第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵

l

平面梁单元的单元的刚度方程为:
 EA 0  l  12EI N  i  0 Q  l3   i 6 EI  0    M i   l2     EA N j   0  Qj   l 12EI    0   M j    l3  6 EI 0   l2  EA l 0 0 EA l 0 0    6 EI   u   2  i l  v  2 EI   i   i   l    u  0  j   v j  6 EI      l 2  j  4 EI   l  0

K

(e)

• 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
K (e )

(e ) K ii   (e )  K ji (e )  K ij (e )  K jj  

其中每个都是3×3的方阵，子块 K(e)ij表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。

（4）一端刚结点另一端铰结点 的梁单元

vj

x
1

l

12EI l3

6EI l2

x

Mj

 6EI l2

2 EI l

6 EI l2

4 EI l

l
x θ =1
j
2EI l

y

EI

2

x

2EI l

y

0j 1 6EI l2

4EI l

x

0j

4EI 6EIl 1 l2 6EI l2

x

EI

2

6EI l2

l

分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， θj=1 作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯 矩及右端截面的轴力、剪力、弯矩。由此可得 单元的刚度方程：
(e)

FQj

T
F3 F1 C F2

F4 F5

或： F(e)  N Q M N Q i i i j j




T

根据单元的刚度矩阵的物理意义,由梁单元受力和变形可以 列出该单元的单元刚度矩阵为:

平面一端刚结点另一端铰结点梁单元的单元刚度矩阵
v vii y y
1 1 3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3 3EI 3EI l3 l3

0  6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l



0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2

平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为:
 EA  l  0   0   EA  l   0   0  0 12EI 3 l  6EI 2 l 0  12EI 3 l  6EI 2 l 0  6EI 2 l 4EI l 0 6EI 2 l 2EI l  EA l 0 0 EA l 0 0 0  12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0     6EI 2 l  2EI  l   0  6EI  2 l  4EI  l  
1 1

l l
3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3

 3EI l2

3EI l

3EI l2

0
 3EI l3

0
3EI l2

0
3EI l3

vj=1

l l

3EI 3EI l3 l3

Qj

0

0

分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， 作用下，杆左右端 截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。由此可得单 元的刚度方程：

单元刚度矩阵物理意义
利用矩阵乘法,展开可得：

F1  k11u1  k12u 2  k13u3  k14u 4  k15u5  k16u6 F2  k 21u1  k 22u2  k 23u3  k 24 u4  k 25u5  k 26u6 F3  k31u1  k32u2  k33u3  k34u4  k35u5  k36u6 F4  k 41u1  k 42u2  k 43u3  k 44 u4  k 45u5  k 46u6 F5  k51u1  k52u2  k53u3  k54u 4  k55u5  k56u6 F6  k 61u1  k 62u 2  k 63u3  k 64u 4  k 65u5  k 66u6

ui=1
x x

vi =1

θi=1

uj=1

vj=1

vi=1

Ni

EA l

0
3EI l3

0
 3EI l2

 EA l

0
 3EI l3

l l y y
3EI 3EI l l

Qi
x x
3EI 3EI l2 l2

0 0
 EA l

0 0
EA l

θi=1

3EI 3EI l2 l2

0 0ii

1 1

Mi
Nj
v vjj

uj=1
x

EA l

y

6EI l2

l l

l

l
y
6EI l2

2EI EI l 6EI l x l2 EI uj 1 6EI l l2 uj 1 EA l

Mi
x

2EI l

y

12EI l3
0j 1
j

12EI l3

6EI l2

 6EI l2
x 4 EI

0 0
EA l

 6EI  12EI l2 l3

2EI l

• 如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位 值(ui=1，其它为0) 时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵中 的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力。 • 矩阵中第r行s列的元素krs，表示第s号位移为一单位值时引 起沿第r个杆端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以单元 刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可由结 构力学中位移法的刚度方程中获得。

y
Mi

则：
δ
(e)

j
FQi

 ui vi i u j v j  j
FQi Mi FNj FQj

i
T

FNi
T

F  FNi
(e)

M j

或：F

(e)

 Ni Qi

Mi

N j Qj

M j

T

注意：杆端力与内力的符号规定不尽相同。


根据单元的刚度矩阵的物理意义,由梁单元受力和变形及前 面等截面直杆的刚度方程可以列出平面两端刚节点梁单元 的单元刚度矩阵为:

y u j (2) 平面桁架单元 l
i

FNi

i

FNj

x

• 平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力也只有轴力；
y
FNi

y
FNj

i ui l j

x

FN i

j i l

FNj

x

uj

  

单元的杆端力向量可表示为: F(e)={FNi 0 FNj 0 } T y 单元杆端位移向量可表示为 ：δ(e)={ui vi uj vj } T x Fi j Fj 根据单元刚度矩阵的物理意义, 由 u  FNl  FN  EA u 得单 EA l uj i 元的刚度方程为 : l

 若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 则单元刚度 矩阵为:
K (e)

 EA 0  l  0 3EI  l3   3EI  0 2 l  EA 0  l   0  3EI l3 

0  3EI l2 3EI l 0 3EI l2

 EA 0   l  0  3EI l3  3EI  0 l2   EA 0  l  3 EI  0 3 l 

EI l

EA l

y ui

ui

1

ui
1

l
1

EI l

x

EI l

ui=1
y vi
1

l

EA l

x
y x
6EI l2

u 平面梁单元的单元刚度矩阵 l
j

l

EI uj l

1

x

1

l
12EI l3

6EI l2

ui=1
6EI 12EI l2 3 l 12EI l3

vi =1

θi=1
vj
6EI l2

uj=1
1

vj=1

θj=1
N N

 FNi   EA  0   l    0     EA FNj   l   0     0

0  EA 0  u i    l 0 0 0  v i  EA 0 u j  0   l v  0 0 0  j 

vj

 w
j

T

T

K ( e)

(6) 空间刚架单元
• 空间刚架单元每个节点具有应有6个自由度，即沿三个坐 标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角 。杆端位 移和杆端力向量均为12阶。


单元的杆端力向量可表示为:
(e)

F  FNi FQiy FQiz Mix Miy Miz  FN j FQ jy FQ jz M jx M jy M jz

y

6EI l2

 6EI 2 4EI l6EI l 0 1
l2

4EI l

x

l

6 EI l2

2 EI l

Nj

 EA l

6EI l2

l

l

0

6EI l2

0
6 EI l2

0
12EI l3

0
6 EI l2

x

u l
12EI l3
j

1

y

vj
6EI l2

Qj
1

0 0

 12EI l3

0 0

vj=1

x

6EI 12EI l2 3 l 12EI l3

y 6EI vi l 21

vi=1

6EI 12EI 2 l l3

x

Ni

y

EA l

0
l

12EI l3

vj

0x
x

1

 EA l

0

0

6EI l2

1பைடு நூலகம்EI l3

l

12EI l3

l

Qi
x x

0 0

l

EI l

θi=1
x

4EI l EI 4EI ll

y yy
0i 6EI l2 1

2EI l

EI l

x

EI l

y

0i 1
 EA  l  0    0  EA  l  0    0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l 0 0 EA l 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0  0 0 

(e)

  u

0 0

FN j

0 0

vi

wi

uj

 若单元 i 端为铰结点， j 端 为刚结点, 同样可建立起单 元刚度矩阵:

(5) 空间桁架单元
• 空间桁架单元每个节点具有x、y、z方向的三个位移分量。
   

单元的杆端力向量可表示为:

F

(e)

 FN i
i

单元杆端位移向量可表示为 ：  (e) (e) (e) 单元的刚度方程为： F  K  根据单元刚度矩阵的物理意义得:
 F1   k11  F  k  2   21   F3   k31    F4  k 41  F5  k51      F6    k61 k12 k 22 k32 k 42 k52 k62 k13 k 23 k33 k 43 k53 k63 k14 k 24 k34 k 44 k54 k64 k15 k 25 k35 k 45 k55 k65 k16  u1  u  k 26   2  k36   u3     k 46  u4  k56  u5    k66   u6  
• 铰支端一般只有两个位移需计算. 铰结点的转角位移可认为 它是不独立的而不予考虑. 这样单元的杆端位移向量及杆端 力向量都只有五阶. 单元刚度矩阵为5×5:
E

F (e)  K (e)δ(e)

如梁右端为铰结点，则：
δ
(e)

C



 {ui

vi i u j
FQi Mi

v j}
FNj

T

A

B E

F  FNi

则刚度矩阵：

1 0 (e) K   1  0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 EA  0 l  0

（3）平面两端刚结点梁单元
• 平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力： 轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为：
F
(e)

K δ
(e)

(e)

Mj

x
FN j FQj

 EA 0  EA 0 0  l  l  3 EI 3 EI 3 EI  0 0  3  2  3  l l l  (e) EA 0 0 0  K   EA l  l  3 EI 3 EI 3 EI  0   3 0 3 2 l l l   3EI 3EI   0  3EI 0 2 2 l   l l  
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
 单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚

度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 刚度矩阵。

（1）单元刚度方程


单元的刚度方程：

F (e)  K (e)δ(e)

– 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移 δ(e) 与杆端 力F(e)之间的关系. – 其中矩阵K(e) 称为单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是 一个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。如杆端位 移δ(e)和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。