单元刚度矩阵
单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]
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§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
31 2
32
1
x
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
②
②
5 6
4
(局部坐标)
4 6
5
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k② T T k ② T
结点位移码
(
(1 2 3 0 0 0)
结点码
1
2
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
k ② T T k ② T
9.65
7.13
k
②
0.45 9.65
7.13 0.45
1 3
7.13 5.50 0.6 .137 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.0 0.69 2.08
0.0 0.69 2.08
0.0
2.08
4.17
0.0
2.08
8.33
①
①
k k
单元②： 15.0
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
四边形单元刚度矩阵
四边形单元刚度矩阵是有限元分析中的一个重要概念，用于描述四边形单元在受力时的刚度特性。
在有限元方法中，连续的求解域被离散为有限个单元的组合，每个单元都有其特定的刚度矩阵。
对于四边形单元，其刚度矩阵是一个方阵，用于将节点位移和节点力联系起来。
在弹性力学中，刚度矩阵表示了材料在受力时的抵抗变形的能力。
四边形单元的刚度矩阵通常通过对其形状函数和本构关系进行积分得到。
四边形单元的刚度矩阵具有对称性，这是由于材料的本构关系和平衡方程的性质决定的。
刚度矩阵的元素反映了节点位移对节点力的影响程度，以及节点间相互作用的强弱。
在有限元分析中，四边形单元刚度矩阵的组装是求解问题的重要步骤之一。
通过将所有单元的刚度矩阵按照特定的规则组装到一起，形成整体的刚度矩阵，可以进一步求解出整个结构的位移和应力分布。
四边形单元刚度矩阵的准确性和精度对于有限元分析的结果至关重要。
因此，在实际应用中，需要对四边形单元的形状、大小、材料属性等进行合理的选择和描述，以确保分析结果的可靠性。
单元刚度矩阵的计算 -回复
单元刚度矩阵的计算 -回复
单元刚度矩阵的计算是有一定复杂性的，需要根据具体的有限元模型及载荷情况进行计算。
一般来说，单元刚度矩阵的计算可以分为两步：建立单元刚度矩阵的方程式，以及求解方程式得到刚度矩阵。
建立单元刚度矩阵的方程式需要先利用有限元理论对结构进行离散化，将结构分割成若干个单元。
然后，在每个单元内分别建立单元刚度矩阵的方程式，考虑到每个单元都具有规律性，所以可以先建立一个一般的单元刚度矩阵的方程式，然后通过坐标变换等方法转化为特定单元中的方程式。
具体地讲，单元刚度矩阵的计算可以采用有限元理论中的形函数方法，通过利用形函数和单元的积分关系来求解单元刚度矩阵。
在具体实现中，可以考虑使用数值积分方法，如高斯积分等。
通过将形函数和数值积分方法代入单元刚度矩阵方程式，即可得到单元刚度矩阵的表达式。
求解方程式得到刚度矩阵时，可以采用线性方程组求解的方法，如高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法等。
求解得到的刚
度矩阵可以用于后续分析计算中。
总之，单元刚度矩阵的计算需要综合运用有限元理论、数值分析方法和线性方程组求解方法等知识，同时也需根据具体情况做出适当的假设和近似，才能得到合理可靠的结果。
结构力学11.2 单元刚度矩阵
89
结构力学讲稿
uie
u
e j
EA
k
e
l 0
0 0
EA l 0
FNei 0 FSei 0 FNej
FSej
EA
l 0
0 0
EA
l 0
0 0
桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章 矩阵位移法
90
e
]
0 EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 12EI
l3
0
6EI
l2
0 EA
6EI l2
0
2EI
l
，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
FFSNeeii
uviiee
{F
e}
M
e i
FNej
，称为，单元杆端力列向量。{
e}
ie
u
e j
，称为，单元杆端位移列向量。
FSej
v
e j
M
e j
e j
EA
l
0
[k
第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆
有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵
Fξ j(2) x
l
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k22 E l2 A 0 l(421 )2d xE 3 l A 7 k33 E l2 A 0 l(4142)2d xE 3 l A 16
k 12 E l2 0 lA (42 1 )4 (2 1 )d x E 3 l A 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
三角形单元刚度矩阵
三角形单元刚度矩阵
三角形单元是常用的有限元单元之一，用于表示二维结构的刚度矩阵。
三角形单元的刚度矩阵可以通过以下步骤计算得到：
1. 定义三角形单元的几何形状和尺寸，并确定节点的编号。
2. 定义三角形单元的材料性质，如弹性模量和泊松比。
3. 根据节点的坐标，计算三角形单元的面积。
4. 计算三角形单元的形函数和形函数的导数，用于建立节点位移与局部坐标系的关系。
5. 在局部坐标系下，利用形函数和形函数导数计算三角形单元的局部刚度矩阵。
6. 进行坐标的变换，将局部刚度矩阵转换为全局刚度矩阵。
这可以通过将局部刚度矩阵与坐标变换矩阵相乘来实现。
最终得到的刚度矩阵描述了三角形单元在给定载荷下的行为，可以用于解析或数值计算来分析结构的性能。
(完整)7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析
7。
4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的。
如果一个结构的计算模型分成个单元,那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K］是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座"叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行。
如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系。
将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量；［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠。
下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵。
设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度。
总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7—27(1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7—27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是(2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3—27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3)将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下:（4）将所有的单元都执行上述的1，2,3步，便可得到总体刚度矩阵，如式(3-9).其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3—9）(5）从式（3—9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加。
总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的. 7。
4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和,环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3—10）以［K］代入平衡方程,得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程,于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K］为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然,如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的,在合成以前，也应把它们转换到统一的结构(总体）坐标系下，即式中,是总体坐标系下的结点载荷向量,为坐标转换阵.7.4。
单元刚度矩阵每个元素的物理意义
单元刚度矩阵每个元素的物理意义标题：深度解析单元刚度矩阵每个元素的物理意义在结构力学中，单元刚度矩阵是一个重要的概念。
它描述了结构单元在受力作用下的刚度特性，是我们分析复杂结构的基础。
然而，单元刚度矩阵中每个元素都有着重要的物理意义，对于我们深入理解结构的行为至关重要。
1. 单元刚度矩阵的基本概念单元刚度矩阵是描述结构单元受力变形关系的数学工具。
它可以通过单元的几何形状和材料性质来求解，通常表示为[K]，其中每个元素都代表着特定的刚度信息。
[K]的第一行第一列元素k11代表了结构在x方向受力时的刚度贡献。
2. 单元刚度矩阵每个元素的物理意义在单元刚度矩阵中，每个元素都对应着结构在某一方向上的刚度特性。
在二维结构中，k11代表了结构在x方向受力时的刚度，k12代表了结构在xy方向受力时的刚度，具体物理意义如下：- k11：表示了结构在x方向的刚度，即单位力在x方向作用在结构上所产生的位移和应力的关系。
- k12：表示了结构在xy方向的刚度，即单位力在x方向作用在结构上所产生的位移和单位力在y方向作用在结构上所产生的位移的关系。
3. 单元刚度矩阵元素的重要性我们深入理解单元刚度矩阵每个元素的物理意义对于结构分析和设计至关重要。
通过分析每个元素代表的刚度特性，我们可以更好地理解结构在受力作用下的行为。
这有助于我们选择合适的材料和设计结构，以满足工程实际需求。
4. 个人观点和理解在我的理解中，单元刚度矩阵每个元素的物理意义是对结构刚度特性的抽象表示，它可以帮助我们理解结构在不同方向上的受力行为。
理解单元刚度矩阵的物理意义可以帮助我们更好地分析和设计结构，提高结构的安全性和可靠性。
总结回顾通过本文的分析，我们深入探讨了单元刚度矩阵每个元素的物理意义。
我们理解了每个元素代表的刚度特性，以及对结构分析和设计的重要性。
深入理解单元刚度矩阵的物理意义有助于我们更好地理解结构在受力作用下的行为，提高结构分析和设计的水平。
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵是有限元分析中的一个关键组成部分，它描述了结构中每个元素在承受载荷时的刚度响应。
以下是一个计算有限元单元刚度矩阵的基本步骤：
1. 确定元素类型和参数：首先需要确定所使用的元素类型（例如，杆、梁、板、壳等），以及这些元素的参数，如横截面面积、惯性矩、厚度等。
2. 建立局部坐标系：为每个元素建立一个局部坐标系。
在局部坐标系中，可以方便地描述元素内部的应力和应变。
3. 计算应变矩阵：根据有限元理论，计算元素两端的节点坐标差值，并由此得到应变矩阵。
4. 计算应力矩阵：根据材料的物理性质和胡克定律（Hooke's law），将应变矩阵转换为应力矩阵。
5. 形成刚度矩阵：将应力矩阵乘以相应的刚度系数，得到该元素的刚度矩阵。
6. 组装整体刚度矩阵：将所有元素的局部刚度矩阵组合起来，形成整体结构的刚度矩阵。
7. 施加边界条件和载荷：根据实际问题的边界条件和载荷，对整体刚度矩阵进行修正。
8. 求解线性方程组：通过求解修正后的线性方程组，得到结构中每个节点的位移。
以上步骤仅为有限元分析中的一种基本方法，实际应用中可能还需要考虑更多的因素，如非线性行为、材料失效等。
此外，有限元分析软件（如ANSYS、SolidWorks等）通常已经内置了这些计算过程，用户可以直接调用相应的功能进行有限元分析，而无需手动编写代码。
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Fx1
EA l
u1
u2
Fx 2
EA l
u1
u2
M1
4EI l
1
2EI l
2
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l2
v1 v2
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2EI l
1
4EI l
2
6EI l2
v1
v2
6EI
Fy1 l 2
1 2
12EI l3
v1
A
B
C
①
②
D
E
③
④
A①
B ②C ⑤ F
D③
④
E
局部坐标系 下单元刚度
杆端位移向量
1 1
u1
v1 杆端力向量
1
EAI
2
e
l
2 2
u2
v2
Δe 1 2 3 4 5
eT
u1 v1 1 u2 v2 2
eT
6
1 M1
2 M2
Fx1
Fx 2
Fy1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1 2 1
(1) (2) (3)
k = (4) (5) (6)
EA l
0
0
0
12EI 6EI l3 l2
0
6EI 4EI l2 l
-EA l
0
0
0
-12EI -6EI l3 l2
以连续梁
e
为例：
1 1 e
u1 0
e
X1
Y1
M
1
X
2
EA l 0
0 EA
l
Y2
M 2
0 0
v1 0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
§ 9-9 桁架及组合结构的整体分析
§ 9-10 小结
§ 9-1 概述
矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变 形等计算的方法。
理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机
5
矩阵位移法的基本思路
2
矩阵位移法的两个基本步骤是
3
（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析， 1 1
结构力学
structural Mechanics
第9章
矩阵位移法 （12学时）
第9章 矩阵位移法
主要内容
§ 9-1 概述
§ 9-2 单元刚度矩阵(局部坐标系）
§ 9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系）
§ 9-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 9-5 刚架的整体刚度矩阵
§ 9-6 § 9-7 § 9-8
等效结点荷载 计算步骤和算例 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
2 2
u2 0
v2 0
EA l 0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI
l3
6EI l2
ee
0
6EI l2 2EI l
u1
v1
1
Fy2
■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；
■其它：与坐标轴同向为正。
单元刚度方程
首先，由两个杆端轴向位移，可以求出杆端轴向力，
其次根据转角位移方程可以求出弯矩、剪力与杆端
位移之间的关系
Fx1
EA l
u1
u2
Fx 2
EA l
u1
u2
M1
4EI l
1
2EI l
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
0
12EI 6EI l3 l2
0
6EI 2EI l2 l
EA l
0
0
0
12EI -6EI l3 l2
0
-6EI 4EI
l2
l
只与杆件本身性质有关 而与外荷载无关
12
2 单元刚度矩阵的性质
K ij
（1）单元刚度系数的意义 第j个单位杆端位移=1时引起 的第i个杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵 矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
F e k e e
e k e 1F e
解唯一
解不唯一
★由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移+变形）。
三、特殊单元
若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，
则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。
v2
Fy2
6EI l2
1 2
12EI l3
v1
v2
Fx1
Fy1
M1
Fx 2
EA l 0
0 EA
l
0
12EI l3 6EI l2
0
0
6EI l2 4EI l
6
6
3
5
4
24
任务
建立杆端力与杆端位移间 单元分析 的刚度方程，形成单元刚
度矩阵
由变形条件和平衡条件建 整体分析 立结点力与结点位移间的
刚度方程，形成整体刚度 矩阵
意义 用矩阵形式表示杆件 的转角位移方程
用矩阵形式表示位移 法基本方程
5
6
7
§9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
1 一般单元
结构的离散化
2
6EI l2
v1
v2
M2
2
EI l
1
4EI l
2
6EI l2
v1 v2
6EI
Fy1 l 2
1 2
12EI l3
v1
v2
Fy2
6EI l2
1 2
12EI l3
v1
v2
将上面六个方程合并，写成矩阵形式：
l2
v2
0 M 2
6EI 2EI
l2
l
0
6EI l2
4EI l
2
11
上面的式子可以用矩阵符号记为
F k
这就是局部坐标系中的单元刚度方程。
局部座标系的单元刚度矩阵
通过这个式子由单元杆端位移 可求单元杆端力 F
0
EA l 0
0 EA l
0
12EI l3 6EI
l2 0
0
u1
6EI l2 2EI l
v1
1
0
u2
0 Fy2
12EI 6EI
l3
l2
0
12EI l3
6EI
0
6EI l2
u2
Leabharlann v2 4EI
l
2
14
M
1
M 2
1 1 e
2 2
u1 0
u2 0
e
X1
Y1