人教版八年级下册《17.2勾股定理的逆定理》课时练习(含答案)
人教版八年级下册数学课时练《17.2 勾股定理的逆定理》03(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！《17．2勾股定理的逆定理》课时练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）．A．1．5，2，2B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，152．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有()A．4个B．5个C．6个D．8个3．如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是()A．点A、点B、点C B．点A、点D、点GC．点B、点E、点F D．点B、点G、点Ea b c=．指出以a，b，c为边长的直角三角形中哪一条边所对的角是直角（）．4．已知::5:12:13A．a B．b C．c D．无法确定5．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24米2B．36米2C．48米2D．72米26．若三角形的三边长分别为，，，且满足+2−2=2，则此三角形中最大的角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定二、填空题7．满足下列条件的△ABC中，能构成直角三角形的有_________个．①a：b：c=7:25:24；②∠A=∠B-∠C；③∠A:∠B:∠C=5:12:13；④a=1．2b=1.5c=0.98．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD 为4米，中午测得它的影长AD 为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形_________．（填“能”或“不能”）9．将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上，ABC 的面积等于________；10．如图，四边形ABCD 中，90BAD Ð=°，3AD =，4AB =，12BC =，13CD =，则四边形ABCD 的面积为_________．11．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________．12．若a,b,c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：①以a 2，b 2，c 2个三角形；③以a+b ，c+h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以111,,a b c的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为__________．三、解答题13．判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长．（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．14．点P 在y 轴上，()4,1A 、()1,4B ，如果ABP △是直角三角形，求点P 的坐标．15．如图，ABC在正方形网格中，若小方格的边长均为1，试判断ABC的形状，并说明理由．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．17．有一块三角形空地，它的三条边线分别长45m，60m和70m．已知60m长的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？18．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．参考答案1．A2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．28．能9．610．2411．直角三角形12．②③．13．解：（1）因为22281528917+==，所以8,15,17能作为直角三角形的三边长；（2）因为222712193,15225+==，所以7,12,15不能作为直角三角形的三边长；（3）因为2221215369,20400+==，所以12,15,20不能作为直角三角形的三边长；（4）因为22272462525+==，所以7,24,25能作为直角三角形的三边长．14．解：设点P 的坐标为()0,x ，分两种情况：①当点B 为直角顶点时，点P 在y 轴正半轴，作AD y ^轴于D ，BE y ⊥轴于E ，BF x ^轴于F ，如图所示：由勾股定理，得222PB AB PA +=，即()()222222143314x x +-++=-+，解得3x =，∴点P 的坐标为()0,3．②当点A 为直角顶点时，点P 在y 轴负半轴，作AD y ^轴于D ，BE y ⊥轴于E ，如图所示：由勾股定理，得222PA AB PB +=，即()()222222413341x x +-++=-+，解得3x =-，∴点P 的坐标为()0,3-．综上所述，如果ABP △是直角三角形，那么点P 的坐标为()0,3或()0,3-．15．解：ABC 是直角三角形．理由如下：根据勾股定理得，AC =AB ==BC =222AC AB BC \+=，90A \Ð=°，∴ABC 是直角三角形．16．解：连接AC ，如图所示：∵∠B =90°，∴△ABC 为直角三角形，又AB =4，BC =3，∴根据勾股定理得：AC ，又AD =13，CD =12，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AC •CD =12×3×4+12×12×5=36．答：四边形ABCD 的面积为36．17．解：如图，∵602+452=5625，702=4900，∴602+452≠702，∴∠ABC ≠90°，∵AB 为南北向，∴BC ，AC 不可能是东西向．∴没有一条边线为东西向．18．解：延长AD 到E 使AD=DE ，连接CE，在△ABD 和△ECD 中{AD DEADB EDC BD DC=Ð=Ð=，∴△ABD ≌△ECD ，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC 中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC 2=AE 2+CE 2，∴∠E=90°，由勾股定理得：=，∴答：BC 的长是．。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：153．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．，3，4D．1，，34．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm5．下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（）A．2B．3C．4D．56．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（）A．B．C．3D．或8．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m9．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（）A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里二．填空题10．勾股数为一组连续自然数的是．11．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．15．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．16．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．17．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．18．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为米．三．解答题19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．20．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．22．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求证：BD⊥CB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．2．解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．3．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．解：这根木棒最长＝＝5（cm），故选：B．5．解：①42+52≠62，故不是勾股数；②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；③72+42≠252，故不是勾股数；④82+152＝172，故是勾股数；⑤92+402＝412，故是勾股数；其中勾股数有2组，故选：A．6．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7．解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC＝＝＝．故选：A．8．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．9．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，∴BC＝＝＝30（海里）．故选：C．二．填空题10．解：设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5；故答案为：3、4、5．11．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，∴（k﹣1）2+32＝k2，解得：k＝5，故答案为：5．12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．13．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．14．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．15．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．16．解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．17．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．18．解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BC＝0.7米，∴AC＝＝＝2.4米，在直角△CDE中，已知DE＝AB＝2.5米，AE＝0.9米，∴CE＝AC﹣AE＝1.5米，∴CD＝＝＝2米，∴BD＝2米﹣0.7米＝1.3米故答案为：1.3．三．解答题19．解：连接AC，如图，，在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，∴AC＝＝25 m，在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，∴S△ADC＝＝150 m²，∵S△ABC＝m²，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．20．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝＝．在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝＝＝2，∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，∴AE2＝AC2+CE2，∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，∴∠ACE＝90°．21．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．22．（1）证明：连接BD．∵AD＝4m，AB＝3m，∠BAD＝90°，∴BD＝5m．又∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝CD2．∴BD⊥CB；（2）四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝×3×4+×12×5＝6+30＝36（m2）．故这块土地的面积是36m2；（3）∵S△PBD＝S四边形ABCD，∴•PD•AB＝×36，∴•PD×3＝9，∴PD＝6，∵D（0，4），点P在y轴上，∴P的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题(含答案)
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）1 / 617.2《勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ）A. 4，5，6B. 6，8，10C. 5，11，12D. 10，20，262．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）.A. 仍是直角三角形B. 可能是锐角三角形C. 可能是钝角三角形D. 不可能是直角三角形3．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（ ）A. BC =1.5，AC =2，AB =2.5B. BC ∶AC ∶AB =5∶12∶13C. ∠A ＋∠B =∠CD. ∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶54．在△ABC 中，，，则（ ）A. ∠A=90°B. ∠B=90°C. ∠C=90°D. ∠A=∠B5．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，如果满足(a －6)2＋10c -＝0，那么下列说法中不正确的是( )A. 这个三角形是直角三角形B. 这个三角形的最长边长是10C. 这个三角形的面积是48D. 这个三角形的最长边上的高是4.86．若a ，b ，C 是△ABC 的三条边，且满足a 2﹣2ab+b 2=0，（a+b ）2=2ab+c 2 ， 则△ABC 的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7．在△ABC 中,三边长满足b 2-a 2=c 2,则互余的一对角是( )A. ∠A 与∠BB. ∠B 与∠CC. ∠A 与∠CD. 以上都不正确二、填空题8．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.9．△ABC 中，AB=10，BC=6，BC 边上的中线AD=6，则 AC= ______．10．木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100分米，则这个桌面__．(填“合格”或“不合格”)11．如图所示的一块地， 90ADC ∠=︒， 4AD =， 3CD =， 13AB =， 12BC =，求这块地的面积__________．12．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A ，B ，C ，D 四个小正方形的面积之和等于________ ．三、解答题13．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a，b＝，c(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b，c；(4)a＝5，b＝，c＝1.14．如图所示，在△中，，，在△中，为边上的高，，△的面积．（1）求出边的长．（2）你能求出的度数吗？请试一试．人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）3 / 615．如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求 △ABC 的周长和面积．16．如图所示，在四边形ABCD 中，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD 的面积.人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）1 / 6 参考答案1．B2．A3．D4．A5．C6．D7．C8．1209．1010．合格11．2412．5013．(1)是，∠B 是直角．(2)不是．(3)是，∠C 是直角．(4)是，∠A 是直角．解析：（1）∵，，∴a 2=3，b 2=8，c 2=5，∵3+5=8，∴a 2+c 2=b 2，∴△ABC 是直角三角形，∠B=90°；（2）∵a=5，b=7，c=9，∴a 2=25，b 2=49，c 2=81．∵25+49=74≠81，∴此三角形不是直角三角形；（3）∵a=2，，，∴a2=4，b 2=3，c 2=7．∵4+3=7，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°；（4）∵a=5，，c=1，∴a 2=25，b 2=24，c 2=1．∵24+1=25，∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 是直角三角形，∠A=90°．14．（1）10㎝；（2）90°．解：（1）∵ ， △ ，∴ ；（2）∵ ， ， ，即 ，由勾股定理逆定理可知， ．15．周长为48，面积为84．【解析】试题分析：首先由勾股定理逆定理判断出△ADC 为直角三角形，再根据勾股定理计算出BD 的长度，从而求出△ABC 的周长和面积.试题解析：∵CD 2+AD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴BD = = =6，∴BC =21，∴C △ABC =10+21+17=48；S △ABC = BC ·AD = ×21×8=84.∴△ABC的周长为48，面积为84．16．四边形ABCD的面积是6.解析：连接BD，∵∠C=90°，∴△BCD为直角三角形，∴BD2=BC2+CD2=22+12=2，BD＞0，∴BD在△ABD中，∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12+12×2×1=6．∴四边形ABCD的面积是6.。
人教版初中数学八年级下册第十七章《172勾股定理的逆定理》同步练习题(含答案).docx
《17・2勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.下列各组数是勾股数的是（）A. 3, 4, 5B. 7, 8, 9C.9, 41, 47D. 52, 122, 1322.AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别记为a, b, c,由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是（）A. ZA+ZB二ZCB. ZA： ZB： ZC=1： 2： 3C. a2=c2 - b2D. a： b： c=3： 4： 63.在厶ABC中，AB=1, AC=2, BC=領,则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4.在ZiABC 屮，AB=A/2 , BC=V5 , AoJL 贝】J （）A. ZA二90°B. ZB二90°C. ZC二90°D. ZA二ZB5.已矢Fl AD 为AABC 的中线，且AB = 17, BC = 16, AD = 15，则AC 等于（）A. 15B. 16C. 17D. 186.给出长度分别为7cm, 15cm, 20cm, 24cm, 25cm的五根木棒,分别取其中的三根首尾连接，最多可以搭成的直角三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个127.如图，\咏中，AU3, BU 5, ADIBC^BC^^ D, AD=—f延长BC 至E 使得5CE二BC,将MBC沿AC翻折得到MFC,连接EF,则线段EF的长为A. 6B.832 32C. —D.—5 3二、填空题8.若|a・7| +心-24+ （c-25）?二0,则以a、b、c为三边的三角形的形状是___________ .9.一个三角形的三边之比为5： 12： 13,它的周长为60,则它的面积是 ____________ .10.木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100 分米，则这个桌面_•（填“合格〃或"不合格〃）□.如图所示的一块地，ZADC = 90° , AD = 4f CD = 3, AB = 13, BC = 12, 求这块地的面积 .12.____________________________________________________________ 如图所示，ABLBC, AB = 2运,CD二5, AD=3, BC=2,则ZA二_______________________ 度.三、解答题13.已知：在AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别是a, b, c,三边分別为下列长度, 判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.(1)a=V3, b = 2匹，c=V5；(2)a=5, b=7, c=9；(3)a=2, b=V3, c=V7；(4)a=5, b=2V6, c=l.14.如图，在△ ABC 中，AB = 8cm, AC = 6cm, BC=10cm,点D在AB ±，且BD = CD, 求ABDC的面积.15.如图，在RtAABC 中，CD丄AB,垂足为D,如果CD=12, 4D=16, BD=9,那么AABC 是直角三角形吗？请说明理由.C16.如图是一个零件的示意图，测量AB=4 cm, BC=3 cm, CD=12 cm, AD=13 cm, ZABC=90°,根据这些条件，你能求!l!ZACD的度数吗？试说明理由.参考答案I.A2. D3. B4. A5. C6・ B7. A&直角三角形9.12010.合格II.2412.6013.解析：(1) *.* a=V3» b=2V2, c=V5»a2=3, b2=8, C2=5,13+5=8,:.a2+c2=b2,•••△ABC是直角三角形，ZB=90°；(2)*.*a=5, b=7, c=9,Aa2=25, b2=49, c2=81.•・• 25+49=74邦1,・・・此三角形不是直角三角形；(3)a=2, b=V3, c=V7,a2=4, b2=3, C2=7.V4+3=7,a2+b2=c2,A A ABC是直角三角形，ZC=90°；(4)*.*a=5, b=2V6, c=l,a2=2 5, b2=24, c2= 1.V24+1=25,b2+c2=a2,A A ABC是直角三角形，ZA=90°.13.—cm24解析：*• AB— 8cm, AC— Gem, BC= 10cm,:.AB2+AC1 = BC1i・・・ZBAC=90。
八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时练习(含解析)(新版)新人教版
........................ 优质文档..........................17.2 勾股定理的逆定理学校：姓名：班考号：1. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. △ABC不是直角三角形2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A. 三内角之比为1∶2∶3B. 三边长的平方之比为1∶2∶3C. 三边长之比为3∶4∶5D. 三内角之比为3∶4∶53. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()A. 1组B. 2组C. 3组 D. 4组4. 以下定理,其中有逆定理的是()A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方5. 下列各组数中,是勾股数的是()A. 14,36,39B. 8,24,25C.8,15,17 D. 10,20,26)6. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为(A. 90°B. 60°C.45° D. 30°17. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|+√b-16+(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()A. 9.8B. 4.8C.9.6 D. 10二、填空题,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形式:11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+√b-4+(c-5)2=0,则此三角形的形状是.三、解答题,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?13. 如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=√14,试判断△ABC的形状.14. 如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.315. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB 中截出一个形如△ACD 的工件,其中AD =5dm,AB =14dm,AC =10dm,CD =5√3dm,求剩余部分△ABC 的面积.16. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =4,BC =6,CD =5,AD =3.求四边形ABCD 的面积.四、证明题17. 已知:如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD ·BD .求证:△ABC 是直角三角形.18. 如图,在△ABC 中,AB =5,AC =13,BC 边上的中线AD =6,求证:BA ⊥AD .参考答案1. 【答案】A 【解析】因为(a +b )(a -b )=a 2-b 2=c 2,所以b 2+c 2=a2.所以△ABC 为直角三角形, ∠A 为直角,故选A.2. 【答案】D 【解析】A 项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B 项中,令三边长分别为 a ,b ,c ,则a 2∶b 2∶c 2=1∶2∶3,∴a 2+b 2=c 2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C 项中,a ∶b ∶c =3∶4∶5,设a =3k ,则b =4k ,c =5k ,∴a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2,∴是直角三角形. D 项中的最大角为75°,故不是直角三角形.3. 【答案】D 【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n 2-1)2+(2n )2=(n 2+1)2,所以是勾股数.故选D.4. 【答案】D 【解析】A 定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B 定理的逆命题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C 定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D 定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C 三个定理均无逆定理,故选D .5. 【答案】C 【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等.∵142+362=1 492,392=1 521≠1 492,∴A 项不是勾股数;∵82+242=640,252=625≠640,∴B 项不是勾股数;∵82+152=289,172=289,∴C 是勾股数;∵102+202=500,262=676≠500,∴D 项不是勾股数.故选C.6. 【答案】C 【解析】连接AC ,观察图形易知AB =√32+12=√10, BC =√22+12=√5, AC =√12+22=√5,所以△ACB 为等腰三角形,又因为BC 2+ AC 2=AB 2, △ACB 为等腰直角三角形,所以∠ABC =45°.7. 【答案】C 【解析】∵|a-12|≥0,√b -16≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a 2+b 2=122+162=400=202=c 2,∴该三角形为直角三角形,c 为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得12ab=12ch ,所以h=bb b=12×1620=9.6.8. 【答案】正北【解析】因为82+152=172,所以△ABC 为直角三角形,即AB 与BC 垂直.9. 【答案】2【解析】因为m +3>m +2>m +1,所以m +3为直角边,根据勾股定理得,(m +1)2+(m +2)2=(m +3)2,解得m =2或m =-2(舍去).所以m =2.10. 【答案】如果ac>bc(c≠0),那么a>b【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.11. 【答案】直角三角形【解析】∵|a-3|≥0,√b-4≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里).∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=(√14)2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.514. 【答案】连接AC (如图).∵AD ⊥DC ,∴在Rt△ACD 中,由勾股定理得AC =√bb 2+bb 2=√42+32=√25=5 m.又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2,∴△ABC 为直角三角形,∴这块地的面积为S △ABC -S △ACD =12AC ×BC -12AD ×CD =12× 5×12-12×4× 3=24(m 2).15. 【答案】因为CD 2+AD 2=(5√3)2+52=100=AC 2,所以△ACD 是直角三角形,且∠D =90°.在Rt△ABD 中,BD =√bb 2-bb 2=√142-52=3√19 (dm),所以BC =BD -CD =(3√19-5√3) dm,所以△ABC 的面积为12BC ·AD =12×(3√19-5√3)×5=15√19-25√32(dm 2).16. 【答案】如图,作DE ∥AB 交BC 于点E ,连接BD ,则可以证明△ABD ≌△EDB (ASA),∴DE =AB =4,BE =AD =3.∵BC =6,∴EC =BC -BE =3,∴EC =EB .∵DE 2+CE 2=42+32=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形,∴∠DEC =90°.又∵EC =EB =3,∴△DBC 为等腰三角形,∴DB =DC =5.在△BDA 中,∵AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.易得S △BDA =12×3×4=6,7S △DBC =12×6×4=12,∴S △四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.17. 【答案】在Rt△ACD 和Rt△BCD 中,∵AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=CD 2+BD 2,∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD ·BD +BD 2=(AD +BD )2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形.18. 【答案】延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE .∵点D 是BC 的中点,∴BD =CD .在△ADC 和△EDB 中,CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB ,∴EB =AC =13,AE =2AD =2×6=12.又∵AB =5,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2,∴△ABE 是直角三角形,且∠BAE =90°,∴BA ⊥AD .。
人教版八年级下册数学 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习(含答案)
17.2 勾股定理的逆定理同步练习1.下列说法正确的是( )A.每个定理都有逆定理B.每个命题都有逆命题C.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题D.真命题的逆命题是真命题2.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列定理中,没有逆定理的是( )A.直角三角形的两锐角互余B.若三角形三边长a,b,c(其中a<c,b<c)满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形C.全等三角形的对应角相等D.互为相反数的两数之和为04.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,75.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形6.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )7.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°8.△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三角形的有( )9.下面几组数中,为勾股数的一组是( )A.4,5,6B.12,16,20C.-10,24,26D.2.4,4.5,5.110.下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组11.给出下列命题:①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是一组勾股数;②如果直角三角形的两边长分别是3和4,那么另一边长的平方必为25;③如果一个三角形的三边长分别是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中a是斜边长,那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④12.下列各组数能构成勾股数的是.(填序号)①6,8,10; ②7,8,10; ③,,1.13.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,(1)求四边形ABCD的面积;(2)求∠ABC的度数.14.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形;(2)用尺规作出边BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)(3)连接CE,求CE的长.15.观察下列勾股数:①3,4,5,且32=4+5;②5,12,13,且52=12+13;③7,24,25,且72=24+25;④9,b,c,且92=b+c;…(1)请你根据上述规律,并结合相关知识可得:b= ,c= ;(2)猜想第n组勾股数(n为正整数),并证明你的猜想.16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.参考答案1.【答案】B2.【答案】A解：试题分析：①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题：若ac＞bc，则a＞b 也是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题：若=a，则a=1是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题：相等的角是内错角也是假命题；故选A.3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．6.【答案】C7.【答案】C解：连接AC,根据勾股定理可以得到AC2=BC2=5,AB2=10.即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是等腰直角三角形.所以∠ABC=45°.故选C.8.【答案】C解：①中,∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;②中,由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5得△ABC中最大角∠C=180°×=75°,则△ABC为锐角三角形;③中,a2=(b+c)(b-c)=b2-c2,即a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形;④中,因为a∶b∶c=5∶12∶13,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形,故选C.9.【答案】B解：A中虽然4,5,6均为正整数,但42+52≠62;C中虽然(-10)2+242=262,但-10<0;D 中虽然满足2.42+4.52=5.12,但不是整数.方法总结:勾股数的特征:勾股数为三个正整数,且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数有:3,4,5;5,12,13;8,15,17;9,40,41.记住常见的勾股数可以提高做题速度. 10.【答案】D 11.【答案】C12.【答案】①易错总结:首先要注意到勾股数必须是一组正整数,其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.本题易误认为③也是勾股数.13.解:(1)S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=×5×2+×5×3=.(2)因为AB2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2=52=25,所以AB2+BC2=AC2.所以∠ABC=90°.14.解:(1)因为AB=8,BC=10,AC=6,102=82+62,所以BC2=AB2+AC2,所以△ABC是直角三角形.(2)如图所示.(3)如图,设CE=x,因为DE垂直平分BC,所以BE=CE=x,在Rt△ACE中,可得:CE2=AE2+AC2,即:x2=(8-x)2+62,解得:x=6.25.所以CE的长为6.25.15.解:(1)40;41(2)猜想第n组勾股数为2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1.证明如下:因为(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,所以(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2.因为n是正整数,所以2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1是一组勾股数.16.解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则P'C=PC=2,P'A=PB=1,连接PP'.∵∠PCP'=90°,∴PP'2=22+22=8.又P'A=1,PA=3,而PP'2+P'A2=8+1=9,PA2=9,∴PP'2+P'A2=PA2.∴∠AP'P=90°,又∠CP'P=45°.∴∠BPC=∠CP'A=135°.。
人教版八年级数学下册17.2《勾股定理的逆定理拓展》习题含答案
《勾股定理的逆定理拓展》习题含答案1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D =120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.第2题图 第3题图3.如图所示，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF =41AD ，试判断△EFC 的形状.第4题图5.一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD =4，AB =3,BD =5，DC =12 , BC =13，这个零件符合要求吗？第5题图6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.7.已知a ，b ，c 是Rt△ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a ，2b ，2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD . 求证：△ABC 是直角三角形.第8题图9.如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.第9题图10. 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a = 6米，b = 8米。
现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长是多少米？11.已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c .试判断△ABC 的形状.12.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =4，BC =6，CD =5，AD =3. 求：四边形ABCD 的面积.第12题图CA B D习题答案1.D2.5√33.2√34.解：∵E为AB中点，∴BE=2.∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.∵CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.5.解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A=90°.在△BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形，∠CDB=90°.因此这个零件符合要求.6.证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.7.解：∆A1B1C1是直角三角形理由：∵a,b,c是Rt∆ABC的三边长，设c是斜边∴由勾股定理得：a2+b2=c2∵(2a)2+(2b)2=4a2+4b2=4(a2+b2)=4c2=(2c)2∴∆A1B1C1是直角三角形8.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AD=BD两种情况进行讨论．如图所示：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，第10题图如图1，当AB =AD 时，CD =BC =6m ，此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m ）； 如图2：当AD =BD 时，设AD =BD =x m ； Rt △ACD 中，BD =x m ，CD =（x ﹣6）m ；由勾股定理，得AD 2=DC 2+CA 2，即(x −6)2+82=x 2，解得x =253； 此时等腰三角形绿地的周长=253×2+10=803（m ）．当AB =BD 时，在Rt △ACD 中，AD =√AC 2+CD 2=√82+(10−6)2=4√5， 此时等腰三角形绿地的周长=2×10+4√5=20+4√5综上扩建后等腰三角形花圃的周长为32米或803米或20+4√5米11. 解：由已知可得a 2－10a +25+b 2－24b +144+c 2－26c +169=0, 配方并化简得,(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0. ∵(a －5)2≥0,(b －12)2≥0,(c －13)2≥0. ∴a －5=0,b －12=0,c －13=0. 解得a =5,b =12,c =13. 又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12. 解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）, ∴D E=AB =4，BE =AD =3. ∵BC =6,∴EC =EB =3. ∵DE 2+CE 2=32+42=25=C D 2, ∴△DEC 为直角三角形.又∵EC =EB =3, ∴△DBC 为等腰三角形，DB =DC =5. 在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2, ∴△BDA 是直角三角形. 它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. 第12题图∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.A B D C E。
人教版八年级下《17.2勾股定理的逆定理》同步练习及答案
第02课勾股定理逆定理【例1】若△ABC三边长满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角．（1）BC=，AB=，AC=1；（2）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1（n＞1）【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【例3】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。
⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长。
【例4】观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：_________________________________。
【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证：AF⊥FE．【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE2＋BF2＝EF2．课堂同步练习一、选择题：1、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可能为( )A．2：3：4 B．3：4：6 C.5：12：13 D.4：6：72、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( )A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形3、△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则( )A.△ABC是锐角三角形B.c边的对角是直角C.△ABC是钝角三角形D.a边的对角是直角4、下列命题中，其中正确的命题的个数为( )①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2＋c2=b2，则∠C=90°；④在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( )A. CD、EF、GHB. AB、CD、GHC.AB、EF、GHD.AB、CD、EF6、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=3，CD=1，则BC的长为( )A．3 B．2 C． D．7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（） A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米28、在△ABC中，∠C=90°，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是( )A．a<b B．a>b C．A=b D．以上三种情况都有可能9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状( )。
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（人教版）八年级下第十七章 17.2 勾股定理的逆定理课时练
（锦州中学）
学校：姓名：班级：考号：
一、选择题
,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()
A. ∠A为直角
B. ∠C为直角
C. ∠B为直角
D. △ABC不是直角三角形
2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()
A. 三内角之比为1∶2∶3
B. 三边长的平方之比为1∶2∶3
C. 三边长之比为3∶4∶5
D. 三内角之比为3∶4∶5
3. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
4. 以下定理,其中有逆定理的是()
A. 对顶角相等
B. 互为邻补角的角平分线互相垂直
C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补
D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
5. 下列各组数中,是勾股数的是()
A. 14,36,39
B. 8,24,25
C. 8,15,17
D. 10,20,26
6. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 ()
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
7. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|+-+(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()
A. 9.8
B. 4.8
C. 9.6
D. 10
二、填空题
8. 如图所示,点A为小红家的位置,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.
9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.
10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形
式:
11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+-+(c-5)2=0,则此三角形的形状是.
三、解答题
,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
13. 如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判断△ABC的形状.
14. 如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.
15. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB中截出一个形如△ACD的工件,其中
AD=5dm,AB=14dm,AC=10dm,CD=5dm,求剩余部分△ABC的面积.
16. 已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.
求四边形ABCD的面积.
四、证明题
中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.
求证:△ABC是直角三角形.
18. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求证:BA⊥AD.
参考答案
1. 【答案】A【解析】因为(a+b)(a-b)=a2-b2=c2,所以b2+c2=a
2.所以△ABC为直角三角形, ∠A 为直角,故选A.
2. 【答案】D【解析】A项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B项中,令三边长分别为a,b,c,则a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴a2+b2=c2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C项中,a∶b∶c=3∶4∶5,设a=3k,则
b=4k,c=5k,∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2,∴是直角三角形. D项中的最大角为75°,故不是直角三角形.
3. 【答案】D【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,所以是勾股数.故选D.
4. 【答案】D【解析】A定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B定理的逆命题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C三个定理均无逆定理,故选D.
5. 【答案】C【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等.
∵142+362=1 492,392=1 521≠1 492,∴A项不是勾股数;
∵82+242=640,252=625≠640,∴B项不是勾股数;
∵82+152=289,172=289,∴C是勾股数;
∵102+202=500,262=676≠500,∴D项不是勾股数.故选C.
6. 【答案】C【解析】连接AC,观察图形易知AB=, BC=
, AC=,所以△ACB为等腰三角形,又因为BC2+ AC2=AB2, △ACB为等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.
7. 【答案】C【解析】∵|a-12|≥0,-≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a2+b2=122+162=400=202=c2,∴该三角形为直角三角形,c为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得ab=ch,所以h===9.6.
8. 【答案】正北
【解析】因为82+152=172,所以△ABC为直角三角形,即AB与BC垂直.
9. 【答案】2
【解析】因为m+3>m+2>m+1,所以m+3为直角边,根据勾股定理得,(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2,解得m=2或m=-2(舍去).所以m=2.
10. 【答案】如果ac>bc(c≠0),那么a>b
【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.
11. 【答案】直角三角形
【解析】∵|a-3|≥0,-≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-
5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.
12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里).
∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,
∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.
13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,
∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=(2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.
14. 【答案】连接AC(如图).
∵AD⊥DC,
∴在Rt△ACD中,由勾股定理
得AC==5 m.
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
∴这块地的面积为S
△ABC -S
△ACD
=AC×BC-AD×CD=× 5×12-×4× 3=24(m2).
15. 【答案】因为CD2+AD2=(52+52=100=AC2, 所以△ACD是直角三角形,且∠D=90°.
在Rt△ABD中,BD=--=3所以BC=BD-CD=(3) dm, 所以△ABC的面积为BC·AD=×(3-5)×5=-(dm2).
16. 【答案】如图,作DE∥AB交BC于点E,连接BD,
则可以证明△ABD≌△EDB(ASA),
∴DE=AB=4,BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=BC-BE=3,∴EC=EB.
∵DE2+CE2=42+32=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形,∴∠DEC=90°.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形,∴DB=DC=5.
在△BDA中,
∵AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
=×3×4=6,
易得S
△BDA
S
=×6×4=12,
△DBC
∴S
四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
△
17. 【答案】在Rt△ACD和Rt△BCD中,
∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
18. 【答案】延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.∵点D是BC的中点,∴BD=CD.在△ADC和△EDB中,CD=BD,∠ADC=∠EDB,AD=ED,∴△ADC≌△EDB,∴EB=AC=13,AE=2AD=2×6=12.又∵AB=5,∴AB2+AE2=52+122=169=132=BE2,∴△ABE是直角三角形,且∠BAE=90°,∴BA⊥AD.。