高数A(上)总复习(同济六版)-cxz
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
高等数学(同济六版)上册总结
高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、 特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、 等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、 有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义 若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7） 解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数 得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导 得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ） （有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2） 解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ， 上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）第一篇：大一期末高数(同济第六版)复习提纲高数一期末考试复习大纲题型：解答题（共12小题）类型：求极限、求导数及微分（包括导数的应用）、求不定积分、求定积分（包括定积分的应用）、求解微分方程具体知识点第一章数列的极限、函数的极限（以上只需掌握求极限方法、极限定义了解即可）无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则，两个重要极限无穷小的比较、函数的连续性、连续函数的运算和初等函数的连续性第二章导数定义及几何意义、函数的求导法则、高阶导数、隐函数导数、参数方程所确定的函数的导数（会求二阶导数）、函数的微分公式第三章洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最值第四章求不定积分（换元法、分部积分法）、有理函数的积分第五章微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法第六章定积分在几何学上的应用第七章可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程第二篇：高数复习提纲第一章1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、五章不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第三篇：高数(上)(复习提纲)《高等数学I》复习提纲一、基本概念、公式、法则：“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较（高阶、同阶、等价、k 阶），常见的等价无穷小（x→0）,两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），泰勒公式（特别地，麦克劳林公式），函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平（竖直）渐近线，平面曲线（直角坐标系、极坐标系、参数方程）的曲率公式、弧微分公式；求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。
同济六版高等数学上册总结共17页word资料
同济六版高等数学上册总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1） y ⎰=xdt t f 0)(，其中)(x f 连续，则，)(x f dxdy= （2）⎰=)()()(x x dt t f y ϕφ，其中)(),(x x φϕ可导，)(t f 连续，则)())(()())((''x x f x x f dxdyφφϕϕ-= 2 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 3 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则（1）若n n x x ≤+1（n 为整数），且m x n ≥，则A n x n =∞→lim 存在（单调递减有下界，极限存在）（2）若n n x x ≥+1，且m x n ≤，则A n x n =∞→lim存在（单调递增有上界，极限存在）2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim3．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 6．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''L二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nxx x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x x n n x -→+∞-= !lim 0ex x n →+∞===L ． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高数-高数A上总复习
定义3：使得f ( x ) 0的自变量x x0，称为驻点（稳定点）.
定义4：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注：拐点是曲线上的点，为平面点；
3
高等数学上册重要概念
有极限
连续
可导
可微
积分
4
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
14
例. 设 f (x) 在
对任意的
使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
lim (x
x0
a)(x 1) exb
a 1b
0
a 0,b1
为可去间断点 , lim ex b 极限存在 x1 x (x 1)
lim(ex b) 0
x1
b limex e
x1
13
例. 设 f (x) 定义在区间
上 , 且对任意实数
, 若 f (x) 在
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
1 cot2 x csc2x
2cos2 x 1
arcsin x arccos x
1 2 sin2 x
2
2
几个重要的小概念
定义1: 如果lim f ( x ) A,则直线 y A是函数y f ( x ) x
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法 1.元素：由连续曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积为：.(由微分知识得) 为面积元素或面积微元,记为 2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为) 1．量与变量的所在区间有关; 2．量对于区间具有可加性；3．量的部分量有近似值，即. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤： 1．由实际情况选一变量如为积分变量，确定该其变化区间.2．分为个小区间，取其中一个小区间，计算其上的部分量，的所求量的一个元素 3．以为被积表达式，在注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形:曲线与直线及轴所围成的曲边梯形面积为，因为面积元素为 2.参数方程情形：若曲线的参数方程为，且满足 (1). , (2). 在或上具有连续导数，且连续，则由曲线所围成的曲边图形的面积为：3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为，且在上连续，则由曲线与射线以及所围成图形的面积为 . 由于当在上变动时，极径来计算. 推导：①.取极角为积分变量，②.在上任取一小区间，其上的曲边扇形面积的近似值：③. . 为被积表达式，在上作定积分，得曲边扇形的面积公式：例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 2y解：首先确定图形的范围，由得交点、，y取为积分变量，由于面积元素，所以所求面积为 . 注： . 例2. 计算抛物线与直线所围图形的面积解：由得交点、，若取为积分变量，则有 . 若取为积分变量，则有 . 例3. 求椭圆所围图形的面积解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为，则所求面积为设，当时，，当时，，且，于是 . 例4.计算阿基米德螺线对应从变到所围图形面积. 解：由题可知，积分变量，于是所求面积为例5.计算心形线所围图形的面积解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为，则心形线所围成的图形面积为.取极角为积分变量，，于是 . 二、体积 1．旋转体的体积： (1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线与直线以及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成的立体 (2).旋转体的体积：①．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：推导：取为积分变量，，在上任取一小区间轴旋转而成的薄层的体积近似等于以为底面半径、以为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为，以为被积表达式，在上作定积分即得所求旋转体的体积：②．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：例6.连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，求其体积解：过及的直线方程为： . 取为积分变量，，则所求旋转体的体积为例7.计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与轴所围成的绕轴旋转而成的立体，半椭圆方程为： . 取为积分变量，，则所求立体体积为例8.计算由摆线，相应于的一拱，直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积解：记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则. 2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点、且垂直于轴的两个平面之间，该立体过轴上的点且垂直于轴的截面面积为，则该立体的体积为：推导：若为连续函数且已知，取为积分变量，,在，其上的薄层的体积近似等于底面积为、高为的扁圆柱体的体积，积元素：，以为被积表达式，在上作定积分，得所求立体的体积公式：例9.一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角，计算着平面截圆柱体所得立体的体积解：取该平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，则底面圆方程为：，该立体中过轴上的点且垂直于轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为和即和，从而截面面积为，于是所求体积为例4.求以半径为的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积解：取底面圆所在的平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：，过轴上的点作垂直于轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为，于是，所求正劈锥体的体积为三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念 (1).平面曲线弧长：若在曲线弧上任取分点，，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记限增加且每一个小弧段都缩向一点，即时，折线的长的极限存在，则称此极限值为曲线弧的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作 (2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线 (3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算 (1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为，，若在上具有一阶连续函数，则曲线弧长为推导：取为积分变量，曲线上的相应于上任意小区间上的一段弧的长度近似等于曲线在点处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为，从而有弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式：(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为，，若及在具有连续导数，则曲线弧长为推导：取参数为积分变量，曲线上相应于上任意小区间上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式： (3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为，，若在上具有连续导数，则曲线弧长为：推导：由直角坐标与极坐标的关系得：，，即为曲线的以极角。
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《高等数学》上册期末总复习
1、 极限求法：
1、 四则运算法则：极限存在才可拆开求【约分、通分、有
理化】
2、 复合运算法则（变量替换法）；一般是尽可能将变化过
程变换为：
3、 初等函数的连续性（代入法）： ；
4、 两个重要极限：构造法
1），【构造式：】
2）（或）；【构造式：】
5、 无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；
6、 存在准则：1）夹逼准则、2）单调有界准则；
7、 等价无穷小：只适用于积商式，不适用于和差式【待等
价的函数应与剩余部分之间是积商关系】
当时，,(为常数))
8、 洛必达法则：未定式或：直接利用法则；：取倒数；：
通分；：取对数.
9、 泰勒公式(麦克劳林公式)：只能用于解决型；其它情况
必须通过换元变为型.
10、
导数或定积分定义*:
未定式：等价无穷小洛必达法则泰勒公式
1）【导数定义】设在点处可导，则
.
2）【定积分定义】设在上可积，则；
2、 函数的连续性
1、 函数在点处连续；
2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间
断点：无穷，振荡.
3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函
数；连续函数的复合仍为连续函数
4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处
连续
5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小
值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；
4）介值定理及其推论.
3、 导数与微分
分段点处连续性判断或求导必须用定义。
开区间内才可以用导数公式。
1、 定义：
1）；
2）；
特别注意此处记号的书写
3）；
4）
2、 求导法则：【必须牢记14个基本导数公式】
1） 显函数：
①、四则运算法则： ；
②、复合函数的求导法则：设都可导，则的导数为
，或
③、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：，（化简），
2） 参数方程：，，，以此类推.
3） 隐函数：（方程两边同时对自变量求导）
3、 高阶导数：等；莱布尼兹公式
4、 微分：
5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.
6、 抽象函数的求导：注意、之别
4、 导数的应用
1、 曲线的切线与法线方程：，，；
2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后
根据定理下结论！
1）罗尔定理：；【依结论构造辅助函数】
2）拉格朗日中值定理：；【同一函数在两点上相减都可能用到
此定理】
3）柯西中值定理：；
4）泰勒中值定理：
3、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano型余项的麦克劳林公式
4、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图
形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线
拐点的判断类似于极值点的判断，只是前者利用二阶导数的符号，后者利用一阶导数符号
5、 不等式的证明：1）单调性；2）最值；3）凹凸性；
6、 方程根的存在性及唯一性(结合以下3点讨论)：1）零点定
理；2）罗尔定理；3）单调性；
7、 恒等式的证明：若在区间I上，则在区间I上
五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记13个基本
积分公式】
1、 常用性质：线性性质，区间可加性，定积分中值定理【】，
定积分的奇偶对称性、周期性【与起点无关】；【定积分是与积分变量无关的常数】
2、 常用公式：【此类公式或题目常用换元或】
3、 设，即为的原函数，则有与牛顿-莱布尼兹公式：
4、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒
代换，根式代换等
5、 分部积分法:反对幂指三【先将后者凑微分】 ；或先将较易积
分者凑微分
6、 变上限积分的导数：， 【视为复合函数】，
其中连续，可导，为常数，积分中的表达式必须与无关，若有关须先换元
7、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解加待
定系数法化为部分分式】
附：可化为有理函数的积分①有理三角函数：万能代换
；②简单根式：线性函数或分式函数的根式直接代换，开方不同则取最小公倍数开方
8、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义牛顿-莱布尼兹
公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分
瑕点的判定：，则即为瑕点。
【常用换元法或先求不定积分再用广义牛顿-莱布尼兹公式】
六、定积分的应用【有公式就代公式，否则用元素法】
1、平面图形的面积：
1） 直角坐标：
a、 曲边梯形：；
b、 上、下型：
；
c、 左、右型：
；
2） 极坐标（极坐标变换）：
设曲边扇形，则
2、 体积：
CaseA、旋转体的体积：
i. 上下型：
I、绕x轴 ；II、绕y轴
ii. 左右型：
I、绕y轴 ；II、绕x轴
CaseB、平行截面面积为已知的立体，其中为平行截面面积
注：该平行截面只能固定或，取垂直于轴或轴的截面.
3、 弧长：不同方程，代不同公式【弧微分或弧长元
素：】
1) ， ；下限必小于上限
2），；
3），
七、微分方程
一阶微分方程：形如，或
或初值问题：
1、可分离变量方程：，两边同时积分可得通解
2、齐次方程：，令，，，
必可将原方程化为关于的可分离变量方程。