单元刚度矩阵的性质
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一局部，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准那么〔写出某种单元的形函数，并讨论收敛性〕P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？〔王勖成P131〕答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规那么的单元转换成总体〔笛卡尔〕坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体〔笛卡尔〕坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,那么称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个局部，各局部之间用有限个点相连。
每个局部称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
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* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
有限元简答题
1.设插值（单元位移函数）函数的原则
○1待定系数应与节点位移DOF数相等
○2在选取多项式时，必须要选择常数项和完备的一次项
○3选择多项式应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元精度。
由于项数限制不能选取完全多项式时，选择多项式应具有坐标的对称性。
并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。
2.轴对称原则
形状对称、约束对称、载荷对称
3.刚度矩阵
形函数的性质
○10/1性质
形状函数N i的几何意义：在i点的节点位移为1，其他节点位移为0时得单元位移场函数○2和1性质
4.单元刚度矩阵的性质
K ij表示要使单元的第j个节点产生单位位移（u=1）,而其他节点位移为0时，需要在第i 个节点所施加的力
对称性、半正定性、奇异性
5.引入边界条件的目的
消除单元刚度矩阵的奇异性，加约束使其有唯一解
6.单元划分原则
○1网格疏密的合理布置
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。
这样可以同时满足精度和效率两方面的要求。
○2采用性能优越的单元
7.描述三大基本方程
力平衡方程—描述物体受力平衡的关系、物理方程（本构关系）—描述物体应力与应变的关系、几何方程—描述物体位移与应变的关系
8.连杆结构的有限元分析过程
1.单元划分和节点编号
2.计算单元刚度矩阵
3.组装整体单元刚度矩阵
4. 处理边界条件求解（引入边界条件）
5.求其他力学分量。
四边形单元刚度矩阵
四边形单元刚度矩阵是有限元分析中的一个重要概念，用于描述四边形单元在受力时的刚度特性。
在有限元方法中，连续的求解域被离散为有限个单元的组合，每个单元都有其特定的刚度矩阵。
对于四边形单元，其刚度矩阵是一个方阵，用于将节点位移和节点力联系起来。
在弹性力学中，刚度矩阵表示了材料在受力时的抵抗变形的能力。
四边形单元的刚度矩阵通常通过对其形状函数和本构关系进行积分得到。
四边形单元的刚度矩阵具有对称性，这是由于材料的本构关系和平衡方程的性质决定的。
刚度矩阵的元素反映了节点位移对节点力的影响程度，以及节点间相互作用的强弱。
在有限元分析中，四边形单元刚度矩阵的组装是求解问题的重要步骤之一。
通过将所有单元的刚度矩阵按照特定的规则组装到一起，形成整体的刚度矩阵，可以进一步求解出整个结构的位移和应力分布。
四边形单元刚度矩阵的准确性和精度对于有限元分析的结果至关重要。
因此，在实际应用中，需要对四边形单元的形状、大小、材料属性等进行合理的选择和描述，以确保分析结果的可靠性。
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
有限单元法试题
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？（1）步骤1 弹性单元的离散化 2选择位移函数 3建立单元刚度方程 4建立整体平衡方程5，求解整体平衡方程（2）位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。
二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质 481单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质1每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。
5 整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。
三角形单元中，三结点的常应变单元，其单元内应力是常量，它是一种简单但精度低的单元；六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。
而矩形单元，其精度虽比相应的三角形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。
平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。
四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。
一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。
实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。
2网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。
在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。
而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
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体积力 F e Fx Fy T ，表面力 e x y T
二、位移模式与形函数
u a1 a2x a3 y ui a1 a2xi a3 yi
vi a4 a5xi a6 yi
y
Yk vk
k(xk , yk )
Xk uk
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
力解。
• 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行 的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各行元素的 总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也为零。
Fyi
KiiLeabharlann KiiKijKij
Kim
Kim
vi
Fxj Fyj
K K
ji ji
K ji K ji
K jj K jj
K jj K jj
K jm K jm
K K
jm jm
uj vj
Fxm
Kmi
Kmi
Kmj
Kmj
Kmm
K
mm
um
Fym Kmi Kmi Kmj Kmj Kmm Kmm vm
其中 Krs 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点
r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将节点力列矩阵 Fe 与节点位移列矩阵 e 均展开成
(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：
Fxi Kii Kii Kij Kij Kim Kim ui
Fi Kii Kij Kim δi
Fj
Kji
Kjj
K jm
δj
Fm Kmi Kmj Kmm δm
写成普通方程 Fi Kii δi Kij δj Kimi δm Fj Kji δi Kjj δj Kjm δm
Fi Kmi δi Kmj δj Kmm δm
元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的 表示垂直方向。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
Fxr Si,j,m
Fyr Si,j,m
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合 体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力 与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。 节点力和节点位移的关系前面已经求出：
Fe Ke δe
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将 Fe 写成分块矩阵
平面问题 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
一、离散化
将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之 间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
结点位移,单元结点位移
三角形网格划分
i i ui vi T
e
T i
T j
T k
T
结点力,单元结点力
Ri Ri Xi Yi T R e RTi RTj RTk T
• 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 kii
表示力的方向和位移方向一致，故总为正值。
• 3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵
时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，
但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能
得到唯一位移解
e (Ke)1，F只能得到唯一的节点
j
(
x
j
X ,y
j j
u )
j
0
x
v a4 a5x a6 y u j a1 a2x j a3 y j v j a4 a5x j a6 y j
uk a1 a2xk a3 yk vk a4 a5xk a6 yk
Institute of Mechanical Engineering and Automation
Krs，Krs，Krs，Krs 表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向
产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平
节点力和垂直节点力的大小。例如 Kij 表示节点j在垂直方
向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
• 1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 Ke (Ke)T )