数列求和及求通项方法归纳
数列求和与求通项公式方法总结
数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和、求通项的方法
一．本章知识结构
求前n项和 求通项
一、数列求和常用方法: (1)公式求和法： 直接应用等差数列、等比数列的求和公式.
1.等差数列
2.等比数列
s
n(a 1
a n
)
n
2
na1
n(n 1) 2
d
sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,q
1
na1, q 1
• (2)差比数列——错位相减法：
(7) 猜想、归纳法:由已知条件先求出数列的前几 项， 一般是a 1,a 2 ,a 3 ,a 4等，由此归纳猜想出a n ,然后
a1b1q a2b1q2 ... an1b1qn1 anb1qn
（2）
(1 q)Sn a1 db1 (q q 2 ... q n1 ) anb1q n1
பைடு நூலகம்
由（3）解得Sn
（3）
(3)分组求和法: 将{a n}的前n项和Sn分为若干组，将每组利用等差、
等比数列前n项和公式求S n.
(4) 裂项相消法: 若{a n}中通项a n其为分式，其分子为常数其分母为
an
ss1n,
n 1 sn1, n
2
• (2)差、比公式法： • 利用等差、等比数列的通项公式。
1.等差数列：a n=a 1+(n-1)d；
2.等比数列：
a
n=a
qn-1
1
；
• (3)设项转化法： • 利用换元，转化为求等差、等比数列通项。
如预习案p16.3
• ( 4 ) 迭加法 : • 若数列{an}满足a n+1-a n=f(n),其中{f(n)} (n∈N*)
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n nna a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
数列求和的十二种方法及递推数列求通项
an
}中, (n∈
a1
=8,
a4
)
=2 且 满 足 ， 设
a n + 2 = 2a n +1 − a n
| Sn
N*
= a1 + a 2 + L + a n ，求 Sn 。
1 2
1+
,
1 2 + 3
， …，
1 n + n +1
…
的前 n 项和
4
Cuijie200688@
11/7/2011 数，
=
q ，再利用换元法转化为等比数列求解。 1− p
例 3.已知数列
= a n + f ( n) − a n = f (n) ，利用
{an } 中， a
1
= 1，a n +1 = 2a n + 3 ，求 a n 。
解：设递推公式 a n +1 可以转化为 a n +1 即 a n +1
1 1 这样数列 ，公差为 c 的等 是首项为 an − α an − α
等比数列求和公式：当 q≠1 时，S =
当 q=1 时，S = na 常用求和公式：S = 1 + 2 +…+ n =
n( n + 1) ， 2
差数列，于是这样可求得 an 例 15．已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an = 求数列 {an } 的通项 an
例 10．合肥市 2010 二模 20T 各项均不为零的数列
类型 11：双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累 加、累乘、化归等方法求解。 例 14．已知数列
数列的通项与求和计算方法总结
数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
数列求通项、求和的几种方法
求数列通项公式的几种方法数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法：一、累差法递推式为：a n+1=a n+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……a n-a n-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得a n-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴a n=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式例1、已知数列{a}中,a1=1,a n+1=a n+2,求a n解：令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……a n-a n-1=2n-1将这个式子累加起来可得a n-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴a n=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当n=1时,a1适合上式故a n=2n-1二、累商法递推式为：a n+1=f(n)a n（f(n)要可求积）思路：令n=1,2,…,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……a n/a n-1=f(n-1)将这个式子相乘可得a n/a1=f(1)f(2)…f(n-1)∵f(n)可求积∴a n=a1f(1)f(2) …f(n-1)当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例2、在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n+1)a n/n,求a n解：令n=1,2,…,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……a n/a n-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得a n/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即a n=2n当n=1时，a n也适合上式∴a n=2n三,构造法1、递推关系式为a n+1=pa n+q (p,q为常数)思路：设递推式可化为a n+1+x=p(a n+x),得a n+1=pa n+(p-1)x,解得x=q/(p-1) 故可将递推式化为a n+1+x=p(a n+x)构造数列{b n},b n=a n+q/(p-1)b n+1=pb n即b n+1/b n=p,{b n}为等比数列.故可求出b n=f(n)再将b n=a n+q/(p-1)代入即可得a n例3、(06重庆)数列{a n}中,对于n>1(n€N)有a n=2a n-1+3,求a n解：设递推式可化为a n+x=2(a n-1+x),得a n=2a n-1+x,解得x=3故可将递推式化为a n+3=2(a n-1+3)构造数列{b n},b n=a n+3b n=2b n-1即b n/b n-1=2,{b n}为等比数列且公比为3b n=b n-1·3,b n=a n+3b n=4×3n-1a n+3=4×3n-1,a n=4×3n-1-12、递推式为a n+1=pa n+q n(p,q为常数)思路：在a n+1=pa n+q n两边同时除以q n+1得a n+1/q n+1=p/qa n/q n+i/q构造数列{b n},b n=a n/q n可得b n+1=p/qb n+1/q故可利用上类型的解法得到b n=f(n)再将代入上式即可得a n例4、数列{a n}中,a1+5/6,a n+1=(1/3)a n+(1/2)n,求a n解：在a n+1=(1/3)a n+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得2n+1a n+1=(2/3)×2n a n+1构造数列{b n},b n=2n a n可得b n+1=(2/3)b n+1故可利用上类型解法解得b n=3-2×(2/3)n2n a n=3-2×(2/3)na n=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、递推式为：a n+2=pa n+1+qa n（p,q为常数）思路：设a n+2=pa n+1+qa n变形为a n+2-xa n+1=y(a n+1-xa n)也就是a n+2=(x+y)a n+1-(xy)a n，则可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，于是｛b n｝就是公比为y的等比数列（其中b n=a n+1-xa n）这样就转化为前面讲过的类型了．例5、已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+2=(2/3)·a n+1+(1/3)·a n,求a n解：设a n+2=(2/3)a n+1+(1/3)a n可以变形为a n+2-xa n+1=y(a n+1-xa n)也就是a n+2=(x+y)a n+1-(xy)a n，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3构造数列｛b n｝，b n=a n+1-a n故数列｛b n｝是公比为-1/3的等比数列即b n=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1b n=(-1/3)n-1a n+1-a n=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得a n=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n€N*)四、利用s n和n、a n的关系求a n1、利用s n和n的关系求a n思路：当n=1 时，a n=s n当n≥2 时, a n=s n-s n-1例6、已知数列前项和s=n2+1,求{a n}的通项公式.解：当n=1 时，a n=s n＝2当n≥2 时, a n=s n-s n-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1时，a1=2不适合上式∴当n=1 时，a n=2当n≥2 时, a n=2n-12、利用s n和a n的关系求a n思路：利用a n=s n-s n-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解例７、在数列｛a n｝中，已知s n=3+2a n，求a n解：即a n=s n-s n-1=3+2a n-(3+2a n-1)a n=2a n-1∴｛a n｝是以２为公比的等比数列∴a n=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出a n，再用数学归纳法证明例8、(2002全国高考)已知数列{a n}中,a n+1=a2n-na n+1,a1=2,求a n解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想a n=n+1，下用数学归纳法证明：当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边即当n=1时命题成立假设当n=k时，命题成立，即a k=k+1则 a k+1=a2k-ka k+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴当n=k+1时，命题也成立．综合(1),(2),对于任意正整数有a n=n+1成立即a n=n+1。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消na。
【注意】漏检验n的值 (如1n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{}na的前n项的和为nS，且对任意的正整数n满足1na=+，求数列{}na的通项公式。
（2）数列{}na中，11a=对所有的正整数n都有2123na a a a n⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a的通项公式【作业一】1－1.数列{}na满足21*123333()3nnna a a a n N-++++=∈，求数列{}n a的通项公式．（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=,1()nn a f n a -=1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情况()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅即1()(1)(2)na f n f n f a =⋅-⋅⋅，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】. (1) 已知211=a ，)2(1121≥-+=-n n a a n n，求n a . （2）已知数列{}n a 满足12n n n aa n +=+，且321=a ，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++.设n na b n =，求数列{}n b 的通项公式（三）.待定系数法1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1n pa c +-为等比数列【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
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数列求和及求通项
一、数列求和的常用方法
1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和
2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1
3
1
2--=n n n a ，求前n 项和n S
3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n +=
，可裂项成)1
1(1k
n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项
②形如k
n n a n ++=
1，可裂项成)(1
n k n k
a n -+=
，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()
1)(1(1
1=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S
4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
例：已知数列122-+=n a n
n ，求前n 项和n S
5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）
一、数列求通项公式的常见方法有：
1、关系法
2、累加法
3、累乘法
4、待定系数法
5、逐差法
6、对数变换法
7、倒数变换法
8、换元法
9、数学归纳法
累加法和累乘法最基本求通项公式的方法
求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析
1、关系法：适用于)(n f s n =型
求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()
1(1
11n s s n s a a n n n
例：已知数列{}n a 的前n 项和为12
++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式
2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列 求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =-
)1(1-=--n f a a n n 所有等式两边分别相加得：∑-==
-1
1
1)(n k n k f a a 则∑-=+=1
1
1)(n k n
k f a a
例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}
的通项公式，求n a a 11= ......
累加
3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列 求解过程：若n n a n f a )(1=+，则
)(1
n f a a n
n =+ 则
)1()......2()1(1
2312
-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：
∏-==1
11)(n k n k f a a 则∏-==1
1
1)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n n
n ，其中{}
的通项公式，求n a a 31=
4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+
①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）
求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=
p b k ，所以有：)1
(11-+=-+
+p b
a p p
b a n n ，这样就构造出了一个以11-+
p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+1p b a n 。
从而求得{}n a 的通项公式为1
)1(11---+
=-p b p p b a a n n
例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}
的通项公式求n a a ,21=
②形如)1,0,;,,(1≠≠++=+p b p c b p c bn pa a n n 为常数型
③形如)1,0,;,,,(2
1≠≠+++=+p b p d c b p d cn bn pa a n n 为常数型
④形如)1,;0,,;,,,(1≠≠+⋅+=+q p q p m d q p m d q m pa a n
n n 为常数型
⑤形如)1,;0,;,(12≠≠+=++q p q p q p qa pa a n n n 为常数型
5、逐差法：
形如)1,0,,,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数，可以把n 换成1-n 有b pa a n n +=-1，两式相减得)(11-+-=-n n n n a a p a a ，这样就构造出了一个以12a a -为首项，公比为p 的等比数列{}n n a a -+1，再运用累加法求出{}n a 的通项公式
例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}
的通项公式求n a a ,21=
6、对数变换法：适用于)1(1≠=+q pa a q
n n 型
求解过程：①当1=p 时，)1(1≠=+q a a q n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q
n n a a =+，根据对数的运算法则有：)ln()ln(1n n a q a =+，这样就构造了一个以)ln(1a 为首项，公比为q 的等比数列{})ln(n a 。
从而求得{}n a 的通项公式为1
1
-=n q n a a
例：已知数列{}n a 满足递推式2
1n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
②当1≠p 时，)1(1≠=+q pa a q
n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q
n n pa a =+，根据对数的运算法则有：)ln(ln )ln(1n n a q p a +=+，再运用待定系数法求出通项。
例：已知数列{}n a 满足递推式3
12n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例：已知数列{}n a 满足递推式4
21+=+n n
n a a a ，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
8、换元法：适用于含根式的递推公式
例：已知数列{}n a 满足递推式n n n a a a ++=+12
1
1，21=a ，求数列{}n a 的通项公式
9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明
例：已知数列{}n a 满足递推式9
8
)32()12()1(81
21=++++=+a n n n a a n n ，，求数列{}n a 的通项公式
综合练习：
1、已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中154=a （1）求1a ，2a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
变式：①若)2(21≥+=-n n a a n n ？ ②若)2(22
1≥+=-n n a a n n ？ ③若)2(23221≥+⋅+=-n a a n n n ？思考：若)2(23
1≥+=-n n a a n n ？
2、设在数列{}n a 中，21=a ，n
n n a a a 2221+=+，求数列{}n a 的通项公式；
3、数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，)
(21*
+∈=N n S a n n （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ；
4、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，231=a ，22=a ，
),2(012311*-+∈≥=++-N n n S S S n n n 。
（1）求证{}1-n a 时等比数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
5、已知11=a ，)2(1
11≥+=--n na a a n n n ，求{}n a 的通项公式及前n 项和n S
6、已知数列{}n a 满足31=a ，()21211≥-=--n a a a n n n
（1）求2a ，3a ，4a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式；。