第六讲假设检验

四、检验中的统计量——Z检验与t检验

在假设检验中，由于样本容量和样本资料的限制，而使样本统计量 有不同的概率分布，并据此形成Z检验和t检验两种方法。


１、Z检验法
Z检验法又称正态分布检验。Z检验法适用于两种情形： （1）从正态分布总体（方差为已知）中，随机抽取容量为n的样本，不 论n的大小，样本平均数都服从正态分布,
优惠措施把房价降低15%，经过36天，平均每天出租床位 380张，其标准差S=78张。试以0.05的显著性水平评估优惠 措施是否有明显的效果。
（１）设立假设：H0： X 0 ≤500×70%=350； H1： X >350 0 （２）给定显著性水平： 由于要求检验订位数是否有显著的提高，因此只需右 侧临界值。给定显著性水平α=0.05，则Z α =1.645。 （３）根据样本资料计算检验统计量Z的实际值：

当样本容量n充分大的时候，样本成数pi趋近于一个平
均数为P，方差为P（1-P）/n的正态分布，而统计量Z趋近 于标准正态分布，这一事实提供了成数假设检验的基础。

pi P

Ｚ＝
P(1 P) n

例4，某公司宣称75%以上的消费者满意 其产品的质量。一家市场调查公司受委托 调查该公司此项声明是否属实。随机抽样 调查625位消费者，表示满意该公司产品 质量者有500人，试问在0.05的显著性水 平下，该公司的声明是否属实。

t分布类似于标准正态分布，其期望值为0，并以它为 中心形成钟型的两边对称分布。但标准正态分布的标准差 σ=1，而t分布的标准差σ（t）受自由度k=平与临界值

显著性水平α，是指在原假设成立条件下，统计检验中所 规定的小概率的标准。即规定小概率的数量界限。常用的标准 有α=0.01；α=0.05；α=0.001。 如果把拒绝原假设的小概率事件定在分布的右尾，则右尾 面积总和所代表的概率即为显著性水平α。查附表：


可见，在H0成立的条件下，其发生概率非常之小。每一千万次抽样
中，不足一次。因此，可以认为几乎是不会遇上的。然而，实际上却 出现了这样罕见的结果，这是不合理的。因此可以认为原假设H0中， 认为非本地人仅有10名是不合理的，也就是拒绝原假设H0。
三、双侧检验与单侧检验

双侧检验。当我们所关心的问题是要检验样本平均数与总体平均数
第六讲 假设检验
一、假设检验

（一）假设检验的含义 为了验证理论假设，必须通过经验层次的调查与实验。在调查与 资料收集中，如果收集资料的范围仅是全体（或总体）的一部分，是 一个样本（指随机样本），那么这种和抽样手段联系在一起，并且依 靠抽样数据进行的验证，就称作假设检验。 （二）原假设和备择假设 原假设H0：原假设又称虚无假设，一般用H0表示。它常常根据已 有的资料，或根据经验确定的。 备择假设H1：备择假设又称研究假设。尽管原假设在研究中代表 惯例，但并不表示永远不会被否定，否则也就失去研究的意义。当经 过抽样调查，有充分根据否定原有假设H0时，就产生了需要接受其逻 辑对立面的假设，即备择假设，一般用H1表示。

(Z ) 1

如果根据抽样所获取数据计算的统计量值大于，则应拒绝 原假设H0，反之，若小于，则应接受原假设H0。
Z检验：常用的显著度（p）与否定域（|Z|≥） P≤ 一端 0.05 1.65 |Z|≥ 二端 1.96
0.02
0.01
2.06
2.33
2.33
2.58
0.005
0.001
x X0 Z S/ n
（４）检验判断： 因为Z>Zα，即2.3 >1.645，检验统计量的样本观察值 落入拒绝区域，所以在0.05显著性水平下，拒绝原假设。 就是说假日饭店的优惠措施使订位率有显著的提高。

例2，某罐头厂生产肉类罐头，按规定自动装罐的标准罐 头净重为500克。现在从一班生产中抽取10瓶罐头，实测 罐重（克）的结果如下：

505，512，497，493，508，515，502，495，490， 510
给定显著性水平α=0.01，问装罐车间的生产是否正常。 由于检验问题是罐头净重是否符合净重500克，所以 是双侧检验问题，而且是小样本的t检验。



（１）设立假设
原假设H0： （２）给定显著性水平。取α=0.01，由于是双侧检验，自由度υ=nt0.005 (9)，下临界值为 3.25 1=10-1=9， -3.25。 （３）计算样本的各项指标 样本平均数 =502.7（克） 样本标准差 S = 8.6（克） ( 4 ) 检验统计量
p
Z

P(1 P) 0.75 0.25 n 625
p P0 0.8 0.75 2.887 p 0.01732
（4）检验判断。由于2.887>1.645，所以拒绝原假设，认为该公司 的声明属实。

例1，某农贸市场共有摊贩100名，根据以往的统计，其中非本地
居民占10%，即10名。现抽样调查10名，发现全是非本地居民，问原 有统计结果是否成立。

解：根据题意， 原假设H0：100名摊贩中仅有10名非本地人。于
是，根据这样的原假设H0，来计算抽查10名都是非本地人的概率：
10 C10 P( 10) 10 107 C100

由于公司宣称75%以上消费者满意其产品质量，现在要检验该声明是 否属实，所以是总体成数的右单侧检验问题。 （１）设立假设 原假设H0：P ≤ 75%；备择假设H1： P 75% （２）给定显著性水平α=0.05，由于是单侧检验，查正态概率分布表 Zα=1.645 （３）根据样本资料，计算检验统计量Z的实际值。 P=500/625=0.8
x =500； 备择假设H1：
x ≠500

t
x X 502.7 500 1 2.734 s/ n

（４）检验判断。由于t的实际值t=1小于临界值，所以不能拒绝原假 设，即认为装罐生产属于正常。
七、总体成数检验


要研究总体成数是否发生显著的变化，如电视收视率、 升学率、就业率等，可以利用样本成数对总体成数作假设 检验。
或样本成数与总体成数有没有显著性差异，而不问差异的方向是正差或负差， 应该采用双侧检验。在双侧检验中，原假设取等式，而备择假设取不等式， 如：

H0：
X X0
H1：
X X0
由于双侧检验不问差距的正负，所以给定的显著性水平а，须按对称分布的原 /2 理平均分配到左右两侧，每方各为 а/2，相应得到下临界值为-Z а/2 ，上临界 值为Z а/2 。 由样本信息计算的统计量Z值与事先给定的临界值Z а/2 作比较。在双侧检 验中，如果Z≥Zα/2 ,或Z≤-Zα/2，就拒绝原假设H0，而接受备择假设H1；如果 Z≤Zα/2 或Z≥-Zα/2 ，就不能否定原假设，而接受原假设是真实的。



单侧检验
当我们所关心的问题是总体平均数或成数是否低于预先假设， 应该采用左单侧检验。原假设与备择假设为：

H0
X X0
H1： X X 0
当我们所关心的问题是总体平均数是否超过预先的假设，应该 采用右单侧检验，原假设与备择假设为： H0：
X X0

H1： X X 0

在决定检验的显著性水平а以及相应的临界值时，如果是左单 侧检验，则有左侧临界值-Z；如果是右单侧检验，则有右临界值Z。
2.58
3.09
2.81
3.30
六、总体的均值与成数检验

总体均值的假设检验就是检验当前的样本平均数是否和
事先假设的总体平均数（根据理论计算的标准水平、根据历 史资料计算的平均水平等等）存在着显著性差异。
1、Z检验法
某假日饭店有500张客床，正常时间每床位日租金为
100美元，平均订位率70%。现在经理进行一项试验，采取



例如，某地女青年的平均初婚年龄μ=22，现在根
据100名女青年的随机抽样调查，X=23岁，问能
否认为该地女青年的初婚年龄比以往有所推迟。

原假设H0为μ=22 ，
备择假设H1为μ>22
二、假设检验的基本原理

1、统计假设检验所依据的原理，是小概率原理。 小概率原理可以归纳为两个方面，一是小概率事件在一次观察中 是不可能出现的。二是如果在一次观察中出现了小概率事件，那么合 理的想法，是否定原有事件具有小概率的说法（或称假设）。

2、假设检验的思想，在统计学中可以描述为：
经过抽样调查获得一组数据，即一个来自总体的（随机）样本， 如果根据样本计算的某个统计量（或几个统计量）在原假设H0成立的 条件下几乎是不可能发生的，就拒绝或否定这个原假设，并继而接受 它的对立面——备择假设。反之，如果在原假设H0成立的条件下，根 据样本所计算的某个统计量，发生的可能性不是很小的话，那么就接 受原假设。

Ｚ＝
x X / n

（2）从一非正态总体（总体方差为已知）中抽取容量为n的样本，当容 量n很大时，样本平均数也趋近于正态分布。
2、t检验法
又称t分布检验。在统计假设检验中，当总体的标准 差σ未知，而需要用样本标准差S来代替时，则统计量再不 是服从标准正态分布，而服从于t分布。
x X t s/ n