有限元单元类型及单元刚度矩阵
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
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* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
有限元分析中常用单元类型与单位制
SOLID453-D结构实体单元产品：MP ME ST <> <> PR <> <> <> PP EDSOLID45单元说明solid45单元用于构造三维实体结构.单元通过8个节点来定义,每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度.单元具有塑性,蠕变,膨胀,应力强化,大变形和大应变能力。
有用于沙漏控制的缩减积分选项。
有关该单元的细节参看ANSYS, 理论参考中的SOLID45部分。
类似的单元有适用于各向异性材料的solid64单元。
Solid45单元的更高阶单元是solid95。
图 45.1 SOLID45几何描述SOLID45输入数据该单元的几何形状、结点位置、坐标系如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。
该单元可定义8个结点和正交各向异性材料。
正交各向异性材料方向对应于单元坐标方向。
单元坐标系方向参见坐标系部分。
单元荷载参见结点和单元荷载部分。
压力可以作为表面荷载施加在单元各个表面上，如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。
正压力指向单元内部。
可以输入温度和流量作为单元节点处的体载荷。
节点 I 处的温度 T(I) 默认为 TUNIF。
如果不给出其它节点处的温度，则默认等于 T(I)。
对于任何其它的输入方式，未给定的温度默认为 TUNIF。
对于流量的输入与此类似，只是默认值用零代替了TUNIF。
KEYOPT(1)用于指定包括或不包括附加的位移形函数。
KEYOPT(5)和KEYOPT(6)提供不同的单元输出选项（参见单元输出部分）。
当KEYOPT(2)=1时，该单元也支持用于沙漏控制的均匀缩减（1点）积分。
均匀缩减积分在进行非线性分析时有如下好处：∙相对于完全积分选项而言，单元刚度集成和应力（应变）计算需要更少的CPU时间，而仍能获得足够精确的结果。
∙当单元数量相同时，单元历史存储记录（.ESAV 和 .OSAV）的长度约为完全积分（2×2×2）的1/7。
abaqus 单元刚度矩阵
Abaqus 单元刚度矩阵——解析有限元分析中的基本工具引言（Introduction）：有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种广泛应用于工程和科学领域的数值模拟方法。
它通过将复杂的连续体划分为简单的几何形状，并对每个几何单元进行数学建模，来近似求解实际问题。
在有限元分析中，单元刚度矩阵是一个重要的概念，它描述了单元的刚度特性，对于计算整体系统的行为非常有用。
本文将重点介绍Abaqus软件中的单元刚度矩阵。
首先，我们将简要回顾有限元分析的基本概念和步骤。
接着，我们将探讨单元刚度矩阵的定义和计算方法。
然后，我们将通过一个简单的示例案例来说明单元刚度矩阵的应用。
最后，我们将总结单元刚度矩阵在有限元分析中的重要性和应用前景。
有限元分析基础（Basics of Finite Element Analysis）：有限元分析的基本步骤通常包括几何建模、网格剖分、物理特性分配、边界条件设置和结果解析等。
在进行数学建模时，连续体被分割成称为单元的小体积区域，每个单元内部的行为则通过数学公式进行描述。
这些单元通常是三角形、四边形、六面体等几何形状。
单元刚度矩阵的定义（Definition of Element Stiffness Matrix）：单元刚度矩阵是描述单元在给定边界条件下的刚度特性的矩阵。
它由单元的几何属性、材料特性和积分算法决定。
在Abaqus软件中，单元刚度矩阵是通过数值积分方法计算得出的。
单元刚度矩阵计算方法（Calculation of Element Stiffness Matrix）：单元刚度矩阵的计算涉及到单元的几何形状、材料特性、积分算法等因素。
不同类型的单元有不同的刚度计算方法，通常包括弹性理论和数值积分。
以Abaqus中的三角形单元为例，其刚度矩阵通常可以通过以下步骤计算：1.定义单元的几何属性，如节点坐标。
2.根据几何属性和材料特性，计算出单元的刚度矩阵表达式。
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
有限元分析1
有限单元法的形成与发展
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具。
根据结点的平衡条件，得
( Fxie ) FLxi å e ( Fxje ) FLyi å e
e
单元e的结点力，用结点位移表示，代入得到用结点位移 表示的平衡方程。 K FL 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后， 可进一步求出各单元的应力。
3 单元位移函数
2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
¼ Í
2-7
2 有限单元法的计算步骤
1、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体 来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由 有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单， 因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点 处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
有限单元法的形成与发展
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题 等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问 题称为连续系统。 尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答 。对于 许多实际的工程问题 ，还无 法给出精确的解答，例如图 示V6引擎在工作中的温度分 布。为解决这个困难 ，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法。
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵【实用版】目录1.什么是单元刚度矩阵2.单元刚度矩阵的作用3.如何计算单元刚度矩阵4.举例说明单元刚度矩阵的应用5.总结正文一、什么是单元刚度矩阵单元刚度矩阵是在结构力学中，用来描述梁单元在弯曲或扭转过程中的刚度特性的矩阵。
它可以用来计算结构在受力情况下的变形，或者用来分析结构的稳定性。
单元刚度矩阵是由梁单元的几何参数和材料性能决定的，因此在不同的受力情况下，单元刚度矩阵可能会发生变化。
二、单元刚度矩阵的作用单元刚度矩阵在结构力学中有着非常重要的作用。
首先，它可以用来计算结构在受力情况下的变形。
在有限元分析中，我们将结构划分为许多小的单元，然后通过计算每个单元的刚度矩阵，可以得到结构在受力情况下的变形。
其次，单元刚度矩阵可以用来分析结构的稳定性。
通过分析单元刚度矩阵的特征值和特征向量，可以判断结构在受力情况下是否稳定。
三、如何计算单元刚度矩阵计算单元刚度矩阵需要考虑梁单元的几何参数和材料性能。
在计算过程中，需要先计算出梁单元的转动惯量和侧向位移。
然后，通过位移法整理得到梁单元刚度矩阵。
具体的计算过程可能会涉及到一些复杂的数学运算，但是通过专业的结构力学知识可以得到正确的结果。
四、举例说明单元刚度矩阵的应用假设我们有一个梁结构，它由三个单元组成。
我们需要计算在施加一定荷载情况下，梁的变形情况。
首先，我们需要计算每个单元的刚度矩阵。
然后，将每个单元的刚度矩阵组合成一个总的刚度矩阵。
接着，我们将荷载作用在梁的节点上，并使用总的刚度矩阵计算出每个节点的位移。
最后，我们可以通过位移计算出梁的变形情况。
这个过程充分说明了单元刚度矩阵在结构力学中的应用。
五、总结单元刚度矩阵是描述梁单元在弯曲或扭转过程中的刚度特性的矩阵。
它可以用来计算结构在受力情况下的变形，或者用来分析结构的稳定性。
单元刚度矩阵的计算需要考虑梁单元的几何参数和材料性能，通过专业的结构力学知识可以得到正确的结果。
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Fξ j(2) x
l
0
1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
N1 (l x) l; N2 x l
u
x 0
l l
u1
x0 l 0
u2
u
N1
N2
uu12
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
代入 ，有
令 1 1 ; 2
所以单元内点位移为
单元应变
N1 1 ; N2
得 N1 1; N2 2
u(x) 1
2
uu12
du dx
Al BT
DBdx
EA 3l
1
7 8
元素的计算
8 8 16
k11
EA l2
l 0
(41
2
1) dx
EA 7 3l
可以直接应用
x2 x1
1mn2dx
( x2
x1 )
(m!)(n!) (m n 1)!
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
EA l2
l 0
(42
1)2dx
EA 7 3l
k33
EA l2
l 0
(41
42
)2dx
EA 16 3l
k12
EA l2
l
0 (42 1)(42 1)dx
EA 1 3l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数
2.Hermite型形状函数
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
2.三次梁单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
2.矩形单元
四、三维单元及其单元刚度阵
1.六面体单元
2.四面体单元
3.曲线等参元
第三章 单元类型及单元刚度矩阵
u1
所以单元内点位移为
u(x) N1
N2
N
3
u2
单元应变
u3
1 dN1
l
d
dN2
d
dN1
d
uu12 u3
B
e
几何矩阵为
B
1 l
(41
1)
(42 1)
(41 42 )
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
单元应力为 E D E
单元刚度矩阵
7 1 8
k e
Ni X j 0
m
2. Ni Xi 1
i 1
3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续
工程4实.保际证中所有定一义种位结移构函，数特反征映为常：应存变在状一态个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同， 一维单元又可分为杆单元和梁单元。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,
三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0
1
x xi x xj
1 1 ; 2
F
Fξ
i(1)
(3)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
u(
x)
(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1
(
x
0)(x l(l )
l 2
)
u2
(x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
二维单元的帕斯卡三角形
1
x
y
x2
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
一、形状函数类型及其特征
1
x
y
三
z
维 的
x2
xy
y2
帕
zx
yz
斯
z2
卡
x3
x2 y
xy 2
y3
三
zx 2
xyz
y2z
角
z2x
yz 2
形
z3
一、形状函数类型及其特征
形状函数应该满足以下条件
1.
Ni
X
l
1 0
l i l i
Ni Xi 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。
有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即
u~(x) m Ni (x)qi i 1
这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange 和Hermite型。
V
AlBT DB
代入，得
EA 1 l 1
1
1
这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时， 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：
ke
GJ l
1 1
1
1
Mn
Mn
ξ
i(1)
j(2) x
l
二、一维单元及其单元刚度阵
du
d
d
dx
1 du
l d
1 l
dN1
d
11 l
1uu12
B
e
dN2
d
uu12
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
所以，几何矩阵为 B 1 l 1 l
单元应力为 E
D E 弹性矩阵
单元刚度矩阵通式为 k e BT DBdV
k e AlBT DBdx