赛程安排 东华理工大学 数学建模论文2
生产调度的合理安排-数学建模竞赛优秀论文
生产调度的合理安排-数学建模竞赛优秀论文引言随着现代制造业的快速发展和市场竞争的激烈，生产调度的合理安排对于企业的运转和效益至关重要。
数学建模作为一种有效的工具，可以帮助企业优化生产调度安排，提高生产效率和降低成本。
本文旨在通过数学建模竞赛的优秀论文，探讨生产调度的合理安排对企业的影响，并提出相应的优化方案。
主体部分1. 生产调度问题的背景和重要性在介绍生产调度问题的背景和重要性时，我们需要明确生产调度在企业中的作用以及存在的问题。
同时，可以通过一些实际案例来说明生产调度对企业效益的影响。
2. 数学建模在生产调度中的应用通过数学建模方法可以将生产调度问题转化为数学模型，从而对生产调度进行优化。
在这一部分，我们可以重点介绍一些常见的数学建模方法，如线性规划、整数规划、动态规划等，以及它们在生产调度中的应用案例。
3. 优化方案的提出和实施基于数学建模的分析结果，我们可以提出一些优化方案来改进生产调度。
在这一部分，我们可以详细描述这些优化方案的具体内容和实施过程，并通过实际数据的分析来验证其有效性。
结论经过数学建模分析和优化方案的实施，我们可以得出结论：生产调度的合理安排对于企业的运转和效益有着重要的影响。
同时，数学建模作为一种有效的工具，可以帮助企业优化生产调度安排，提高生产效率和降低成本。
在未来的研究中，还可以进一步探索和改进数学建模方法，以适应不同类型的生产调度问题。
参考文献[1] 作者1. (年份). 文章标题. 期刊名称, 卷号(期号), 页码.[2] 作者2. (年份). 文章标题. 期刊名称, 卷号(期号), 页码.备注请根据具体要求完善和调整每个部分的内容，并添加必要的图表和数据支持。
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关于_赛程安排_的数学建模
２
首先不含 Ａ 队的 ｎ－ １ 支球队共 ３ 比赛 Ｃｎ－ １ 场； 其次将 Ａ 队
与这 ｎ－ １ 个队分别比赛共 ｎ－ １ 场， 并将它 们 分 别 安 排 在 第 １ 场 ，
以及倒数第 １ 场、倒数第 ３ 场……倒数第（ ２ｎ－ ３） 场（ 其中 ｎ≥６） 。
２
故得： ｍ＝Ｃｎ－ １ ＋（
ｎ－ １）－（
（ ８）
（ 其中 ｎ≥６ 且 ｎ≥ｉ＋１）
总结： 从以上讨论我们的可以看出， 第 １ 类的第 １ 种和第 ２
种相对来说比较合理， 而 一 个 赛 程 安 排 中 如 果 出 现（ 包 括 第 ２ 类
在 内 的） 其 他 情 形 ， 虽 然 在 理 论 上 有 它 的 存 在 性 ， 但 实 际 中 不 仅
Ｐ（３ １， ０， ０， ０， ５） ： 按规定（ １） ， 优先取数字 ５， 再 由 规 定（ ２） ， 从 数字 １， ２ 中选 １。
其他同理， 有 Ｐ（４ ０， ２， ３， ０， ０） ， Ｐ（５ ０， ０， ０， ４， ５） ， Ｐ（６ １， ０， ３， ０， ０） ， Ｐ（７ ０， ２， ０， ４， ０） ， Ｐ（８ ０， ０， ３， ０， ５） ， Ｐ（９ １， ０， ０， ４， ０） ， Ｐ１（０ ０， ２， ０， ０， ５） 。
具体特点， 给出了一种简明而快捷的解决方案。 问题 １
题目的意思是只要找出一个符合条件的赛程即可。而这种 赛程的安排具有随机性， 故其结果会因人而异， 各不相同。尽管 符合题目的要求， 但给 人 一 种 杂 乱 无 序 的 感 觉 。 如 果 将 问 题（ ３） 中衡量赛程的优劣指标结合起来多方面考虑问题， 一定会找到 一个比较合理的赛程安排。
起打首尾两场比赛。得：
第二届华中地区大学生数学建模邀请赛优秀论文
第二届华中地区大学生数学建模邀请赛承诺书我们仔细阅读了第二届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为：参赛队员(签名) ：队员1：队员2：队员3：武汉工业与应用数学学会第二届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第二届华中地区大学生数学建模邀请赛编号专用页选择的题号： A参赛的编号：（以下内容参赛队伍不需要填写）竞赛评阅编号：第二届华中地区大学生数学建模邀请赛题目：旅游线路设计和比对【摘要】本文根据题目要求，逐层深入分析了旅游线路的设计和比对问题，并建立相关数学模型对题目中的四个问题进行求解。
求解得到的结果达到了预先估计的效果，建立的模型具有很强的实用性和推广性。
对于问题一,我们采用加权Topsis模型进行求解。
首先,我们根据不完全层次分析法对影响景点综合品质的各项指标进行量化，得到各项指标的权重向量，再利用Topsis法进行多方案决策，最终得到一个较为合理的景点综合品质排名（见表5-2）。
对于问题二，它实际上是在问题1的基础上考虑旅游路线最优化的设计问题。
为此，我们从旅行社和游客的共同利益出发，建立了动态规划模型。
该模型从景点品质和线路设计两个方面进行多阶段决策，求出多组最优的旅游路线。
对于问题三，考虑到对比评估旅游线路相似度与差异度的因素众多，且不宜建立一个统一的评估体系进行线路对比。
我们利用图论中有向图的基本特征建立了有向图模型，将各项对比指标巧妙地赋值在有向图中。
最后我们对各条旅游线路的有向图进行对比分析，较为合理地总结了出各条旅游线路的不同特点。
大学生数学建模竞赛论文.docx
摘要以大学生数学建模竞赛为牵引，进行创新创业能力培养，把创新创业教育与课程建设、教学团队建设、科学研究相融合，把以竞赛为目的变为以竞赛为手段，解决创新创业教育的实践平台问题。
构建大学生创新创业教育的实践教学体系，完善大学生数学建模竞赛的运行模式和激励机制，进行大学生数学建模竞赛与创新创业教育的融合。
本课题的研究可以推广到其他的大学生科技竞赛，搭建更多的创新创业教育实践平台，实现工科院校大学生科技竞赛与创新创业教育的融合，更好地培养学生的创新实践能力。
关键词数学建模竞赛；创新创业；学科建设大学生数学建模竞赛1985 年出现于美国[1] ，教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会从1994 年起共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，在高校中已变成最广泛的大学生科技创新活动之一。
这项竞赛2007 年被列入教育部质量工程首批资助的学科竞赛之一。
数学建模竞赛的题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成，具有很强的实用性和挑战性[1] 。
学生面对一个实际问题，对解决方法没有任何限制，学生可以运用自己认为合适的任何数学方法和计算机技术加以分析、解决，他们必须充分发挥创造力和想象力，从而培养了学生的创新意识及主动学习、独立研究的能力。
竞赛没有事先设定标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神，并充分发扬 3 人一组的团结合作精神。
由于竞赛面向所有专业的在校大学生，因此每年吸引了大量工科类专业的大学生参赛。
竞赛实际上包括三个阶段，即赛前培训阶段、竞赛阶段和赛后研究阶段，彼此相互联系。
在赛前培训阶段，学生要通过课程学习或课外讲座掌握一些包括数学知识的学习和数学软件的使用等数学建模的基本知识，并通过实际建模得到训练；竞赛三天集中完成竞赛题目；赛后对赛题继续深入研究。
在十二五期间[2] ，国家决定通过实施大学生创新创业训练计划促进高等学校转变教育思想观念，改革人才培养模式，强化创新创业能力训练，增强高校学生的创新能力和在创新基础上的创业能力，培养适应创新型国家建设需要的高水平创新人才。
数学建模论文
东华理工大学数学建模一周论文论文题目：数码相机定位模型姓名1：肖旖学号：201320590110姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：乐励华年月日摘要本文是一个图像智能识别问题，通过连续问题计算机离散求解的思想，空间坐标变换以及圆心搜索算法，给出了数码相机定位的基本原理，建立了物体与像的一一对应关系，即由实际给出参数可以计算像的坐标，同时由两台相机中像的坐标可以唯一确定物体位置，完成系统标定。
问题一：数码相机定标是影响系统定位精度的关键因素之一，如何提高定标精度 对于提高整个系统的测量精度至关重要，从基于相机本身的内、外部参数和像在像平面上的位置关系这两个不同角度，我们分别建立了三个数学模型进行求解：基于针孔模型的畸变模型、切线模型和椭圆模型，并分别给出了各自的算法。
问题二：根据问题一中的切线模型和椭圆模型，在以相机的光心为原点的像平面上，Z 轴的正方向我们规定为：由光心指向外焦点，以像素为基本单位，得出：图像上的特征点，分别求出了每个模型的内外参数，利用理想的针孔模型进行检验，计算比较简单，但精度不够。
基于针孔模型的畸变模型虽然能够较好的处理镜头畸变问题，畸变模型定标，是先线性求解部分参数，然后考虑畸变引入一阶径向畸变系数，避免了非线性优化，能够较为准确的描述成像几何关系，但是模型计算比较繁琐。
椭圆模型是将图像进行近似化处理，畸变是影响精度的主要因素，基于图像本身的切线模型，精度及稳定性相对较好。
问题四：实质是两台相机坐标系的变换问题，我们建立了目标模型，根据双目定位，即可确定两台相机相对位置。
相机相对位置可以通过如下转换得出：21112211211221c c c c c c x x y R R y R R T T z z --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦((,,c c c x y z ）为相机的光心坐标系，R 为旋转矩阵，T 为平移向量)关键词 针孔模型 畸变模型 系统标定 双目定位一、 问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
全国数学建模竞赛获奖论文赛程安排优化模型(02年全国一等奖)14
全国数学建模竞赛获奖论文赛程安排优化模型（02年全国一等奖）14全国数学建模竞赛获奖论文赛程安排优化模型(02年全国一等奖)14赛程安排模型赛程安排优化模型张智勇梁星赖新峰摘要:体育竞赛在日趋紧张的现代生活中已被人们提到了越来越重要的位置。
中国申办2008 年奥运会的成功更加提升了体育在人们生活中的份量。
在对抗性强的单循环比赛中，赛程安排的不同，对公平性影响很大。
故本文集中精力讨论的问题是如何编制出最优的赛程安排方案，尽量使得对每支球队来说都是公平合理的。
对于第一问，我们用计算机编程，发现在满足限制条件“每两场比赛中间相隔场次数至少为1”的情形下，总的编排方案共有240 种，并且得出如下结论:定理 1:当参赛队数n 5 时满足限制条件“每两场比赛中间都至少相隔一场”的每种赛程安排都具有相同的公平性。
第二问，当参赛队为偶数时，我们可以用轮转法?来编排赛程方案。
并且得到如下两个定理。
2k ?4定理 2 :当参赛队为n 2k k ?2 时，各队每两场比赛中间至少间隔场比赛的2排法是存在的。
定理 3 :当参赛队为n 2k k ?2 时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是2k ?4。
2当参赛队为奇数时，本文给出了三种编排方法:蛇形法，轮转法?，轮转法?。
这三种方法中，蛇形法的操作最简单，但是它的推广性较差，只适用于当n5 的情形，还没有找到当参赛队n 多于5 的赛程最优编排方法。
轮转法?的操作简便、规律性强，对于任意参赛队数都可很方便地编出赛程方案，但是这种方法编排出的方案对于奇数支球队来说不是最优方案，不过，它仅仅只比上限少1。
对于参赛球队较多时，这也是一种很好的编排方法。
轮转法?操作性比前两种方案稍显复杂，但是对于有任意奇数支参赛队的比赛，它都能编出一种最优的方案。
对于奇数情形，本文得到如下结论:定理 5 :当参赛队为n 2k +1 k ?1 时，每个队相邻两场比赛的最小间隔不可能超过k ?1。
定理 6:当参赛队为n 2k +1 k ?1 时，各队每两场比赛中间至少间隔k ?1场比赛的排法是存在的。
东华理工大学数学建模竞赛
数学建模竞赛课程设计题目：招聘问题的统计学随机分析模型姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：电子信息工程班级指导教师XXX年 4 月29 日一、摘要招聘问题的统计学模型是通过统计学分析招聘测试相关数据来解决招聘过程中常见问题的数学模型。
由于招聘测试的相关数据具有数据量大、随机性和随机性的差异性等特点，因此，我们可以通过统计学的相关知识联系实际问题，作出相应解答及处理。
问题一：补齐表中缺失的数据，给出补缺的方法及理由。
分别分析附表中五个专家招聘测试的数据，不难发现每个专家的打分在一定情况下具有随机性而且甲、乙、丙三位专家缺失数据是由于专家有事外出而未给应聘者打分，理论上具有完全随机性。
所以可以运用统计学中平均值填充法补全数据，该方法是建立在研究对象理论完全随机的假设上，具有简便，快捷的优点。
问题二：给出101名应聘者的录取顺序。
联系实际实践可知，补全缺失数据后，对应聘者录取顺序是以应聘者总分数或平均分的高低为原则的，于是可以通过能够在数理统计中应用的Excel软件，来求出每位应聘者的总成绩及平均成绩，进而列出录取顺序。
问题三：五位专家中哪位专家打分比较紧，哪位专家打分比较松。
通过统计学随机分析，运用Excel软件的函数模块，求出每位专家测试分数的MIN,Q1，Q2，Q3，MAX五个数据，以此为依据，借助Excel软件的绘图工具栏画出各个分数区段的箱线图及柱状图，分别分析各个专家同一分数段下的应聘者人数以及每个专家测试分数段的差异，通过比较分析，就可以得出相关结论。
问题四：你认为那些应聘者应给与第二次应聘机会。
这个问题必须要联系实际状况，通过以上的分析统计，已经明确应聘者得分排序及每位专家给分的严厉程度，根据实际需求人数录取分数总成绩排前的应聘者后，对各专家给分严厉程度排序，以“优先严厉专家给出分数，兼顾总体分数成绩”为原则，对原先预录取以外的应聘者再排序，依据实际需求给与第二次应聘机会。
数学专业的数学建模竞赛与论文写作
数学专业的数学建模竞赛与论文写作在数学专业中，数学建模竞赛和论文写作是重要的学术活动。
本文将介绍数学建模竞赛的基本流程和论文写作的要点，帮助读者更好地参与竞赛和撰写高质量的数学论文。
一、数学建模竞赛数学建模竞赛是一项模拟实际问题情景，通过数学模型解决问题的比赛。
参赛队伍通常由3-5名学生组成，他们需要在规定的时间内分析问题、建立数学模型、进行数值计算和给出解决方案。
1. 队伍组建与分工在组建竞赛队伍时，应根据队员的专长和兴趣进行分工。
一般而言，每个队伍需要至少有一名数学能力较强的成员、一名具备编程能力的成员和一名对问题领域有一定了解的成员。
分工合理的团队能够更高效地完成任务。
2. 问题理解与分析竞赛开始后，团队需要仔细阅读题目，确保对问题要求有准确的理解。
随后，团队成员应在集体讨论中提出问题的关键点，确定问题需要解决的具体目标。
3. 模型构建与求解构建数学模型是解决问题的关键步骤。
团队成员应选择合适的数学方法和工具，建立与问题相匹配的数学模型，并设计算法进行求解。
在进行计算和结果分析时，应注意合理化简和解释结果的物理意义。
4. 结果展示与报告撰写在竞赛结束前，团队需要将解决问题的过程和结果进行展示。
通常要求团队撰写一份报告，报告中应包含问题的描述、模型的建立、求解方法和结果分析等内容。
报告的撰写需要注意语言表达的准确性和逻辑性。
二、论文写作1. 撰写计划与提纲在论文写作之前，制定一个清晰的计划对于保证论文的质量和进度非常重要。
可以先列出论文的各个章节和要点，制定每个阶段的工作目标和时间表。
2. 引言与问题描述引言部分应包括对论文研究的背景和意义进行阐述，并对所要解决的问题进行准确描述。
需要突出问题的重要性和研究的创新点。
3. 理论模型与计算方法根据研究的问题，应详细介绍所选用的理论模型和计算方法。
理论模型部分要清晰地叙述模型的假设条件和基本原理，计算方法部分要详细描述所采用的算法和计算步骤。
4. 结果与讨论在结果展示中，应根据论文的目标，用图表和数据等形式将实验结果进行展示。
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赛程安排的数学模型摘要：针对题目提出的问题, 即怎样编制出一个合理、公平的赛程安排及各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限问题, 作了详尽、细致、深入的分析, 在分析过程中, 我们针对参赛球队的个数n 可为奇数也可为偶数的情况下, 分别用“最优配对排列法”和“循环滚动法”这两种不同的方法来解决, 当n 为奇数时, 用“最优配对排列法”编制赛程; n 为偶数时, 用“循环滚动法”编制赛程. 所谓“最优配对排列法”就是先按顺序给球队两两赋值并找出数值最小且遵循“距离最远、所打场数最少、无相同数值出现”原则的两支球队进行配对并又赋予新的值, 再寻找数值最小的两个队进行配对, 以此推出, 就可以编制最优赛程; 而“循环滚动法”就是把球队按顺序编号后分为左、右各一半, 然后左一半按序号依次往下排列, 右边紧接左边序号由下向上排列, 再固定左上角的球队, 其它球队按逆时针(或顺时针) 方向滚动, 从而得出最优赛程. 当n 为奇数时, 我们利用算法语言编制出了一套程序, 这样就可以解决n 为较大值时, 人工无法列出赛程表问题. 文中我们利用这两种方法对n 的值按顺序进行举例归纳, 以表格的形式建立出最优的数学模型, 总结出在尽量公平的情况下各队每两场比赛中间相隔的场次的上限值[]2n=∂本文讨论单场地上单循环赛的合理安排问题．运用图论算法给出了不同参赛队敷n的赛程安排，并确定了其中各队相隔两场的最大间隔场次的上限．该算法将n 为奇数和偶数的两种情况统一起来了，具有一定普遍性．给出了两种不同的衡量指标，从不同的角度衡量该赛程的优越性、关键词：单循环赛程；数学模型；算法；平均场次数问题重述今有5 支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10 场比赛,如何安排赛程使得对各队来说都尽量公平呢? 下面是随便安排的一个赛程:记5支球队为A ,B ,C ,D ,E ,在下表左半部分的右上三角的10 个空格中,随手填上1 ,2 , ⋯,10 ,就得到一个赛程,即第1 场A 对B ,第2 场B 对C , ⋯,第10 场C对E。
为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角。
这个赛程的公平性如何呢,不防只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等,表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A ,E 有从上面的例子出发讨论以下问题:1) 对于5 支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程;2) 当n 支球队比赛时,各队每两场比赛最小相隔场次数的上界是什么;3) 在达到2) 的上限的条件下,给出n = 8 ,n = 9的赛程,并说明它们的编制过程;除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度。
n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间都至少相隔的场次数的上限模型的假设1)在比赛期间, 每支球队的比赛不受天气、场地、人为等因素的影响，每个队的实力相当．2)在比赛过程中不会出现意外的停赛事故．3)给每支球队都编上队号，依次为1，2，3．⋯，n4)每两场比赛间隔时间相等，且这段时间不足以恢复队员体力．5)比赛不安排在每支球队的主场进行;6）赛程不受比赛时间长短的影响.符号说明n:球队号(n=1,2,3,…,n) N:n个队参赛时，共需比赛的场次数；SUP （n)：相隔场次数上限； M ：表示n=8的赛程；M*：表示n=9的赛程；d(v i )：第i支球队的度数，既第支球队已参赛场数；r：平均相隔场次数；r m ax：r的上限；f：总体最大偏差；f：f的下限；ming：球队最大偏差；g min：g的下限；R：所有球队组成的一个集合； E：所有球队比赛的集合；E1：已安排比赛的场次的集合；e(vv j,)：第i支球队与第J支球队比赛、i问题的分析与模型的建立问题一：对于5支球队的情况，给出各队每两场比赛问至少相隔一场的赛程．5支球队共比赛N=10场．以5支球队为顶点．每两支球队之间进行的比赛为相应顶点间的边，则构成一个5阶完全图G，在图G中寻找一条满足条件的路径即可．见图1和表1．图1 5支球队比赛关系图5 支球队比赛赛程安排表问题二：当n 支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少?分3种情况考虑：1)第1种情况：单独考虑某一个队的最大上限，球队可以连续打比赛．最大上限为SUP(n)=C n 21-这很显然，无须证明．2)第2种情况：若只单独考虑某一个队的最大上限，每支球队的连续两场比赛间至少相隔一场．公理．如果2≤n ≤4，则必有一支球队连续的两场比赛之间不相隔任何场次． 定理1．如果n=5，则各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是2． 显然，证明略．定理2．如果n ≥6，则各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为SUP(n)=422+-n C n ． 证明：用数学归纳法来证明．(1)当n=6时，SUP(6)=7=46*226=-C ． 当n=7时，SUP(6) =11=-C 27 2 *7+4． (2)假设n=k(k>7)时， SUP(k) =-C k 22k+4成立．由于是以k 个球队为顶点，以每两球队之间的比赛为边，构成一个k 阶完全图．设v i能达到上限SUP(k)，即v i打第一场和第SUP (k) +2场，此时d (v i) =2．随后的比赛就间一场，打一场，直至最后一场比赛．当n=k+1时，就新加一个顶点v k 1+要使v i 打完第SUP(k+1) +2场时d(v i ) =2，则d(v k 1+ )应为k 一2，所以SUP(k+1) =SUP(k) +k-2．因此，当n=k+1时，SUP(k+1)=C k 2- 2k+4+ (k-2)= ()21k k + - 2(k+1) +4即当n=k+1时成立．所以SUP(n)=C n 2-2n+4． (n ≥6且n ∈N)(3)第三种情况：从整体考虑各队的最小上限，当n 支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限1≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n 证明如下： (1)设n 为奇数，n=2k+ 1．共比赛N=k(2k+1)场．考察前k+1场，有2k+2个队参赛，于是至少有1个队两次参赛，这个队在这两场比赛间相隔场次数r 不超过(k+1)-1-1=k-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ． (2)设n 为偶数，n=2k ．共比赛N =k(2k 一1)场．同上，在前k+1场中至少有1个队(记这样的一个队为A )两次参赛，记A 第j 场比赛在赛程中是第aj 场，于是 a 1≥ 1，a2≤ k+1．①若a 2≤k+1，则r=a 2—a 1-1≤k-2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ② 若a 2=k+1，但a 1>1，同样有r=a 2- a 1- 1≤k-2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ③ 若a 1=1，a 2=k+1，在前k +1场中除A 外有2k 个队参赛，于是至少又有1个队(记这样的一个队为B)两次参赛，记B 第j 场比赛在赛程中是第b j 场，则必有b 1≥1，b2<k+1，或b 1>1，b 2≤k+1(即不可能b 1=1，b 2：k+1)，故r=b 2=b 1-1≤k-2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n 问题三：满足上限的情况下，n=8和n=9的赛程安排及编排过程．1)满足第1种上限的赛程很明显，在这里就不讨论其赛程安排及编排过程了． 2)根据第2种上限可得：(1)当n=9时，SUP(8) =16．赛程安排略． (2)当n=9时，SUP(9) =22．赛程安排略． (3)编排算[]法2 ：令R= { v v v n ,...,,21 }为点集合，E= {e(v 1,v 2 )，e(v 1，v 3)，⋯ ，e(v 1，v n )，e(v 2 ，v 1)，⋯ ，e(v n 1-，v n )}为边集合，E1= ϕ， I = 0， W = ϕ．① 任取起始点v 1；② 就近原则选取点v 2 ，得e(v 1，v 2 )，i=i+1，e(v 1，v 2 )=i ，E 1=E 1+ { e(v 1，v 2 )}．③ 在R-{v 1，v 2 }里任选两个点v v j i ,得e(v v j i ,)，i=i+1，e(v v j i , ) =i ，E 1=E1+{e(v v j i ,)}．④ 在R 一{v 1，v v j i ,}里任选两个点v v j i ,得e(v v j i , )．⑤如果e(v v j i ,)∈E-E 1，则I=I+1，=I ， e(v v j i , ) =I ，E 1=E 1 +{e(v v j i ,)}．否贝U 转⑥⑥ 如果e(v v j i , ) E —E 1，则 w=w+ {v i }．R 一{v 1，v v j i ,} 一w 在里任选两个点，v v j i ,，得e(v v j i ,)，转⑤．⑦ 重复 ④⑤ ，直到i ≥SUP(n)+1，转下一步； ⑧ 在R 一{v 1，v v j i , }里任选一个点v*，得e(v 1，v *) ， i=i+1，e(v 1，v *)=i ，E 1=E 1+ {e(v 1，v*)}；⑨ 在R-{v 1，v *}里任选两个点vv j i, ，得e(vv j i,)，转⑤ ；⑩ 当I>C n 2退出，否则转⑤． 3)根据第3种上限可得：(1)n=8，相隔场次数的上限为r=2．记8支球队为1，2，⋯8，共28场比赛．一种编制赛程的办法是将赛程分为7轮，每轮4场，各队在每轮中相遇，具体如下： “1”号固定左上角的逆时针轮转法[1] [3]’ ，具体编排方法是，先将⋯1’号确定在左上角，其他各号按大小顺序沿着逆时针方向依次捉对并列，排出第一轮次序； “I ”号固定左上角不动，其他各号每轮按逆时针方向轮转动一个号位，从而排出以后格伦的全部次序，这样就得到整个赛程M 。
见表2 表2 8支队的参赛比赛顺序（逆时针轮换法）以上方法可以推广用于n 为偶数的情况．(2)n=9，相隔场次数的上限为r=3．记9支球队为1，2，⋯9，共36场比赛．一种编制赛程的办法是：①画一4×9的表格，如表3第i行第j列的格子记作(i，j)，在每格左侧先按行依次填1，3，5，7( 第1行1个1，第2行3个3，⋯，第4行7个7 )，后按行依次填8，6，4，2，构成每场比赛的第1支队．表3 9支球队参赛的比赛顺序的初始化②在格的右侧沿各对角线填1，3，5，7，如表4 自(2，2)至(4，4)，跳过一列再自(1，6)至(4，9)填1，使1的总数(包括格子左侧的)为8，自(3，4)至(4，5)，跳过一列再自(1，7)至(3，9)填3，使3的总数(包括格子左侧的)为8，…．表4 9支球队参赛的比赛顺序的第一次轮转③在格的右侧沿各对角线填2，4，6，方法与上类似．最后在未满的8个格中填9，得到表5按照表5先列后行的顺序排列得到赛程M’，即第1场1对9，第2场3对2，…，第36场2对1．表5 9支球队参赛的比赛顺序以上方法可以推广用于n 为奇数的情况．问题四：给出衡量指标来衡量问题3中根据第3种上限编排的赛程的达标程度．1) 平均相隔场次数．记第i 队第j 个间隔场次数为C ij ,i=1，2，⋯ ，n ，j=1，2,…，n 一2，则平均相隔场次数为r =()∑∑=-=-n i n i j ijC n n 1221, r 是赛程整体意义下的指标，它越大越好． 检查n=8的赛程M ，得r =3；n=9的赛程M*，得r = 220／63=3．49．实际上， 可以得到r 的上限：r m ax =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--k n k k n k k k 2,112,14222r m ax 的证明如下：(1)当n=2k+1时，所有间隔场次数之和：S = ∑∑==-=n i i n j ij C 121 =2C k 212+ + 2 (C k 212+-1 )+…+ 2[C k 212+一( k-1)]+(C k 212+-k)+[-2×1-2×2-… -2× k-(k +1)] 一(2k +1) 一(2k -2) (2k +1) = (2k +1) C k 212+-4 (1+2+… + k-1) 一3k-k-1-2k-1-k 24+2k+2=()()()k k k k k k k k k k --=----++232244421422.1212所以r m ax =()()()()1421421412122422222223--=---=-+--=-k k k k k k k k k k k k n n s(2)当n=2k 时，所有间隔场次数之和：S=∑∑==-=n i i n j ij C 121=2C k 212+-4(1 + 2 + … + k - 1 ) - 2k — 2k -k 24 +6 k=)12(4242).1(.422).12(222+-=+----k k k k k k k k k k所以r m ax =11)22(2)12(4)2()1(22-=-=-+-=--k k k k k k n n Sk k所以r m ax =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--k n k k n k k k 2,112,14222 上述结果表明，赛程M 和M*都已达到了这个上限．2)场次的最大偏差．定义max ijf =︱C ij -r ︱为总体最大偏差，g=max i︱∑-=21n j ij C -（n-2）*r ︱为球队最大偏差， 它们都越小越好． 检查n=8的赛程M ，得f=1，g =1； n=9的赛程M*,得f=0.5，g =3.5．实际上，可以得到f 的下限：⎪⎩⎪⎨⎧=+=--k n k n k k f2,1,12,141222min 以及n=2k 时g 的下限：gmin结果表明，赛程 达到了厂和g 下限，M*也达到了f 的下限．模型的评价本模型讨论了一个在单场地上进行单循环赛的赛程安排问题先是通过合理假设，充分利用赛程安排的特点，成功地解决了赛程安排中劳逸机会不均等问题，并给出了不同参赛队数n 的赛程安排． 在上限的讨论中，从单独考虑一个队的最大上限和整体考虑各队的最大上限的两个不同角度来探讨相隔场次数的上限，从而求出3种不同情况下的上限；在讨论时将／'t 为奇数和偶数的两种情况统一起来，使模型更具有普遍和实用性．最后给出了平均相隔场次数和相隔场次数的最大偏差来衡量赛程的优越性，这两种衡量方法是比较科学和简单明了的．本模型在问题2的讨论中，前两种上限只考虑一个队的最大上限，使这个队的比赛全部挤在一起，这样可能导致严重的劳逸不均及各队参赛进度相差太大；而各队连续两场比赛中问得到的休整时间不同，从而使这个赛程有失公平性，所以由此给出的赛程就是一种劣等赛程．相对而言在第3种上限下建立的赛程，队数为的相隔场次数至少为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ，即每个队连续两场比赛间相隔场数都大于等于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ，并且用平均相隔场次数和最大偏差衡量了这赛程的优越性．从问题4可以得到第3种上限为最佳上限，其相应编排出的和亦为理想的赛程．总的说来，本模型直观、实用，表达方法及数学原理简单明了，又易于理解、实现及推广．参考文献：[1]程嘉炎．乓球竞赛法研究[M]．人民体育出版社，1981．[2]王树禾．图论及其算法[M]．中国科技出版社，1990．[3]王蒲．运动竞赛方法研究[M]．人民体育出版社，2001[4]曹永存．实用C 语言程序设计教程[M]．中央民族大学出版社，1994．[5]寿纪麟．数学建模方法与范例[M]．西安交通大学出版社．1993．。