有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解

结果为负．
举一反三：
1n + (-1)n (-1)n + ( ) -1 n+1
【变式】当 n 为奇数时，
-
=
．
4
4
【答案】0
类型三、有理数的混合运算
3.计算： （1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)] （2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）
æ çè
(-3)4 = (-3)´ (-3)´ (-3)´ (-3) = 81；
-(-3)4 = -[(-3)´ (-3)´ (-3)´(-3)] = -81
23 2´ 2´ 2 8
(2) =
=；
(2)3 = (2)´(2)´(2) =
8
；
3 3 3 3 3 3 3 27
(- 2)3 = (- 2)´ (- 2)´ (- 2) = - 8 ；
要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二 级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的 顺序进行．
5
= - 1 ´ 2 - 5 ´ 24 + 7 ´ 24 +125
16 5 2
3
= - 1 - 60 + 56 +125 = 120 39
40
40
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式】计算：（1）
éêë1-
æçè1-
0.
5×1 3
ö÷øùúû×éë2 -
(-3)2
ù û
（2）
-14
-
16×éë2
-
(
-3)3
ù û
（3）(11 + 1 - 2. 75)×(-24)+(-1)2011 - -2 3 38
（4） 1 - 1 +|-23 - 3| (-0. 1)3 (-0. 2)2
【答案】（1）原式
=
çæ1 -
5
ö ÷
´
(-
7)
è 6ø
= 1×(-7) = - 7
3
3 3 3 27
(-2)3 (-2)´ (-2)´ (-2) -8 8
- =-
=- =
3
3பைடு நூலகம்
33
【总结升华】注意 (-a)n 与 -an 的意义的区别．(-a)2n = a2（n n 为正整数），(-a)2n+1 = -a2n+1
（n 为正整数）．
举一反三：
【变式 1】比较(-5)3 与-53 的异同．
82 3
3 8 3 24
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
æ çè
1 4
2
ö ÷ø
÷
æ çè
-2
1 2
ö ÷ø
+
æçè11
1 4
+
2
1 3
-13
3 4
ö ÷ø
´
24
-
(
1
-0.2)3
1 5 45 7 55
1
= ÷ (- ) + ( + - )´ 24 -
16 2 4 3 4
(- 1)3
0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
．
要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
算出 1+5+52+53+…+52014=
．
【答案】
解：设 S=1+5+52+53+…+52014， 则 5S=5+52+53+…+52015， 5S﹣S=（5+52+53+…+52015）﹣（1+5+52+53+…+52014）=52015﹣1，
所以，S=
．
【总结升华】根据题目信息，设 S=1+5+52+53+…+52014，表示出 5S=5+52+53+…+52015，然
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13 （2） [73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24) ＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式 = - 1 + 1 ´[2 - (2 - 2)] = - 1 - 1 = - 11
6
6
或原式=（1-1+ 1 ´ 1 ）（2-9） = 1×(-7) = - 7
23
6
6
（2）原式
=
-1-
16×éë2 -
(-27)ùû
=
-1-
1×29 6
=
-
35 6
(3)
原式
=(
4
+
1
-
11 )×(-24)-
1-
8
=-32-3+66-9=22
38 4
1
1
(4) 原式 =
- +|-8 - 3|
-0. 001 0. 04
A．1
B． ﹣1
C． 2n
D． 不确定
【答案】A． 因为 n 为正整数，2n 一定是偶数，所以（﹣1）2n=1.
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，
æ çè
5 3
5
ö ÷ ø
，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：
= ... = 22 - 2 = 2
【变式 2】计算： (- 3)7 ´ (- 4)7
4
3
【答案】 (- 3)7 ´ (- 4)7 = [(- 3) ´ (- 4)]7 = 1
4
3
43
类型四、探索规律
5. （2015•滕州市校级二模）求 1+2+22+23+…+22013 的值，可令
S=1+2+22+23+…+22013，则 2S=2+22+23+…+22014，因此 2S﹣S=22014﹣1．仿照以上推理，计
后相减求出 S 即可．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和． 【答案】 (1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…； (2)第②行数是第①行数相应的数加 3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③
-
1 2
3
ö ÷ø
+
1 2
´ æç è
2 3
-
2 3
-2
ö ÷； ø
（4）
æ çè
1 4
2
ö ÷ø
÷
æ çè
-2
1 2
ö ÷ø
+
æçè11
1 4
+
2
1 3
-13
3 4
ö ÷ø
´
24
-
1
( -0.2 )3
【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
举一反三：
【变式 1】计算： 220 - 219 - 218 - 217 - 216 - ... - 24 - 23 - 22 - 2
【答案】原式
= 219 - 218 - 217 - 216 - ... - 24 - 23 - 22 - 2 = 218 - 217 - 216 - ... - 24 - 23 - 22 - 2
(-2)7
运算的结果是负；(-3)24
运算的结果为正；(-1.0009)2009
运算的结果是负；æçè
5 3
5
ö ÷ ø
运算的结果是正；-(-2)2010 运算的结果是负．
【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0，指数不
为０时，结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，
有理数的乘方及混合运算（提高）
【学习目标】 1．理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有： a ! a ! ××× ! a = an .在 an 中， a 叫做底数， n 叫做指数. "#$#% n个
行数是第①行数相应的数的 1 ，即 -3´ 1 ， (-3)2 ´ 1 ， (-3)3 ´ 1 ， (-3)4 ´ 1 ，…；
3
3
3
3
3
(3)每行数中的第 10 个数的和是： (-3)10 + [(-3)10 + 3] + (-3)10 ´ 1 = 59049+59052+19683＝ 3
137784．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
不同点：(-5)3 表示-5 的 3 次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53 表示 5 的 3 次方的相
反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同． 【变式 2】（2015•杭州模拟）若 n 为正整数，（﹣1）2n=（ ）
= -1000 - 25+11 = -1014
4.计算： (-2)2011 + 22012
【答案与解析】逆用分配律可得：
(-2)2011 + 22012 = -22011 + 22012 = 22011(-1+ 2) = 1× 22011 = 22011
【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有 22n+1 - 22n = 22n ; 22n - 22n-1 = 22n-1
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1. 计算：
（1） 34 ； - 34；（- 3）4； -（- 3）4
（2） 23 ；（2）3；（- 2）3； - (-2)3
33
3
3
【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81； -3 4＝-（3×3×3×3）＝-81；