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小学奥数计算专题
六年级奥数运算
（一）分数运算
1．凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律 ( 如交换律、结合律、分配律 ) ，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化．
2．约分法
3．裂项法
根据
d ＝ 1
－
1 其中 ， 是自然数 ) ，在计算若干个分 数之和时，若
n × (n d)
n
n d
(
n d
能将每个分数都分解成两个分数之差， 并且使中间的分数相互抵消， 则能大大简化运
算．
例 7 在自然数 1～100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1．
例 8
1
1
1
1
求和：
2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 97 98 99 1 100
例9计算：
例 10 计算：
例 11 求下列所有分数的和：
例 12
1 1 1 1 1 1
3 4 5 6
2
4．代数法
例：
5.放缩法
10 10
【例 1 】求数 a
101
100
1 1
2n 1 2n
10 L
10
的整数部
分．
4
【巩固】已知 A 1 1 1 1 1 1 1
，则 A 的整数部分是 _______
2 4 5 6 7 8
【例 2】求数 1 的整数部分是几？
1 1 1 L
1
10 11 12 19
【巩固】求数 1 的整数部分．
1 1
1 1
12 13 14 L
21
【巩固】已知： S 1
1 1 1
1
1980 1981 1982 ...
2006
, 则 S 的整数部分是.
【巩固】已知 A 1 ，则与 A 最接近的整数是________．
1
1 1
1995 1996 L
2008
1 1 1 1
的整数部分是
________．
1
【巩固】
30 31 32 49
1 1 1
1 1
的整数部分是．1
【巩固】
2007 2006 2005 2004 2003
（二）其他运算
1.小知识
1）1 至 30 的平方
11 2=121 12 2=144 13 2=169 14 2=196 15 2=225 16 2=256 17 2=289 18 2 =324 19 2=361 202=400 21 2=441 22 2=484 23 2=529 24 2=576 25 2=625 26 2=676 27 2 =729 282 =784 292=841 30 2=900
2） 1-9 的立方
13 =123=833=2743=6453=12563=2167 3 =34383 =5129 3=729
6
4）整除判断方法：
1.能被 2、 5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。

2.能被 4、 25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、 25 整除。

3. 能被 8、 125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。

4. 能被 3、 9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。

5.能被 7 整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。

6.能被 11 整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。

7.能被 13 整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。

2. 首同末合十的两位数相乘公式：若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为 b 和c，且 b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+b）（ 10a+c）=（10a）2 +10ab+10ac+bc ＝a（a+1）× 100+bc。

例： 72×7845× 45256×254
3. 【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是 a 和 b，且 a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+c）（ 10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2 = （ab+c）× 100+c2。

例 34×74
4. 【两个末位是 1 的两位数相乘公式】设两个两位数，十位上的数字分别是 a 和 b，则积是
2
（ 10a+1）（ 10b+1）＝ 100ab+10a+10b+1＝10a×10b+（a+b）× 10+1 例 51×71
5. 两个首位是 1 的两位数相乘公式：设两个两位数，个位上的数字分别是 a 和 b，则积是：
（10+a）（ 10+b）＝ 100+10a+10b+ab =（10+a+b）× 10+ab。

例 17×16
6.【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位
数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。

即
（10a+b）（ 10a+c）=（10a+b+c）× 10a+bc
例 43×4684×87
7.【一因数两数字和是 10，另一因数为 11 的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为
a 和 b，且 a+b=10，另一个因数为 11 的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的
十位数字加 1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以 100，然后加上两个个位数之积。

即（10a+b）（ 10c+c）=（a+1）c×100+bc。

例如， 73× 44
8.【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相
乘，再乘以 100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。

9
（10a+c）（ 10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c
例如， 42×32
9.等差数列求和
等差数列求和公式（首项 +末项）×项数÷ 2
等差数列的项数计算方法（末项－首项）÷公差+1
①2+4+6+8+10+12+14+16+18 ②99+198+297+396+495+594+693+792+891+990
③(1+3+5+ +1997)-(2+4+6+ +1996)④1+2-3+4+5-6+7+8-9+...+97+98-99
⑤1000+999-998-997+996+995-994-993+...+108+107-106-105+104+103-102-101
10、数阵
如图所示，将从 5 开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问：
（1）123 排在第几列
（2）第 2 行、第 20 列的数是多少？
第1列第2列第3列...
510 15 ...
611 16 ...
712 17 ...
813 18 ...
914 19 ...
将从 1 开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66 在第几行、第几列
（2）第 33 行、第 4 列的数是多少
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
11 12 13 14 15
20 19 18 17 16
下面的数的总和是多少？（南京市第3 届兴趣杯少年数学邀请赛）
0 1 2 49
1 2 3 50
48 49 5097
49 50 5198
11、定义新运算
定义运算◎为 a◎b=a×b-(a+b) ，求 5◎ 7 和 12◎(3 ◎ 4)。