2019中考数学复习第1部分第三章函数第七节二次函数的综合应用检测

第七节 二次函数的综合应用
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1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y ＝－2x ＋4分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的表达式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N. ①求点M ，N 的坐标；
②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；
(2)当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B ，P ，D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y ＝ax 2
＋32x ＋c(a≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴
交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB ，AC. (1)请直接写出二次函数y ＝ax 2
＋32x ＋c 的表达式；
(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标； (4)如图2，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．
图1
图2
3．(2018·随州中考)如图1，抛物线C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(－1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G.
(1)求出抛物线C1的表达式，并写出点G的坐标；
(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′，B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；
(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：(1)①如图，
∵y＝－2x 2
＋2x ＋4＝－2(x －12)2＋92
，
∴顶点M 的坐标为(12，9
2
)．
当x ＝12时，y ＝－2×1
2
＋4＝3，
则点N 的坐标为(1
2，3)．
②不存在．理由如下：
MN ＝92－3＝32
.
设P 点坐标为(m ，－2m ＋4)，则D(m ，－2m 2
＋2m ＋4)，
∴PD＝－2m 2
＋2m ＋4－(－2m ＋4)＝－2m 2
＋4m.
∵PD∥MN，
当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形， 即－2m 2
＋4m ＝32，解得m 1＝12(舍去)，m 2＝32
，
此时P 点坐标为(3
2
，1)．
∵PN ＝
（12－3
2
）2＋（3－1）2＝5，∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD 不为菱形，
∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形．
(2)存在．
如图，
OB ＝4，OA ＝2，则AB ＝22＋42＝2 5.
当x ＝1时，y ＝－2x ＋4＝2，则P(1，2)，
∴PB＝12＋（2－4）2＝ 5.
设抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋4，
把A(2，0)代入得4a ＋2b ＋4＝0，解得b ＝－2a －2，
∴抛物线的表达式为y ＝ax 2
－2(a ＋1)x ＋4.
当x ＝1时，y ＝ax 2
－2(a ＋1)x ＋4＝a －2a －2＋4＝2－a ，则D(1，2－a)，
∴PD＝2－a －2＝－a.
∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，
∴当PD BO ＝PB BA 时，△PDB∽△BOA，即－a 4＝525
，
解得a ＝－2，
此时抛物线的表达式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4； 当PD BA ＝PB BO 时，△PDB∽△BAO，即－a 25＝54
，
解得a ＝－5
2
，
此时抛物线的表达式为y ＝－52
x 2
＋3x ＋4.
综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4或y ＝－52
x 2＋3x ＋4.
2．解：(1)y ＝－14x 2＋3
2
x ＋4.
提示：∵二次函数y ＝ax 2
＋32
x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
4，c ＝4，
∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋3
2x ＋4.
(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：
令y ＝0，则－14x 2＋3
2
x ＋4＝0，
解得x 1＝8，x 2＝－2，
∴点B 的坐标为(－2，0)．
在Rt △ABO 中，AB 2
＝BO 2
＋AO 2
＝22
＋42
＝20，
在Rt △AOC 中，AC 2
＝AO 2
＋CO 2
＝42
＋82
＝80.
又∵BC＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，
∴在△ABC 中，AB 2
＋AC 2
＝20＋80＝102
＝BC 2
，
∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝42＋82＝4 5.
①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(－8，0)；
②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；
③作AC 的垂直平分线，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(3，0)．
综上所述，若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－
8，0)，(8－45，0)，(8＋45，0)，(3，0)．
(4)设点N 的坐标为(n ，0)，则BN ＝n ＋2.
如图，过点M 作MD⊥x 轴于点D ，
∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，
∴
BM BA ＝MD OA
.
∵MN∥AC，∴BM BA ＝BN BC ，∴MD OA ＝BN
BC
.
∵OA＝4，BC ＝10，BN ＝n ＋2，∴MD＝2
5
(n ＋2)．
∵S △AMN ＝S △ABN －S △BMN ＝12BN·OA－1
2
BN·MD
＝12(n ＋2)×4－12×25
(n ＋2)2
＝－15
(n －3)2
＋5，
当n ＝3时，S △AMN 最大，
∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为(3，0)．
3．解：(1)∵点A 的坐标为(－1，0)，∴OA＝1.
∵OC＝3OA ，∴点C 的坐标为(0，3)． 将A ，C 点坐标代入y ＝ax 2
－2ax ＋c 得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3，
∴抛物线C 1的表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4，
∴点G 的坐标为(1，4)．
(2)设抛物线C 2的表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3－k ，
即y ＝－(x －1)2
＋4－k.
如图，过点G′作G′D⊥x 轴于点D ，设B′D＝m.
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D＝3B′D＝3m ，
则点B′的坐标为(m ＋1，0)，点G′的坐标为(1，3m)．
将点B′，G′的坐标代入y ＝－(x －1)2
＋4－k 得
⎩⎨
⎧－m2＋4－k ＝0，4－k ＝3m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m1＝0，k1＝4(舍)或⎩⎨
⎧m2＝3，k2＝1，
∴k＝1. (3)存在．
M 1(1＋132，0)，N 1(13，－1)；M 2(1＋13
2
，0)，N 2(1，－1)；M 3(4，0)，N 3(10，－1)；M 4(4，0)，N 4(－
2，－1)．。