3-5群的自同构群.

群的同构定理

群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。

对于群的研究，同构是一个重要的概念。

同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。

在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。

一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。

若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。

同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。

即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。

2. 同构保持群的运算结构。

若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。

3. 同构保持单位元。

若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。

4. 同构保持逆元。

若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。

二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。

1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。

对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。

则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。

2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。

三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。

以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。

2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。

幂零李代数的自同构群的结构

ｂ２ｌｂ２２００
综合以上运算结果得
［ｔｌｂ￣＋３３ｂ，１ｌ２￣ｂ２＋４４ｂｌ＋２２６ｌ＋４４ｂ２＋２＋３３ｂ２］Ｘｘｘｂｘｘｘ＝ｘ
６１２３６１３４ｂ１１３ｂ１１４６２＋２一２一３，ｌｌｂｂ２ｂ２ｘ
，
ｂｌｂ２ｂ３ｂ４２２２２
定理２设Ｌ是特征为０的代数闭域上的幂
４
Ａ（１２３４：，２，４，，，）（１３）Ｘ
零李代数，如果的维数等于３戈，是￡的一，，。
ＡｂｔａｔＳｒｃｕｅｆｕｏｒｈｓｇｏｐｏｏｒｄｍｅｓｎｌｉｏｅｔｉｌｅｒｓａｅｄｓｕｓｄｓｒｃ：ｔｔｒｓｏｔｍｏｐｉｍｒｕｆｗｅｉｎｉａｌｔｎｅａｇｂａｒｉｃｓｅｕａｌｏｎｐＬ
文献标志码：Ａ
关键词：幂零李代数；自同构；自同构群
中图分类号：５．０１２５
Ｓｒｃｕｅｆａｔｍｏｐｉｍｒｕｆｎｌｏｅｔｌｌｅｒｓｔｕｔｒｓｏｕｏｒｈｓｇｏｐｏｉｔｎｅａｇｂａｐｉ
ＬＡＩＸｉ－ｉｇＯＵｈ－ｕ，ｎｘｎ，ＳｉｋｎＬＵＯｈ－ｈｎＳｕｚｅ
（ａｕｔｏｃｎｅＪａｇｉｎｖｒｉｆｃｅｃｎｅｈｏｇ，ａｚｏ４００ＣｉａＦｃｌｆｉｃ，ｉｎｘｉｅｓｙｏＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｙＧｎｈｕ３１０，ｈｎ）ｙＳｅＵｔｏ

循环群的自同构群

循环群的自同构群循环群是群论中一类重要而特殊的群结构。

它具有很多有趣的性质和应用，其中一个重要的性质就是它的自同构群。

首先，我们需要了解什么是循环群。

循环群是由一个元素生成的群，该元素被称为生成元。

换句话说，循环群中的每个元素都可以通过不断进行群运算（加法或乘法）与生成元相乘来得到。

例如，整数集合Z和模n剩余类集合Zn都是循环群，它们的生成元分别是1和1~(mod n)。

循环群的元素可以被表示为幂的形式，例如在整数集合Z 中，对于一个生成元g，其幂运算可以表示为g^n。

循环群的自同构群指的是将循环群映射到自身且保持群运算的双射（双向一一对应）集合。

换句话说，自同构群是循环群的一种变换，其中变换之前和之后的群运算保持不变。

循环群的自同构群在群论研究中具有重要的地位。

首先，自同构群是研究循环群内部结构的重要工具。

通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的各种性质和结构，并且可以对循环群进行分类。

其次，循环群的自同构群对密码学中的安全性有着重要的影响。

在现代密码学中，循环群被广泛应用于构建安全性强大的加密算法，例如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。

而自同构群则可以用于验证加密算法的安全性和强度。

循环群的自同构群可以分为两类：平凡自同构群和非平凡自同构群。

平凡自同构群是指将循环群的所有元素映射到它们自身的恒等映射。

换句话说，平凡自同构群保持循环群的原始结构不变。

而非平凡自同构群则是指存在一种映射，能够改变循环群的结构，例如将生成元映射到其他元素或改变群的性质。

在循环群的自同构群中，非平凡自同构群是研究的重点。

对于循环群Z，它的非平凡自同构群就是循环群Z*。

而对于循环群Zn，它的非平凡自同构群就是单位元素到自身的同余映射（自同构映射）。

这些非平凡自同构群在代数结构和密码学中有着重要的应用。

总结起来，循环群的自同构群是群论研究中的一个重要课题。

通过研究循环群的自同构群，我们可以了解循环群的内部结构和性质，并且可以将其应用于代数结构和密码学等领域。

第三章正规子群和群的同态与同构

第三章正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一定义
定义1 设 ( G, ) 和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
( )
ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b)(∀a, b ∈ G（即ϕ 保运算） )
G ⇒ ϕ ( N ) G；
( 2) N
G ⇒ ϕ −1 ( N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群，两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G , N ≤ G，则
(1) 若N ( 2 ) 若H
G ⇒ NH ≤ G且N G且N G ⇒ HN
NH , H ∩ N
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
ϕ
三循环群的同态象
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群，则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群. 推广交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群也是交换群.
ϕ
四同态映射下两个群的子群之间的关系
引理设σ ：G → G是群同态映射，又H ≤ G，如果H ⊇ Kerϕ，则

群论中的群的同构和同构定理

群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。

群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。

同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。

首先，我们来了解一下群的同构。

群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。

同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。

换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。

例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。

而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。

同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。

第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。

具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。

第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。

第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。

它描述了两个群的商群之间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。

第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。

范畴论

目录[隐藏]∙ 1 背景∙ 2 历史注记∙ 3 范畴o 3.1 定义o 3.2 范畴举例o 3.3 态射分类∙ 4 函子∙ 5 自然和自然同构o 5.1 定义o 5.2 举例∙ 6 泛结构，极限和上极限∙7 等价范畴∙8 进一步的概念和结果∙9 范畴分类∙10 参考书目∙11 外部链接[∙一个“对象”的类∙对于任何两个对象A和B，存在一个从A到B的态射集合 Mor(A,B)。

如果f 属于 Mor(A,B)，则记为f : A→B（有些作者将态射集记为 Hom(A,B) ）∙对于任何三个对象A，B和C，存在一个二元运算 Mor(A,B) × Mor(B,C) →Mor(A,C)，称此为“复合态射”；由f : A→B和g : B→C复合而成，记为g·f、g o f，或者gf（有些作者将此记为fg）。

以上组成部分若满足如下两条公理，则称为范畴：∙（结合性）如果有f : A→B，g : B→C和h : C→D，则h·(g·f) = (h·g)·f；∙（等价性）对任意对象X，存在一个态射id X : X→X，称为“X的恒等态射”，使得对任何态射f : A→B，都有id B·f = f = f·id A。

从以上公理出发可以得到，一个对象的恒等态射是唯一的。

有些作者将对象本身用恒等态射来定义，这在本质上是相同的。

如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。

许多重要的范畴不是小范畴。

范畴中的态射有时又称为“箭头”，这种叫法来自于交换图。

[编辑]范畴举例每一范畴都由其对象，态射，和复合态射来表述。

为了方便起见，以下的“函数”即是指态射，不再一一说明。

∙单态射，如果fg1 = fg2，则有g1 = g2，此关系对所有态射g1，g2 : X→A成立。

映射之间的关系（比如fg = h）在大多数情形下可用更直观的交换图来表示，在此图中对象被表示成顶点，态射被表示为箭头。

3-5群的自同构群.ppt

2018/1/10 16:35
于是易知 1 n(A) : A 0 1 是G到自身的一个映射 .又由于 1 ( AB) ( 0 n( AB) 1 ) 0 1 n( A) n( B ) 1
1 n( A) 1 n( B ) ( A) ( B ), 0 1 0 1 故是群G的一个自同态映射 .但是, 把中心元素 2 0 1 0 2 却变成非中心元素 0 不是全特征子群 .
2018/1/10 16:35
(H ) H ,
则称H为群G的一个全特征子群. 全特征子群一定是特征子群.
例2 群G的中心C是G的一个特征子群. 证 : 任取c C, x G, AutG, 则
(c)x (c) [ (x)] [c (x)]
-1 -1
由于无限循环群有两个生成元,n阶循环群有 (n) 个生成元,从而其自同构群分别为2阶循环
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群和
(n) 阶群.
推论2 无限循环群的自同构群与三阶循环群的自同构群同构. 定理3 设G是一个群, a G. 1)
则
a : x axa1 ( x G)
是G的一个自同构,称为G的一个内自同构;
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小结 1.群的自同构群的概念，循环群的自同构群。 2.内自同构群，特征子群，全特征子群。作业： 5.6
2018/1/10
16:35
2018/1/10
2 ,因此, G的中心 1
16:35
例4 证明:循环群G=<a>的子群都是全特征子群.
全特征子群、特征子群和正规子群间的关系是
全特征子群特征子群正规子群

关于有限群的Coleman自同构群的一个注记

第２卷第１３期
２０年３月１０
青岛大学学报（自然科学版）
ＪＵＲＡＮＧＡＮＩＥＳＴ（ａｕａＳｉｃｄｔｎＯＮＬＯＦＱＩＤＯＵＶＲＩＹＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｅｉ
Ｃｌｍａｏｅｎ引理设Ｐ是Ｇ的一个Ｐ子群，是一个交换环且ｐ一ＲＲ≠Ｒ，Ｎｕ（一ＮＰ）・ｕ则（Ｐ）ｍ（Ｃ腼）（，中Ｕ（Ｐ）其ＲＧ）表示群环Ｒ的单位群。Ｇ对Ｃｌｍａｏｅｎ自同构的研究始于对Ｇ在Ｕ（Ｇ）Ｒ中的正规化子Ｎ（研究，个研究课题是在文献肼Ｇ）这
示Ｇ的Ｃｌｍａｏｅｎ自同构群，中每个自同构限制在Ｇ的任意一个Ｓｌｗ子群上都等于Ｇ的某个内自同构其ｙｏ在它上的限制；ｔ（表示Ｇ的类保持自同构群，中每个自同构把Ｇ中的每个元映到它的某个共轭元。ＡｕＧ）其
是一个有限群，Ｇ的每个真子群可解，Ｇ本身不可解，若但则称Ｇ是一个内可解群。设Ｍ是有限群Ｇ的一
（Ｇ）ｎＯｕｃＧ）２一。ｔ（是群
通过对有限群的Ｃｌｎ自同构的深入研究，ｏｅｍａ又得到了一些Ｏｕ（是，的充分条件。在叙述主ｔＧ）－群
要结果之前，引进一些记号和术语。用ＦＧ）先（表示Ｇ的广义Ｆｔｉｇ子群，表示阶为Ｐ的循环群。设ＧｉｎｔＣ