初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-求根公式
初三数学竞赛专题--求根公式
初三数学竞赛专题——求根公式一、选择题1．设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0 (全国初中数学联赛题) 答案：A2．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x (2002年重庆市竞赛题)答案：D3．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2．5 (北京市竞赛题) 答案：B4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A ．b a =B ．0=+b aC ．1=+b aD ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题)答案：D5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A 6．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )A ．2B ．1C ．3D ．4 (第十五届江苏省竞赛题) 答案：C7．已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 答案：C二、填空题8．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． (2001年北京市海淀区中考题) 答案：51±9．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．答案：310．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a 200012000120003+++的值为 ．(2003年河北省竞赛题) 答案：288935+ 11．满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．(2002年全国初中数学竞赛题)答案：4312．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．(2001年四川省中考题)答案：213．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)答案：7-或6三、解答题14．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值．答案：4115．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值． (四川省选拔赛题)答案：7=p ，1=q16．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．答案：（1）当1=m 时，2=x ；当1≠m 且1211>m 时，)1(21112212,1--±-=m m m x ；当1≠m 且1211=m 时，521==x x ；当1≠m 且1211<m 时，方程无实数根（2）2512,1+±=x （3）121-==x x ，5234,3±-=x 17．设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．(2000年重庆市竞赛题) 答案：62-18．解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．答案：6（1）当1=a 时，方程的根为21=x ；当0>a 且1≠a 时，方程有两个不相等的实数根11-+=a a a x ，12--=a a a x ；当0=a ，方程有两个相等的实数根021==x x ；当0<a 时，方程没有实数根19．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．(2003年全国初中数学联赛题)答案：由已知有：a x b -=1，12---=ax x a x c ，代入x d c =+1得0112=+---d ax x a x ，即01)2()1(23=++--+-ad x a d x ad dx ，又由x a d =+1得ax ad =+1，代入上面的方程得0)2)((3=--x x a d ，由已知0≠-a d ，故023=-x x ，若0=x ，则c a =矛盾，故有22=x ，即2±=x20．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ．答案：6 21．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．答案：2=m ，公共根α=122．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：ABBS 为无理数．(上海市竞赛题)答案：如图，设BC=a ，边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，由△ASR ∽△ABC ，得ay h x h =-，∴a h x h y ⋅-=，∵PQRS ABC nS S 矩形=∆，∴a h x h nx nxy ah ⋅-⋅==21，整理得02222=+-h nxh nx ，∴n n n h x 221212-±=，显然22)1(2-<-n n n ，又3≥n ，∴22)2(2->-n n n ，故n n 22-不是完全平方数，从而n x 为无理数，于是hx BA BS =为无理数23．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题) 答案：124．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值． 答案：199325．已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值． 答案：5。
奥林匹克数学题型一元二次方程
奥林匹克数学题型一元二次方程二次方程是数学中最常见且重要的方程之一，它的形式通常为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。
在奥林匹克数学竞赛中，一元二次方程常常作为题目的出发点，要求解题者根据方程的性质和特点，运用巧妙的数学方法来解决问题。
本篇文章将探讨奥林匹克数学竞赛中涉及一元二次方程的几种常见题目类型。
一、求根公式的应用在解一元二次方程时，求根公式是最经典的方法之一。
对于任意一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)在使用求根公式时，需要注意方程的系数以及判别式的正负。
当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程无实根。
例如，考虑一道典型的奥林匹克数学竞赛题目：已知方程x^2 - 3x + 2 + √(x^2 - 3x + 2) = 4的解集为A，求A的并集与交集之和。
解题思路：首先，将方程整理为一般形式x^2 - 3x + (2 + √(x^2 - 3x + 2) - 4) = 0。
然后，观察方程可知，它等价于(x - 1)(x - 2) = 0。
因此，方程的解为x = 1或者x = 2。
根据解的性质，我们可以得出解集A = {1, 2}。
所以A的并集与交集之和即为{1, 2}。
二、二次方程的图像性质了解二次方程的图像性质对于解题非常有帮助。
一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和性质与二次方程的系数有关。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，并且最低点（顶点）处在x轴的上方；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，并且最高点（顶点）处在x轴的下方。
利用这些性质，我们可以在奥林匹克数学竞赛中运用几何推理来解决问题。
例如，考虑以下题目：已知实数x满足x^2 - 2x - 15 < 0，求x的取值范围。
数学竞赛试题解根式方程
数学竞赛试题解根式方程
解根式方程的一般步骤如下：
1. 将根式方程化为含根的代数方程。
如果根式方程只存在一个根号，可以采用两边平方的方法将其转化为含根的代数方程。
如果根式方程存在多个根号，可以通过变量替换的方法将其转化为含根的代数方程。
2. 对含根的代数方程进行求解。
对于一次方程，可以直接求解得到解。
对于二次方程，可以使用求根公式求解。
对于高次方程，可以采用因式分解、配方法、求根方法等进行求解。
3. 验证解的可行性。
将求得的解代入原方程中进行验证，判断是否满足原方程。
需要注意的是，根式方程在求解时需要注意方程中根号的运算法则，避免出错。
同时，在根式方程的求解过程中，也要注意合理化简、排除无意义解等问题。
以一个例题为例：
将根式方程√(2x-5) = 3x - 1 进行解答。
1. 化为含根的代数方程：
两边平方得到 2x - 5 = (3x - 1)^2
2. 求解含根的代数方程：
展开方程得到 2x - 5 = 9x^2 - 6x + 1
将方程整理为一元二次方程 9x^2 - 8x + 6 = 0
使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
得到两个根x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44
3. 验证解的可行性：
将求得的解代入原方程中进行验证，验证结果表明两个解都满足原方程。
因此，根式方程√(2x-5) = 3x - 1 的解为x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44。
初中数学奥赛中的常见知识点整理
初中数学奥赛中的常见知识点整理数学奥林匹克竞赛是一项用于培养学生数学思维、推理和问题解决能力的比赛，对参赛者的数学基础和解题能力有一定的要求。
在初中阶段，有一些常见的数学知识点是参加数学奥赛时必须熟练掌握的。
本文将整理出初中数学奥赛中常见的知识点，并进行简要介绍。
一. 平面几何1. 三角形和四边形的性质- 三角形内角和为180度- 等腰三角形的两个底角相等- 等边三角形的三个内角均为60度- 相邻补角和相对顶角互补2. 相似三角形- 对应角相等，对应边成比例- 两个等腰三角形相似，则它们全等3. 圆和圆的性质- 圆的周长为2πr，面积为πr²- 弦长关系：两个弦等长则弦上的圆心角相等，弧长相等则圆心角相等- 切线和切点：切线垂直于半径，切点是切线和圆的交点4. 平行线和全等三角形- 平行线的性质：同位角相等，内错角相加为180度- 直角三角形全等的条件：斜边和斜边对应的一个直角边相等二. 三角函数1. 弧度和角度- 弧长L = rθ，其中r是半径，θ是弧度- 弧度与角度的关系：弧度 = 角度× π / 1802. 正弦、余弦和正切- 正弦：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切：tanθ = 对边 / 邻边3. 三角函数的周期性和特殊值- 正弦和余弦的周期为2π- 正弦和余弦的值域为[-1, 1]- 正切在θ为90度的整数倍时无定义三. 数列和等差数列1. 数列和- 等差数列的和：Sn = (a₁ + an) × n / 2，其中a₁为首项，an为末项，n为项数2. 等差数列的通项公式- 通项公式：an = a₁ + (n - 1) × d，其中d为公差四. 平面坐标系1. 平面直角坐标系- 原点和坐标轴- 坐标和距离公式- 点的对称性2. 坐标系中直线的性质- 斜率的意义和计算方法- 直线的方程和求交点的方法五. 可数与无限1. 自然数与整数- 自然数的性质与特点- 整数的性质与特点2. 有理数与无理数- 有理数和无理数的定义- 无理数的表示方式和性质六. 概率与统计1. 事件与概率- 事件的定义和表示- 概率的定义和计算方法2. 统计与频率- 数据的收集和整理- 频率和统计量的计算以上是初中数学奥赛中常见的知识点整理，涵盖了平面几何、三角函数、数列和等差数列、平面坐标系、可数与无限以及概率与统计等方面。
初中数学竞赛：求根公式(附练习题及答案)
初中数学竞赛：求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。
初三奥数辅导 追问求根公式
一、追问求根公式类型综述1．指数函数方程类：()1)()(=xQ x P的形式其（整数）解情况有三大类：注：有值肯定有意义！横线的地方表示多数情况下此类题考的方向，也有例外．2．含绝对值方程类：)()(xPxQ=或表示成0)()(=±xQxP的形式其解有两类：即分别讨论)(xQ＞0与)(xQ＜0的情况．这里有技巧：①次数（P（x））＜次数（Q（x））时先讨论)(xP＞O，x的取值范围，然后放在)(xQ里进行分析，去绝对值符号；②次数（P（x））＞次数（Q（x））时分Q（x）＞0与Q（x）＜0两种情况进行讨论解题：3．含有公因式的方程类：)()()()(xLxPxQxP⋅=⋅的形式其解有两类：在保证各函数有意义前提下，①0)(=xP时的解；②0)(≠xP时新方程)()(xLxQ=的解．注：切忌眼高手低．【例4】解方程1)1(+=+⋅ttt解之得：11-=或t4．次数待定的关于x的方程类：mx2 +=)(xP0 的形式其解有两类：即分析方程最高次项系数为0；与不为0的情况，【例5】解关于x的方程xa)1(-202=+-aax解：)i当,01=-a即1=a时，原方程即为2112=⇒=+-xx)ii当,01≠-a即1≠a时，=∆)2(a2aa⋅--)1(4a4=①0≥∆时，方程有解．即4a0≥⇒0≥a 时，方程有解121-±=a aa x 、 ②∆＜0时，即a ＜0时，方程无解． 5． 两个函数公共根类型：),1(0)( =x F a 与)2(0)( =x F b 有公共根，求),(b a G 的值． 这里有两类：①有且只有一个公共根；②有一个公共根．解题方法是：)i 设出公共根，用的式子、含b a 将此公共根表示出来，联立（1）与（2），求解．)ii 利用因式分解，各自求出方程根的表达式，再联立考虑． 【例6】是否存在某个实数m ，使得方程 x 202=++mx 和 x 202=++m x 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个公共根，并求出实数m 的值；如果不存在，请说明理由．解：假设存在此实数根，不妨设为x 0 ，则2)2(02020020020-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m x m m x x mx x （*） 由于只有一个公共根，则显然,2≠m 若不然，（*）式就有无数个解，且2=m 代入∀已知方程均无解，故此唯一实数根x 0,1= 且.2=m【例7】设关于x 的二次方程x a )1(-2a (-2a x ()2++2)1(0)2 =+a 及x b )1(- 2 b (-2b x ()2++2)2(0)2 =+b （其中a 、b 皆为正整数，且)b a ≠有一公共根，求abab b a b a --++的值．解：因为已知二次方程，且a 、b 皆为正整数所以a ＞1b Λ＞1 ；进而由（1）得：[]0)()2()1(=-⋅+--a x a x aa x =⇒1 ，122-+=a a x 由（2）得：[]0)()2()1(=-⋅+--b x b x bb x =⇒3 ，124-+=b b x ,b a ≠ （已知）∴1212-+=-+=a a b b b a 或 均31102=-⋅-=---⇒）（），即（b a b a ab 由整数因数法得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-244211313111b a b a b a b a 或或 ．．．．．．．．（*） 而目标代数式a b abb a b a --++a b a b a b ab a b a b b a b a ba b a b a b a =++=++=11将（*）式值代入得：2564224=⨯6． 一元二次方程根与系数关系：已知,0)(=x P 求)(x Q 的值．类型 课本P1，例2．及P3，2小题 7． 二元二次函数类型：已知.0),(,0),(21==y x y x F F求),(y x G 值．课本P3，3小题．8． 一元二次函数根与图象类型：数形结合，表格法记ax x f =)(2c bx ++，假设0)(=x f 有解，可能有唯一解、两个解．那么)(x f 的图像为：x 3．23 3．243．25 3．26 ax 2c bx ++06.0- 02.0-0．030．07判断方程ax 2c bx ++0=)0(≠a 一个解x 的范围是（ ）9． 一元多次方程类型：实数范围内可以因式分解的类型，引入)(x f 符号有四类：①公式法：例如)(x f =0；其中)(x f 可以写成完全平方、平方差、立方差、等等形式的．②双十字相乘法：③求根法：④待定系数法．（ 详见：初二数学 因式分解 拔高）二、判别式注意几个地方：1． 已知关于x 的方程，还是关于x 的一元几次方程．6P ，例1、（1）；8P ，4题．（若变关于x 的一元二次方程为关于x 的方程有实数根呢？）,9P 11题，13题，14题；10P ，18题．2． 取完全正确限制条件．6P ，例1、（1）．8P ，2题．5题（角大写字母对应小写字母边）． 3． 降主为宾，提宾为主．6P ，例1、（2）． 4． 数形结合，考虑周全． 7P ，例2，例5．5． 欲擒故纵法． ,9P 14题．（涉及到补集问题） 6． 判别式与概率,9P 10题三、充满活力的韦达定理前提：取完全正确限制条件．1．韦达定理内容及延伸11P ，右侧．；14P ，13题．； 2．运用韦达定理求参数的值或范围．11P ，例1，（1）．；12P ，例4．；13P ，1题．2题．4题．5题．6题．； 14P ，10题．15题．16题；24P ，1题，2题．3．运用韦达定理求代数式的值或范围．11P ，例1，（2）．；12P ，例4．；13P ，7题．；14P ，10题．16题．； 4．根与三角形．13P ，3题．5题．；14P ，11题．14题．； 5．数轴标根法这属于不等式的问题，在次数稍高判别式中用处比较大． 例如，0)2)(1)(3)(2)(1(≥++---x x x x x 怎么解呢？ 6．引入函数名)(x f 结合图像解题法 12P ，例5．；14P ，15题．； 7．奇质数、偶质数12P ，例2．；14P ，12题．； 8．整数因数法浅谈（涉及因式分解）．14P ，9题．； 四、一元二次方程的应用注意：1．若已知t ＞0，t -12＞0；又已知t 2=（t -12）2则直接⇒t =t -12⇒t =6．2．归纳推理 （1）、平面中任意n 条直线相交，则所得交点个数最多 个，最少 个。
初三奥数题知识点归纳总结
初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。
随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。
为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。
一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。
常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。
1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。
学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。
- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。
- 方程和不等式的应用问题解法。
1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。
学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。
同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。
二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。
学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。
同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。
2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。
学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。
2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。
学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。
三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。
学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。
初中竞赛重要数学公式归纳总结
初中竞赛重要数学公式归纳总结初中数学竞赛中常用的一些重要公式主要包括代数、几何和概率三个方面。
下面将对这些公式进行归纳总结。
一、代数公式：1.两数和、差与积的关系：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a-b)=a^2-b^22.平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.二次方程求根公式：对于ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a4.四则运算：a^m*a^n=a^(m+n)a^m/a^n=a^(m-n)(a^m)^n=a^(m*n)(ab)^n = a^n * b^n(a/b)^n=a^n/b^n5.无理数:√a * √b = √(ab)√a/√b=√(a/b)√a+√b≠√(a+b)6.配方法：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^27.因式分解：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^28.绝对值：a*b，=，a，*二、几何公式：1.面积公式：矩形的面积：S=长×宽三角形的面积：S=(底边×高)/2圆的面积：S=πr^22.周长公式：矩形的周长：P=2(长+宽)圆的周长：P=2πr3.直角三角形勾股定理：对于直角三角形ABC，设边长分别为a、b、c，则有：a^2+b^2=c^24.圆内切四边形面积公式：设四边形的边长分别为a、b、c、d，其半周长为s，则其面积S可以用公式表示为：S=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))5.圆内接四边形面积公式：设四边形的边长分别为a、b、c、d，其半周长为s，则其面积S可以用公式表示为：S = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd cos^2((A+C)/2))6.等腰三角形的高公式：设等腰三角形的底边为a，高为h，则其面积S可以用公示表示为：S = (1/2)ah7.同位角与同旁内角对应关系：同位角相等，同旁内角和为180°三、概率公式：1.事件的概率：事件A发生的概率P(A)=A的可能性数/总的可能性数2.互斥事件概率：两个互斥事件A、B均发生的概率P(A∩B)=03.独立事件概率：两个独立事件A、B发生的概率P(A∩B)=P(A)*P(B)4.包含关系的事件概率：一个事件A包含另一个事件B的概率P(B)=P(A∩B)/P(A)以上就是初中数学竞赛常用的一些重要公式的归纳总结。
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初中数学竞赛辅导讲义---走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式a
ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A 、一4
B 、8
C 、6
D 、0
思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；
(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。
解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝
对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222
x x x ==。
走进追问求根公式学历训练
1、已知a 、b 是实数，且
0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根
为 。
2、已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 。
3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 。
4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A 、b a =
B 、0=+b a
C 、1=+b a
D 、1-=+b a
5、当分式431
2++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )
A 、1-<x
B 、4>x
C 、41<<-x
D 、1-≠x 且4≠x
6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
7、解下列关于x 的方程：
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+。
8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值。
9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。
10、若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ 。
11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 。
12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a
200012000120003+++的值为 。
13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2．5
14、自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )
A 、2
B 、1
C 、3
D 、4
15、已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A 、215+ B 、251- C 、2
51+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求15823
18262234+-++--x x x x x x 的值。
17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值。
18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281
1，求n 的值。
19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值。
20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：AB BS
需为无理数。
参考答案。