有理数的乘方及混合运算提高知识讲解
人教版初一数学上册《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】【变式1】选择题 （1）已知四种说法：①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数. ③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （2）有四个说法：①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ）A ．ab<0B ．ab>0C ．a>0且b<0D ．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A ．120 B ．-15 C ．0 D ．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106．2.（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n ﹣2016|. 【答案】2016.【解析】解：∵m ，n 互为相反数， ∴m+n=0，∴|m+n ﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷- ()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等. 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4. 先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算．举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A ，B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A ．1132 B ．1360 C ．1495 D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.【答案】B.【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++. C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
有理数加减乘除乘方混合运算相关法则知识整理汇总
有理数加减乘除乘方混合运算相关法则知识整理一、知识整理填空答案符号计算绝对值加法同号取相同的符号绝对值相加异号取绝对值大的符号绝对值相减减法减去一个数等于加上这个数的相反数乘法同号取正绝对值相乘异号取负除法同号取正绝对值相除异号取负除以一个数等于乘以这个数的倒数二、一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算.三、运算法则1、有理数的加法法则：1）同号两数的相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数同0相加仍得这个数.2、有理数的减法法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数.3、有理数的乘法法则：1）两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2）任何数与0相乘，积仍为0.4、有理数的除法法则: 1）除以一个数就是乘以这个数的倒数；2）两数相除同号得正，异号得负；并把绝对值相除；3）零除以任何非零的数得为零.注：0不能作除数5、有理数的乘方符号法则：1）正数的任何次幂都是正数；2）负数的奇次幂为负，偶次幂为正.四、有理数的运算律1、加法交换律：a+b=b+a2、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3、乘法交换律：ab=ba4、乘法结合律：(ab)c=a(bc)5、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac五、有理数混合运算的法则：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。
（2）如有括号，先进行括号里的运算。
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2．同级运算依照从左到右的顺序运算；3．若有括号，先小括号，再中括号，最后大括号，依次运算；。
有理数的混合运算讲义知识点经典例题练习
有理数的混合运算【知识要点】1．有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的. 2. 运算级别：（1）通常把六种运算分成三级，加减是第一级运算； 乘除是第二级运算；乘方和开方是第三级运算.（2） 一般先算高级运算，再算低级运算，即先算第三级运算，再算第二级运算，最后算第一级运算. （3） 同一级运算，按从左到右的顺序运算.（4） 如果有括号，先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号. 3．有理数混合运算的小秘诀： （1）同分母的数相结合 （2）能凑整的数相结合 （3）互为相反数的数相结合（4）小数化成分数，带分数化成假分数.【典型例题】例1. 计算：（1）3)4()526(519)4.7(2.9-+-+-++---（2） 325)5.2()94(321÷-⨯-⨯（3）()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--⨯1324225.023（4）()1032121812125.0-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-(5) ()⎪⎭⎫⎝⎛--÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+125.0416311211例2. 已知b a ,互为相反数，d c ,互为倒数， 试求20112011)()()(cd b a x cdba b a -++++++的值.* 例3. 如果()()0132122=-+-++c b a ，求333c a abc -+的值．【初试锋芒】一、选择题1．若0,0>>+ab b a ，那么下面正确的是（ ）A. 0,0>>b aB. 0,0<>b aC. 0,0<<b aD. 0,0><b a2．若a b a >-，则b 是（ ）A.正数B.负数C.整数D.任意有理数3．如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）A.－1B.0C.1D.－1，0，14．下面四个命题中，正确的是（ ）A. 若b a ≠，则22b a ≠ B. 若b a >，则b a > C. 若b a >，则22b a > D. 若b a >，则b a > 5．下列运算中，正确的是（ ）A.―15―5=－10B.()075.3433=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.()1392=-÷- D.()4.3114.373614.3743-=⨯--⨯ 6．下列运算结果为正的是（ ）A ．()27--B ．4)312(--C ．()()()341-⨯-⨯-D ．111234⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、计算题1．直接写出下列各式的结果：（1）()()=---3411 （2）=⨯⨯-4232（3）()=-⨯⨯-1021)32( （4）=⨯--21222 （5）=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-25522（6）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--22312．计算：（1）()331313⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯- （2）()2353411.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--（3）25.099÷- （4）()178155352+÷⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-（5）()()2011 1.950055-÷-+-⨯--÷(6)()()()223213931520.25⎡⎤---÷----⨯-÷⎣⎦【大显身手】计算题 1．()1452535213⨯-÷+- 2．()2612765321-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-3．()()[]2432315.011--⨯⨯-+- 4．32)2(3)3(0-⨯÷--5．()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯----+-⨯-224372122122321。
初一数学《有理数的混合运算》知识点精讲
知识点总结知识点1 常规计算有理数混合运算的运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．注意：绝对值符号有括号的作用.知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律. 【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．知识点3 求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；有理数的混合运算:1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算。
2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。
有理数混合运算的四种运算技巧：(1)转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.(2)凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.(3)分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.(4)巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.知识要点1.计算的基本法则：包括:有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的混合运算有理数乘除、乘方运算技巧多
有理数乘除、乘方运算技巧多有理数乘除、乘方运算是七年级数学的重点内容之一，是学习其它知识必不可少的基础，也是同学们难以掌握时常出错的难点，在进行有理数乘除、乘方运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，收到事半功倍的奇效。
现略举几例说明如下，供同学们参考：一、应用乘法交换律、结合律例1、计算：431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯- 解析：根据算式的数值之间的关系：2)8()25.0(=-⨯-，14774431)74(-=⨯-=⨯-应用乘法交换律、结合律，可使问题化繁为简，迅捷可解。
431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯-=2)1(2]47)74)][(8()25.0[(-=-⨯=⨯--⨯- 二、应用乘法分配律例2、计算：)32143612851()48(-+-⨯- 解析：同样，若按运算顺序，先算小括号里面的，复杂繁琐，而根据算式的数值之间的关系，应用乘法分配律，则可使运算过程迅捷简便，迎刃而解。
)32143612851()48(-+-⨯-=354843486134881348⨯+⨯-⨯+⨯- =70803610478=+-+-三、逆用乘法分配律例3、计算：58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯- 解析：此题逆用乘法分配律，可使问题化繁为简，迅捷获解58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯-=)7473(58.0)4143()13(+⨯-+⨯- =58.1358.013-=--四、正逆巧用乘法分配律例4、计算：)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+- 解析：通过细心观察算式的数值之间的关系，可先对第2个括号逆用乘法分配律，简便运算后，再对第1个括号正用乘法分配律，再次进行简便运算，使问题巧妙获解。
)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+-=124)836532125()]329295(24[)836532125(⨯⨯+-+-=+-⨯+-+- =5920161024832465243224125-=+-+-=⨯+⨯-⨯+⨯- 五、巧用乘法运算律例5、计算：2111237)317713(723÷⨯-⨯ 解析：若按有理数混合运算的顺序进行计算，相当麻烦，而根据算式结构特点，先用乘法交换律、结合律，再用乘法分配律，可使运算简便快捷2111237)317713(723÷⨯-⨯=2122237)322722(723÷⨯-⨯ =473222132222217222221)322722(237723-=-=⨯-⨯=⨯-⨯⨯ 六、逆用幂的运算法则例6、计算：20072006)8()125.0(-⋅- 解析：算式的数值之间的关系是1)8()125.0(=-⨯-，因此逆用幂的运算法则n m n m a a a ⋅=+及n n n ab b a )(=，可使问题化难为易，巧妙获解。
沪教版六年级--有理数的乘方和混合运算(提高)-教师
初中数学备课组教师：班级：预初学生：日期：2013-02- 上课时间：学生情况：主课题：有理数的乘方和混合运算教学目标：1、理解有理数乘方、幂、底数、指数的概念及意义的概念；2、通过观察、推理，归纳出有理数乘方的符号法则，能够正确进行有理数的乘方运算；3、理解有理数的混合运算顺序，正确熟练地进行有理数的混合运算；4、进一步熟悉有理数的加、减、乘、除、乘方各种运算法则。
教学重点：1、乘方的符号法则及其运算；2、熟练进行有理数的混合运算；教学难点：1、有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系的理解；2、在运算中灵活地使用运算律。
考点及考试要求：基本内容 有理数的乘方和混合运算知识精要一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。
a 叫底数，n 叫指数，na 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)。
2、乘方的意义：na 表示n 个a 相乘。
n an a a a a a =⨯⨯⨯⨯个3、写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了． 如：2)32(-＝(32-)×(32-)，表示两个32-相乘． 而322-＝322⨯-，表示2个2相乘的积除以3的相反数．4、n a 与－na 的区别．(1)na 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．(2)－na 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 如：3)2(-底数是2-，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．3)2(-＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．32-底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．32-＝－(2×2×2)＝－8．注：3)2(-与32-的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数．(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
七年级上册 专题04 有理数的乘方及混合运算(知识点串讲)(教师版含解析)
专题04 有理数的乘方及混合运算知识网络重难突破知识点一有理数的乘方1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0【典例1】(2019秋•瑞安市校级月考)下面各式中，计算正确的是()A．﹣22＝4 B．(﹣2)2＝4 C．(﹣3)2＝6 D．(﹣1)3＝﹣3【点拨】根据乘方的运算法则计算即可．【解析】解：A．﹣22＝﹣4≠4，故该选项错误；B．(﹣2)2＝4，故该选项正确；C．(﹣3)2＝9≠6，故该选项错误；D．(﹣1)3＝﹣1≠﹣3，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0，是解题的关键．【变式训练】1．(2019秋•拱墅区校级月考)下列各组数中，相等的一组是()A．(﹣2)2和|﹣2|2B．(﹣3)4和﹣34C．(﹣4)3和|﹣4|3D．(﹣3)4和﹣(﹣3)4【点拨】根据乘方的定义和绝对值的性质逐一计算即可判断．【解析】解：A、(﹣2)2＝4、|﹣2|2＝4，故此选项正确；B、(﹣3)4＝81、﹣34＝﹣81，故此选项错误；C、(﹣4)3＝﹣64、|﹣4|3＝64，此选项错误；D、(﹣3)4＝81、﹣(﹣3)4＝﹣81，此选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数乘方的定义和绝对值的性质．2．(2019秋•永定区期中)一个有理数的平方等于它本身，那么这个有理数是() A．0 B．1 C．±1 D．0或1【点拨】直接利用有理数的乘方运算法则得出答案．【解析】解：∵一个有理数的平方等于它本身，∴这个有理数是：0或1．故选：D．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．(2019春•西湖区校级月考)下列说法中正确的是()A．﹣a n和(﹣a)n一定是互为相反数B．当n为奇数时，﹣a n和(﹣a)n相等C．当n为偶数时，﹣a n和(﹣a)n相等D．﹣a n和(﹣a)n一定不相等【点拨】根据有理数的乘方的定义，分n是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．【解析】解：当n为奇数时，﹣a n和(﹣a)n相等，当n为偶数时，﹣a n和(﹣a)n一定互为相反数．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论．知识点二科学记数法1.把一个数表示成a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式叫做科学记数法.．2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【典例2】(2019秋•诸暨市期中)在今年的十一黄金周期间，五泄景区共接待海内外游客约11.2万人次，则数据11.2万用科学记数法可表示为()A．11.2×104B．11.2×105C．1.12×104D．1.12×105【点拨】先还原成112000，再用科学记数法表示出来即可．【解析】解：11.2万＝112000＝1.12×105，故选：D．【点睛】本题考查了科学记数法，知道任何绝对值大于10的数都可以表示成a×10n的形式(1≤a＜10，n为正整数)是解此题的关键．【变式训练】1．(2019秋•南浔区期中)据统计，2019年十一期间，湖州市共接待国内外游客约585万人次，数据585万用科学记数法表示为()A．5.85×105B．5.85×106C．0.585×107D．585×106【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：585万＝5850000＝5.85×106，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．(2019秋•富阳区期中)计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒()A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：384000000000用科学记数法表示为：3.84×1011．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(2016•富阳市模拟)﹣4.5×10﹣5表示()A．﹣000045 B．﹣0.000045 C．﹣450000 D．﹣45000【点拨】根据将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n 位所得到的数．【解析】解：﹣4.5×10﹣5表示﹣0.000045，故选：B．【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．知识点三近似数1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例3】(2018秋•桥西区期末)下列说法错误的是()A．0.350是精确到0.001的近似数B．3.80万是精确到百位的近似数C．近似数26.9与26.90表示的意义相同D．近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205【点拨】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解析】解：A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确；B、3.80万是精确到百位的近似数，所以B选项的说法正确；C、近似数26.9精确到十分位，26.90精确到百分位，所以C选项的说法错误；D、近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205，所以D选项的说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【变式训练】1．(2019秋•慈溪市期中)用四舍五入法对0.4249取近似数，精确到百分位的结果是() A．0.425 B．0.43 C．0.42 D．0.420【点拨】取近似数，看千分位满5进1，不满5舍去即可．【解析】解：0.4249≈0.42，故选：C．【点睛】本题考查了近似数，能理解四舍五入的意义是解此题的关键．2．(2019秋•义乌市期中)由四舍五入得到的近似数3.50万，精确到()A．十分位B．百位C．十位D．百分位【点拨】先将3.50万还原，然后确定0所表示的数位即可；【解析】解：3.50万＝35000，近似数3.50万精确到百位，故选：B．【点睛】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度．3．(2019秋•乐清市期中)数4是4.3的近似值，其中4.3叫做真值，若一个数经四舍五入得到的近似数是12，则下列各数中不可能是12的真值的是()A．12.38 B．12.66 C．11.99 D．12.42【点拨】先找到所给数的十分位，根据四舍五入不能得到12的数即可．【解析】解：∵12.38≈12，12.66≈13，11.99≈12，12.42≈12，∴下列各数中不可能是12的真值的是选项B．故选：B．【点睛】本题主要考查了知道近似数，求真值，只需看近似数的最末位的下一位，采用的方法是四舍五入．4．(2018秋•拱墅区期末)下列由四舍五入法得到的近似数，对其描述正确的是()A．1.20精确到十分位B．1.20万精确到百分位C．1.20万精确到万位D．1.20×105精确到千位【点拨】根据近似数的精确度分别进行判断．【解析】解：A、1.20精确到百分位，所以A选项的说法不正确；B、1.20万精确到百位，所以B选项的说法不正确；C、1.20万精确到百位，所以C选项的说法不正确；D、1.20×105精确到千位，所以D选项的说法正确．故选：D．【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数称为近似数.知识点四有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【典例4】(2019秋•慈溪市期中)计算：(1)(﹣7)×5﹣(﹣36)÷4；(2)﹣12020﹣(﹣)×6+32【点拨】(1)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；(2)原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【解析】解：(1)原式＝﹣35+9＝﹣26；(2)原式＝﹣1﹣(2﹣3)+9＝﹣1﹣2+3+9＝9．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练】1．(2019秋•瑞安市期中)下列运算中正确的个数有()①(﹣5)+5＝0，②﹣3+2＝﹣1，③﹣6÷3×＝﹣6，④74﹣22÷70＝1A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】①根据互为相反数的两个数和为0即可判断正误；②根据有理数的加法运算即可判断正误；③根据有理数的乘除运算顺序进行计算即可判断正误；④根据先算乘方、再算除法、最后算加减的运算顺序进行计算即可判断正误．【解析】解：①(﹣5)+5＝0，正确；②﹣3+2＝﹣1，正确；③﹣6÷3×＝﹣6，错误．原式＝﹣2×＝﹣．④74﹣22÷70＝1，错误．原式＝74﹣＝．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是严格按照有理数的混合运算顺序进行计算．2．(2018秋•拱墅区期末)计算：(1)﹣7﹣3+8(2)【点拨】(1)原式利用加减法则计算即可求出值；(2)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值．【解析】解：(1)原式＝﹣10+8＝﹣2；(2)原式＝﹣×6+4﹣30＝﹣30．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．(2019秋•奉化区期中)计算：(1)(﹣18)+(+12)(2)(3)(4)12÷()【点拨】(1)根据有理数的加法法则计算；(2)先算乘，再算乘除，最后计算加法；(3)根据乘法分配律计算；(4)先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法．【解析】解：(1)(﹣18)+(+12)＝﹣6；(2)＝﹣4×(﹣)+8÷4＝2+2＝4；(3)＝(﹣100+)×26＝﹣100×26+×26＝﹣2600+4＝﹣2596；(4)12÷()＝12÷＝72．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．巩固训练1．(2018秋•西湖区期末)计算：|﹣2019|＝2019，(﹣1)2019＝﹣1．【点拨】根据绝对值的性质和有理数乘方的运算法则计算可得．【解析】解：|﹣2019|＝2019，(﹣1)2019＝﹣1，故答案为：2019，﹣1．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数乘方的定义与运算法则及绝对值的性质．2．(2019秋•瑞安市校级月考)把5×5×5写成乘方的形式53．【点拨】根据有理数乘方的定义解答即可．【解析】解：5×5×5＝53．故答案为：53．【点睛】本题考查了有理数的乘方的定义，注意指数是底数的个数是解题的关键．3．(2018秋•三门县期中)下列各数|﹣2|，﹣22，﹣(﹣2)，(﹣2)3中，负数的个数有2个．【点拨】先对每个数进行化简，然后再确定负数的个数．【解析】解：∵|﹣2|＝2，﹣22＝﹣4，﹣(﹣2)＝2，(﹣2)3＝﹣8，∴负数有﹣22和(﹣2)3这2个数，故答案为：2．【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义及乘方运算法则与相反数的定义．4．(2019秋•吴兴区期中)0.0617(精确到千分位)0.062．近似数3.7×105精确到万位．【点拨】根据近似数的精确度求解．【解析】解：0.0617精确到千分位为：0.062；近似数3.7×105精确到万位．故答案为：0.062；万．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．5．(2019秋•温岭市期中)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，则﹣2mn+﹣x＝﹣4或0．【点拨】根据题意得a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2，代入原式计算可得．【解析】解：∵a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，∴a+b＝0，mn＝1，x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，原式＝﹣2×1+0﹣2＝﹣4；当x＝﹣2时，原式＝﹣2×1+0﹣(﹣2)＝0．综上所述，﹣2mn+﹣x＝﹣4或0．故答案为：﹣4或0．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数、倒数、绝对值的性质及代数式求值的能力，根据题意得出a+b、mn、x的值是关键．6．(2018秋•慈溪市期中)大于1的正整数m的三次方可“分裂”成若干个连续奇数的和，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是1007，则m的值是32．【点拨】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数1007的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．【解析】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m＝，∵2n+1＝1007，n＝503，∴奇数1007是从3开始的第503个奇数，∵＝495，＝527，∴第503个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝32．故答案为：32．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．7．(2018秋•余杭区期末)计算：(1)7.8+(﹣1.2)﹣(﹣0.2)(2)﹣÷﹣×(﹣3)2+32【点拨】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；(2)根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解析】解：(1)7.8+(﹣1.2)﹣(﹣0.2)＝7.8+(﹣1.2)+0.2＝6.8；(2)﹣÷﹣×(﹣3)2+32＝＝﹣3+9＝．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．8．(2019秋•拱墅区校级月考)(1)(﹣﹣+)÷(2)﹣22×+8÷(﹣2)2(3)(﹣)×(﹣4)2﹣0.25×(﹣5)×(﹣4)3．(4)8×(﹣)÷|﹣16|；(5)(﹣1)2008+(﹣5)×[(﹣2)3+2]﹣(﹣4)2÷(﹣)．(6)﹣22﹣(﹣3)3×(﹣1)4﹣(﹣1)5；【点拨】(1)先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律即可解答本题；(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题；(3)根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题；(4)根据有理数的乘除法可以解答本题；(5)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；(6)根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．【解析】解：(1)(﹣﹣+)÷＝(﹣﹣+)×36＝(﹣27)+(﹣20)+21＝﹣26；(2)﹣22×+8÷(﹣2)2＝﹣4×+8÷4＝2+2＝4；(3)(﹣)×(﹣4)2﹣0.25×(﹣5)×(﹣4)3＝(﹣)×16﹣×(﹣5)×(﹣64)＝(﹣10)﹣80＝﹣90；(4)8×(﹣)÷|﹣16|＝8×(﹣)×＝﹣；(5)(﹣1)2008+(﹣5)×[(﹣2)3+2]﹣(﹣4)2÷(﹣)＝1+(﹣5)×(﹣8+2)﹣16×(﹣2)＝1+(﹣5)×(﹣6)+32＝1+30+32＝63；(6)﹣22﹣(﹣3)3×(﹣1)4﹣(﹣1)5＝﹣4﹣(﹣27)×1﹣(﹣1)＝﹣4+27+1＝24．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．。
第3讲 有理数的乘除及乘方 -提高班
第3讲有理数的乘除及乘方中考内容中考要求A B C有理数的运算理解有理数的运算律；理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）运用运算律简化运算；运用有理数的运算解决简单问题科学记数法和近似数会用科学记数法表示数；了解近似数；会按实际问题的要求对结果取近似值中考大纲知识网络图3.1有理数的乘法一． 有理数的乘法1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．2. 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．3. 有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘1-．4. 多个有理数相乘：（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0． 5. 有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．ab ba =（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．()()ab c a bc =（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．()a b c ab ac +=+二． 倒数1． 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数． （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）互为倒数的两个数的乘积一定是1，即a ，b 互为倒数，则1a b ⨯=；反之亦然． （3）0没有倒数．2． 求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可． （1）非零整数可以看作分母为1的分数； （2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．知识概述【例】（2017秋•顺义区期末）四个互不相等的整数的积为4，那么这四个数的和是（ ） A ．0 B ．6C ．﹣2D ．2【练习】（2017秋•蓬溪县期末）如果a +b ＜0，并且ab ＞0，那么（ ） A ．a ＜0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＞0，b ＜0【例】（2016秋•芝罘区期末）已知abc ＞0，a ＞c ，ac ＜0，下列结论正确的是（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＞0，b ＞0，c ＜0 C ．a ＞0，b ＜0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0【例】（2017秋•滨海新区期末）对于有理数a 、b ，如果ab ＜0，a +b ＜0．则下列各式成立的是（ ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＜0且|b |＜aC ．a ＜0，b ＞0且|a |＜bD ．a ＞0，b ＜0且|b |＞a3.2有理数的除法一．有理数的除法1. 有理数除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．小试牛刀再接再厉总述思考：多个不是的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？知识概述1a b a b÷=⋅，(0b ≠)（2）法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．2. 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．3. 分数：分数可以理解为分子除以分母．二．有理数的乘除混合运算先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．【例】（2017秋•临沂月考）若x=（﹣1.125）×÷（﹣）×，则x 的倒数是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．2【练习】（2017秋•郯城县月考）÷（﹣10）×（﹣）÷（﹣）【例】（2017秋•昌平区期末）计算：（﹣3）×6÷（﹣2）×．【练习】（2017秋•安图县期末）÷（﹣1）×．【例】（2017秋•怀柔区期末）计算：3×（﹣）÷（﹣1）．5．（2017秋•城关区校级期中）计算： （1）﹣5÷（﹣1）；（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．小试牛刀再接再厉3.3有理数的乘方一． 有理数的乘方1. 乘方的概念：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，记作，读作“a 的n 次方”；（2）在中，a 叫做底数，n 叫做指数；（3）当看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂． 注意：()224-=，其底数为()2-，()()()22224-=-⨯-=；224-=-，其底数为2，()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-；239=749⎛⎫⎪⎝⎭，其底数为37，2333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭； 239=77，其底数为3，23339777⨯==； 221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．2. 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是15，指数1通常省略不写．3. 幂的正负规律：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0． 二． 科学记数法n a n a n a 总述思考：加减乘除混合运算的运算顺序是什么？知识概述1． 科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数）．2． 用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是1n -，10的指数比整数的位数少1． 3． 万410=，亿810= 三．近似数1． 准确数：表示实际数量的数．2． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．3． 精确度：表示近似数与准确数的接近程度． 4． 精确度的类型： （1）纯数字类按四舍五入法对圆周率π取近似数时 3π≈（精确到个位）3.1π≈（精确到十分位，或叫精确到0.1）3.14π≈（精确到百分位，或叫精确到0.01） 3.142π≈（精确到千分位，或叫精确到0.001）（2）带单位类近似数2.6万（精确到千位） （3）科学记数法类近似数43.5110⨯（精确到百位）【例】（2018•金牛区校级模拟）下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习】（2018•河北二模）下列各对数中，数值相等的是（ ） A ．+32与+22 B ．﹣23与（﹣2）3 C ．﹣32与（﹣3）2 D ．3×22与（3×2）2小试牛刀再接再厉【练习】（2018•绵阳）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为（）A．0.2075×1012B．2.075×1011C．20.75×1010D．2.075×1012【例】（2018•绍兴）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，浙江省2017年清理河湖库塘淤泥约116 000 000方，数字116 000 000用科学记数法可以表示为（）A．1.16×109B．1.16×108C．1.16×107D．0.116×109【例】（2016秋•吴中区期末）阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×）100=____，2100×（）100=_____；（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n=_____；（abc）n=______．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．总述总结：“奇负偶正”你了解全了吗？3.4有理数的混合运算知识概述一．有理数混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 二． 进行有理数混合运算时的易错点：1. 乘方概念错误，如326=等．2. 底数错误，如2(2)4-=-，224-=等．3. 运算顺序发生错误，如1232123÷⨯=÷=等．4. 分配律运算错误，如112(2)22241522-⨯-=-⨯-⨯=--=-等．【例】（2017秋•招远市期末）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为=xn ﹣ym ，依此法则计算的结果为（ ）A ．17B ．﹣17C ．1D ．﹣1【练习】（2017秋•费县期末）现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab +a ﹣b ，如1*3=1×3+1﹣3，则（﹣2*3）*5等于（ ） A ．71 B ．47 C ．﹣47 D ．﹣71【例】（2017秋•揭西县期末）计算：（﹣2）2÷×（﹣2）﹣=______．【练习】（2017秋•河口区期末）计算8﹣23÷的值为_____．【例】（2017秋•泸县期末）计算：﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．小试牛刀再接再厉【例】（2018•杭州二模）计算：﹣23+6÷3×圆圆同学的计算过程如下：原式=﹣6+6÷2=0÷2=0请你判断圆圆的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【练习】（2018•邵阳县模拟）计算：﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．【巩固】（2017秋•贵阳期末）计算：（1）1﹣43×（﹣）（2）7×2.6+7×1.5﹣4.1×8．。
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有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1理解有理数乘方的定义;2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算•【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕要点诠释：(1)乘方与幕不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果.(2 )底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51，指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1) 正数的任何次幕都是正数；(2)负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；0的任何正整数次幕都是0; (4)任何一个数的偶次幕都是非负数，即_.要点诠释：(1) 有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幕的符号，然后再计算幕的绝对值.(2) 任何数的偶次幕都是非负数.【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849 有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1) 有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2) 在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3) 在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方即有：aga多4§a a n .在a n中，a叫做底数,指数(power).(3)(1) 34；34； (-3)4；(- 3)4(n 为正整数)举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5) 3表示-5的3次方，即(-5) X (- 5) X (- 5) = -125，而-53表示5的3次方的相 反数，即-53= -( 5X 5X 5).因此，它们的底数不同，表示的意义不同. 【变式2】(2015?杭州模拟)若n 为正整数，(-1) 2n =( )A . 1B . - 1C . 2nD .不确定【答案】A .因为n 为正整数，2n 一定是偶数，所以(-1) 2n =1.类型二、乘方运算的符号法则，判断下列各运算结果的符号.524, (- 1.00 09) 2009,5, -(- 2) 20103【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：5 5(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；'3运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0,指数不 为0时，结果是0;当底数是负数时，再看指数， 若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数， 结果为负.( (-3 4= - (3 X 3 x 3X 3)= -81 ；3)43)4(3) ( 3)( 3) (3) (3) (3)]81 ；81 [(3) (3) 23 2 22 82 3 2 2 28 ⑵一33—；(3)(3)(3) (3) 27’ 2 32、2、 ’ 2、8()3 ( -) ( -) (-) ；333 327(2)3(2) (2)(2)8 8333 3【答案与解析】 由乘方的定义可得：(1)34= 3X 3x 3X 3= 81; 【总结升华】注意(a)n 与a n 的意义的区别.(a)2n (2)3)3；嗥 a 2n ( n 为正整数)，(a)2n 1 a 2n 1举一反三:【答案】0类型三、有理数的混合运算【答案与解析】(1) -(- 3)2+(-2)3r(- 3)-(- 5)]=-9+(- 8) - (- 3+5) =-9+(- 8) — 2 =-9+(- 4) = -13(2) [ 73-6 X (- 7)2-(- 1)10] - (- 214-24+214) =(7X 72-6X 72-1) - (- 214+214- 24)=[72X (7-6)- 1] - (- 24)=(49-1) - (- 24) =-2(3) 有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算 11 2 2 11 11 82[3 (2 3)] 8 3 24(4) 将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算1 39 60 56 125 1204040【总结升华】 有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提. 举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849 典型例题1】【变式】当n 为奇数时,1n[(-3)-(-5)]31 12 2(3)一 2 ；22 3 32A(4)1 2111— 2- 133 24 24 3430.2原式*2 ) 2 5-21- 4 17 - 345一4 /V7 - 3245 一2皆 354242425242+(- 2)3十 (2) [73-6X (- 7) 2-(- 1) 10] - (- 214-24+21 4)1【变式】计算：(1)1- 1- 0.5 X - X32- -3(2) -1 (3) (1 4-1 X 6 1 1+ — - 2.75) X (-24)+(-1)3 82- 3-32011-I -2!3(4) 1(丽 3 2+1-2 -3| 【答案】(1)原式1 5 71 X-7 =7666或原式=11) (2-9 )= =1 X -72 363(-0.1)(2)原式=-1- -X2- -27 =-1- -X 296 6 7-6356(3)原式=(4+ -- l!)X(-24)-1- 3 8 4 8 =-32-3+66-9=22 (4)原式 1 -0.001 4-83|= -1000-25+11 =-1014 【答案与解析】逆用分配律可得: (2 ) 2011 2201222011 22012 22011(1 2) 1 22011 22011【总结升华】灵活运用运算律，简化运算 •另外有 2n 1 2n2 22n 2n 2n 1 2n 12 ;2 2 2举一反三: 【变式1】计算: 220 219 ya 2仃 216 24 23 22【答案】原式 =219 218 217 216 24 23 22 218 2仃 2花24 23 22 2【变式2】计算:【答案】(3)74类型四、探索规律22 4)7[(勺73 (4)]75. (2015?滕州市校级二模)求 1+2+22+23+・・+22013 的值，可令 S=1+2+22+23+・・+22°13,因此2S - S=22014- 1.仿照以上推理，计算出 評帀-I【答案】 ________14解：设 S=1+5+52+53+-+52014,则 5S=5+52+53+ --+52015, 5S - S= (5+52+53+ --+52015)-【总结升华】 根据题目信息，设 S=1+5+52+53+・・+52014,表示出5S=5+52+53+・・+5201l 然后 相减求出S 即可. 举一反三：【变式】观察下面三行数：① -3, 9, -27, 81, -243, 729，… ② 0, 12, -24, 84, -240, 732，… ③ -1 , 3, -9, 27, -81, 243，… (1) 第①行数按什么规律排列 ？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系 ？(3) 取每行数的第10个数，计算这三个数的和.【答案】(1)第①行数的规律是：-3, (-3)2, (- 3)3, (-3)4,…； (2) 第②行数是第①行数相应的数加3,即:-3+3, (-3)2+3, (-3)3+3, (- 3)4+3，…;第③11111行数是第①行数相应的数的 丄，即3丄，(3)2丄，(3)3丄，(3)4 -,…；3 3 3 3 31(3) 每行数中的第 10 个数的和是：(3)10 [( 3)10 3] ( 3)10 59049+59052 + 19683 =137784.231+5+5 +5 + ••+52014_则 2S=2+22+23+ --+22014, 1+5+52+53+ --+52014) =52015- 1,。