＜2，∴2＞y 1＞y 2，故选A. 【知识点】二次函数的图象和性质12．（2019甘肃省兰州市，12，4分）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM=A.12B.22C.31－D. 21－【答案】D【思路分析】根据正方形的性质，OC=OD ，AC ⊥BD ，根据折叠，DF ⊥EC ，CD=DE=2，利用△ODM ≌△OCE ，得OM=EF ，求出OD 的长，根据OE=DE －OD 即可.【解题过程】在正方形ABCD 中，OC=OD ，AC ⊥BD ，由折叠可知，DF ⊥EC ，CD=DE=2，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵OC=OD ，∠DOM=∠COE=90°，∴△ODM ≌△OCE （ASA ），∴OM=EF ，在Rt △BCD 中，BD=()()22222-=，∴OD=1，∴OE=DE －OD=21-，∴OM=21-，故选D.【知识点】正方形的性质、折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 13．（2019甘肃省兰州市，13，4分）因式分解：=++a a a 232 . 【答案】a （a+1）2【解析】解：原式=a （a 2+2a+1）= a （a+1）2，故答案为：a （a+1）2. 【知识点】提公因式法分解因式，公式法分解因式14．（2019甘肃省兰州市，14，4分）在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，则∠B= . 【答案】70【解析】解：∵AB=AC ，∴∠B+∠C ，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°，故答案为：70°. 【知识点】等腰三角形的性质，三角形的内角和15．（2019甘肃省兰州市，15，4分）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，6=OABC S 矩形，则k= .123【答案】6【解析】解：∵S 矩形OABC =6，∴OA ⋅AB=6，∴k=xy=6，故答案为：6. 【知识点】反比例函数中k 的几何意义 16．（2019甘肃省兰州市，16，4分）如图，矩形ABCD ，∠BAC=60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M,N 两点，再分别以点M,N 为圆心，以大于21MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE=1，则矩形ABCD 的面积等于 .【答案】33【思路分析】根据矩形的性质及角平分线的性质，求出∠BCA ，∠EAC 的度数，利用锐角三角函数，求出AE ，AB 的值，进而可得矩形ABCD 的面积. 【解题过程】解：在矩形ABCD 中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAC=30°，∵在Rt △ABE 中，BE=1，∴AE=1sin30︒=2，AB=13tan30=︒，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S 矩形ABCD =AB ⋅BC=33.【知识点】矩形的性质，角平分线的性质，矩形的面积，锐角三角函数三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019甘肃省兰州市，17，5分）计算：︒--++--45tan )2()13(|2|20.【思路分析】根据绝对值、零指数幂、有理数的乘方、特殊角的函数值，将各式化简，在合并即可. 【解题过程】解：原式=2－1+4－1=4.【知识点】绝对值、零指数幂、有理数的乘方、特殊角的函数值18．（2019甘肃省兰州市，18，5分）化简：)1)(1(2)21(-++-a a a a .【思路分析】根据单项式乘单项式，平方差公式，去掉括号，再合并同类项即可. 【解题过程】解：原式=()22221a a a -+-=22222a a a -+-=2a -.【知识点】单项式乘单项式，平方差公式19．（2019甘肃省兰州市，19，5分）解不等式组：215113x xxx-<+⎧⎪+⎨<-⎪⎩.【思路分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得解.【解题过程】解：215113x xxx-<+⎧⎪⎨+<-⎪⎩①②，解不等式①，得：x<6，解不等式②，得：x＞2，∴不等式组的解集为：2＜x＜6.【知识点】解一元一次不等式组20．（2019甘肃省兰州市，20，6分）如图，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求证：AC∥DF.【思路分析】利用BF=EC，易得BC=EF，根据SAS可得△ABC≌△DEF，进而可得∠ACB=∠CFE，即可得证.【解题过程】证明：∵BC=EF，∴BC+FC=EC+FC，即BC=EF，又∵AB=DE∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠CFE，∴AC∥DF.【知识点】全等三角形的性质和判定，平行线的判定21．（2019甘肃省兰州市，21，6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.【思路分析】（1）直接利用树状图表示出所有12种等可能的结果即可；（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，根据概率公式计算即可.【解题过程】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率=212=16．【知识点】用树状图与列表法求概率 22．（2019甘肃省兰州市，22，7分）如图AC=8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D.依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O. （1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由; （2）求BD 的长.【思路分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，易得AB=BC ，AD=DC ，利用HL 证明△ABO ≌△ADO ，从而可证四边形ABCD 是菱形；（2）利用菱形的性质，求得OA 的长，再利用勾股定理，求得BO 的长，进而可得BD 的长. 【解题过程】解：（1）四边形ABCD 是菱形，理由：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，BD ⊥AC ，∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AO=AO ，AB=AD ，∴△ABO ≌△ADO （HL ），∴AB=AD ，∴AB=BC=CD=DA ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC=8，∴OA=12AC=4，BD=2BO ，∵AB=5，∴BO=2254-=3，∴BD=6. 【知识点】垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理23．（2019甘肃省兰州市，23，7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，OC=2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，OA. （1）求反比例函数()0ky k x=≠的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33 ，求点A 的坐标.【思路分析】【解题过程】解：（1）作BD ⊥OC 于D ，∵△BOC 是等边三角形，∴OB=OC=2，OD=12OC=1，∴BD= 22OB OD -=3，∴S△OBD=12OD×BD=32，S△OBD=12|k|，∴|k|=3，∵反比例函数()0ky kx=≠的图象在第一三象限，的图象在一三象限，∴k=3，∴反比例函数的表达式为3yx =；（2）∵S△OBC=12OC•BD=12×2×3= 3，∴S△AOC=333-=23，∵S△AOC=12OC•y A=23，∴y A=23，把y=23代入3yx=，求得x=12，∴点A的坐标为（12，23）．【知识点】全等三角形的性质和判定，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，反比例函数的解析式24．（2019甘肃省兰州市，24，7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：分析数据：小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.【思路分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定80≤x＜90这一组中最小的数即可；（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异.【解题过程】解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定.【知识点】中位数和众数，算术平均数，方差25．（2019甘肃省兰州市，25，7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC 最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）【思路分析】根据正切的定义，分别用CD表示出BC、AC，根据题意列式计算即可．【解题过程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=BCCD，则BC=CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=ACCD，则AC=CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．【知识点】解直角三角形及其应用26．（2019甘肃省兰州市，26，9分）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE 绕点D 顺时针旋转α度（︒≤≤830α），角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M,N 两点间的距离为ycm.小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小涛的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是B,M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量,分别得到了y 与x 的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ）,并画出函数y 关于x 的图象.（3）探究性质：随着自变量x 的不断增大，函数y 的变化趋势： . （4）解决问题：当MN=2BM 时，BM 的长度大约是 cm.（保留两位小数）.【思路分析】【解题过程】解：（1）①当x=BM=0时，连接AD ，则AD ⊥BC ，BD=CD=12BC=4，cos ∠ABD=BD AB =23=cos α，则sin α= 53，则y=MN=BN=12BDCOS α=3；②x=BM=83，在△MBD中，BD=4，BM=83，cos∠B=23=cosα，tanα=52，过点M作MH⊥BD于点H，则BH=BMcosα=169，则EH=859，MD2=HD2+EH2=809，则BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，则y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=103；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤1.25时，y随x最大而减小，当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，故答案为：2.68或7.45．【知识点】27．（2019甘肃省兰州市，27，10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.【模型呈现】如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K型”.推理过程如下：【模型应用】27.（10分）如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过AD作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB.求证：2FG GO GB=•.【思路分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC+∠BAC=90°，根据等量代换，可得∠DAE+∠BAC=90°，进而易证AD是⊙O的切线；（2）延长DO交BC于点H，连接OC，利用AAS证明△DEA≌△ACB，再根据勾股定理，求出AD，AB的值，根据两边成比例，且夹角相等，易证△DAO∽△AED，再证明DH⊥BC，利用等腰三角形的性质，可得∠BOH=12∠BOC，又根据∠BFG=12∠BOC，可得∠FOG=∠BFG，进而可证△FGO∽△BGF，即可得证.【解题过程】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴O为斜边AB中点，AB为直径，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵∠DAE=∠ABC，∴∠DAE+∠BAC=90°，∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°，∴AD⊥AB，∴AD是⊙O的切线；（2）延长DO交BC于点H，连接OC，∵DE⊥AC于点E，∴∠DEA=90°，∵AB绕点A旋转得到AD，∴AB=AD，在△DEA与△ACB中，90DEA ACBDAE ABCDA AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEA≌△ACB（AAS），∴AE=BC=2，AC=DE=1，∴AD=AB=225AC BC+=，∵O为AB中点，∴AO=12AB=52，∴52AO ADDE AE==，∵∠DAO=∠AED=90°，∴△DAO∽△AED，∴∠ADO=∠EAD，∴DO∥EA，∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC，∵OB=OC，∴OH平分∠BOC，即∠BOH=12∠BOC，∵∠FOG=∠BOH，∠BFG=12∠BOC，∴∠FOG=∠BFG，∵∠FGO=∠BGF，∴△FGO∽△BGF，∴FG GOBG GF=，∴FG2=GO•GB.【知识点】圆的有关概念及性质，与圆有关的位置关系，等腰三角形的性质和判定，相似的性质和判定，平移、旋转与对称28．（2019甘肃省兰州市，28，12分）【模型迁移】二次函数22y ax bx=++的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数22y ax bx=++的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.【思路分析】（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2即可求出解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据题意，求出点M，点N，点D的坐标，利用S△DNB=S△DMB-S△MNB即可得解；（3）由已知可得M（2t-1，0），设P（2t-1，m），根据勾股定理可得PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，再由PB=PC，得到m与t的关系式：m=4t-5，因为PC⊥PB，则有474512125t tt t--•=---，求出t=1或t=2，即可求D点坐标；（4）当t=54时，M（32，0），可知点Q在抛物线对称性x=32上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，由AB=5，可得圆半径AM=52，即可求Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）．【解题过程】解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，∴a=12-，b=32，∴213222y x x=-++；（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，得：402k bb+=⎧⎨=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC的直线解析式为122y x=-+，当t=32时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =12×MB×DM-12×MB×MN=12×2×2=2；（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，∵PB=PC，∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），∵PC⊥PB，∴47451 2125t tt t--•=---，∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=54时，M（32，0），∴点Q在抛物线对称性x=32上，如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=32的交点分别为Q1与Q2，∵AB=5，∴AM=52，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（32，52-），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（32，52），∴Q点坐标分别为（32，52-），（32，52）.【知识点】二次函数图形的图象和性质，二次函数的综合题。
2019年甘肃省兰州市中考数学真题及答案解析
2019年甘肃省兰州市中考数学真题及答案解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）1. －2019的相反数是（）A. B.2019 C.－2019 D.－【答案】B【解析】－（－2019）＝2019.2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b, ∠1＝∠800，则∠2＝（）A.1300B.1200C.1100D.1000【答案】D【解析】∵∠1＝800，∴∠1的对顶角为800，又∵a∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补，∴∠2＝1800－800＝1000，答案为D．3. 计算：－＝（）A. B.2 C.3. D. 4【答案】A【解析】－＝2－＝.4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形重合的图形排除D.故选C.5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2B. －3C. 4D. －6【答案】A【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故选A.6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（）A.1100B.1200C.1350D.1400【答案】D【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.7. 化简：＝（）A. a－1B. a+1C.D..【答案】A【解析】＝＝＝a－1.故选A.8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6，则＝（）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,∴＝又∵AB＝8，A’B’＝6，∴＝.故选B.9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1.(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y ＝5y+x,故选C.10. 如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3）.则点B1坐标为（）A.（1，2）B.（2，1）C.（1，4）D.（4，1）【答案】B【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）.故选B.11. 已知,点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（）A.2> y1> y2B.2 > y2 > y1C.y1> y2>2D.y2 > y1>2【答案】A【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y随x的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y1> y2.故选A.12. 如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则DM＝（）A. B. C.－1 D.－1【答案】D【解析】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，∵正方形的边长为，∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.又∵AC⊥BD, ∴OM＝PM, 设OM＝PM＝x，∵OQ⊥CD，MP⊥CD，∴∠OQC＝∠MPC＝900，∠PCM＝∠QCO,∴△CMP∽△COQ，∴＝, 即，解得x＝－1，∴OM＝PM＝－1.故选D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________.【答案】a（a+1）2【解析】a3 +2 a2+ a＝a（a2 +2 a+1）＝a（a+1）2.14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.【答案】700【解析】∵AB＝AC,∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.15. 如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x>0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝___________.【答案】6【解析】|k|＝S矩形OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k＝6.16. 如图，矩形ABCD, ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧交于点P ,作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.【答案】3【解析】由题可知AP是∠BAC的角平分线，∵∠BAC＝600，∴∠BAE＝∠EAC＝300，∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝，∴∠AEB＝600，又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA＝300，∴AE＝EC＝2，∴BC＝3，∴S矩形ABCD＝3．三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题5分）计算：|－2|－（+1）0+（－2）2－tan450 .解：原式＝2－1+4－1＝4.18.(本题5分)化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1).解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)＝a－2a2+2a2－2＝a－2.19.（本题5分）解不等式组：解：由①得：x<6，由②得：x>2，所以原不等式组的解集为：2<x<6.20. （本题6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E. 求证：AC∥DF.证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF (SAS) ，∴∠ACB＝∠EFD，∴AC∥DF.21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1,A2,A3,A4表示）;第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B1,B2,B3表示）.（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.解：（1）（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目)＝＝.22.（本题7分）如图，AC＝8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B和D，依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长.证明：（1）由图可知，BD垂直平分AC，且AB＝BC＝CD＝AD＝5,所以四边形ABCD是菱形.（2）∵AC＝8, BD⊥AC且BD平分AC，∴OA＝OC＝4，∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝3,∴BD＝2 OB＝2×3＝6，∴BD的长为6.23. （本题7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B，OC＝2,点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标.解：（1）∵OC＝2,∴OM＝1, BM＝,∴点B(－1 ，－)，∴k＝(－1) ×（－) ＝,∴y＝.（2）∵S ACBO＝3，S ACBO＝S△AOC+ S△BOC，∵S△BOC ＝OC2＝,∴+ S△AOC＝3，∴S△AOC＝2.∵OC＝2，∴×OC×AN＝2，∴AN＝2，设A（t，2），∴2t ＝，∴t ＝，∴A （，2）.24. （本题7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：解：（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.（1）（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.25.（本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：问题提出：如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA与遮阳篷CD 的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.560）；窗户的高度AB＝2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59,sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22,tan77.440≈4.49）.解：在Rt△BCD中，∠BCD＝900，∠BDC＝30.560，∵tan∠BDC ＝,∴BC＝CD⋅tan∠BDC,在Rt△ACD中，∠ACD＝900，∠ADC＝77.440，∵tan∠ADC ＝,∴AC＝CD⋅tan∠ADC,∵AC－BC＝AB,∴CD⋅tan∠ADC－CD⋅tan∠BDC＝2，即CD⋅tan77.440－CD⋅tan30.560＝2，（4.49－0.59）CD＝2，∴CD＝0.5，答：遮阳篷CD长为0.5m.26.（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点D为BC的中点，BE＝DE.将∠BDE 绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直线AB于M、N两点.设B、M两点间的距离为x cm，M、N两点间的距离为y cm.小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.请你通过计算，补全表格.（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y 关于x的图象：（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________.(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）. 解：（1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合，MN＝BE＝3，当x＝时，假设DN交CA的延长线于点H，∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,又∵D为BC的中点，BE＝DE.∴∠B＝∠EDB,ED为AC边的中位线，根据旋转性质，∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN,∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H,∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, CH＝6＝AC，即A点与H点重合，∴MN＝6－BM＝.(2)根据表格描点可得.（3）根据图象可得（4）∵MN＝2BM，设BM＝x，MN＝2x，EN＝3x－3，AN＝6－3x，∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)，∠NDB＝∠MDB+∠MDN,∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C，∴∠MDB＝∠H, ∠B＝∠C,∴△MDB∽△DHC，∴＝,∴＝, ∴CH＝，HA＝HC－AC＝－6，又∵△HAN∽△DEN，∴＝,∴＝, 解得x1＝4，x2＝≈1.33，答：BM为4或1.33.主要学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题【模型呈现】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900,将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC＝DE, BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下：【模型应用】27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG2＝GO•GB.（1）证明：∵∠DAE＝∠ABC且∠ABC+∠CAB＝900,∴∠EAD+∠CAB＝900,∴∠DAB＝900,∵AO为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线.（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝,由模型可知，△AED≌△BCA,∴AD＝,∴AO＝,∴DO＝,∵＝＝＝,∴△AED∽△DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ACF＝∠CFO＝∠ABF，∵∠FGO＝∠BGF,∴△FGO∽△BGF∴＝，∴FG2＝GO•GB.28.(本题12分)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求点Q的坐标.解：（1）将点A（－1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，所以，二次函数的表达式为：y＝－x2+x+2．（2）∵t＝，∴AM＝3，又∵OA＝1, ∴OM＝2,设BC的解析式为：y＝kx+b(k≠0),将点C（0,2）、B（4，0）代入，得：，解得：，所以直线BC的解析式为：y＝－x+2．将x＝2分别代入y＝－x2+x+2和y＝－x+2中，得：D（2，3）、N（2，1），∴DN＝2, ∴S△DNB＝×2×2＝2.(3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y轴的平行线，交EP的延长线于点F，设D（m，－m2+m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：△PEC≌△BFP, ∴PE＝BF, CE＝PF，∴，∴，所以，点D的坐标为：（1，3）.（4）当t＝时，AM＝,此时M点在二次函数的对称轴上，以M点为圆心，AM长为半径作圆，交MN于Q1、Q2两点，∵C（0，2），M（，0），∴CM＝＝R,∴C点在该圆上，∴∠ACB＝900,∴∠CAB+∠CBA＝900,∵∠CQ1A＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)∴∠C Q1A+∠CBA＝900,∠C Q2A+∠CBA＝900,∴Q（，）或Q（，－）.。
甘肃兰州-初中毕业考试数学试题解析版
甘肃省兰州市2019年中考数学试卷一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分）1、（2011•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A 、B、ax2+bx+c=0 C、（x﹣1）（x+2）=1 D、3x2﹣2xy﹣5y2=0考点：一元二次方程的定义。
专题：方程思想。
分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：A、由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2、（2011•兰州）如图，某反比例函数的图象过点M（﹣2，1），则此反比例函数表达式为（）A、y=B、y=﹣C、y=D、y=﹣考点：待定系数法求反比例函数解析式。
专题：待定系数法。
分析：利用待定系数法，设，然后将点M（﹣2，1）代入求出待定系数即可．解答：解：设反比例函数的解析式为（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，1），∴1=，得k=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣．故选B．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．3、（2011•兰州）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A、20°B、30°C、40°D、50°考点：切线的性质；圆周角定理。
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷(a卷)
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．（4分）（2019•兰州）﹣2019的相反数是（）A．B．2019C．﹣2019D．﹣2．（4分）（2019•兰州）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．（4分）（2019•兰州）计算：﹣＝（）A．B．2C．3D．44．（4分）（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）（2019•兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．﹣66．（4分）（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．（4分）（2019•兰州）化简：﹣＝（）A．a﹣1B．a+1C．D．8．（4分）（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．9．（4分）（2019•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．（4分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）11．（4分）（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞212．（4分）（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M（）A．B．C．﹣1D．﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2019•兰州）因式分解：a3+2a2+a＝．14．（4分）（2019•兰州）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°°．15．（4分）（2019•兰州）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k ＝．16．（4分）（2019•兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，再分别以点M，N为圆心MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，则矩形ABCD的面积等于．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）（2019•兰州）计算：|﹣2|﹣（+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．18．（5分）（2019•兰州）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．19．（5分）（2019•兰州）解不等式组：．20．（6分）（2019•兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，求证：AC∥DF．21．（6分）（2019•兰州）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）（2019•兰州）如图，AC ＝8，分别以A 、C 为圆心，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由； （2）求BD 的长．23．（7分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝（k ≠0），OC ＝2，点A 在反比例函数图象上，OA ．（1）求反比例函数y ＝（k ≠0）的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是3，求点A 的坐标．24．（7分）（2019•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一分数段 班级 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100八年级1班 7 5 10 3分析数据：表二统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级1班788536105.28小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下： 表三统计量 班级 平均数中位数众数极差方差八年级2班75767344146.80根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x ＜90这一组的数据如下： 85，87，88，82，85，85，87 根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）（2019•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳蓬CD ． 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA 与遮阳蓬CD 的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26．（9分）（2019•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，点D为BC的中点，BE＝DE（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.300.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.717.277.448.87请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y）（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．28．（12分）（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°。
2019年甘肃省兰州中考数学试卷-答案
△ABC≌△DEF (SAS) . ACB EFD . AC∥DF . 【 解 析 】 要 证 明 AC∥DF ， 只 要 证 明 ACB DFE 即 可 ， 要 证 明 ACB DFE ， 只 要 证 明 △ABC≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明 △ABC≌△DEF ，本题得以解决. 【考点】全等三角形的判定与性质 21.【答案】（1）使用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果
10 26.【答案】（1）
3
（2）根据表格描点可得：
（3）根据图像可得：
9 / 15
当 0≤x≤1.65 时，y 随 x 增大而减小， 当1.65＜x≤4.10 时，y 随 x 增大而增大.
a 1
【考点】分式的化简
8.【答案】B
【解析】直接利用相似三角形的性质求解.
△ABC∽△ABC ， AB BC
， AB BC
又 AB 8 ， AB 6 ，
BC 4 .
BC 3
2 / 15
故选 B. 【考点】相似三角形的性质
9.【答案】C 【解析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.
根据题目条件找出等量关系并列出方程： （1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程: 5x 6 y 1
(2)互 换 其中 一只 ，恰 好一 样 重， 即四 只雀 和一只 燕 的重 量等 于五 只燕一 只 雀的 重量 ，列 出方程 ： 4x y 5y x ，
故选 C. 【考点】二元一次方程组应用
10.【答案】B 【解析】根据 A 和 A1 的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形 A1B1C1D1，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案.
2019年兰州市中考数学试卷与答案
2019年兰州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．﹣2019的相反数是（）A．B．2019 C．﹣2019 D．﹣2．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．计算：﹣＝（）A．B．2C．3 D．44．剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣66．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．化简：﹣＝（）A．a﹣1 B．a+1 C．D．8．已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2 B．C．3 D．9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）11．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞212．如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD 沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1 D．﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．因式分解：a3+2a2+a＝．14．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝°．15．如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，S矩形OABC ＝6，则k＝．16．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于．三、解答题：本大题共12小题，共86分.17．（5分）计算：|﹣2|﹣（+1）0+（﹣2）2﹣tan45°．18．（5分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．19．（5分）解不等式组：．20．（6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y ＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一表二下：表三（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE ＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是cm．（保留两位小数）．27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC ＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q 的坐标．2019年兰州市中考数学试卷答案1． B．2． D．3． A．4． C．5． A．6． D．7． A．8． B．9． C．10． B．11． A．12． D．13． a（a+1）2．14． 70．15． 6．16． 3．17．解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．18．解：原式＝a﹣2a2+2（a2﹣1）＝a﹣2a2+2a2﹣2＝a﹣219．解：解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞2，所以，不等式组的解集为2＜x＜6．20．证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．21．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率＝＝．22．解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB＝＝3，∴BD＝2OB＝6．23．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵S △OBC＝OC•BD＝＝，∴S △AOC＝3﹣＝2，∵S △AOC＝OC•y A＝2，∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．24．解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．25．解：在Rt△DCB中，tan∠BDC＝，则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC＝，则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，由题意得，AC﹣BC＝AB，即4.49CD﹣0.59CD＝2，解得，CD≈0.5m，答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．26．解：（1）①当x＝BM＝0时，连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，cos∠ABD＝＝＝cosα，则sinα＝，则y＝MN＝BN＝＝3；②x＝BM＝，在△MBD中，BD＝4，BM＝，cos∠B＝＝cosα，tanα＝，过点M作MH⊥BD于点H，则BH＝BM cosα＝，则EH＝，MD2＝HD2+EH2＝，则BD2＝BM2+MD2，故∠BMD＝90°，则y＝MN＝MD tanα＝（DB sinα）tanα＝；故：答案为3，；（2）描点出如下图象，（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，直线与曲线交点的横坐标1.33和4故答案为：1.33或4．方法二：如图3，DN与CA的延长线交于点H．设BM＝x，MN＝2xEN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）∠NDB＝∠MDB+∠NDM∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C∴△MDB∽△DHC∴＝∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6 又∵△HAN∽△DEN∴＝∴＝3x3﹣16x+16＝0解得x1＝4，x2＝．故答案为：1.33或4．27．证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB绕点A旋转得到AD∴AB＝AD在△DEA与△ACB中∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1∴AD＝AB＝∵O为AB中点∴AO＝AB＝∴∵∠DAO＝∠AED＝90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO＝∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC∵OB＝OC∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC∴∠FOG＝∠BFG∵∠FGO＝∠BGF∴△FGO∽△BGF∴∴FG2＝GO•GB28．解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）C（0，2），∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，当t＝时，AM＝3，∵AB＝5，∴MB＝2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；（3）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴•＝﹣1∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；（4）当t＝时，M（，0），∴点Q在抛物线对称轴x＝上，如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2，∵AB＝5，∴AM＝，∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°，∴∠AQ1C＝∠MAG，又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG，∴Q1（，﹣），∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（，），∴Q点坐标分别为（，﹣），（，）；。
甘肃省中考数学真题试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．03．（3分）使得式子A．x≥4B．2C．﹣3D．﹣有意义的x的取值范围是（）B．x＞424C．x≤4D．x＜44．（3分）计算（﹣2a）•a的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a85．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）22C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）7．（3分）若一元二次方程x﹣2kx+k＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或08．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）甲乙参加人数平均数中位数方差4545949493955.34.8A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多10．（3分）如图是二次函数y ＝ax +bx +c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b ，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）22A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x y ﹣4xy ＝．12．（3分）不等式组13．（3分）分式方程＝的最小整数解是．的解为．，则cos B ＝．314．（3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tan A ＝15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）+（2019﹣π）﹣﹣20tan60°﹣|﹣3|．20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB 和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含（300mm ），高度的范围是120mm ～150mm （含150mm ）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：22收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级八年级x ＜600160≤x ＜8010580≤x ＜904890≤x ≤10011（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级七年级八年级得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．25．（7分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，n ）、平均数77.5中位数7580众数75B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．26．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：△ADG ≌△DCE ；（2）连接BF ，证明：AB ＝FB ．27．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A ＝∠ADE ；（2）若AD ＝8，DE ＝5，求BC 的长．28．（10分）如图，已知二次函数y ＝x +bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．22019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣3D．﹣【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．（3分）使得式子A．x≥4有意义的x的取值范围是（）B．x＞4C．x≤4D．x＜4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4．故选：D ．有意义，则：4﹣x ＞0，【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（3分）计算（﹣2a ）•a 的结果是（）A ．﹣4a 624B ．4a 6C ．﹣2a 6D ．﹣4a 8【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a ）•a ＝4a •a ＝4a ．故选：B ．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）24246A ．48°B ．78°C ．92°D ．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．6．（3分）已知点P （m +2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（）A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x 轴上点的坐标特点得出m 的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P （m +2，2m ﹣4）在x 轴上，∴2m ﹣4＝0，解得：m ＝2，∴m +2＝4，则点P 的坐标是：（4，0）．故选：A ．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m 的值是解题关键．7．（3分）若一元二次方程x ﹣2kx +k ＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或022【分析】把x ＝﹣1代入方程计算即可求出k 的值．【解答】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k ＝0，解得：k ＝﹣1，故选：A ．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．8．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（）2A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°【分析】由∠AOC ＝126°，可求得∠BOC 的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB 的度数．【解答】解：∵∠AOC ＝126°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝54°，∵∠CDB ＝∠BOC ＝27°．故选：C ．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）甲乙参加人数平均数中位数方差4545949493955.34.8A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A 正确；由众数的定义得出选项B 不正确；由方差的性质得出选项C 不正确；由两个班的中位数得出选项D 不正确；即可得出结论．【解答】解：A 、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B 、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C 、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D 、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A ．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10．（3分）如图是二次函数y ＝ax +bx +c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b ，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）22A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①错误；②由于对称轴可知：∴2a +b ＞0，故②正确；＜1，③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b ﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知：x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，故④正确；⑤当x ＞故选：C ．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）分解因式：x y ﹣4xy ＝xy （x +2）（x ﹣2）．【分析】先提取公因式xy ，再利用平方差公式对因式x ﹣4进行分解．【解答】解：x y ﹣4xy ，＝xy （x ﹣4），＝xy （x +2）（x ﹣2）．【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式23232时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误；xy ，第二步再利用平方差公式对因式x 2﹣4进行分解，得到结果xy （x +2）（x ﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）分式方程＝的解为．，【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x +6＝5x +5，解得：x ＝，经检验x ＝是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（3分）在△ABC 中∠C ＝90°，tan A ＝，则cos B ＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝设a ＝，x ，b ＝3x ，则c ＝2x ，∴cos B ＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+2）cm ．2【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，高为的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×故答案为（18+2）cm ．2cm ，三棱柱＝18+2（cm ）．2【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S 阴＝S △ABC ﹣2•S 扇形ADE ，计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2，∴AB ＝2，∠A ＝∠B ＝45°，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝DB ＝，＝2﹣，∴S 阴＝S △ABC ﹣2•S 扇形ADE ＝×2×2﹣2×故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为．【分析】设CE ＝x ，则BE ＝6﹣x 由折叠性质可知，EF ＝CE ＝x ，DF ＝CD ＝AB ＝10，所以AF ＝8，BF ＝AB ﹣AF ＝10﹣8＝2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2＝EF 2，即（6﹣x ）2+22＝x 2，解得x ＝．【解答】解：设CE ＝x ，则BE ＝6﹣x 由折叠性质可知，EF ＝CE ＝x ，DF ＝CD ＝AB ＝10，在Rt △DAF 中，AD ＝6，DF ＝10，∴AF ＝8，∴BF ＝AB ﹣AF ＝10﹣8＝2，在Rt △BEF 中，BE +BF ＝EF ，即（6﹣x ）+2＝x ，解得x ＝故答案为，．222222【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n 幅图中共有（2n ﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n ﹣1＝2019，n ＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．（4分）计算：（﹣）+（2019﹣π）﹣﹣20tan60°﹣|﹣3|．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4+1﹣＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（4分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹），【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解答】解：如图，点M 即为所求，【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD ＝65°，BD ＝900，∴BM ＝BD •cos65°＝900×0.423≈381，DM ＝BD •sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x ﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解，∴m ＝2，n ＝3，或m ＝3，n ＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程x ﹣5x +6＝0的解的结果有2个，2222m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级八年级x ＜600160≤x ＜8010580≤x ＜904890≤x ≤10011（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级七年级八年级得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；平均数76.877.5中位数7580众数7581（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．25．（7分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，n ）、＝20B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有解得，，上，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC＝2 x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD ．∵∠ADE ＝∠A ，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝5，∴AC ＝2DE ＝10，在Rt △ADC 中，DC ＝6，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC ＝x +6，在Rt △ABC 中，BC ＝（x +8）﹣10，∴x +6＝（x +8）﹣10，解得x ＝，∴BC ＝＝．2222222222【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（10分）如图，已知二次函数y ＝x +bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．2【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S 四边形AEBD ＝AB （y D ﹣y E ），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝（x ﹣1）（x ﹣3）＝x ﹣4x +3；故二次函数表达式为：y ＝x ﹣4x +3；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，22则AB ＝PE ＝2，则点P 坐标为（4，3），当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，故：点P （4，3）或（0，3）；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为（2，0）设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m ＝2，故点P （2，﹣1）；故：点P （4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，设点E 坐标为（x ，x ﹣4x +3），则点D （x ，﹣x +3），2S 四边形AEBD ＝AB （y D ﹣y E ）＝﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3＝﹣x 2+3x ，∵﹣1＜0，故四边形AEBD 面积有最大值，当x ＝，其最大值为，此时点E （，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
甘肃省兰州市2019年中考数学试题
2019年兰州市初中学业水平考试数学（A ）注意事项：一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分. 1. 2019-的相反数是 A.20191 B. 2019 C. -2019 D. 20191- 2.如图，直线a ,b 被直线c 所截，a ∥b ，∠=80°，则∠2=A.130°B.120°C.110°D.100°3.计算：312-=A.3B.23C. 3D.434.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是5.1=x 是关于x 的一元二次方程022=++b ax x 的解，则2a +4b = A. -2 B. -3 C.-1 D. -66. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =40°，则∠C =A. 110°B.120°C.135°D.140°7.化简：=+-++12112a a a A. 1-a B.1+a C.11+-a a D.11+a 8.已知△ABC ≈△C B A ''',AB =8,6=''B A ,则C B BC ''= A. 2 B.34 C. 3 D. 916 9.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为A.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165；B.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156；C.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165；D.⎩⎨⎧-=-=+xy y x y x 5415610.如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1,已知A （-3，5），B （-4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为A.（1，2）B.（2，1）C.（1，4）D.（4，1）11.已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线2)1(2++-=x y 上，则下列结论正确的是A.212y y >>B.122y y >>C. 221>>y yD.212>>y y12.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =A.21B.22C.1-3D.1-2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.因式分解：=++a a a 232 .14.在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B = . 15.如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，6=OABC S 矩形，则k = .16.如图，矩形ABCD ，∠BAC =60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ,N 两点，再分别以点M ,N 为圆心，以大于21MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE =1，则矩形ABCD 的面积等于 . 三、解答题：本大题共12小题，共86分.17.（5分）计算：︒--++--45tan )2()13(|2|218.（5分）化简：)1)(1(2)21(-++-a a a a19.（5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x20.（6分）如图，AB =DE ,BF =EC ,∠B =∠E ，求证：AC ∥DF .21.（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强--国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目. 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用1A ，2A ，3A ，4A 表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用1B ，2B ，3B 表示）. （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.22.（7分）如图AC =8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D.依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O . （1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由; （2）求BD 的长.23.（7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过等边三角形BOC 的顶点B ，OC =2，点A 在反比例函数图象上，连接AC ，O A. （1）求反比例函数)0(≠=k xky 的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33，求点A 的坐标.24.（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：分析数据：小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.25.（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬C D.数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC=77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC 最小（∠BDC=30.56°）.窗户的高度AB=2m.问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长.（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）26.（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（︒≤≤830α），角的两边分别交直线AB 于M 、N 两点，设B 、M 两点间的距离为xcm ，M ,N 两点间的距离为ycm .小涛根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小涛的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是B ,M 两点间的距离x 进行取点、画图、测量,分别得到了y 与x 的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ）,并画出函数y 关于x 的图象.（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是cm.（保留两位小数）.通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题.【模型呈现】如右图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点B作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型成为“K型”.推理过程如下：27.（10分）如图，在Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，BC =2，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到AD ，过AD 作DE ⊥AC 于点E ，∠DAE =∠ABC ，DE =1，连接DO 交⊙O 于点F . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接FC 交AB 于点G ，连接F B.求证：GB GO FG ⋅=2.28.（12分）二次函数22++=bx ax y 的图象交x 轴于点（-1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒. （1）求二次函数22++=bx ax y 的表达式；（2）连接BD ，当t =23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t =45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠OAC =90°,求点Q 的坐标.。