初三奥数竞赛常用公式
奥数教程九年级知识点
奥数教程九年级知识点奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项具有挑战性和启发性的数学竞赛。
它旨在培养学生的逻辑推理能力、创造性思维和问题解决能力。
对于九年级的学生来说，掌握奥数知识点是提高数学水平和参加竞赛的关键。
本文将介绍九年级奥数教程的重要知识点。
1. 平方根与立方根平方根是指一个数的平方等于该数的根。
例如，√9 = 3，因为3² = 9。
学生需要熟练掌握平方根的计算方法，并能够在解决问题时灵活运用。
类似地，立方根是指一个数的立方等于该数的根。
如³√27 = 3，因为3³ = 27。
2. 平方和与立方和平方和是指连续n个自然数的平方的总和。
例如，1² + 2² + 3²+ ... + n²。
立方和是指连续n个自然数的立方的总和。
例如，1³ +2³ + 3³ + ... + n³。
了解平方和与立方和的计算方法，并能够应用到解决各种问题中，是九年级奥数中必不可少的技巧。
3. 等差数列与等比数列等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都是前一个数加上一个相同的常数所得到的。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中的常数是2。
等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都是前一个数乘上一个相同的常数所得到的。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中的常数是2。
理解等差数列与等比数列的特点，并能够应用到解决相关问题中，是奥数竞赛中常见的考点。
4. 组合数学组合数学是奥数竞赛中的一个重要部分。
它涉及到对已知条件下的选取和排列进行计算。
学生需要熟悉组合数学的基本规则，例如排列、组合、二项式定理等，并能够在解决复杂问题时运用这些规则。
5. 数论数论是研究整数性质和整数间关系的数学分支。
在九年级奥数中，数论的知识点常常涉及素数、最大公因数、最小公倍数、质因数分解等。
学生需要了解数论中的基本概念，并能够运用数论知识解决与整数相关的问题。
初中数学竞赛常用公式总结
初中数学竞赛常用公式总结数学竞赛是考验学生逻辑思维、推理能力和数学知识应用的重要考试。
在竞赛中，掌握一些常用的数学公式是非常关键的。
下面将总结初中数学竞赛中常用的公式，帮助竞赛学习者更好地备战。
1. 代数公式（1）二次方程的解：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有以下公式：\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]其中，Δ = b^2 - 4ac，称为判别式。
（2）平方差公式：对于任意实数a和b，有以下公式：\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]（3）两点间距离公式：对于平面上任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d可以用以下公式表示：\[ d=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2} \]2. 几何公式（1）周长和面积公式：- 矩形的周长C和面积S分别为：C = 2(l + w)，S = lw，其中l和w分别表示矩形的长度和宽度。
- 正方形的周长C和面积S分别为：C = 4s，S = s^2，其中s表示正方形的边长。
- 圆的周长C和面积S分别为：C = 2πr，S = πr^2，其中r表示圆的半径。
- 三角形的周长C和面积S可以根据不同类型的三角形使用不同公式计算（如直角三角形的勾股定理）。
（2）三角函数公式：- 正弦定理：在任意三角形ABC中，有以下公式：\[ \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)} \]其中，a、b、c分别为三角形BC、AC和AB的边长，A、B、C分别为三角形对应的角度。
- 余弦定理：在任意三角形ABC中，有以下公式：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]- 正弦、余弦和正切的关系：对于任意角θ，有以下公式：\[ \sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}，\cos(\theta) =\frac{adjacent}{hypotenuse}，\tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent} \]其中，opposite表示对边的长度，adjacent表示邻边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。
初中奥数竞赛数列问题解析
初中奥数竞赛数列问题解析数列是数学中一个非常重要的概念和工具，常常在奥数竞赛中出现。
初中生们在学习数列的过程中，不可避免地会遇到一些数列问题。
本文将对一些常见的初中奥数竞赛数列问题进行详细解析。
1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
解答等差数列问题的关键是找到公差，即相邻两项之差。
通常，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公差。
如果数列中的公差已知，则可以通过公式 an = a1 + (n-1)d 来计算第n 项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，d 表示公差。
如果只给出数列的前几项，我们可以使用多种方法来计算后面的项数。
2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
解答等比数列问题的关键是找到公比，即相邻两项之比。
与等差数列类似，我们可以观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公比。
如果数列中的公比已知，则可以通过公式 an = a1 * r^(n-1) 来计算第n项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，r 表示公比。
3. 斐波那契数列问题：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
解答斐波那契数列问题的关键是找到数列的递推关系。
通常，我们可以通过观察数列的前几项来发现其递推规律。
例如，前两项分别为1和1，后面的项数等于前两项之和。
我们可以使用递归或循环的方式来计算斐波那契数列的任意项。
4. 等差数列与等比数列的混合问题：有时候，在题目中会涉及到等差数列和等比数列的混合问题。
解答这种问题的关键是要分别找到等差数列和等比数列的递推关系，然后将两者的结果相加或相乘得到最终的结果。
在解答这类问题时，我们需要注意区分等差数列的公差和等比数列的公比。
5. 数列的和问题：数列的和是指数列中前n项之和。
对于等差数列而言，我们可以使用求和公式Sn = (n/2)(a1+an) 来计算前n项的和，其中 Sn 表示前n项的和，a1 表示首项，an 表示第n项。
初三数学竞赛常用公式
初中数学引申常用公式1.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 2 弧长计算公式：L=n兀R／1803. 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／24.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
初三奥数题知识点归纳总结
初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。
随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。
为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。
一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。
常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。
1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。
学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。
- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。
- 方程和不等式的应用问题解法。
1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。
学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。
同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。
二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。
学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。
同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。
2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。
学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。
2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。
学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。
三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。
学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。
初中竞赛重要数学公式归纳总结
初中竞赛重要数学公式归纳总结初中数学竞赛中常用的一些重要公式主要包括代数、几何和概率三个方面。
下面将对这些公式进行归纳总结。
一、代数公式：1.两数和、差与积的关系：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a-b)=a^2-b^22.平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.二次方程求根公式：对于ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a4.四则运算：a^m*a^n=a^(m+n)a^m/a^n=a^(m-n)(a^m)^n=a^(m*n)(ab)^n = a^n * b^n(a/b)^n=a^n/b^n5.无理数:√a * √b = √(ab)√a/√b=√(a/b)√a+√b≠√(a+b)6.配方法：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^27.因式分解：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^28.绝对值：a*b，=，a，*二、几何公式：1.面积公式：矩形的面积：S=长×宽三角形的面积：S=(底边×高)/2圆的面积：S=πr^22.周长公式：矩形的周长：P=2(长+宽)圆的周长：P=2πr3.直角三角形勾股定理：对于直角三角形ABC，设边长分别为a、b、c，则有：a^2+b^2=c^24.圆内切四边形面积公式：设四边形的边长分别为a、b、c、d，其半周长为s，则其面积S可以用公式表示为：S=√((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))5.圆内接四边形面积公式：设四边形的边长分别为a、b、c、d，其半周长为s，则其面积S可以用公式表示为：S = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd cos^2((A+C)/2))6.等腰三角形的高公式：设等腰三角形的底边为a，高为h，则其面积S可以用公示表示为：S = (1/2)ah7.同位角与同旁内角对应关系：同位角相等，同旁内角和为180°三、概率公式：1.事件的概率：事件A发生的概率P(A)=A的可能性数/总的可能性数2.互斥事件概率：两个互斥事件A、B均发生的概率P(A∩B)=03.独立事件概率：两个独立事件A、B发生的概率P(A∩B)=P(A)*P(B)4.包含关系的事件概率：一个事件A包含另一个事件B的概率P(B)=P(A∩B)/P(A)以上就是初中数学竞赛常用的一些重要公式的归纳总结。
奥数公式大全范文
奥数公式大全范文奥数（奥林匹克数学）是一种数学竞赛，其题目种类丰富，涉及的知识也很广泛。
因此，奥数公式也是非常多样的。
本文将为您介绍一些常用的奥数公式，涉及初等数论、代数、几何、概率统计等多个方面。
尽管不能穷尽所有公式，但读者可以通过本文初步了解奥数的一些基础知识和方法。
一、初等数论公式：1. 质数素数定理：当x趋向无穷大时，小于x的素数个数约为x/ln(x)。
2.质因数分解定理：任何大于1的整数都可以唯一地被分解为若干个质数的乘积。
3. 费马定理：若p为素数，a为正整数且a与p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
4.欧拉函数的性质：若p为素数，则φ(p)=p-15. 小费马定理：若a为正整数且与m互质，则a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)为小于等于m且与m互质的数的个数。
二、代数公式：1. 二次方程求根公式：对于ax^2 + bx + c = 0，其根的一般解为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2.二项式展开公式：对于(a+b)^n，其展开后的各项系数由二项式系数C(n,k)决定，C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
3.勾股定理：对于直角三角形，设边长分别为a、b、c（c为斜边），则a^2+b^2=c^24.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5.四平方和定理：任何一个正整数均可表示为不超过四个完全平方数的和。
6. 二次剩余的性质：若p为奇素数且p ≡ 1 (mod 4)，则对于a^2≡ b (mod p)，方程有两个解。
三、几何公式：1.正多边形内角和公式：正n边形的内角和为(n-2)×180°。
2.勾股定理及其逆定理。
3.圆的面积和周长公式：圆的面积为πr^2，周长（或圆周长）为2πr。
4. 正多边形的面积公式：正n边形的面积为n × a^2 × cot(π/n) / 4，其中a为边长。
34个数学奥数公式
34个数学奥数公式1.二次方程：ax+bx+c=0，其中a≠0，x=(-b±√(b-4ac))/2a。
2. 相似三角形：两个三角形对应角度相等，对应边比例相等。
3. 向量加法：两个向量相加，顺次连接起点和终点得到第三个向量。
4. 余弦定理：在任意三角形中，c=a+b-2abcosC。
5. 正弦定理：在任意三角形中，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
6. 面积公式：三角形面积S=1/2×底边×高，梯形面积S=1/2×(上底+下底)×高，圆面积S=πr。
7. 对数性质：loga(mn)=logam+logan，loga(m/n)=logam-logan，loga(m^k)=klogam。
8. 逆三角函数：sinx表示siny=x，y∈[-π/2,π/2]，cosx、tanx同理。
9. 极坐标：点P(r,θ)表示距离原点r，与极轴正方向夹角为θ的点。
10. 二项式定理：(a+b)=C(n,0)a+b+C(n,1)ab++C(n,n)ab。
11. 勾股定理：在直角三角形中，a+b=c。
12. 求和公式：等差数列前n项和Sn=n(a+an)/2，等比数列前n 项和Sn=a(1-q)/(1-q)。
13. 余弦双倍角：cos2θ=cosθ-sinθ。
14. 正切双倍角：tan2θ=(2tanθ)/(1-tanθ)。
15. 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)。
16. 随机事件：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
17. 代数因式分解：a-b=(a+b)(a-b)，a-b=(a-b)(a+ab+b)。
18. 等差数列通项公式：an=a+(n-1)d。
19. 等比数列通项公式：an=aq。
20. 数列求和公式：等差数列前n项和Sn=n(2a+(n-1)d)/2，等比数列前n项和Sn=a(1-q)/(1-q)。
21. 立方和公式：1+2+3++n=(n(n+1)/2)。
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全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32 AB C DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x-2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
ABCP10．如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。
A11．满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 个。
12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。
三、解答题13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14．如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。
(1)求证：ECAC ED QD =（2）求证：22CE AC PE CP =ABCD EFPQ16．如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数？全国初中数学竞赛试题AB CDEG一、 选择题（每小题5分，共30分）1. 设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为（ ）。
A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 答案：A.由题意:>0，且2⎪⎭⎫⎝⎛-+b a b a == =3。
2. 已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为( )。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、3答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。
3. 如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于( )。
A 、65B 、54C 、43D 、32答案：设S 矩形ABCD =1。
因为E 、F 是矩形ABCD 中边AB 、BC 的中点，所以S ΔGCF =S ΔGBF ，设为x ；S ΔGAE =S ΔGBE ，设为y 。
则,得2x+2y=.所以S 四边形AGCD = .从而S 四边形AGCD ∶S 矩形ABCD =2∶3. 4. 设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值( )。
A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0答案：由题意:x+y+z=a 2+b 2+c 2-2a-2b-2c+π=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0,所以x 、y 、z 中至少有一 个大于0.5. 设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是( )。
A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜0答案：由题知:(x 1-1)(x 2-1)<0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+1<0,代入韦达定理并整理得<0,可知选(A).6. A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )。
A 、22b a +B 、22b ab a ++C 、()b a +21D 、a ＋b答案：.延长A 1A 2和A 5A 4相交于P,连结A 2A 4.易证:ΔPA 1A 5和ΔPA 2A 4均为正Δ,且PA 2=A 2A 4=A 1A 3=b 。
所以A 1A 5=PA 1=a+b.二、 填空题（每小题5分，共30分）7. 设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
答案：由Δ=(a-2)2+4>0知a 为一切实数.由韦达定理,得原式=9x 1x 2-2(x 1+x 2)2=-2a 2+9a-18≤-.AABCP8. 已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c 和b-c 是方程 t(t-d)-2=0(即t 2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a.9. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
答案：易证:ΔPAB ∽ΔBCP,所以=,得PB=410. 如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。
答案：设⊙O 3的半径为x,则O 1O 3= +x ，O 1O= ,O 3O= - x. 所以( +x)2=( )2+（ - x ）2,解得x= ,易得菱形O 1O 3O 2O 4的面积为11. 满足(n 2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 个。
答案：由题设得n 2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-212. 某商品的标价比成本高p%价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。
答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.三、 解答题（每小题20分，共60分）13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a 、b 、c 天.则解得a=4, b=6, c=10（c>7,舍去).又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x 、y 、z(元),则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+160000)(720150000)(315180000)(512x z z y y x解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包.14. 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。
(1)求证：EC AC ED QD =（2）求证：22CE ACPE CP =ABCDEFPQ答案：(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2,所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立.(2)分析:易证∠6=∠4,所以FC∥ED,所以 =所以只需证 = ,由(1)有 = 。
所以只需证= ,即QD2=CQ×EQ.这只需证ΔCQD∽ΔEQD.而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,所以可证得ΔCQD∽ΔEQD.15.如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。
证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数)(2)假设2b为奇数2t+1(t为整数).取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数).因 2a为整数,从而16a可被4整除.所以16a+4b=16a+4t+2 除以4余2.所以16a+4b为偶数. ①又因为 16a+4b=(h+m)(h-m).若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾.所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.所以a=k2+b-c为整数.反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.。