(完整版)2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(解析版)
河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试卷 扫描版含答案
2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．． 14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解+析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）详细分析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分11。
2019届河南省普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)数学(文)试题
输入x开始 2019届河南省普通高等学校招生全国统一考试模拟（三）数学（文）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|12}B x x =-≤≤，则A B =A.[1,2]-B. [1,2]C. (1,2]D. [1,1]{2}-2.已知复数z 满足||2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z = A. 1i + B. 1i - C.1i +或1i - D.1i -+或1i -- 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它 是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块 板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 A ．932B ．516C ．38D ．7164．下列命题中，真命题是A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2x x R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件5. 一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是D C B A1yyyyxxxx6. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x 输 入，则该同学能得到“OK”的概率 A.12 B.19 C.1318D.897.一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为 2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为A.13 B.53 C.54D.2 8．设5sin π=a ，3log2=b ，3241⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则A.b c a <<B. c a b <<C. b a c <<D. a b c <<9．的部分图像大致为A B C D10. 已知直线20x y +=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a ⋅=+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为A.60.B.52C.44D.3611. 知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，(,),(,)B a a C a a ---，过,,A B C 三点的圆与直线2a x c=-相切，则此椭圆的离心率为A.13 B. 12 C. D. 2312. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0,30),1ln()(2x x x x x x f ，若0)2()(≥+-x m x f ，则实数m 的取值范围是A. (]1-∞,B. []1-2,C. []0,3D. )[3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(解析版)
4 3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若 A，B，C，D 是椭圆上不重合的四个点， AC 与 BD 相交于点 F 1，A→C·B→D
页
5第
＝0，求 |A→C|＋|B→D|的取值范围．
x 21．(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ ln x－1＋2x.
(1)求证： f (x)在区间 (0，＋∞ )上单调递增；
π3，故选
D.
1 4．解析： 选 B.由题意知马每日所走的路程成等比数列 {an}，且公比 q＝2，
S7＝ 700，由等比数列的求和公式得
1
a1 1－27
44 800
1 ＝700，解得 a1＝ 127 ，故选 B.
1－ 2
5.解析： 选 C.作出约束条件
x＋ y－2≥0 x－ 2y＋ 4≥0 x－ 2≤0
页
11第
A→B
·A→C＝
9 2.因为
|A→B
|＝
|A→C|，所以△
ABC
为等腰三角形，所以∠
ABC＝∠ BCA，
所以 C→B·C→A＝(C→A＋A→B) ·C→A＝C→A2＋A→B·C→A＝C→A2－A→B·A→C＝ 9－92＝92，故选 C.
7．解析： 选 D.模拟执行程序框图，可得 x＝ 2， y＝0，满足条件 y＜2 019，
(2)若 f [x(3x－2)]＜－ 13，求实数 x 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分 10 分 )选修 4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，圆
O ： ρ＝ cos
θ＋ sin
θ和直线
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
第 1 页，共 16 页
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
河南省八市中评2019年高考数学三模试题 文(含解析)
2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。
2019年4月河南省郑州市2019届高三毕业班第三次质量预测(三模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前河南省郑州市2019届高三毕业班第三次质量预测(三模)数学（文）试题（解析版）2019年4月第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}13A x N x =∈-<<，{}0B x x π=<<，则A B ⋂=（ ） A. {}03x x << B. {}0,1,2 C. {}1,2 D. {}0x x π<<【答案】C【解析】【分析】求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集.【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A B =，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限.【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++===--+，1322z i =-由于130,022>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A. 35 B. 710 C. 45 D. 910【答案】D【解析】【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m P n ==．故选D ．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。
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2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝2＋i1－i(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为()A.32＋32i B.12－32iC.12＋32i D.32－32i2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a 的值为()A．1 B．2 C．3 D．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．8－4π3B．8－πC ．8－2π3D ．8－π34．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A.128127B.44 800127C.700127D.175325．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →＝( ) A ．3B ．－3C.92D ．－927．执行如图的程序框图，则输出x 的值是( ) A ．2 018 B ．2 019 C.12D ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.y 24－x 25＝1D.y 25－x 24＝19．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是()A．f(π)＜f(3)＜f(2) B．f(π)＜f(2)＜f(3)C．f(2)＜f(3)＜f(π) D．f(2)＜f(π)＜f(3)10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是()A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士11．从区间[－2,2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是()A.14 B.13 C.12 D.2312．已知x＝－1是函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是()A．a＝0 B．b＝0 C．c≠0 D．a＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有________名．14．化简：2sin(π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________. 15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．16．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 018a n ＝________.三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，求a ＋c 的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计 男 110 女 50 总计(2)抽取8人作进一步调查，校园电视台再从该8人中随机抽取2人进行电视采访，求恰好有1名男生、1名女生被采访的概率．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考临界值表：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.7063.841 5.024 6.635 7.87910.82819．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝30°，AB ＝4，DE ＝EF ＝2.(1)求证：EF ∥平面ABCD ； (2)求三棱锥B -DEF 的体积．20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD→＝0，求|AC→|＋|BD →|的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x 1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2|x －b2|＋1的最小值为2.(1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .高考文科数学模拟试题精编(三)班级：_____________姓名：__________得分：____________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)高考文科数学模拟试题精编(三)1．解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝12＋32i ，所以z 的共轭复数为12－32i ，故选B.2．解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.选B.3．解析：选D.由三视图知，该几何体是由一个边长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的半圆锥而得到的组合体，所以该几何体的体积V ＝23－12×13π×12×2＝8－π3，故选D. 4．解析：选B.由题意知马每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127，故选B.5.解析：选C.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝3，即A (2，3)，故z max ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即B (0,2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.6．解析：选C.对|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方，得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即8AB →·AC→＝2AB →2＋2AC →2＝2×32＋2×32＝36，所以AB →·AC→＝92.因为|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰三角形，所以∠ABC ＝∠BCA ，所以CB →·CA →＝(CA →＋AB →)·CA →＝CA →2＋AB →·CA →＝CA →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选C.7．解析：选D.模拟执行程序框图，可得x ＝2，y ＝0，满足条件y ＜2 019，执行循环体，x ＝11－2＝－1，y ＝1，满足条件y ＜2 019，执行循环体，x ＝11－(－1)＝12，y ＝2，满足条件y ＜2 019，执行循环体，x ＝11－12＝2，y ＝3，满足条件y ＜2 019，执行循环体，x ＝11－2＝－1，y ＝4，观察规律可知，x 的取值周期为3，由于2 019＝673×3，可得：满足条件y ＜2 019，执行循环体，x ＝2，y ＝2 019，不满足条件y ＜2 019，退出循环，输出x 的值为2.故选D.8．解析：选A.易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，选A.9．解析：选C.因为函数f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，所以当x ∈[2,6]时，f (x )单调递增，f (2)＝f (4－2)，因为2＜4－2＜3＜π，所以f (2)＜f (3)＜f (π)．10．解析：选C.设男医生人数为a ，女医生人数为b ，女护士人数为c ，男护士人数为d ，则有：①a ＋b ≥c ＋d ②c ＞a ，③a ＞b ④d ≥2，得出：c ＞a ＞b ＞d ≥2，假设：d ＝2，仅有：a ＝5，b ＝4，c ＝6，d ＝2时符合条件，又因为使abcd 中一个数减一人符合条件，只有b －1符合，即女医生．假设：d ＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选C.11．解析：选A.令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0t 1＋t 2＞0t 1t 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4≥02a ＞01＞0⇒a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故P ＝2－12－(－2)＝14，选A. 12．解析：选B.令g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(x )＝e x [g (x )＋g ′(x )]，因为x ＝－1是函数f (x )＝g (x )e x 的一个极值点，所以有g (－1)＋g ′(－1)＝0，得c ＝a .设h (x )＝g (x )＋g ′(x )＝ax 2＋(b ＋2a )x ＋a ＋b ，若b ＝0，则a ＝c ≠0，h (x )＝a (x ＋1)2，h ′(x )在x ＝－1两侧不变号，与x ＝－1是函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 的一个极值点矛盾，故b ＝0一定不成立，选择B.13．解析：由频率分布直方图可得所期望的月薪在[2 500,3 500)内的频率为(0.000 5＋0.000 4)×500＝0.45，所以频数为3 000×0.45＝1 350，即所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有1 350名．答案：1 350 14．解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α15．解析：解法一：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA →－OF →)＋(OB →－OF →)＝0，即2FA →＋FB →＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y，得x 2＝4(kx＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4 ①；又2FA →＋FB →＝0，因此2x 1＋x 2＝0 ②.由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94. 解法二：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA →－OF→)＋(OB →－OF →)＝0，即2FA →＋FB →＝0，所以F ，A ，B 三点共线．不妨设直线AB 的倾斜角为θ，0＜θ＜π2，|FA |＝m ，点A 的纵坐标为y 1，则有|FB |＝2m .分别由点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，作AM ⊥BB 1于M ，则有|AA 1|＝|AF |＝m ，|BB 1|＝|FB |＝2m ，|BM |＝|BB 1|－|AA 1|＝m ，sin θ＝|BM ||AB |＝13，|AF |＝y 1＋1＝2－|AF |sin θ，|AF |＝21＋sin θ，同理|BF |＝y 2＋1＝21－sin θ，|AF |＋|BF |＝21－sin θ＋21＋sin θ＝41－sin 2θ＝92，因此弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离等于12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝12(|AF |＋|BF |)＝94.答案：9416．解析：∵a 1＝2，a 2＝8，a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，∴a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝8－2＝6，同理可得a 4＝－2，a 5＝－8，a 6＝－6，a 7＝2，a 8＝8，…，∴a n ＋6＝a n ，又2 018＝336×6＋2，∴ n ＝12 018a n ＝336×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋a 1＋a 2＝2＋8＝10.答案：1017．解：(1)∵2c －a ＝2b cos A ，∴根据正弦定理，得2sin C －sin A ＝2sin B cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，(2分)可得sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，∴代入上式，得2sin B cos A ＝2sin B cos A ＋2cos B sin A －sin A ，化简得(2cos B －1)sin A ＝0 (4分)由A 是三角形的内角可得sin A ＞0，∴2cos B －1＝0，解得cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3；(6分)(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得12＝a 2＋c 2－ac .(8分)∴(a ＋c )2－3ac ＝12，由ac ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，－3ac ≥－3×(a ＋c )24，(a ＋c )2－3ac ≥(a＋c )2－34(a ＋c )2，∴12≥14(a ＋c )2，(当且仅当a ＝c ＝23时)，即(a ＋c )2≤48，∴a ＋c ≤43，(11分)∴a ＋c 的最大值为4 3.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.0125×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此2×2列联表如下：(4分)又K 2＝200×(80×50－30×40)2120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)将频率视为概率，用分层抽样的方法从“文科意向”学生中抽取8人作进一步调查，则抽取的8人中有3名男生、5名女生，3名男生分别记为x ，y ，z,5名女生分别记为a ，b ，c ，d ，e ，从中随机选取2人，所有情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(d ，z )，(e ，x )，(e ，y )，(e ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共28种．(9分)记“恰好有1名男生、1名女生”为事件A ，则其包含的情况为(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，(d ，x )，(d ，y )，(d ，z )，(e ，x )，(e ，y )，(e ，z )，共15种．故恰好有1名男生、1名女生被采访的概率为P (A )＝1528.(12分 )19．解：(1)因为AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，又EF ⊂平面ADEF ，(3分)所以BC ∥EF ，∵BC ⊂平面ABCD ，从而EF ∥平面ABCD .(5分)(2)如图，在平面ABCD 内，过点B 作BH ⊥AD 于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BH ，又AD ，DE ⊂平面ADEF ，AD ∩DE ＝D ，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B -DEF 的高．在直角三角形ABH 中，∠BAD ＝30°，AB ＝4，所以BH ＝2.(8分) 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AD ，又由(1)知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，所以AD ∥EF ，所以DE ⊥EF ，所以△DEF 的面积S ＝12×2×2＝2，(11分)所以三棱锥B -DEF 的体积V ＝13×S ×BH ＝13×2×2＝43.(12分)20．解：(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2的面积取得最大值，此时△PF 1F 2的面积S ＝12·2c ·b ＝43，即c ·a 2－c 2＝43 ①.(2分)又椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12②，(3分)联立①②解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(5分)(2)由(1)知F 1(－2,0)，因为AC →·BD→＝0，所以AC ⊥BD . ①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC →|＋|BD →|＝8＋6＝14；(7分)②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)x 216＋y 212＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(1＋k 2)3＋4k 2，直线BD 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，同理可得|BD →|＝24(1＋k 2)4＋3k 2，(9分) 所以|AC →|＋|BD →|＝168(1＋k 2)2(3＋4k 2)(4＋3k 2)，令1＋k 2＝t ，则t ＞1，所以|AC →|＋|BD →|＝168t 2(4t －1)(3t ＋1)＝168t 212t 2＋t －1＝16812＋t －1t2，(10分) 设f (t )＝t －1t 2(t ＞1)，则f ′(t )＝－t ＋2t 3，所以当t ∈(1,2)时，f ′(t )＞0，当t∈(2，＋∞)时，f ′(t )＜0，故当t ＝2时，f (t )取得最大值14.又当t ＞1时，f (t )＝t －1t 2＞0，所以0＜t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14. 综上，|AC →|＋|BD →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.(12分)21．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x，∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x (1＋2x )2＝4x 2＋3x ＋1x (1＋2x )2.(3分)∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(6分)(2)∵f (x )＝ln x －x1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．(9分)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x (3x －2)＞0x (3x －2)＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.(12分)22．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，(2分)直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.(10分) 23．解：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1，当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，(2分)又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(5分)(2)由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b a ＝4ab 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号．(7分)所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .(10分)。