初中数学竞赛 知识点和真题 第15讲 待定系数法
待定系数法的应用
数学知识点总结——待定系数法的运用待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法，它的重要性不仅体现在某一类型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏”，让原本复杂繁琐的难题巧妙进行巧妙地简化。
理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。
下面我们就一起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
1. 设K 法六年级：设K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一个和K 有关的式子表示出来。
变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用，以一替多。
那什么时候该用设K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去用设k 法的——条件含比例条件有连等式第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：例1： 自然数A B 、满足111182A B -=，且:7:13A B =，求A B +分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设k ，即能把两个未知数都用一个关于k 的式子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所谓的利用设K 法“降维”。
解： 设7,13A k B k == 则有11111713182A B k k -=-=，进行通分 13761919191182k k k -== 求得12k =，故20240A B k +==如果说比例式用设k 法还算比较明显的话，那么连等式的技巧就没那么容易想到。
而越难想到的点就越能成为杀手锏：K ⎫⎬⎭设法例2： 已知,247x y z ==求： （1）::x y z（2）求x y x z ++的值 （3）若2358x y z ++=，求,,x y z 的值分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设k 法快速求解。
解： 令247x y z k ===，则有2,4,7x k y k z k === （1）::2:4:7x y z k k k =即::2:4:7x y z =（2）24622793x y k k k x z k k k ++===++ （3）2344212958x y z k k k k ++=++==即2k =因而4,8,14x y z ===有没有发现设k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数板块，也会出现类似的“难题”！七年级：例3： 设333200620072008,a b c ==且0abc >= 求111a b c++分析：该题乍看之下并没有什么思路，而一旦陷入繁琐的计算，那么心情也会跟着一同浮躁。
浅谈待定系数法法在初中数学教学中的应用
浅谈待定系数法法在初中数学教学中的应用一、待定系数法对于所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.二、待定系数法解题的一般步骤是：第一步 根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；第二步 利用恒等式对应项系数相等的性质。
列出含有待定系数的方程组；第三步 解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解决.三、待定系数法的应用（一）利用待定系数法因式分解例1 k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是22++y x ？分析： 因222y xy x -+=()y x 2+()y x -，故原多项式必为（22++y x ）（n y x +-）的形式. 解：设k y x y xy x +++-+108222=（22++y x ）（n y x +-）=()()n y n x n y xy x 2222222+-+++-+， 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=+n k n n 2,102282 解得12=k . 所以k =12时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是22++y x . （二）利用待定系数法确定函数解析式已知一条抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（1，3），求这条抛物线的解析式.分析：根据题意，可设()22-=x a y ，再由已知条件确定出a 值即可. 解：设()22-=x a y ，因为抛物线经过点（1，3），所以3=()221-a ，所以3=a ， 所以这条抛物线的解析式为()223-=x y =121232+-x x .(三）利用待定系数法解决分式的拆分问题例3 把2432--+x x x 化为部分分式和的形式.分析：先把原分式分母分解因式，据此确定部分分式分母.因为分母()()1222+-=--x x x x ，故可设 2432--+x x x =2-x A +1+x B ，通过计算，比较分子，建立A 、B 的等式. 解：设2432--+x x x =2-x A +1+x B ，则2432--+x x x =()()2212---++x x x B x A =()222---++x x B A x B A ,得⎩⎨⎧=-=+423B A B A ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31310B A .所以2432--+x x x =()2310-x －()131+x .。
初中竞赛培优 待定系数法
A卷01．已知−3≤4a−3b≤3，5≤9a+b≤17，求2a+7b的最小值和最大值。
02．已知ax3+bx2−18x+8≡(ax+2)(x2+3x+4)，求a和b的值。
03．已知一个关于x的三次多项式，当x取2和3时，多项式的值都为0；当x取−2、−3时，多项式的值分别为40与30，求这个三次多项式。
04．已知2x+3∣2x3−9x2+n，求n的值。
05．已知x2−4∣3x3+2x2+ax+b，求a+b的值。
06．已知x−2、x＋3都能整除多项式x4+ax3−4x2+bx−12，求a、b的值。
B卷01．有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台、钢笔6支、书包2个共需302元；若购买收录机5台、钢笔11支、书包3个共需508元，问购买收录机、钢笔、书包各一个共需多少元？02．已知x+1、x+2都能整除多项式x3+ax2+bx+8，求a+b的值。
03．若x3+ax2+4x+c≡(x+d)(x2+3x−4)，求7a−b+c的值。
04．已知x2−y2+mx+5y−6≡(x+y+n)(x−y+k)，求m、n、k的值。
05．已知x4−6x3+13x2+ax+b是完全平方式，求a、b的值。
06．一个多项式除以x+2余1，除以x+3余−1，求这个多项式除以(x+2)(x+3)的余式。
C卷01．将5x2+8x−7表示成a(x−1)+b(x−1)+c的形式。
02．将x4+2x3+2x2表示成两个次数不同的多项式的平方差。
03．设p(x)=x2+bx+c，b、c是整数。
若p(x)︱x4+6x2+25，且p(x)︱3x4+4x2+28x+5，则当x=1时p(x)的值(即p(1))是多少？04．已知221A B3212xx x x x+≡+-+--，求A与B的值。
05．已知()2258A B4422xx x x x-≡+-+--，求A与B的值。
初中数学自招专题12 拆项、添项、配方、待定系数法(详解版)
专题12拆项、添项、配方、待定系数法考点点拨添项拆项法：有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解．通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法．一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解．如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的．待定系数法：有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式．然后再把积乘出来．用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式．换元法：所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫．换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用．（1）使用换元法时，一定要有整体意识，即把某些相同或相似的部分看成一个整体．（2）换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元．（3）利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”．典例精选1．（西湖区校级月考）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b＝（）A．4B．0C．2D．﹣2【点拨】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．【解析】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b +2）2+c 2＝0，∴b ＝﹣2，c ＝0，∴a ＝b +4＝2．∴a +b ＝0．故选：B ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．2．计算√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n （n ≥2的整数）的值等于 100 ． 【点拨】分别将n ＝2、n ＝3、n ＝4分别代入被开方数总结出规律，根据总结的该规律，列出完全平方式，然后开n 次方即可．【解析】解：当n ＝2时，99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝（102）2；当n ＝3时，999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝（103）2＝（102）3；当n ＝4时，9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝（104）2＝（102）4．…当n ＝n （n ≥2的整数）时，99…9×99…9+199…9＝99…92+2×99…9+1＝（99…9+1）2＝（10n ）2＝（102）n ．所以，√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n =102＝100；故答案是：100．【点睛】本题考查了拆项、添项、配方、待定系数法．此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．3．已知a +2b +3c ＝6，则a 2+2b 2+3c 2的取值范围是 大于等于6 ．【点拨】根据代入法将a ＝6﹣2b ﹣3c 代入a 2+2b 2+3c 2，即可求出b ，c 的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．【解析】解：∵a +2b +3c ＝6，∴a ＝6﹣2b ﹣3c ，∴（6﹣2b ﹣3c ）2+2b 2+3c 2＝36+4b 2+9c 2﹣24b ﹣36c +12bc +2b 2+3c 2＝6（b 2+2c 2﹣4b ﹣6c +2bc +6）＝6[（b 2+2bc +c 2﹣4b ﹣4c +4）+（c 2﹣2c +1）+1]＝6[（b +c ﹣2）2+（c ﹣1）2+1]＝6（b +c ﹣2）2+6（c ﹣1）2+6≥6，∴a 2+2b 2+3c 2的取值范围是：大于等于6．故答案为：大于等于6．【点睛】此题主要考查了拆项、添项、配方法的综合应用，根据已知得出关于b ，c 的完全平方公式是解题关键．4．设实数a ，b ，c 满足2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)，那么a −b c 的值为 45 ．【点拨】将右边去括号、移项，然后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，从而利用完全平方的非负性可得出a 、b 、c 的值，进而代入可求出答案．【解析】解：整理2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)可得：2a ﹣2√2a +b ﹣4√b +1+c ﹣6√c −1+14＝0，配方可得：[(√2a)2−2√2a +1]+[(√b +1)2−4√b +1+4]+[(√c −1)2−6√c −1+9＝0，即(√2a −1)2+(√b +1−2)2+(√c −1−3)2=0，从而有：√2a =1，√b +1=2，√c −1=3，解得：a =12，b ＝3，c ＝10，∴a −b c =810=45． 故答案为：45．【点睛】此题考查了拆项、添项、配方的知识，难度较大，关键是移项后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，要求我们能熟练运用完全平方的非负性解题．5．（1）分解因式：x 7+x 5+1（2）对任何正数t ，证明：t 4﹣t +12＞0．【点拨】（1）首先把因式添项x 6再减去x 6，然后因式分解，再提取公因式即可，（2）根据题干t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）可知，两个完全平方式不可能小于0，结论可证．【解析】解：（1）x 7+x 5+1＝x 7+x 6+x 5﹣x 6+1＝x 5（x 2+x +1）﹣（x 3+1）（x 3﹣1）＝（x 2+x +1）[x 5﹣（x ﹣1）（x 3+1）]＝（x 2+x +1）（x 5﹣x 4+x 3﹣x +1），（2）t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）＝（t 2−12）2+（t −12）2≥0因为（t 2−12）2与（t −12）2不可能同时为0，故等于不成立，因此有：t 4﹣t +12＞0．【点睛】本题主要考查拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．6．将5x 3﹣6x 2+10表示成a （x ﹣1）3+b （x ﹣1）2+c （x ﹣1）+d ．【点拨】根据立方差公式以及完全平方公式即可得出关于a ，b ，c ，d 的关系式求出即可．【解析】解：原式＝a （x 3﹣3x 2+3x ﹣1）+b （x 2﹣2x +1）+c （x ﹣1）+d ，＝ax 3﹣（3a ﹣b ）x 2+（3a ﹣2b +c ）x ﹣（a ﹣b +c ﹣d ），则{a =53a −b =63a −2b +c =0a −b +c −d =−10， 解得{a =5b =9c =3d =9， ∴5x 3﹣6x 2+10＝5（x ﹣1）3+9（x ﹣1）2﹣3（x ﹣1）+9．【点睛】此题主要考查了立方差公式以及完全平方公式的应用，根据已知得出a ，b ，c ，d 的值是解决问题的关键．精准预测1．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b a +c b +a c =3，则以下说法正确的是（ ）A ．a ，b ，c 可能相等，也可能不等B ．a ，b ，c 相等C ．a ，b ，c 不相等D ．以上说法都不对【点拨】设b a =x 3，c b =y 3，a c =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c b •a c=1，即xyz ＝1，再根据a ＞0，b ＞0，c ＞0得出x ＞0，y ＞0，z ＞0，故可得出x 、y 、z 的关系，进而得出b a=c b =a c ，由此可得出结论． 【解析】解：设b =x 3，c =y 3，a =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c •a =1，即xyz ＝1，由已知可得：x3+y3+z3﹣3xyz＝0，即（x+y+z）（x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz）＝0∵a＞0，b＞0，c＞0，∴x＞0，y＞0，z＞0，∴x+y+z＞0∴x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz＝0，即：x＝y＝z∴ba =cb=ac，即a2＝bc，b2＝ac，c2＝ab，由a2＝bc，b2＝ac，得a＝b由b2＝ac，c2＝ab得b＝c∴a＝b＝c故选：B．【点睛】本题考查的是拆项、添项、配方及待定系数法，此题中先根据题意得出x、y、z的关系是解答此题的关键．2．若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点拨】首先把10ab变为8ab+2ab，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．【解析】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，∴a2b2+8ab+16+a2+b2+2ab＝0，∴（ab+4）2+（a+b）2＝0，∴ab＝﹣4，a+b＝0，∴a＝2，b＝﹣2或a﹣2，b＝2，∴点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点睛】此题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，解题时首先通过分解因式变为两个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．3．If polynomial（多项式）5x3﹣34x2+94x﹣81can beexpressedas（表示成）a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，thennumericalvalue（数值）of ad+bc is﹣17．【点拨】根据5x3﹣34x2+94x﹣81能拆成a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，即可得出关于a，b，c，d的方程组求出即可．【解析】解：原式＝a（x3﹣6x2+12x﹣8）+b（x2﹣4x+4）+c（x﹣2）+d，＝ax3+（b﹣6a）x2+（12a﹣4b+c）x+（﹣8a+4b﹣2c+d），∴{a=5b−6a=−3412a−4b+c=94−8a+4b−2c+d=−81，解得：a＝5，b＝﹣4，c＝18，d＝11，∴ad+bc＝5×11﹣4×18＝﹣17．故答案为：﹣17．【点睛】此题主要考查了多项式的拆项以及完全平方公式以及立方差公式的应用，根据已知得出关于a，b，c，d的方程组是解决问题的关键．4．如果√x−3+√y+1=12（x+y），那么x+y＝4．【点拨】设√x−3=a，√=b，然后再两边平方后将原式变形成为两个完全平方式，根据非负数和为0的定理求出a、b的值，从而求出x、y的值而得出结论．【解析】解：设√x−3=a，√y+1=b∴a2＝x﹣3，b2＝y+1∴x＝a2+3，y＝b2﹣1∴x +y ＝a 2+b 2+2∴12（x +y ）=12(a 2+b 2+2) ∴原式变形为：a +b =12(a 2+b 2+2)2a +2b ＝a 2+b 2+2∴a 2+b 2+2﹣2a ﹣2b ＝0∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＝0∴a ＝1，b ＝1∴√x −3=1，√y +1=1∴x ＝4，y ＝0∴x +y ＝4．故答案为：4．【点睛】本题是一道实数的运用题，考查了数学的换元思想、拆项、添项、配方、待定系数法以及非负数和为0的定理的运用．5．计算：2002×20032003﹣2003×20022002．【点拨】首先把20032003拆成2003×10001，再将20022002分解为2002×10001，然后计算可得到答案．【解析】解：原式＝2002×2003×10001﹣2003×2002×10001＝0．【点睛】此题主要考查了拆项和提公因式法进行计算，解题的关键是把20032003、20022002拆项．。
中考数学二轮专题复习：待定系数法
中考数学二轮专题复习：待定系数法以下是查字典数学网为您引荐的中考数学二轮专题温习：待定系数法，希望本篇文章对您学习有所协助。
中考数学二轮专题温习：待定系数法
关于某些数学效果，假定得知所求结果具有某种确定的方式，那么可研讨和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果.经过变形与比拟.树立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使效果获解.这种方法称为待定系数法.
【范例讲析】：
【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，-1)三点.
(1)求这个函数的解析式.
(2)求函数与直线y=-x+1的交点坐标.
【例2】一次函数的图象经过正比例函数的图象上的A、B 两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是2。
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)假定一条抛物线经过点A、B及点C(1，7)，求抛物线的解析式。
【闯关夺冠】
1.：正比例函数和一次函数图象的一个交点为(-3，4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，区分确定
这两个函数的解析式。
2、如下图，抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标区分是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式.
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浅谈待定系数法在初中数学中的应用
浅谈待定系数法在初中数学中的应用浅谈待定系数法在初中数学中的应用浅谈待定系数法在初中数学中的应用待定系数法在初中数学中应用的非常广，学生在解答很多类的题型中都可以利用。
本文对待定系数法的概念进行分析，并分析待定系数法在数学中的解题步骤，最后对待定系数法在初中数学中的具体应用进行分析，并对每种类型的题目都举例分析，在详细的解答过程中分析待定系数法在初中数学中的具体应用。
关键词：待定系数法；初中数学；方程式摘要 (1)引言 (3)一、待定系数法的基本理论 (3)（一）待定系数法的定义 (3)（二）待定系数法的解题基本步骤 (3)二、待定系数法在初中数学解题中的应用 (4)（一）待定系数在因式分解中的应用 (4)（二）待定系数法在求函数解析式中的应用 (5)（三）待定系数法在数列中的应用 (8)（四）待定系数在解方程中的应用 (10)（五）待定系数在证明题中的应用 (11)（六）在求数列通项公式中的应用 (11)（七）待定系数在几何中的应用 (12)三、总结 (16)参考文献 (17)在初中数学解题的过程中，很多题目如果采用一种巧妙的解答方式，可以省去很多的时间，改变传统的解题方法有助于帮助学生获得高分。
待定系数法在初中数学解题中应用的非常多，很多题目都能运用此方法，从而轻松解题, 待定系数法是众多数学方法中易于掌握并行之效的方法。
待定系数法是一种重要的数学方法, 它是在知道问题答案形式的前提下, 通过引入一些待定的系数, 转化为方程组来解决的一种解题思路, 从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。
我们通常所指的待定系数法, 其实就是待定常数法, 所求解的系数为常数。
其实待定系数法还应该包含一层含义, 就是所要求解的系数有可能不是一个常数, 而是一个函数。
本文将在介绍狭义待定系数法的基础上, 对其做一定的推广。
一、待定系数法的基本理论（一）待定系数法的定义待定系数法的定义是指利用已知的条件来确定某一个数学表达式中的待定参数的值或一个解析式，从而计算出该题答案的一种方法。
数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：待定系数法
选择题解法归纳总结待定系数法待定系数法是一种常用的数学方法,对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数。
对于待定系数法方法的使用，笔者将另文详细解析。
典型例题：例1：等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =则C 的实轴长为【 】()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C 。
【考点】双曲线和抛物线的性质。
【解析】x y 162=的准线:4l x =-。
∵C 与抛物线x y162=的准线交于,A B 两点,AB =∴(4,A -，(4,B --。
设222:(0)C x y a a -=>，则222(4)4a =--=，得2a =，24a =.故选C 。
例2：已知等差数列{}n a 的前n 项和为55=5=15n S a S ，，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为【 】A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A 。
【考点】等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，裂项求和的综合运用.【解析】通过已知55=5=15a S ，,列式求解，得到公差与首项，从而得{}n a 的通项公式，进一步裂项求和:设等差数列{}n a 的公差为d ,则由55=5=15a S ，可得1114=5=1=54=15=152n a d a a n d a d +⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⨯+⎩⎪⎩. ∴()11111==11n n a a n n n n +-++.∴100111111100=1=1=223100*********S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
故选A.例3：已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为【 】A.25π B 。
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第15讲 待定系数法
给我五个系数，我将画出一头大象；
给我六个系数，大象将会摇动尾巴。
——柯西
知识方法扫描
在解答一些与多项式相关的问题时，可先设出某些尚待确定的系数，然后根
据已知条件来确定这些系数的值，从而解决问题，这样的方法，称为待定系数法。
确定待定系数的办法因题而异，其中使用得最多的是恒等式的概念和多项式
的恒等定理:即如果两个化简后的多项式恒等，那么它们对应的同次项的系数分
别相等。
经典例题解析
例1．(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如果2x2 - 3x -1与
a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式，那么cba=
解法1 由已知
2x2-3x-1 =a(x-1)2+b(x-1)+c
= ax2 - 2ax+a十bx -b+c
=ax2+（b- 2a）x+a-b+c
根据恒等式的性质
1,32,2cbaaba 解得
.2,1,2c
b
a
所以25212cba
解法2 由已知
2x2-3x-1=a (x-1)2+b (x-l) +c
根据恒等式的意义，当x取0、1、2时，等式仍然成立
所以 .1,2,1cbaccba 解得 .2,1,2cba
故 23212cba
评注 解法1是根据恒等式的性质，比较等式两边的同次项系数，得到关于
待定系数的方程组，从而求出未知系数的值．因此，这种方法又叫比较系数法；
解法2是根据恒等式的意义，对a赋以不同的值得到关于未知系数的方程组，
2
从而求出未知系数的值，这种方法又叫做赋值法．
例2．(1983年黄石市初中数学竞赛试题)设)(xf为x的多项式，当1ax时，
)(xf的值是 152)1(2aaaf，试求出多项式)(xf
解 设CaBaAaf)1()1()1(2，则
)1(152)1()1(22aaCaBaA
令1a，代入(1)中即得C=8．再将C=8代入(1)中又得
)72)(1(752)1()1(82aaCaaBaA
从而即有 )2(72)1(aBaA
又令a=-l代入(2)中即得B=-9．最后令a=0以及B=-9，C=8代入(1)中得A=2，
于是8)1(9)1(2)1(2aaaf。故所求的多项式为892)(2xxxf。
例3．（2002年“五羊杯”数学竞赛试题）已知
32
2222
2361(1)(3)13xxxAxBCxDxxxx
，其中A，B，C，D为常数，则A= 。
解 通分，并比较等式两边的分子可得
2x3-3x2+6x-1=(Ax+B)(x2+3)+(Cx+D)(x2+1)，
即 2x3-3x2+6x-1=(A+C)x3+(B+D)x2+(3A+C)x+3B+D
于是 -1D3B6C3A-3DB2CA， 解得 4D0C1B2A， 所以 A=2.
例4．(1998年北京市初中数学竞赛试题)多项式x2+axy+by2-5x+y+6的一个
因式是x+y-2，试确定a+b的值
分析 题目条件中给出了一个二次多项式，及一个一次因式，我们需要设出
另一个一次因式．观察已知二次式的二次项是x2、xy、by2，常数项是6，已知
一次因式的一次项是x、y，常数项是-2，所以另一个一次因式可以设为x+by-3.
解 由已知，可设另一个因式为x+by-3，则
x2+ axy+ by2 -5x +y+6
= (x+y-2)(x+by-3)
= x2+ (b+1)xy+ by2-5x- (2b +3)y+6
比较系数，得 1321bab, 解之，得21ba
所以a+b= -1-2= -3．
评注 关于x、y的一次式一般形式为Ax+By+C，其中含有三个待定系数，
当题设条件不能经观察确定A、B、C中某几个数值时，就要设成一般式．如果
3
本题中的另一个一次因式，设成 x+my+n，那么比较系数，得
得出1321bab, 从而求出a+b= -3．
原式= (x+y-2)(x+my+n) = x2+(1+m)xy+my2+(n-2)x+(n-2m)y-2n。
比较这两种设法，前者只需解一个二元一次方程组，而后者则要解一个四元一次
（五个方程）的方程组，大大增加了工作量。因此，应用待定系数法解题，要根
据题目的要求，恰当地设定未知系数。
例5．（1995年湖南常德市初中数学竞赛）当p,m为何值时，多项式
3
2xpx
能被21xmx整除？
解 设322(1)()xpxxmxxa，即
332
2()(1).xpxxamxamxa
比较两边同次项系数，得2,1,0.aampam 解得 2,5.mp
于是，当p＝－5，m=－2时，多项式x3+px－2能被x2+mx－1整除。
例6．（1993年浙江温州市初中数学竞赛）已知多项式32axbxcxd能被
x2+p整除，求证：ad=bc。
分析因为232()|(),xpaxbxcxd所以存在商式q(x)，使
322
()()axbxcxdxpqx
，
显然q(x)是一次因次，且首项系数为a,即322()()axbxcxdxpaxm（其
中m为待定系数）。由此推证ad=bc。
解 设商式为ax+m，则
322
()(),axbxcxdxpaxm
即 3232.axbxcxdaxmxapxmp
比较同次项系数，得
, (1), (2), (3)mbapcmpd
①代入③，得 bp=d ④
由②，得 .cpa代入④，得 .cbda所以ad=bc.