专题67 几何概型的方法破析-高考数学80个热点难点吃透大全
专题67 几何概型的方法破析备战2020年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(原卷版)
【备战2018年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第67讲 几何概型的方法破析 考纲要求:(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度(角度)试验全部结果所构成的区域长度(角度)应用举例:类型一、与长度角度有关的几何概型例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C 为弧AB 的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC 时甲胜，指向圆弧BC 时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD ，取AD 中点E ，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 时甲胜，指向线段ED 时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗？ 答案：________，因为P 甲________P 乙(填“<”，“>”或“＝”)．例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知x ， y 是[]01，上的两个随机数，则()P x y ，到点()10，的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ）A. 112B. 1112C. 14D. 34例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在()0,π上任取实数x ，则2sin x >（ ）A. 12B. 22C. 14D. 24 点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 类型二、与体积有关的几何概型例4、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________．例5、一个球形容器的半径为3cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1mL 水含有感冒病毒的概率为（ ） A. 13 B. 13π C. 136π D. 49π 例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（ ）A. B. C. D.类型三、与面积有关的几何概型 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ， CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A. 13B. 25C. 38D. 12(2)与线性规划知识交汇命题的问题．例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”的槪率为（ ）A. B. C. D.(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题． 例9、已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12(4)与定积分交汇命题问题．例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴，直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是( ) A. B. C. D. 点评：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度. 方法、规律归纳:1、与长度角度有关的几何概型的公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2、与体积有关的几何概型的公式：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验全部结果所构成的区域体积. 实战演练:1.【2018届衡水11月联考】如图所示是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，则此点取自中间矩形部分的概率为（ ）A. 88π+B. 44π+C. 18π-D. 14π- 2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行如下的程序框图，则输出3y ≥的概率为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 343.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ） A. 310π B. 320π C. 20π D. 10π 4.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】在区间[]0,2上任取两个实数a b ，，则函数()22114f x x ax b =+-+在区间()1,1-没有零点的概率为（ ） A. 8π B. 44π- C. 48π- D. 4π 5.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 312-B. 32C. 434- D. 34 6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A. 910B. 1213C. 1314D. 14157.点(),a b 是区域40{0 0x y x y +-≤>>内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为（ ）A. 14B. 12C. 13D. 238.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设是圆上任意一点，定点，则的概率是__________．9．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______. 10．【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考】记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.11．【2017届广西省高三上诊断性联考】若从[]1,4上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得222+=勾股弦，设勾股中勾股比为31000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为__________．。
高中数学解题技巧之几何概型求解
高中数学解题技巧之几何概型求解在高中数学中，几何概型是一个重要的考点，也是学生们容易感到困惑的地方。
解决几何概型问题需要一定的技巧和方法，本文将介绍几种常见的几何概型求解技巧，并通过具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这些技巧。
一、相似三角形求解相似三角形是几何中常见的概型之一，解题时需要注意比例关系和角度对应关系。
例如下面这道题目：已知△ABC和△DEF是相似三角形，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解析：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边长之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
代入已知条件，我们可以得到6/9=8/EF=10/DF。
由此，我们可以解得EF=12cm。
这道题目通过相似三角形的性质，利用比例关系求解出了EF的长度。
在解决相似三角形问题时，要注意正确设置比例关系，并灵活运用已知条件，从而得出未知量的值。
二、平行线与三角形内角求解平行线与三角形内角的关系也是几何中常见的概型之一。
通过利用平行线和三角形内角的对应关系，我们可以解决许多与角度相关的问题。
例如下面这道题目：如图所示，AB∥CD，∠E=40°，求∠A和∠B的度数。
解析：由于AB∥CD，根据平行线与三角形内角的性质，我们知道∠A=∠E=40°。
又因为∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=40°，我们可以得到∠B=180°-40°-∠C。
由此，我们可以求解出∠B的度数。
这道题目通过利用平行线与三角形内角的关系，解决了∠A和∠B的度数问题。
在解决这类问题时，要注意正确运用平行线与三角形内角的性质，并根据角度之和为180°的条件，求解未知角度的度数。
三、圆的性质求解圆是几何中的一个重要概念，解决与圆相关的问题需要掌握圆的性质和定理。
例如下面这道题目：如图所示，O为圆心，AB为直径，C为圆上一点，且∠C=60°，求∠ACB的度数。
高考数学一轮复习(热点难点)专题66 古典概型的方法破析-人教版高三全册数学试题
专题66 古典概型的方法破析考纲要求:1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.基础知识回顾:1、概率的有关概念：①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。
③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示．④事件的关系与运算：其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 2、古典概型（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， ①有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．（2）概率共式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card(A )card(I )＝mn .应用举例:类型一、求基本事件常用方法例1 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球． (1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？ 解析 (1)解法一(采用列举法)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号)．例2．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：图1(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解析：(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．点评：解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．类型二、古典概型的求法例3【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B.1532C.1132D.516【答案】C图2例4【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.25【答案】D点评：计算古典概型事件的概率三步骤步骤一：算出基本事件的总个数n；步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；步骤三：代入公式求出概率P.类型三、古典概型与其他知识的交汇(1)古典概型与平面向量相结合例5．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{}－1，1，3，y 随机选自集合{}1，3，9.(1)求a ∥b 的概率； (2)求a ⊥b 的概率． 解析：由题意，得(x ，y )所有的基本事件为：(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个． (1)设“a ∥b ”为事件A ，则xy ＝－3. 事件A 包含的基本事件有(－1,3)，共1个． 故a ∥b 的概率为P (A )＝19.(2)设“a ⊥b ”为事件B ，则y ＝3x . 事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个． 故a ⊥b 的概率为P (B )＝29.（2）古典概型与直线、圆相结合例6．若a 是集合{1,2,3,4,5,6,7}中任意选取的一个元素，则圆22:(2)1C x y +-=与圆222:O x y a +=内含的概率为__________.解析：数形结合可得，只能是圆C 在圆O 内部，则有21>-a ，即3>a ，则圆22:(2)1C x y +-=与圆222:O x y a +=内含的概率为74. （3）古典概型与数列相结合例7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A.25B.15C.45D.35解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P (＜8)＝610＝35.（4）古典概型与函数相结合例8．已知{}0 1 2a ∈，，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（ ） A ．512 B ．13 C.14 D ．16解析：①当0a =时，()2f x bx =-，情况为 1 1 3 5b =-，，，符合要求的只有一种1b =-； ②当0a ≠时，则讨论二次函数的对称轴22b b x a a -=-=要满足题意则1ba≤产生的情况() a b ，表示： ()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数的概率为：41123P == （5）古典概型与圆锥曲线相结合例9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．（6）古典概型与统计相结合例10．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润．（1）求y 关于x 的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．【答案】（1）()()5019,7619,x x x Zyx x x Z≤≤∈⎧⎪=⎨+>∈⎪⎩（2）110例11．某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率【答案】（Ⅰ）0.6.（Ⅱ）25.点评：解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.方法、规律归纳:计算古典概型事件的概率三步骤步骤一：算出基本事件的总个数n；步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；步骤三：代入公式求出概率P.实战演练:1.【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）45（B）35（C）25（D）15【答案】C2.【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）A. 13B.23C.35D.115【答案】C【解析】所求概率为24266311155CC-=-= ,选C.3.【2017山东，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）518（B）49（C）59（D）79【答案】C4.【2017届浙江省台州市高三上学期期末】袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设取三个球的所有可能有，其中编号之和小于或等于7的所有可能有共6种，其概率，所以个球编号之和大于的概率为，应选答案B.5.【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．【答案】1507 756.【2017届湖南省郴州市高三第四次检测】一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为__________．【答案】【解析】“至少一个白球”的对立事件为“没有白球”，所以.7.【2018届辽宁省沈阳市交联体高三上学期期中】有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为__________．【答案】2 3【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组，由于共有三个小组，则有6种结果，根据古典概型概率公式得到P=62 93 ，故答案为：2 38.【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,6a b c A π=，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为,a b ，则满足条件的三角形恰有两解的概率是__________．【答案】169.【2017山东，文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率； (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.【答案】(Ⅰ)15；(Ⅱ)2.9【解析】所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，所以所求事件的概率为31155p ==；10．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml ）如以下茎叶图所示.（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml 的概率 解析：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为1100112492496--+++++=. 容量的中位数为2492492492+=. （Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml ，249ml 的4听分别记作：1，2，3，4，容量为250ml 的2听分别记作：a ，b .抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x 和y ，则{} x y ，表示一次抽取的结果，即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：。
高考数学复习点拨 认识几何概型新人教A版
高考数学复习点拨 认识几何概型新人教A 版几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置，我们理解并掌握几何概型的两个基本特征，即每次试验中基本事件个数的无限性和每个事件发生的等可能性，并会求简单的几何概型试验的概率．一、必记知识1．几何概型的定义c 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ())()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 3．随机数：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．二、必记知识讲解1．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的，二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的，因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积或长度)”与“试验的基本事件所占总面积(体积或长度)”之比来表示．2．古典概型与几何概型的区别：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件为有限个，几何概型要求基本事件为无限多个.三、重点难点突破本节课的重点和难点是几何概率的求解．计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件A 所包含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)，而这往往遇到计算上的困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题，为此可参考如下方法：(1)适当选择观察角度；(2)找到基本事件空间与之对应的区域，(3)找到事件A 与之对应的区域，(4)如果事件A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维；(5)利用概率公式计算．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断.四、易错点及问题解析1.在几何概型的建立上易错且易忽略.2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准也是出错的原因之一.例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.错解:因为⎪⎩⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。
为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。
一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。
在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。
例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。
这就是一个典型的几何概型问题。
二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。
2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。
3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。
三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。
2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。
3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。
五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。
2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。
3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。
六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。
解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。
例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。
2022年新高考数学总复习：几何概型
2022年新高考数学总复习：几何概型知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__．知识点四随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．归纳拓展几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19．(×)题组二走进教材2．(P 140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)[解析]∵P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．故选A ．3．(P 146B 组T4)≤x ≤2，≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π4[解析]如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括AC ︵)表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是4－π4，故选D ．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A ．14B ．π8C ．12D ．π4[解析]不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ．5．(2019·全国)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为(B)A ．12B ．33C ．33D ．32[解析]在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则AC ＝2；在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝33，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝BP BC ＝33，故选B ．考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1(1)(2021·山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是(D)A ．23B ．58C ．13D ．38(2)(2021·福建龙岩质检)在区间－π2，π2上随机取一个实数x ，使cos x ≥12的概率为(B )A ．34B ．23C ．12D ．13(3)(2020·山东省青岛市模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为(C)A ．15B ．14C ．13D ．12[解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位，刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8：15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率P ＝1540＝38．故选D ．(2)由y ＝cos x 在区间－π2，0上单调递增，在，π2上单调递减，则不等式cos x ≥12在区间－π2，π2上的解为－π3≤x ≤π3，故cos x ≥12的概率为2π3π＝23．(3)直线l 与C 相交⇒|2k |1＋k 2＜1⇒－33＜k ＜33．∴所求概率P ＝33－(－33)3－(－3)＝13．故选C ．[引申]本例(3)中“圆上到直线l 的距离为12的点有4个”发生的概率为__515__．[解析]圆上到直线l 的距离为12的点有4个⇔圆心到直线l 的距离小于12⇔|2k |1＋k 2＜12⇔－1515＜k ＜1515，∴所求概率P ＝1515－3－(－3)＝515．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度．〔变式训练1〕(1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__59__．(2)(2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为(D)A ．13B ．14C ．15D ．12[解析](1)D ＝{x |6＋x －x 2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59．(2)由f (x )＝1，x ∈[0，π]得x ∈0，π2，∴所求概率P ＝π2π＝12，故选D ．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例2(1)(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC ，BD 上分别是大圆O的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA ，OB ，OC ，OD ，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D)A ．π4B ．π8C ．1πD ．2π(2)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为(C )A ．34＋12πB ．12＋1πC ．14－12πD ．12－1π[解析](1)不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S ，由图形的对称性知，S 阴影＝8S ．又S ＝12π×12×12－12×2＝1，则所求概率为84π＝2π，故选D ．(2)∵|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y ≥x 所表示的区域如图中阴影部分，故P ＝π4－12π＝14－12π．[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__π－22π__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P 14×4π＝π－22π．角度2与线性规划交汇的问题例3－y ＋1≥0，＋y －3≤0，≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是(B )A ．14B ．34C ．13D ．23[解析]－y ＋1≥0＋y －3≤0，≥0表示的平面区域为△ABC 且A (1,2)，B (－1,0)，C (3,0)，显然直线l ：y ＝2x 过A 且与x 轴交于O ，∴所求概率P ＝S △AOC S △ABC ＝|OC ||BC |＝34．选B ．名师点拨解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．〔变式训练2〕(1)(2021·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A ．8B ．9C ．10D ．12(2)(2021·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D ，E ，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF (阴影部分)，若在△ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A ．π－32B ．23π－39C ．3π－36D ．3π－26[解析](1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9，故选B ．(2)设△ABC 的边长为2，则正△DEF 边长为1，以D 为圆心的扇形面积是π×126＝π6，△DEF 的面积是12×1×1×32＝34，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×π6－34＋34＝π－32，△ABC 面积为3，所求概率P ＝π－323＝3π－36．故选C ．考点三,与体积有关的几何概型——师生共研例4(1)(2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为(C )A ．18B ．56C ．16D ．78(2)(2020·江西抚州临川一中期末)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率为(D)A ．13B ．49C ．827D ．1927[解析](1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH ＝2，∴所求概率P ＝V E －GHIJ －FV 正方体＝2×(13×2×2×1)2×2×2＝16，故选C ．(2)作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－827＝1927．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(C)A ．4π81B ．81－4π81C ．127D ．827[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__1－4π81__．[解析]所求概率P ＝33－43π33＝1－4π81．考点四,与角度有关的几何概型——师生共研例5(1)(2021·南岗区校级模拟)已知正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，则AM ＜2的概率为(D)A ．32B ．12C ．33D ．23(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD ＜AC 的概率为__34__．[解析](1)正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP与正方形ABCD 的边交于点M ，如图所示：己知AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝3，DM ＝1，所以AM ＝(3)2＋12＝2．所以∠DAM ＝π6．根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝π6＋π6π2＝23，故选D ．(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°．设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CD ，与线段AB 交于点D ，AD ＜AC }．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.590＝34．名师点拨与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度．(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．〔变式训练4〕(1)(2021·山西太原一模)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为__13__．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为__25__．[解析](1)当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时AP 扫过△ABC ，所以所求事件的概率P ＝3090＝13．(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°．记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM ＜1”，则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝3075＝25．名师讲坛·素养提升转化与化归思想在几何概型中的应用例6(1)(2021·贵州遵义模拟)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(A)A ．18B ．14C ．78D ．34(2)(2021·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(A )A ．38B ．34C ．35D ．45[解析](1)设函数为x ，y ，≤x≤2，≤y≤2由图可知x＋y＞3的概率P＝124＝18．故选A．(2)以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1，y－x≤12，且y≥x}，其对应的区域如图中阴影部分所示，则C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－12×12×12－12×1×1＝38，根据几何概型的概率计算公式得P＝381＝38．名师点拨]生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．(3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．〔变式训练5〕(2020·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是__78__．[解析]以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78．。
高考数学讲析几何概型知识点总结拓展文理通用
高考数学讲析几何概型知识点总结拓展文理通用几何概型概念几何概型中事件A的概率计算公式:1.几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．2.解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域 D.(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域 d.(4)利用几何概型概率公式计算．4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的ra nd（）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a～b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= r an d()，然后利用伸缩和平移变换x=r a nd()*(b-a)+a,就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a～b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．高考考点（1）几何概型的计算：具体题型可以分为：①长度型；②面积型；③体积型；④角度型；⑤约会型.（2）几何概型与其它知识的交汇：与定积分、立体几何、解析几何、函数与方程等知识联合命题.几何概型应用实例1.长度型概率计算的前提是判断类型，涉及区间长度问题为几何概型，总的基本事件与满足条件的基本事件构成的区域均为区间，所以概率与长度有关.方法技巧：我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，概率模型就可以用几何概型来求解．2.面积型二维空间的几何概型主要涉及到面积的度量问题，一般情况下抓住题目中的关键信息即“任意选取的位置”为平面即可确定该种类型，准确度量出欲求事件所包含的基本事件构成区域的面积与总的基本事件构成区域的面积，然后利用几何概型的计算公式即可.3.体积型准确判断概率模型概型后，以体积作为度量的几何概型计算问题相对容易判断，题目中的关键词信息一般是很明显的，主要注意体积的计算，然后代入几何概型的概率计算公式即可.4.约会型涉及到两个变量问题，需要在平面直角坐标系中作出其表示的平面区域，然后利用数形结合的思想，准确计算相关的面积测度，然后利用几何概型知识解题.。
高三一轮复习--67几何概型
[通一类]
1．若 k∈R 且 k∈[－2,2]，则 k 的值使得过点 A(1,1)可以作两
条直线与圆 x2＋y2＋kx－2y－54k＝0 相切的概率是多少？
解：依题意，点A应该在圆的外部，所以应有
k42＋1＋54k>0 12＋12＋k－2－54k>0
，即k>－1或k<－4 k<0
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为1的正方形区域，其面积为1，而与满足条件的事件对应的 9π
区域面积为14×π×(34)2＝96π4.因此，所求事件的概率为614＝96π4. 答案：96π4
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()
1
2
A.5
B.5
3
4
C.5
D.5
解析：满足条件的砍断点应落在 2<x<3 的位置上，即 1
米长的线段上，故所求事件的概率为 P＝15.
答案：A
返回
2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形
内切圆的上半圆(图中阴部分)中的概率是
()
1
1
A.4
B.8
C.π4
D.π8
返回
解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方 形内切圆的上半圆中的概率为12π×4 12＝π8. 答案：D
返回
[悟一法] 1.解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足
两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的 等可能性．要抓住它的本质特征，即与长度(面积或体 积)有关． 2.求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所 表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特 别注意准确表示所确定的线段的长度．
1 1－22π＝1－π4. 答案：B
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专题67 几何概型的方法破析
考纲要求:
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
基础知识回顾:
一、几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
二、几何概型的概率公式：P(A)＝
构成事件A的区域长度角度
试验全部结果所构成的区域长度角度
应用举例:
类型一、与长度角度有关的几何概型
例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗？
答案：________，因为P甲________P乙(填“<”，“>”或“＝”)．
【答案】不公平
例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在上任取实数，则的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴的概率为
故选：A.
点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．类型二、与体积有关的几何概型
例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．
【答案】
【解析】由题意可知，为几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率
.填
.
例5、一个球形容器的半径为，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
类型三、与面积有关的几何概型
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：
(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．
例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，则向多边形
中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
(2)与线性规划知识交汇命题的问题．
例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”的槪率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题． 例9、已知P 是△ABC 所在平面内一点，
PB
→
＋PC
→
＋2PA
→
＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.12
解析：由题意知点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝ABC P 三角形三角形S S BC ＝1
2
.
(4)与定积分交汇命题问题．
例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴，直线 和曲线
围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域
内的概率为，则实数的值是( )
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为
，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可
得，，故选D．
点评：
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区
域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度
试验的全部结果所组成的区域的测度
.方法、规律归纳:
1、与长度角度有关的几何概型的公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度
试验全部结果所构成的区域长度角度
2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝
构成事件A的区域体积
试验全部结果所构成的区域体积
.
实战演练:
1.【2018届衡水11月联考】如图所示是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，则此点取自中间矩形部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，，无解，
∴输出的y≥3的概率为.
3.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】在区间上任取两个实数，则函数
在区间没有零点的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
5.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方
图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,
故选B.
7.点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
8.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设是圆上任意一点，定点，则
的概率是__________．
【答案】
【解析】由得 ,因此的概率是
9．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______.
【答案】
【解析】函数有意义，则：，求解对数不等式可得：，
结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：.
10．【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考】记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为
______________.
【答案】
11．【2017届广西省高三上诊断性联考】若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．
【答案】
【解析】由已知可得所求的概率为 .
12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注
文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为__________．
【答案】134。