关于如何安排生产的数学模型
数学建模规划问题的经典案例
s.t.
x13 x34 x36 0; x12 x24 x25 0; x24 x34 x45 x47 0; x25 x45 x56 x57 0; x47 x57 x67 Q x36 x56 x67 0; xij 0， i , j 1,2,,7.
§2.4 案例
建立优化模型的一般步骤
1.确定决策变量 2.确定目标函数的表达式 3.寻找约束条件 例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要 逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每 台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每 天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和 手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？
问题1
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不
同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数
量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，
A
T1
B
T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
( rT Q )(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 ( rT Q )2 c3 一个周期的总费用 2r
T
Q ( rT Q ) C c1 c2 c3 2r 2r
生产管理的数学模型与应用
生产管理的数学模型与应用随着工业化和数字化进程的不断加速，生产管理已经成为企业发展过程中必不可少的关键要素。
如何进行高效的生产管理，同时保证产品质量和客户满意度，成为企业遇到的共同难题。
而生产管理的数学模型，成为解决这些难题的有效途径。
一、生产管理的数学模型1.1 运筹学模型运筹学模型是一种将运筹学原理应用于实际生产管理中的数学模型。
其包括线性规划、整数规划、动态规划等模型。
其中，线性规划被广泛应用于生产计划、产品生产过程管理等方面，通过数学模型对生产过程进行优化和规划，避免浪费，实现成本最小化。
1.2 生产周期模型生产周期模型是根据生产周期，对生产过程中的时间、人力、物资、能源等要素进行合理配置和规划，以实现生产生命周期管理的数学模型。
生产周期模型以时间为轴，将生产过程划分为几个不同阶段，通过对每个阶段进行管理和调整，提升生产效率和质量，降低成本。
1.3 质量控制模型质量控制模型是一种将统计学原理应用于生产质量管理中的数学模型。
其包括质量控制图、可靠性分析、品质管理等模型。
其中，质量控制图是通过统计数据分析，确定合理的质量控制标准，进而对生产过程中的质量进行控制和优化，确保产品质量达到标准，并减少产品开发周期。
二、生产管理中数学模型的应用2.1 生产计划生产计划是对生产过程进行全面掌握和规划的关键。
运筹学模型可以对生产部门进行建模，对生产能力、设备状态、人力库存等要素进行分析和优化，确定合理的生产计划方案，提升生产效率和质量。
例如，某企业是一个电器制造企业，主要生产电视、冰箱、洗衣机等家电产品。
基于业务量和生产能力，通过线性规划模型，确定生产配额并进行生产计划，使得每个月产出自然成套的产品，并且尽量减少库存。
2.2 物料采购与库存控制物流和供应链的优化是现代企业发展的大趋势，而数学模型在此方面也有其应用。
通过分析产品生命周期，对物资采购和库存进行优化，减少库存风险，并确保供应链的完善。
例如，某企业主要生产汽车零部件，通过生产周期模型，计划出每种零部件的生产时间和数量，从而掌握每种零部件的库存，减少库存跟进风险，同时保证供应链的有效供应。
python 排产的数学模型
python 排产的数学模型Python排产的数学模型随着生产和制造业的发展，企业在日常运营中面临着诸多的挑战，其中之一就是如何高效地进行排产。
排产是指根据生产资源和订单需求，合理安排生产计划，使得生产过程能够顺利进行，并且能够满足客户的需求。
为了解决这个问题，数学模型成为了一种常用的工具。
在这篇文章中，我们将探讨一种基于Python编程语言的排产数学模型。
我们需要定义排产的目标。
通常，企业的排产目标是最大化生产效率和利润，并且在满足客户需求的前提下，尽量减少生产成本和交货延迟。
接下来，我们需要定义排产的约束条件。
这些约束条件可以包括生产资源的限制、订单需求的限制、工艺流程的限制等。
例如，生产资源的限制可以包括机器设备的容量、人力资源的限制等；订单需求的限制可以包括交货期限、订单数量等；工艺流程的限制可以包括产品之间的依赖关系、工序之间的时间关系等。
在排产模型中，我们需要定义决策变量。
决策变量是指我们需要进行决策的参数，可以是生产计划、产品数量、生产时间等。
这些决策变量的选择应该与排产目标和约束条件相匹配，并且能够通过优化算法进行求解。
为了求解排产模型，我们可以使用线性规划或整数规划等数学优化方法。
这些方法可以通过定义目标函数和约束条件，将排产问题转化为一个数学优化问题，并通过求解算法得到最优解。
Python作为一种强大的编程语言，提供了丰富的数学优化库和工具。
其中，最为常用的是SciPy库和PuLP库。
SciPy库提供了许多数学优化算法的实现，例如线性规划、整数规划、非线性规划等。
PuLP 库则提供了一种简单而灵活的方式来定义和求解线性规划和整数规划问题。
在使用Python进行排产建模时，我们可以使用PuLP库来定义排产模型，并使用SciPy库中的优化算法求解最优解。
具体步骤如下：1. 导入所需的库和模块：```pythonimport pulp```2. 定义决策变量：```pythonx = pulp.LpVariable('x', lowBound=0, cat='Integer')y = pulp.LpVariable('y', lowBound=0, cat='Integer')3. 定义目标函数：```pythonproblem = pulp.LpProblem('Production Planning', pulp.LpMaximize)problem += 3*x + 5*y```4. 定义约束条件：```pythonproblem += 2*x + y <= 10problem += x + 3*y <= 12```5. 求解最优解：```pythonproblem.solve()```6. 输出最优解：```pythonprint('x =', pulp.value(x))print('y =', pulp.value(y))通过上述步骤，我们可以得到最优的生产计划，以及相应的生产数量。
生产计划自动排程公式
生产计划自动排程公式
生产计划自动排程公式是一种用于优化生产计划的工具，它可以帮助企业提高生产效率，降低成本，并确保生产计划的可靠性和准确性。
该公式基于一系列变量和约束条件，通过数学模型来计算最优的生产计划。
在生产计划自动排程公式中，首先需要确定生产需求和可用资源。
生产需求可以是销售订单、市场需求或预测值，而可用资源可以包括人力、设备、原材料和交货期等。
接下来，需要确定约束条件，例如最大生产能力、最小生产批量、交货期限等。
基于这些变量和约束条件，可以建立一个数学模型来描述生产计划的优化问题。
这个模型可以是线性规划、整数规划或混合整数规划等，根据实际情况选择合适的模型。
然后，可以使用优化算法来求解这个模型，找到最优的生产计划。
在求解过程中，需要考虑到各种约束条件和变量之间的相互关系。
例如，如果某个订单的交货期限紧迫，那么需要优先安排生产该订单的产品。
或者，如果某个资源的供应有限，那么需要在生产计划中合理分配这个资源，以最大程度地满足生产需求。
生产计划自动排程公式的目标是使生产计划达到最优化。
最优化的标准可以是最小化生产成本、最大化生产利润、最小化交货延迟或最大化客户满意度等。
根据实际情况，可以设定不同的优化目标，
并调整优化算法的参数，以达到最佳的生产计划。
生产计划自动排程公式是一种重要的工具，可以帮助企业优化生产计划，提高生产效率和质量，降低成本，以适应不断变化的市场需求。
通过合理使用这个公式，企业可以更好地规划和管理生产过程，提高竞争力，实现可持续发展。
关于工厂生产进度的计划安排的数学建模
关于工厂生产进度的计划安排的数学建模下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学建模——生产计划问题
v .. . ..数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号. . . 资料. .1生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
关键词：Lingo、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
1该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用i4,3,2,1=jx,3,2,1,=第j季度产品i的产量ij=ji,=d34,3,2,1,,2,1第j季度产品i的需求量ij114,3,2,1,3,2,1,==j i s ij 第j 季度末产品i 的库存量五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，1线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ij z d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo 得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。
线性规划通过线性规划解决实际问题
线性规划通过线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决实际问题。
它能够帮助我们合理安排资源，最大化利益或最小化成本。
通过线性规划，我们可以得到一个最优的决策方案。
一、线性规划的基本概念和原理线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数的优化问题。
它的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量: 在线性规划中，我们需要定义一些决策变量，它们代表着我们需要做出的决策或者选择的方案。
2. 目标函数: 目标函数是线性规划中需要优化的目标，可以是最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件: 约束条件是限制线性规划问题的条件，可以是资源的限制、技术要求等。
线性规划的原理是通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后通过求解数学模型来得到最优解。
二、线性规划的应用领域线性规划在实际中有着广泛的应用领域，下面举几个例子来说明：1. 生产计划: 一家制造厂需要决定如何安排生产计划，以最大化利润。
线性规划可以帮助厂商确定每种产品的生产数量，以及每种产品所需要的资源和人力安排。
2. 运输调度: 一个物流公司需要决定如何合理地调度运输车辆，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司确定各个仓库之间的物流路径和货物的运输量。
3. 资源分配: 一个学校需要决定如何合理地分配教职工和学生的资源，以最大化教育效益。
线性规划可以帮助学校确定教职工的安排和学生的班级编排。
三、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般需要以下几个步骤：1. 建立模型: 根据实际问题，将问题转化为线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
2. 求解方法: 使用线性规划方法，如单纯形法、对偶法等，求解线性规划模型，得到最优解。
3. 解释结果: 对最优解进行解释和分析，确定最优决策方案。
四、线性规划方法的优势和局限性线性规划方法有一定的优势和局限性。
1. 优势：线性规划方法是一种成熟、有效、可靠的数学方法，能够提供合理的决策方案。
用数据模型优化生产计划排程
用数据模型优化生产计划排程---增强AB高科技公司的竞争力摘要：本案例讲述了上海AB电子有限公司（以下简称：AB公司），根据某一客户的订单要求，如何排出合理生产计划排程。
当前AB公司客户数多达40几家；通过对某一客户订单的生产计划排程的制定，我们就能理解其他客户订单的生产计划排程是如何建立的，因为制定的指导思想和方法是类似的。
从而通过数据模型，我们能构建整个公司对各个客户的生产计划排程。
关键词：生产周期，交货期，机台转换, UPH, 产能0 引言生产计划排程制定是否科学合理，不仅直接关系到产品交货期，也会影响到公司生产效率、生产成本、资源利用效率等关键生产指标，最终会影响公司整体运营效益。
因此，科学规划生产计划排程对提高公司运营效益，增强公司竞争力，具有极其重要的意义。
1公司简介1.1公司背景AB公司位于上海浦东张江高科技园区，系国家集成电路专项工程后封装项目（国家908重点工程）。
公司成立于1995年，投资方为美国AIG集团，美国著名半导体公司Microchip公司及中国仪电控股公司。
公司目前承接的业务90%以上来自于国外客户，并以每年15-20%的比例快速增长。
公司是国内最早的专业的集成电路封装测试工厂之一。
截止到2006年年底，封装产能达到12.5亿块/年；测试产能达到11亿块/年。
公司拥有从美国、德国、日本、瑞士等国引进的具有国际一流水准的封装、测试设备，主要的封装种类有SOIC、TSOP、TSSOP、MSOP、PDIP、PLCC等；主要的测试种类有模拟电路、数字电路、数模混合电路、存储器、分立器件和射频器件。
公司的产品广泛应用于个人电脑、电视、电缆、数码像机、汽车、通讯器材及工业设备等领域。
公司分别被上海市科委、上海市外资委评为“高新技术企业”、“先进技术企业”“信得过企业”“出口荣誉企业”“外商独资先进企业”的称号。
与此同时，公司在国际客户给予的综合评定中多次名列第一，在国内外同行中树立了良好的信誉。
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蒋爱萍200911131904 韩昕彤200911131976 菅美娟200911131914关于如何安排生产的数学模型【摘要】为了对生产做出正确的安排，使得收入达到最大，根据题中的条件和数据找到决策变量和目标函数，从而抽象出数学表达，并得到约束条件，利用lingo程序对此优化模型进行求解，得到最优解，再对此做灵敏度分析，得出增加三个工序的生产能力时工序的单位增长带来的价值，利用结果与P1，P2相比P3,，P4，P5的定价提到什么程度时值得生产。
【关键词】决策变量目标函数约束条件灵敏度分析优化模型1.问题重述某工厂生产5种产品为P1，P2，P3，P4，P5，它们的单价分别为550, 600, 350, 400, 200。
每种产品的生产过程都要经过三道工序:研磨、钻孔和装配，分别记为工序I、II、III。
每道工序所需的工时见下表：每道工序的生产能力即工时数分别为288、192、384，建立模型讨论，如何安排生产才能使得收入达到最大。
并进一步讨论（1）如果增加三个工序的生产能力，每个工序的单位增长会带来多少价值？（2）结果表明与P1，P2相比P3,，P4，P5的定价低了，那么价格提到什么程度,它们才值得生产？2.问题分析对于工厂生产的五种产品，要确定如何安排生产才能使得收入达到最大，根据题中的数据确定决策变量xi，列出目标函数为max f=550x1+600x2+350x3+400x4+200x5，并且得到约束条件，即建立了关于收入达到最大的优化模型，运用lingo程序对模型进行化简和求值。
表明三道工序的工时均未被完全利用，即劳动力并没达到完全利用，所以在此基础上对模型进行灵敏度分析，讨论增加三个工序的生产能力时每个工序的单位增长会带来的价值和与P1，P2相比P3,，P4，P5的定价提高到多少时才值得生产。
3 .模型假设（1）上述使用的数据都是准确合理的。
（2）假设生产出来的产品全部是合格的，不考虑生产过程中的浪费情况。
（3）假设生产过程是匀速进行的，无突发情况发生，不受其他因素影响。
3.符号说明（1）Pi 表示第i种产品（i=1，2，3，4，5）（1）xi 分别表示第Pi种商品的生产数量（i=1,2,3,4,5）。
（2）maxf 收入的最大值。
5. 模型建立和求解（一）模型的建立。
我们可以看出，在这个问题中，决策变量是xi。
我们探讨如何安排5种产品的生产，以使得收入达到最大，因此目标函数为收入最大，抽象出数学语言如下：max f=550x1+600x2+350x3+400x4+200x5。
每种产品的生产过程都要经历研磨，钻孔和装配三道工序，但每道工序的生产能力及工时数已经给定，所以各个商品所用的各道工时之和不能超过这个上限，于是我们自然的得出如下的限制条件：工序I（研磨）：12x1+20x2+25x4+15x5<=288；工序II（钻孔）：10x1+8x2+16x3<=192;工序III（装配）：20x1+20x2+20x3+20x4+20x5<=384;此外，由常识可得，xi均为非负值，且为整数，即xi>=0,于是我们考虑建立优化模型:目标函数：f=550x1+600x2+350x3+400x4+200x5约束条件：12x1+20x2+25x4+15x5<=288；10x1+8x2+16x3<=192;20x1+20x2+20x3+20x4+20x5<=384;xi>=0(i=1,2,3,4,5)我们要得到一组xi值，使得目标函数f最大。
（二）模型的化简和求解。
1. 运用lingo程序求解（程序见附录），我们可以得出如下结果：（a）.将xi取整得最优解：在lingo中运行如下程序：【程序一】：model:max=550*x1+600*x2+350*x3+400*x4+200*x5;12*x1+20*x2+25*x4+15*x5 <= 288;10*x1+8*x2+16*x3 <=192;20*x1+20*x2+20*x3+20*x4+20*x5<=384;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);end我们将得到下图结果：图一：由上图可知，Variable Value表示最优解为：P1生产12件，P2生产7件，其他3种产品不生产。
（b）.数据分析：运行如下lingo程序：【程序二】：model:max=550*x1+600*x2+350*x3+400*x4+200*x5;12*x1+20*x2+25*x4+15*x5 <= 288;10*x1+8*x2+16*x3 <=192;20*x1+20*x2+20*x3+20*x4+20*x5<=384;End得到如下结果：图二：（1）Dual Price表示对偶价格：每增加一个产值，产值增加1元；而每增加一个第I种工序工时，产值增加6.25元；每增加一个第II种工序工时，产值不变；每增加一个第III种工序工时，产值增加23.75元。
（2）Reduced cost表示减少的费用：当最优解中零分量增加一个单位，其他变量保持不变是，目标函数减少的量，也即为了使该分量变成非零分量，目标函数中对应系数应增加的量。
在本模型中，产品P3的价格应该增加125元，变为375元；P4的价格应该增加231.25元，变为631.25元；产品P5的价格应该增加368.75元，变为568.75元才值得生产。
（3）Row Slack or Surplus表示松弛量或剩余量。
在该模型中，产值剩余量也就是最优值为10800元；工序I的剩余量为4个工时；工序II的剩余量为16个工时；工序III的剩余量为4个工时；它表明三道工序的工时均未被完全利用，即劳动力并没达到完全利用。
3.对图二结果进行灵敏度分析，得：图三：3.根据图三的灵敏度分析，如果将xi前的系数ai分别上调[50,83.33,125,231.25,368.75],我们可以将上调后的系数ai=[600,683.33,475,631.25,568.75]代入【程序一】中运行，由lingo程序可以得到新的结果为：（a）.将xi取整得到如下最优解：图四：由上图可知，Variable Value表示最优解为：P1生产9件，P2生产9件，P3生产1件，其他2种产品不生产。
（b）.数据分析：将ai=[600,683.33,475,631.25,568.75]代入【程序二】中运行得到：图五：（1）Dual Price表示对偶价格：每增加一个产值，产值增加1元；而每增加一个第I种工序工时，产值增加10.42元；每增加一个第II工序工时，产值不变；每增加一个第III种工序工时，产值增加23.75元。
（2）Reduced cost表示减少的费用：当最优解中零分量增加一个单位，其他变量保持不变是，目标函数减少的量，也即为了使该分量变成非零分量，目标函数中对应系数应增加的量。
在本模型中，产品P3的价格应该减少0.2*e^(-2)元，产品P4的价格应该减少54.16元，产品P5的价格应该减少62.50元才值得生产。
（3）Row Slack or Surplus表示松弛量或剩余量。
在该模型中，产值剩余量也就是最优值为12014.97元；工序I的剩余量为零，为有效约束；工序II的剩余量为14个工时；工序III的剩余量为4个工时；它表明后两道工序的工时均未被完全利用，即劳动力并没达到完全利用。
4. 根据图二的灵敏度分析，如果将系数ai分别下调[50,50,0,0,0],我们可以将下调后的系数ai=[500,550,0,0,0]代入程序一，可以得到新的结果为：（a）.将xi取整得到最优解如下：图六：由上图可知，Variable Value表示最优解为：P1生产12件，P2生产7件，其他3种产品不生产。
（b）.数据分析：将xi=[500,550,0,0,0]代入【程序二】中运行图七：（1）Dual Price表示对偶价格：由图七知：（2）每增加一个产值，产值增加1元；而每增加一个第I种工序工时，产值增加6.25元；每增加一个第II种工序工时，产值不变；每增加一个第III种工序工时，产值增加21.25元。
（3）Reduced cost表示减少的费用：当最优解中零分量增加一个单位，其他变量保持不变是，目标函数减少的量，也即为了使该分量变成非零分量，目标函数中对应系数应增加的量。
在本模型中，P3应增加425元，P4增加581.25元，P5增加518.75元才值得生产。
（4）Row Slack or Surplus表示松弛量或剩余量。
在该模型中，由图六知：产值剩余量也就是最优值为9850元；工序I的剩余量为4个工时；工序II的剩余量为16个工时；工序III的剩余量为4个工时；它表明这三道工序的工时均未被完全利用，即劳动力并没达到完全利用。
5.结论：（1）当5种产品P1，P2，P3，P4，P5，它们的单价分别为550, 600, 350, 400, 200，并且工序I、II、III每道工序的生产能力即工时数分别为288、192、384时，应按如下生产安排：P1生产12件，P2生产7件，其他3种产品不生产，才能使得总收入最大。
（2）每增加一个第I种工序工时，总收入（产值）增加6.25元；每增加一个第II种工序工时，总收入不变；每增加一个第III种工序工时，总收入增加23.75元。
（3）产品P3的价格应该增加125元，变为375元；P4的价格应该增加231.25元，变为631.25元；产品P5的价格应该增加368.75元，变为568.75元,它们才值得生产。
6. 模型的评价和改进方向（1）：本文给出了产品生产过程中由于每种产品的生产工序耗时和产品的价格不同以及受生产能力的限制，如何安排每种产品生产量使得总收入最大的模型。
模型不但给出了在已知的条件限制下，生产各种产品的数量，还明确给出了资源的剩余情况和资源的利用情况，同时对各项指标进行了灵敏度的分析，产家可以根据模型中的相关结论对各种产品的价格进行合理的调节，以达到利润的最大化并满足市场的需求。
（2）本文所建模型具有广泛适用范围，不同产家可以根据实际情况对模型稍加修饰便可投入实际使用，由于本文讨论的目标是使得总收入最大，而产家可能关心的是如何能得到最大利润，但是只要产家明确每种产品的利润后，根据该模型的原理同样可以得到相关结果，必须值得指出的是，由于模型只是从数据出发得到的结果理论性较强，结果难免与市场的实际需求有所偏差，所以建议产家在采用本模型时一定慎重，建议先进行适当的市场调查，根据市场的实际需求可以对模型中的目标函数和约束条件加以修饰，使其与实际情况更加吻合。