河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学(理)试题(含解析)
河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学(理科)-17c8cc16fd424626b80e8f67a4db685d
绝密★启用前 【校级联考】河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理科) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知复数 满足 ，则 （ ） A ． B ．1 C ． D ． 3．已知x ，y 满足约束条件 ，则z ＝x 2+y 2的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ． 4．已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公差 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）…………○…………订…………○………………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………订…………○………………○…… A ．4 B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．记 为数列 的前 项和，已知 和 （ 为常数）均为等比数列，则 的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（ ）A ．40B ．36C ．32D ．2410．设双曲线 ：的右焦点为 ， 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点 ， 使得四边形 为矩形，则其离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．11．在正方体 中，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，且 ， ， （其中 ），若平面 与线段 的交点为 ，则A．B．C．D．12．已知函数，方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．○…………外…………○…………内…………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知 且 ,则 ______。
2019年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34136．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B． C． D．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12 D．148．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．在（x +y ）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质优良轻度污染轻度污染中度污染重度污量染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.100.050.0250.010.001k 2.7063.8415.0246.63510.82819．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解复数即可．【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，可得==+1﹣3i==2﹣i，z=2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx= sin（x+）=，故选：B．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．5．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x 在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p （A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，故选：A8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用对称知识，结合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m=，n=﹣，代入椭圆+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故选：D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，在风暴中心行进路线上取两点C，D使得到码头A的距离均为300km，利用勾股定理求出CD，则影响时间为．【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB=400，AC=AD=300，∠B=45°，过A作AE⊥BD于E，则AE=ABsinB=200，∴CE==100，∴CD=2CE=200，∴码头受风暴影响时间为=10h．故选：B．10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，求出=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），利用向量法得OD⊥平面ABC；在B中，求出平面ACD的法向量，利用向量法得到直线OB∥平面ACD不成立；在C 中，求出=（0，1，0），=（﹣），利用向量法得到直线AD与OB所成的角不是45°；在D中，由得量法得到二面角D ﹣OB﹣A为135°．【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=，==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f （x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意可得λ+的坐标，利用（λ+）⊥，数量积为0，代入数据可得关于λ的方程，解之可得．【解答】解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=﹣故答案为：．14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是3．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+1）4 按照二项式定理展开，可得（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，由此求得y 的值．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，∴y=3，故答案为：3．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=2，AC=4，∠BAC=30°，∴BC==2，∴三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2∴R2=（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=18π．故答案为：18π．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=5151．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】求出数列{a n}的前8项，由不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=a101，由此能求出结果．【解答】解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及正弦定理以及已知条件，通过两角和的余弦函数以及余弦定理求cos（B+C）的值；（Ⅱ）利用第一问的结果，通过，即可求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，]∴，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.100.050.0250.010.001k 2.706 3.8415.0246.63510.828【考点】独立性检验的应用；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）列出2×2列联表，由公式，得到结果．（Ⅱ）由分段函数，得到各段的概率，由此得到数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70 总计85 15 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）=P（X=400）=P=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，能求出二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．x0+=x0，16=2px0，求得p的值，可得C 的方程；（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|CD|．由于CD垂直平分线段AB，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．可得x0+=x0，又16=2px0，解得p=2，则E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|=•|y1﹣y2|=•=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，可得y3+y4=﹣，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|=•|y3﹣y4|=•=，由•=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，即AB2+GH2=CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2=（）2，化简可得m2﹣1=0，即m=±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=e x﹣a，f'（0）=0，得a=1，从而f′（x）=e x ﹣1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，从而m≤g′（x）在R上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．（3）e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，由此利用累加法能证明．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e x﹣1，由f′（x）=e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2019届河南名校联盟高三下学期2月联考数学（理）试题
2019届河南名校联盟高三下学期2月联考数学（理）试题一、单选题1．复数（为虚数单位）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据复数的四则运算，化简，即可求解。
【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B。
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2．已知集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先通过解不等式求出集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题的关键是正确求出不等式的解集和熟记集合运算的定义，属于简单题．3．在区间内，任取个数，则满足的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，满足，求得，再根据长度比的几何概型，即可求解。
【详解】由题意，满足，则，解得，所以在区间内，任取1个数时，概率为，故选D。
【点睛】本题主要考查了对数的运算，及几何概型的概率的计算，其中解答中根据对数的性质，正确求解，再利用长度比的几何概型求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。
4．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由两角和的正切公式求出，然后将所求化为齐次式的形式，再运用同角关系式表示为的形式后求解．【详解】∵，∴．∴．故选D．【点睛】本题考查利用三角变换进行求值，解题时要注意对公式的灵活运用，容易出现的错误是忽视公式中的符号，解答“给值求值”问题的关键是对所给条件及所求值的式子进行合理的变形，注意整体代换在解题中的应用．5．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的面积为，且，则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，可得，得到，又面积为，得，求得，进而得到椭圆的标准方程。
【详解】在中，得，可得，所以，又面积为，即，解得，则，所以椭圆方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2019届河南省高三下第二次联考理科数学卷【含答案及解析】
2019届河南省高三下第二次联考理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．________________________________________________ B．______________________________ C． ____________________________ D．2. 已知集合，集合，则（）A．________ B．_______________________________ C．____________________________________ D．3. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A．_________________________________ B．____________________________ C．______________________ D．24. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9_________________________________C．10___________________________________ D．115. 某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为________ （）A. 10B. 12C. 18D. 286. 下列命题正确的是（）A．命题“ ，均有”的否定是：“ ，使得”；B．“命题为真命题”是“命题为真命题”的充分不必要条件；C．，使是幂函数，且函数在上单调递增； D．若数据的方差为 1 ，则的方差为 2.7. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共 3升，下面3节的容积共 4升，则第五节的容积为（）A．升 ________________________ B．升______________________________ C．升 ________________________ D． 1升8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．______________________________________ B．______________________________ C． ____________________________ D．9. 已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当时，的最大值和单调区间分别为（）A．1，_________ B．1，________ C．，_________ D．，10. 设实数满足约束条件，已知的最大值是，则实数的取值范围是（）A．______________________________________ B．____________________________________________ C．_____________________________________ D．11. 已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为（）A．_______________________ B．-6C．6___________________________________ D．12. 已知函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A．_______________________ B． ______________C．______________________ D．二、填空题13. 二项式展开式中含项的系数是 ________.14. 已知平面向量，满足，则的最大值为________.15. 已知是周期为 2 的奇函数，当时，，则的值为________.16. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，，，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为 ________.三、解答题17. 在中，角的对边分别是，且.（ 1 ）求角的大小；（ 2 ）求的取值范围 .18. 某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放10万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数） 30岁以下（含30岁） 50 100 50 200 30至50岁（含50岁） 50 150 300 500 50岁以上 100 150 50 300 合计 200 400 400 1000 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望 .20. 如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形， .（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值 .21. 椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.（ 1 ）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（ 2 ）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值 .22. 设函数， .（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求的取值范围 . （其中是自然对数的底数）23. 选修4-1：几何证明选讲如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点， .（ 1 ）求证：；（ 2 ）当时，求的长 .24. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（ 1 ）求证：曲线的极坐标方程为；（ 2 ）设曲线与曲线的公共点为，求的值 .25. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（ 1 ）解关于的不等式；（2）设，试比较与的大小 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
河南省2019届高三数学上学期第二次联合考试试题 理
20186～2019学年上期第二次联合考试高三数学试题（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合M ＝{x ｜x ≥0}，N ＝{x ｜4x ＜4}，则M ∩N ＝A ．[0，＋∞）B ．[0，1）C ．（1，＋∞）D ．（0，1]2．函数y 的定义域为A ．（0，1]B ．[1，3]C ．（0，3]D ．（1，3]3．已知数列{n a }是公比为q 的等比数列，则“q ＜0”是“a 1＋a 2＜0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行右面的程序框图，输出S 的值为A ．1B ．5C ．21D ．855．函数f （x ）＝3ax ＋ln （x ＋2）在点（－1，－a ）处取得极值，则a ＝A ．－1B ．1C ．－13 D ．136．已知角 的终边上的一点的坐标为（35，45）A ．．－7 D ．77．函数f（x）＝sin（ωx（ω＞0，的最小正周期为π，其图象向左平f（x）在[0上的最小值为AD8．已知实数x，yA．B．C．[16，25] D．[9，25]9．已知f（x f（x）＞4的解集为A．（－1，2） B．（－2，1） C．[0，1） D．（－2，0]10．已知等比数列的公比q＜0，前n a1＋3，a3＝－4，则S9＋S10＝A．150 B．170 C．190 D．21011．在Rt△ABC中，直角边AC，BC长分别为3，6，点E，F是AB的三等分点，D是BC中点，AD交CE，CF分别于点G，HAD12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（－x）＋f（x＋3）＝0；当x∈（0，3）时，f（x e是自然对数的底数，且e≈2．72，则方程6f（x）－x＝0在[－9，9]上的解的个数为A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知sin（π－αα是第二象限角，则cosα＝_________．14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝a－b，d＝2a＋tb．若c⊥d，则实数t＝________．15．已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x f（2x）＜6，则实数x的取值范围是____________．16的前n项和，S6＝21且S15＝120，则___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
河南名校联盟2019届高三下学期理数2月联考试卷
河南名校联盟2019届高三下学期理数2月联考试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）复数(1−i)i 21+2i（ i 为虚数单位）等于（ ） A ．15−35iB ．15+35iC ．35−15iD ．35+15i2．（2分）已知集合 A ={x|x 2−3x +2<0},B ={x|3x >9} ，则 (C R A)∩B 等于（ ）A ．{x|x >2}B ．{x|x ≥2}C ．{x|1<x <2}D ．{x|1≤x ≤2}3．（2分）在区间 (1,3) 内，任取 1 个数 x ，则满足 log 2(2x −1)>1 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．344．（2分）已知 tan(θ+π4)=3 ，则 cos(2θ−π4)= （ ）A ．35B ．45C ．√210D ．7√2105．（2分）椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上顶点为 A ，若ΔAF 1F 2 的面积为 √3 ，且 ∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2 ，则椭圆方程为（ ） A ．x 23+y 2=1B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 2=1D ．x 24+y 23=16．（2分）运行如图所示的程序框图，则输出 a 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．167．（2分）榫卯（sǔnmǎo ）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（ ）A ．8+16π，2+8πB ．9+16π，2+8πC ．8+16π，4+8πD ．9+16π，4+8π8．（2分）已知 x,y 满足约束条件 {x +y +2≥0x −y −2≤0y +m ≤0 ，若目标函数 z =2x −y 的最大值为 3 ，则实数 m 的值为（ ） A ．−1B ．0C ．1D ．29．（2分）在平面直角坐标系中，已知三点 A(a,2),B(3,b),C(2,3),O 为坐标原点.若向量 OB ⇀⊥AC⇀ ，则 a 2+b 2 的最小值为（ ） A ．125B ．185C ．12D ．1810．（2分）设点 P 是正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 的中点，平面 α 过点 P ，且与直线 BD 1 垂直，平面 α∩平面 ABCD =m ，则 m 与 A 1C 所成角的余弦值为（ ）A ．√33B ．√63C ．13D ．2√2311．（2分）已知函数 f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|<π) 的一个零点是 x =π3,x =−π6是 y =f(x) 的图象的一条对称轴，则 ω 取最小值时， f(x) 的单调增区间是（ ） A ．[−53π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈ZB ．[−73π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈ZC ．[−23π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈ZD ．[−13π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z12．（2分）设实数m>0，且不等式mxlnx−(x+m)e x+mm≤0对x>0恒成立，则m的最大值是（）A．e B．e22C．2e D．e2二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）（x+1）2（x-2）5的展开式中含x3项的系数为．14．（1分）已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+2x−a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是．15．（1分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，若点(e,1)与点(−√3,√2)都在双曲线C上，则该双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为．16．（1分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B，C是锐角，且a=2√7，cosA=13，则ΔABC的面积为．三、解答题 (共7题；共35分)17．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，其公比为q，前n项和为S n，并且满足a2+a3+ a4=28, a3+2是a2和a4的等差中项.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n⋅log21a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求使T n+n⋅2n+1=30成立的正整数n的值.18．（5分）某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终监督评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]），并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有340人.（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值及不满意的人数；（Ⅱ）在等级为不满意的师生中，老师占13，现从等级的师生中按分层抽样的方法抽取12人了解不满意的原因，并从这12人中抽取3人担任整改督导员，记X为整改督导员中老师的人数，求X的分布列及数学期望.19．（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中∠PAB=90∘,AB//CD，且PB=BC=BD=√6,CD= 2AB=2√2,∠PAD=120∘.E和F分别是棱CD和PC的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥BF；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.20．（5分）已知p>0，抛物线C1：x2=2py与抛物线C2：y2=2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C .（Ⅰ）若直线y=x+1与抛物线C1交于点P，Q，且|PQ|=2√6，求OP⇀⋅OQ⇀的值；（Ⅱ）证明：ΔBOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值.21．（5分）已知函数f(x)=(x−k−1)e x.（Ⅰ）若曲线f(x)在(0,f(0))处的切线l与直线y=x垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）当x1≠x2时，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2k.22．（5分）平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为{x=3cosαy=2sinα（a为参数），曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C3的极坐标方程为ρ=8sinθ .（Ⅰ）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（Ⅱ）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值. 23．（5分）[选修4-5：不等式选讲]已知a>0，b>0，√a+√b=2，求证：（Ⅰ）a√b+b√a≤2；（Ⅱ）2≤a2+b2<16.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题意，根据复数的运算可得复数 (1−i)i 21+2i =(−1+i)(1−2i)5=1+3i 5=15+35i ， 故答案为：B 。
2019届河南省八市重点高中高三第二次联合测评数学(理)试题(解析版)
2019届河南省八市重点高中高三第二次联合测评数学（理）试题一、单选题1．己知集合，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】根据集合的并集和补集点运算，即可求解．【详解】由题意，根据集合的并集，可得，或；．故选：D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．已知集合A是奇函数集，B是偶函数集若命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】根据全称命题的否定需将全称量词改成存在量词，同时否定结论，即可得到答案．【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题是全称命题，则命题的否定为：，，故选：C．【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．【详解】由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，由等比数列的性质可得．故选：B．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列的求和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．己知函数，则A．B．C．7 D．【答案】B【解析】根据分段函数的定义，结合时是奇函数，其定积分为0，计算即可．【详解】函数，则．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数的定积分应用问题，其中解答中熟记微积分基本定理，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与计算能力属于基础题．5．已知，则A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式变形，利用三角函数的基本关系式，化弦为切，代入即可求解．【详解】由题意，又由诱导公式得．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，及倍角公式及诱导公式的应用，其中解答中熟练利用余弦的标准公式和三角函数的基本关系式，化切为弦求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．在等腰梯形ABCD中，，点E是线段BC的中点，若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】利用平面向量的几何运算，将用和表示，根据平面向量基本定理得，的值，即可求解．【详解】取AB的中点F，连CF，则四边形AFCD是平行四边形，所以，且因为，，，∴故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，将用和进行表示，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．设，，，则a，b，c的大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的运算性质，求得的取值范围，即可作出比较，得到答案．【详解】由题意，根据指数函数的性质，可知，，且，又由对数函数的性质，可知，．故选：D．【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知函数的部分图象如图所示，则A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三角函数的部分图象求出A、T、和的值，再计算的值，得到答案．【详解】由函数的部分图象知，，，，则；又时，取得最大值2，，解得，所以，故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．若x，y满足，则的取值范围是A．，B．C．D．【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，的几何意义知其为可行域内的动点与连线的斜率，数形结合可知可行域内B点满足QA斜率最大，求出最小值，即可得到范围．【详解】由x，y满足，作可行域，如图所示，联立，解得．的几何意义为可行域内的动点与连线的斜率，动点位于A时，，直线的斜率为，则的最小值满足，所以的取值范围：，故选：B．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，考查了由两点求直线的斜率，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档题．10．己知函数，则下列说法正确的是A．函数的最小正周期是l B．函数是单调递减函数C．函数关于直线轴对称D．函数关于中心对称【答案】D【解析】运用复合函数的单调性：同增异减，结合指数函数的单调性和对称性，可判断A，B，C均错，D正确，得到答案．【详解】函数，即，可令，即有，由在递增，在R上递增，可得函数在R上为增函数，则A，B均错；由，可得，即有的图象关于点对称，则C错误，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的性质和应用，其中解答中熟练应用复合函数的同增异减，结合指数函数的单调性和对称性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．己知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点若平面内点，点，把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出的坐标，然后确定，再代入公式计算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可知顺时针旋转时，，代入得：，，【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，其中解答中正确理解题意，合理确定旋转的角度，代入准确计算是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．12．己知，，恒成立，则实数a的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以对任意恒成立，再求出的最小值后，解不等式，即可求解．【详解】设，对任意恒成立，即对任意都成立，当时，则即与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图象的应用，其中解答中合理采用换元法，转化为二次函数的恒成立问题，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．己知非零向量，满足，则，的夹角为______．【答案】【解析】对的两边平方即可得出，即得出，然后对的两边平方可得出，而，从而可求出的值，这样即可求出的夹角．由题意，知，即，即；解得，所以；又，，，所以，又；；，又，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，以及向量的夹角的求法，其中解答中熟练应用平面向量的数量积的运算公式，合理准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，则正数的最小值为________．【答案】【解析】利用二倍角公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用函数的图象变换规律，求得正数的最小值．【详解】由题意，函数，又由函数，所以将函数图象向左平移个单位长度得到，即可得到函数故正数的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二倍角公式、诱导公式的应用，及三角函数的的图象变换的应用，其中解答中利用倍角公式和诱导公式，合理化简函数的解析式，再根据三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．若一直线与曲线和曲线相切于同一点P ，则实数________．【答案】【解析】求出两个函数的导数，令导数值相等，可得切点坐标，代入构造关于m的方程，解得答案．【详解】曲线的导数为，曲线的导数为，由，且，得：，即切点坐标应为：，代入得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及导数计算，其中解答中熟记导数的运算，以及导数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．16．将正整数1，2，3，，n ，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j 列的数可用表示，则100可表示为______．【答案】【解析】由等差数列可得第8行的最后第1个数为85，第8行共24个数，第一个为106，可得100为第8行的第7个数，可得答案．【详解】由题意，第一行有个数，第二行有个数，每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，第n行有个数，由求和公式可得前n行共个数，经验证可得第8行的最后第1个数为85，按表中的规律可得第8行共24个数，第一个为108，为第8行的第7个数，故答案为．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式和通项公式，其中解答中，认真审题，从表中得出规律是解决问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题17．已知命题p：函数有零点；命题q：函数区间内只有一个极值点若为真命题，求实数a的取值范围．【答案】【解析】由“且q”为真命题，可得p为假命题，q为真命题，利用函数为一次函数及二次函数判别式大于0求出p为真命题的a的范围，由三角函数的周期求得q为真命题的a的范围，结合补集与交集运算得答案．【详解】由题意，若函数有零点，则或，即；函数的周期，若函数区间内只有一个极值点，则，即．为真命题，假q真，则，即．实数a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，以及函数零点的判定和三角函数的性质的应用，其中解答中正确求解命题是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．已知向量，，且．将表示成x的函数并求的单调递增区间；若，，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】由题意利用两个向量平行的性质得到的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得的单调递增区间．由条件求得，再利用同角三角函数的基本关系，求得，再利用两角和的余弦公式求得的值．【详解】由题意知，向量，，且，所以，即令，解得，故函数的增区间为，．若，，即，．，，．【点睛】本题主要考查了两个向量平行的性质，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换公式合理化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．已知数列满足．求数列的通项公式：若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)．【解析】首先利用数列的递推关系式，化简求出数列的通项公式．利用的结论，求得，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】由题意，数列满足，则：当时，，得：，当时，，所以：．由于：，所以：，则：．【点睛】本题主要考查了用数列的递推关系式求数列的通项公式，裂项相消法求出数列的和，其中解答中根据数列的递推公式，化简求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A；若，，点D在内，且，，求的面积．【答案】(1)；(2)1.【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由于，可求，结合范围，可求A的值．由已知及余弦定理可得BC的值，求得，由余弦定理得，解得CD的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】由题意知：可得：，由正弦定理可得：，可得：，，，，．由题意知，，，由余弦定理可得：，因为，可得：，，又由余弦定理，可得：，可得：，解得：或舍，．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，其中解答中合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．21．如图，将宽和长都分别为x，的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形，求y关于x的函数解析式；当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．【答案】(1)；(2)当且仅当，时，外接圆面积最小，且最小值为.【解析】根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知，利用基本不等式求出d的最小值，可得半径最小值，则正十字形的外接圆面积最小值可求．【详解】由题意可得：，则，，，解得．关于x的解析式为；设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知，当且仅当，时，正十字形的外接圆直径d最小，最小为，则半径最小值为，正十字形的外接圆面积最小值为．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式在最值问题中的运用，其中解答中认真审题，求得函数的关系式，合理利用基本不等式求解最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．22．已知函数．讨论函数的单调性；若函数存在两个极值点，，且，证明：【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】（1）求得函数的导数，令，利用二次函数的性质，对判别式及其a分类讨论，即可得出单调性．函数存在两个极值点，，且，，又由，令，，利用导数研究其单调性和最值，即可得出证明．【详解】由题意，可求得函数的导数．令，．时，解得，则，此时函数在单调递增．时，解得，则，解得，．．时，，此时函数在内单调递增，在单调递减，在内单调递增．时，，此时函数在内单调递减，在内单调递增．证明：函数存在两个极值点，，且，．令，，则．令，，可得时，取得最小值，，，函数在单调递增．，，即【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学(理)试题含答案解析
河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A,B，即可求出，再利用交集概念即可求解.【详解】由题可得：，所以，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交、补集运算，属于基础题。
2.已知复数满足，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】令，整理即可得到方程组，解出方程组，问题得解.【详解】令，则可化为：，整理得：所以，解得：，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的模知识，考查计算能力，属于基础题。
3.已知x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值为（）A. 5B. 4C. 2D.【答案】C【解析】【分析】将转化成，只需求的最小值即可，又表示点到原点的距离，只需求原点到可行域的点的距离的最小值即可解决问题。
【详解】作出不等式组表示的区域，如下图：其中，，，可转化成，要求的最小值，只需求的最小值即可，又表示点到原点的距离，由图可得：原点到可行域的点的距离的最小值就是原点到直线的距离，又原点到直线的距离为，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及计算能力，属于基础题。
4.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解。
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由及得：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。
5.在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设切断以后两根的长分别为，，由三角形知识两边之差的绝对值小于第三边列不等式可求得，问题得解。
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河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A,B，即可求出，再利用交集概念即可求解.【详解】由题可得：，所以，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交、补集运算，属于基础题。
2.已知复数满足，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】令，整理即可得到方程组，解出方程组，问题得解.【详解】令，则可化为：，整理得：所以，解得：，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的模知识，考查计算能力，属于基础题。
3.已知x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值为（）A. 5B. 4C. 2D.【答案】C【解析】【分析】将转化成，只需求的最小值即可，又表示点到原点的距离，只需求原点到可行域的点的距离的最小值即可解决问题。
【详解】作出不等式组表示的区域，如下图：其中，，，可转化成，要求的最小值，只需求的最小值即可，又表示点到原点的距离，由图可得：原点到可行域的点的距离的最小值就是原点到直线的距离，又原点到直线的距离为，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及计算能力，属于基础题。
4.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为，由及列方程组即可求解。
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由及得：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题。
5.在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设切断以后两根的长分别为，，由三角形知识两边之差的绝对值小于第三边列不等式可求得，问题得解。
【详解】设切断以后两根的长分别为，，由三角形知识两边之差的绝对值小于第三边列不等式可得：，解得：所以它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中的结论及几何概型概率计算，属于基础题6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. 4B.C.D.【答案】D【解析】【分析】还原三视图为一个正方体中的一个四棱锥，依据题中数据即可得解。
【详解】如下图，该几何体是边长为2的正方体中的一个四棱锥所以，故选：D【点睛】本题主要考查了三视图还原知识及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。
7.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】按流程图逐一执行即可得解。
【详解】读流程图可得：不成立不成立成立输出故选：D.【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题。
8.记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对的公比是否为1分类，可排除，再利用也是等比数列列方程即可得到，分别令，，，，可得只有时才存在满足方程，问题得解。
【详解】当时，令（其中为非零常数），整理得：，要使得它对任意的恒成立，则：，解得：，这与为等比数列矛盾.所以，令（其中为非零常数），则，整理得：，要使得它对任意的恒成立，则，整理得：，令，则，解得：，这与为等比数列矛盾.令，则，整理得：，此方程无解。
令，则，整理得：，记，，，所以在上必有一零点。
即至少有一个实根.令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式，考查分类思想及转化能力，还考查了计算能力及方程思想，属于中档题。
9.5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（）A. 40B. 36C. 32D. 24【答案】B【解析】【分析】先计算出甲与乙必须相邻的情况种数，再计算出甲站在两端且与乙相邻的种数，问题得解。
【详解】由题可得：甲与乙必须相邻的情况种数为：种，甲分别站在两端且与乙相邻的种数为：种，所以甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是种。
故选：B【点睛】本题主要考查了捆绑法排列计算及含特殊要求的排列计算，考查分类思想及转化思想，属于基础题。
10.设双曲线：的右焦点为，为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点，使得四边形为矩形，则其离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出过原点且与渐近线垂直的直线的方程为，再求出过点F且与渐近线平行的直线方程，联立方程组求出点的坐标为：，将它代入双曲线方程整理即可得解。
【详解】依据题意作出如下图像，其中四边形为矩形，双曲线的渐近线方程为：，所以直线的方程为，直线的方程为：，联立直线与直线的方程可得：，解得：，所以点的坐标为：，又点在双曲线上，所以，整理得：，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及方程思想，考查计算能力及转化能力，属于中档题。
11.在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，分别求出点的坐标及向量的坐标，利用向量加法表示出，列出对应的方程组，解方程组即可得到，问题得解。
【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，则,,,,,,,,,因为点在平面内，可设（其中为常数），又与共线，可设，由图可得：,即：，整理得：，由（1）（3）可得：，即：由（2）（3）可得：，即：，联立（4）（5）解得：，代入（2）可得：，整理得：，所以.所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查转化能力及计算能力，还考查了空间思维能力，考查了平面向量基本定理知识，属于难题。
12.已知函数，方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，求出的三个根，并可判断函数是一个奇函数，讨论的单调性，利用要有3个不同的根列不等式即可得到的范围，利用的范围即可排除A.B.C，问题得解。
【详解】因为方程对于任意都有9个不等实根，不妨令，则方程有9个不等实根，令，解得：，，.所以，，都要有3个不同的根由可得：，所以函数为奇函数，又，由有3个不等实根，可得不是单调函数，即：令，解得：，作出的关系如下表：作出的简图如下：要使得有3个根，至少要满足，即：，解得：.即：，排除A,B,C.故选：D.【点睛】本题主要考查了方程的解的个数解决方法，考查了利用导数判断函数的单调性及奇函数特点，还考查了转化思想及计算能力，属于难题。
二、填空题：本题共4小题。
每小题5分，共20分.13.已知且,则______。
【答案】1【解析】【分析】整理得：由此得到，问题得解。
【详解】因为，所以，整理得：，又，所以，所以，所以【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考查了三角恒等式，属于基础题。
14.动点在函数的图象上，以点为圆心作圆与轴相切，则该圆过定点__________．【答案】【解析】【分析】整理可得：，此函数图像是由函数右平移1个单位而得，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】由可得：，此函数图像是由函数右平移1个单位而得，函数的图像是开口向右的抛物线且在轴的上半部，其焦点为，准线方程为：，所以函数的图像也是开口向右的抛物线且在轴的上半部，其焦点为，准线方程为：（轴）由抛物线定义可得：等于点P到轴的距离，所以以点为圆心且与轴相切的圆过定点.【点睛】本题主要考查了函数图像的平移规律及抛物线的简单性质，还考查了抛物线的定义，属于基础题。
15.已知点，，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由整理可得：，即：，以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由整理得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，由等价转化成，利用整理即可求解。
【详解】由可得：,所以，所以，即线段BC为单位圆的直径.以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：则，设，则由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，因为，所以,又，所以，即：.【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及计算能力，考查了向量模的运算，属于难题。
16.若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）①；②；③.【答案】①②【解析】【分析】对于①，求出的反函数为，即可判断原函数是“旋转对称函数”，对于②，验证得：，即可判断原函数是“旋转对称函数”，对于③，可分析出当时，，时，，由函数特征即可判断③不是“旋转对称函数”.【详解】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.【点睛】本题主要考查了反函数的求解及互为反函数的图像关系，考查了偶函数的图像特征，还考查了分析函数图像特征的能力以及极限思维，考查分析能力及新概念知识，属于难题。
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题.考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积.（Ⅰ）求；（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由结合整理可得，问题得解.（Ⅱ）整理可得：，结合正弦定理得：，问题得解.【详解】解：（Ⅰ）.因此，又，所以.（Ⅱ），由正弦定理，知.因为，所以.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式及正、余弦定理，考查方程思想及转化思想，考查计算能力，属于基础题。
18.某兴趣小组在科学馆的帕斯卡三角仪器前进行探究实验.如图所示，每次使一个实心小球从帕斯卡三角仪器的顶部入口落下，当它在依次碰到每层的菱形挡板时，会等可能地向左或者向右落下，在最底层的7个出口处各放置一个容器接住小球，该小组连续进行200次试验，并统计容器中的小球个数得到柱状图：（Ⅰ）用该实验来估测小球落入4号容器的概率，若估测结果的误差小于，则称该实验是成功的.试问：该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差）（Ⅱ）再取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.（计算时采用概率的理论值）【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出小球落入4号容器的概率的理论值，问题得解.（Ⅱ）直接利用二项分布求解。