[高中数学]立体几何.球专题讲义
【高中数学】立体几何《多面体的外接球》
专题2多面体的外接球第一讲长方体切割体的外接球a，b，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．图4中，22222222222222222222228a b BCAD BCAB CD b c AC a b c RAC BD c a ABααβγαβγβγ⎧+===⎫⎪++++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩,abcabcabcV BCDA31461=⨯-=-．【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA===,则这个球的表面积是．【例2】在三棱锥BCDA-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC∆、ACD∆、ADB∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCDA-的外接球的体积为（）A．6πB．26πC．36πD．46π【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2===⊥⊥BCABDABCABABCDA，，面,则球O的体积等于．【例4】四面体BCDA-中，5==CDAB，34==BDAC，41==BCAD，则四面体BCDA-外接球的表面积为（）A．π50B．π100C．π150D．π200础自测1．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AC ⊥，1==BC AC ，3=PA ，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π42．在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π243．已知三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（）A ．π312B ．π28C ．π34D ．π44．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π20D ．π245．已知三棱锥ABC P -的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（）A ．π5B ．π8C ．π16D ．π206．已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π37．三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（）A ．π36B ．π9C ．29πD ．49π8．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．π328B ．π24C ．π34D ．π12第二讲三棱柱的切割体的外接球⇒图1立着放的模型图2躺着放的模型图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为h ，底面三角形外接圆半径设为r ，A a r sin 2=可以求出，则222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ；图2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ．【例5】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为．【例6】已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π16C ．π32D ．π649．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π10．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π34B ．π32C ．π24D ．π2211．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（）A ．π36B ．π28C ．π16D ．π4第9题图第10题图第12题图第13题图12．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π20B ．π17C ．π16D ．π813．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π27B ．π48C ．π64D ．π8114．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（）A ．π332B ．π48C ．π24D ．π16第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）图1BCAB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由AaR sin 2=，解出R ．图2：先根据Aar sin 2=求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4222212l R R R -+=2122212122D O E O D O OO OD R +=+==4)21()(222212122221222l R R D O BC C O D O CE C O -+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =或22lR =时，则2R R =或1R R =．双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π24【例8】已知三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足3==BC AB ，3=AC ，若该三棱锥体积的最大值为433，则其外接球的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．3215．矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体BCDA -的外接球的体积为（）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π312516．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2==BC AB ，2=AC ，若球的表面积为π425，则四面体ABCD 体积最大值为（）A ．41B ．21C ．32D ．217．在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，2==SC SA ，平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（）A ．π316B ．π8C ．π38D ．π418．如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（）A ．π4B ．π12C ．π16D ．π36第4题图第5题图19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A ．π33B ．πC ．π326D ．π27332第四讲全等三角形折叠模型作二面角剖面⇒作二面角剖面⇒题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角α='∠EC A ,h E A CE ='=如图，作左图的二面角剖面图如右图：1H 和2H 分别为BD A BCD '∆∆,外心，BCDBDr CH ∠==sin 21，r hEH -=1，()2tan1αr h OH -=，故()2tan 222212122αr h r CH OH OC R -+=+==．凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用CcB b A a R sin sin sin 2===进行处理．【例9】已知菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ，3=AB ，对角线AC 与BD 的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得︒=∠90AOC ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A ．π15B ．215πC ．27πD ．π7【例10】在三棱锥ABC P -中，2====BC AC PB PA ，32=AB ，1=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．34πB ．π4C ．π12D ．352π【例11】在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线AC 折成二面角D AC B --为 120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．第五讲等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：ABC △以斜边BC 为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面DBC 与其它平面构成的二面角．作二面角剖面⇒如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A --二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫⎝⎛-==+=α．【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．第六讲剖面图转化定理：剖面图一致的外接球一定一致两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型如图6：设二面角α=∠AED ，1h AE =，2h DE =，ABC ∆外接圆半径1r ，DBC △外接圆半径2r ，延长AE 交球于F ,DE 交球于G ，作如图6的二面角剖面图如图7所示，根据相交弦定理ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若DE AE =或者GE AE =，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．（备注：若︒=∠60BAC ，则EF AE 3=，若︒=∠120BAC ，则EF AE 31=）如图8：CD 为BCD Rt ∆的斜边，设二面角α=∠1AED ，1h AE =，21h E D =，ABC △外接圆的半径为1r ，DBC △外接圆的半径为22CDr =，221r h E O -=，延长AE 交球于F ，E D 1交球于G ，作如图8的二面角剖面图如图9所示，根据相交弦定理1ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若E D AE 1=或者GE AE =，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32【例15】（2018•长郡期末）四面体BCD A -中，︒=∠=∠=∠60CBD ABD ABC ，3=AB ，2==DB CB ．则此四面体外接球的表面积为（）A ．219πB ．243819πC ．π17D ．61717π第七讲含二面角的外接球终极公式双距离单交线公式：4sin cos 222222l mn n m R +-+=αα如右图，若空间四边形ABCD 中，二面角D AB C --的平面角大小为α，ABD 的外接圆圆心为1O ，ABC 的外接圆圆心为2O ，E 为公共弦AB 中点，则α=∠21EO O ，m E O =1，n E O =2，2lAE =，R OA =，由于21O E O O 、、、四点共圆，且αsin 221O O R OE ='=，根据余弦定理αcos 222221mn n m O O -+=，4sin cos 22222222l mn n m AE OE R +-+=+=αα．注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式()2tan 2222αr h r R -+=．下面以此公式来解答一下前面出现的例题：【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积为（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32达标训练1．（2019•潮州二模）如图，四棱锥E ABCD -中，正方形ABCD 的边长为2，ABE ∆为E 为直角顶点的等腰三角形，平面ABE ⊥平面ABCD ，则该几何体外接球的表面积为（）A ．12πB ．62πC ．22πD ．8π第1题图第5题图2．（2019•安徽模拟）在三棱锥E ABD -中，已知1,3AB DA ==，三角形BDE 是边长为2的正三角形，则三棱锥E ABD -的外接球的最小表面积为（）A ．233πB ．833πC ．163πD ．32327π3．（2019•成都模拟）三棱柱111ABC A B C -中，棱AB ，AC ，1AA 两两垂直，AB AC =，且三棱柱的侧面积21，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 表面积的最小值为（）A ．πB 2πC ．2πD ．4π4．（2019•河北二模）已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π5．（2019•莆田二模）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π6．（2019•南关月考）在四面体ABCD 中，若3AB CD ==2AC BD ==，5AD BC ==则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．（2019•武侯模拟）在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π8．（2019•深圳模拟）如右图所示，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面111A B C ，11190BAC A B C ∠=∠=︒，AC AB =1112AC AB A A B C ====，则多面体111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π9．（2018•金牛模拟）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD ∆折起使A位于新位置A '，且3A C '=，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（）A ．529πB ．509πC ．6πD ．25π10．（2019•渝水月考）已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，3BC =32PA PB ==面角P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π11．（2018•临川期末）在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==2SA SC AC ===，二面角S AC B --的余弦值是33，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A ．32πB ．2πC 6πD ．6π12．（2018•黄州三模）如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，2AB =BAD CBD∠=∠2π=，且二面角A BD C --的大小为56π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．20πC ．24πD ．36π13．已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为（）12题图13题图14题图A ．π48B ．π52C ．3172πD ．3196π14．（2019•河北一模）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A ．8πB ．9πC ．414πD 41π15．（2019•黄山一模）已知三棱锥A BCD -，6BC =，且ABC ∆、BCD ∆均为等边三角形，二面角A BC D--的平面角为60︒，则三棱锥外接球的表面积是．16．（2019•城关月考）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，32AB BC ==侧面PAC 为正三角形，且顶点P在底面上的射影落在ABC ∆的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为．17．（2019•宝鸡一模）已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，5AC AD BC BD ====，则a =．18．（2018•南平一模）在三棱锥P ABC -中，3AB BC AC ===，PAC PAB ∠=∠，2PA =，PA 与平面ABC所成角的余弦值为33，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．。
高中数学知识点总结立体几何中的球面与球体表面积计算
高中数学知识点总结立体几何中的球面与球体表面积计算高中数学知识点总结——立体几何中的球面与球体表面积计算立体几何是数学中一个重要的分支，其中球面和球体的表面积计算是其基本内容之一。
在本文中，我们将对高中数学中与立体几何相关的球面和球体表面积计算进行总结。
1. 球面的表面积计算在立体几何中，球面是由一个半径为r的圆绕其直径旋转而形成的。
为了计算球面的表面积，我们可以使用下述公式：S = 4πr²其中，S表示球面的表面积，π近似取3.14，r表示球的半径。
2. 球体的表面积计算球体是由一个半径为r的圆绕其直径旋转而形成的三维图形。
为了计算球体的表面积，我们可以使用下述公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π近似取3.14，r表示球的半径。
需要注意的是，球体的表面积实际上等于球面的表面积的两倍。
3. 实例演算为了更好地理解和应用上述公式，我们通过一个实例来进行演算。
假设有一个半径为5cm的球体，我们首先计算球面的表面积：S = 4π(5)²≈ 4π(25)≈ 100π≈ 100 × 3.14≈ 314 cm²因此，该球体的球面的表面积约为314平方厘米。
接下来，我们计算球体的表面积：S = 4π(5)²≈ 4π(25)≈ 100π≈ 100 × 3.14≈ 314 cm²由于球体的表面积是球面的表面积的两倍，因此该球体的表面积约为628平方厘米。
4. 总结通过本文的总结，我们了解到在立体几何中，球面和球体的表面积计算是一个重要的知识点。
我们可以通过简单的公式进行计算，其中球面的表面积公式为S = 4πr²，球体的表面积则是球面表面积的两倍。
在实际应用中，我们可以根据给定的半径来计算球面和球体的表面积，以便更好地理解和应用立体几何的知识。
通过本文的学习，相信读者对立体几何中的球面和球体表面积计算有了更清晰的认识。
立体几何中的球体
解析
解析
随堂练习
三棱锥P ABC的四个顶点均在同一球面上， 其中△ABC是正三角形，PA 平面ABC，
PA 2AB 6，则该球的表面积为
解析
随堂练习
在体积为4 的三棱锥S ABC中，AB BC 2, 3
ABC 90，SA SC，且平面SAC 平面ABC， 若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该
外接球的表面积与体积
“接”的处理：把一个多面体的定点放在球面上即球外接于该多 面体。解决这类问题的关键是抓住外接圆的特点，即球心到多 面体的顶点的距离等于球的半径，并且对已知空间体进行“补 形”处理后求解。
外接球的表面积与体积
(1)长方体的外接球：球心是对角线的交点；半径是r a2 b2 c2 (a，b，c为长方体的长宽高) 2
空间几何中的球体
球的体积与表面积
以半圆的直径所 在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周 形成的旋转体 球 空间中到定点的 距离等于定长的 点的集合（轨迹） 叫球面，简称球
表面积 S球面＝4πR2， R为球的半径
体积
V＝43πR3
常见题型
① 直接求解球的体积与表面积 ② 外接球的体积与表面积 ③ 内切球的表面积与体积 ④ 球的表面积与体积的最值
(2)正方体的外接球：球心是正方体的中心，半径r 3 a(a为正方体的棱长)； 2
(3)正四面体的外接球：球心是正正四面体的中心，半径r 6 a(a为正四面体的棱长)； 4
外接球的表面积与体积
例题
若等边三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使得点B与C间的距离 为 2，则此时四面体ABCD外接球的表面积为多少？
解析
例题
轴 截 面 为 正 方 形 的 圆 柱的 外 接 球 的 体 积 与 该 圆柱 的 体 积 的 比 值 是 A. 4
高中数学专题复习课件立体几何——球1
2o、若A、B在子午线异侧： 当α 1+α 2≤π 时，∠AO1B =α 1+α 2 ； 当α 1+α 2＞π 时，∠AO1B =2π -（α 1+α 2）。
A
0°
O1
B
O
然后再由其他条件计算出∠AOB，进一步得出A、B的球面距离。
② 同经度不同纬度的两地间的球面距离：设同一经线上的A、B两地纬度分别 是β 1、β 2(弧度数) 1o、A、B在赤道异侧时：A、B的球面距离为 R（β 1+β 2）；
2． 经度和纬度的计算方法 ① 某点的经度——经过这点的经线与 地轴确定的半平面和0o经线（即本初子 午线，简称子午线）与地轴确定的半 平面所成的二面角的度数。
纬线
A
0°
东经和西经：0o经线以东的经线叫东经， 经线 0o经线以西的经线叫西经。
北极
O1 O
南极
B
赤道
东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。
2o、A、B在赤道同侧时：不妨设β 1＜β 2，A、B的球面距离为 R（β 2-β 1）。
例1． 上海靠近北纬30o东经120o的A点，洛杉矶 靠近北纬30o西经120o的B点，阿拉斯加在上海的 东北方向，接近过A、B的大圆，夏威夷在上海的 正东方，接近过A、B的纬度圈。一飞机从上海飞 往洛杉矶，经过阿拉斯加到达目的地还是经过夏 威夷到达目的地比较近？为什么？
× （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（ ） × （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（ ）
（3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面所在
平面的距离为4。
（√）
（4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√ ）
高一数学(人教版)复习知识点专题讲义课件50---圆柱、圆锥、圆台、球
2. 两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形
2021/12/9
棱锥的概念
S
有一个面是多边形，其余各面
都是有一个公共顶点的三角形，
A．5
B．10
C．20
D．不确定
【解析】圆柱的母线长和高相等．
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3．下面几何体的截面一定是圆面的是( B )
A．圆台
B．球
C．圆柱
D．棱柱
【解析】截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几 何体只有球．
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4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
上底扩大
上底缩小
2021/12/9
上底扩大
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现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、椎体、台体和球等简单几何体 外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单 组合体。
2021/12/9
思考：请你说说下图中各几何体是由哪些简单 几何体组合而成的。
(1)中物体是两个圆台、两个圆柱拼接而成。 (2)中物体是圆台、球拼接而成。 (3)中物体是正方体截去一个三棱锥。 (4)中物体是长方体截去两个长方体。
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由这些面围成的多面体叫做棱锥。
D
棱锥的结构特征: 1.一个面是多边形；
E A
2.其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的侧面 C 棱锥的底面 B
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棱台的概念： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫 做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
高三数学数学球的应用课件-15页精选文档
四、地球的经度纬度
1、地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确定 的半平面与0度经线(本初子午线）和地轴确 定的半平面所成二面角的度数
• 地球的经线就是 球面上从北极到 南极的半个大圆
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
本 初 子 午
线
北极
P 地
轴 O
A
道
赤
B
2、地球的纬度
某点的纬度就是经过
之间的最短连线 就是经过这两点
O
P
的大圆在这两点
间的劣弧的长度
Q
——这个弧两点的大 圆的劣弧？
例1：
我国首都北京靠近北纬40度，求北纬40 度纬线的长度（地球半径约是6370km)
C
本
地
初
子
轴
北京
午
线
O 纬度40
经度116
A
B
赤
道
解：如图， 设纬线的圆心为D点， DP为纬线半径 ∴ OD⊥DP ∵DPO= POB=40°，
赤道上有A、B两点，它们的经度相差 60º，求它们的球面距离（地球半径约 为6 370 km，精确到1 km）。
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立体几何中的球面与球体的性质
立体几何中的球面与球体的性质球面与球体是立体几何中重要的概念，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将详细论述球面和球体的性质，包括定义、特点以及相关公式和定理。
一、球面的性质球面是由空间中所有与给定点距离相等的点组成的曲面。
在数学中，球面可以用数学方程表示，如二次曲面方程:(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心坐标，r为球的半径。
可以看出，球面与球心之间的距离在任意一点上都相等。
1.1 球面的特点球面上的所有点到球心的距离都相等，这是球面最基本的性质。
球面是完全对称的，具有无限多个点。
1.2 球面的公式根据球面的定义和特点，可以得到一些与球面相关的公式：- 球面上任意两点的距离公式为：d = √[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2]其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为球面上的两个点坐标。
- 球面的面积公式为：A = 4πr^2其中，r为球的半径。
- 球面的体积公式为：V = (4/3)πr^3二、球体的性质球体是由空间中所有与给定点距离不超过半径的点组成的立体。
球体是由球面所围成的空间，具有立体的特点。
2.1 球体的特点球体是具有三维空间形状的几何体，与球面相比，球体包含了球面内的所有点，并扩展到球面以外的点。
球体的表面称为球面，球体的内部称为球体的体积。
2.2 球体的公式根据球体的定义和特点，可以得到一些与球体相关的公式：- 球体的表面积公式为：S = 4πr^2其中，r为球体的半径。
- 球体的体积公式为：V = (4/3)πr^3其中，r为球体的半径。
三、球面与球体的关系球面和球体是密切相关的几何概念，它们的性质有许多相似之处。
3.1 共同特点球面和球体都具有完全的对称性，球面上每个点到球心的距离均相等，球体内任意一点到球心的距离都不超过球体的半径。
3.2 共同公式球面和球体的面积和体积公式均以半径为主要参数，可以通过半径的大小计算出。
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立体几何-球-专题学案
☞ 双基练习
1.下列四个命题中错误．．
的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长
B.1
2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是
A.3
π
100 cm 3
B.
3
π208 cm 3
C.
3
π500 cm 3
D.
3
π3416 cm 3
3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2
.
☞ 知识预备
1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ．
2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．
3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长
叫 ．
4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．
5. 球面距离计算公式：__________
☞ 典例剖析
（1）球面距离，截面圆问题
例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1
，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为
3
B.23 D. 3
练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的4
1
，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的6
1，且球心到截面ABC 的距离是7
21，求球的体积．
E
B
C
D A
例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．
（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误
例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。
（3）经度，维度问题
例4. 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60° ，A 、B 两点间的球面距离为_____________
（4）球的外接与内切问题
例5. 求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。
练习：1. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。
2. 三棱锥O-ABC 的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径。
1．常考形式有以下几种： （1） 球与截面圆的问题
（2） 球与棱柱，棱锥的结合，通常求体积，表面积； （3） 维度，经度问题。
（4）外接球与内切球问题
2．注意球面距离容易搞错，它是与大圆相关。
3. 注意空间想象力的培养，避免把图形想象错误。
立体几何-球专题训练
A 组题：
1、,A B 是球面上相异两点，则经过,A B 可作的大圆个数为 （ ） (A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 (D)一个或无数个
2、半径为5的球被一个平面所截，截面面积为16π，则球心到截面的距离为 （ ）
(A) 4 (B) 3 (C)2.5 (D) 2
3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦,,QA QB QC ，则2
2
2
QA QB QC ++= （ ）
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定 4、已知地球的半径为R ，在南纬α的纬度圈上有A,B 两点，若沿纬度圈这两点间的 距离为cos R πα，则A,B 两点间的球面距离为 （ ） (A) R π (B) cos R πα (C) R α (D) (2)R πα- 5、球的半径为R ，,A B 是球面上两点，且球面距离为
3
R π
，则球心到过,A B 的
所有平面的距离中，最大距离为 （ ）
(A) R (B)
2R (C) 1
2
R (D) 不存在 6、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16ππ，则这两个平行平面间的距离是 （ ）
(A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7 B 组题：
1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ）
A. R
B. R 2
C. R 3 D 。
R 2
2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .
3. 三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______ , 外接球体积为_____________ .
4.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2
π
，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） A. 3
1
B.
3
3 C.
3
2
D.
3
6
5. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ）
v1.0 可编辑可修改
A.9
π
16 B.
3
π
8 π D.
9
π
64
6. 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A 、B 两点间的球面距离为_____________ .
7. 已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.
8. 将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面一个球的球心到桌面的距离. 9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.
10．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积（ ） A ．π3 B ．π2
C ．
3
16π
D ．以上都不对
11.在四面体ABCD 中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD 的外接球半径为（ ）
A 、
23 B 、3 C 、2
3
D 、3 12.已知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD ，直线AD 与底面BCD 所成角为3
π
，则此时三棱锥外接球的表面积为 。
13.已知四棱锥P-ABCD 的顶点都在球O 的球面上,底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，△PAD 为正三角形，AB=2AD=4， 则球O 的表面积为= 。
14.在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=
，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为 。
15.正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______． 16.平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A′-BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ．四面体A′-BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为______。
17.已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的
体积。
18.已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒
=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
19.过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确。