3.4 极值与最值
3-4极值最值
却分别只有一个． （2）函数的极值只能在区间内部取得，即极值点一定是
区间内部的点，而函数的最大值与最小值可以在
区间内部取得，也可以在区间端点取得． （3）由于极值是局部概念，所以函数在某区间上的极大
值不一定比极小值大。
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
Байду номын сангаас
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.
最大收入为
R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
例 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在 曲边 y x2 上求一点，
使曲线在该点
处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角
y T
B
P
形面积最大．
oA
Cx
解 如图,
y T
设所求切点为P( x0 , y0 ), 则切线PT为
（2）y' 6x2 6x 6x(x 1) ，令 y' 0 ，解得 x1 0, x2 1 ，无 y' 不存在的点；
（3）列表判断，如下表所示．
最大值最小值问题
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x)
(
x
20)
50
x
180 10
R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问 我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最 好）？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
0.5公里
s(t )
A
B 4公里
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
最值和极值的区别和联系
最值和极值的区别和联系极值与最值的关系是局部与整体的关系。
极值是局部的最概念，而最值是整体的最概念。
也就是说极值是局部的最大或最小值，而最值是整体的最大或最小值。
一元函数中，我们求极值是通过求导数，使导数等于零的点就可能为极值。
这里的逻辑是什么呢？在经济学上有一个概念叫做边际，导数也就是每一个点的边际值。
通过学习定积分，我们知道了，如果要求一个函数的原函数值，那么我们可以求出在这个区间上每一个点所对应的导数值，把所有值相加，也就是原函数值了，图像上也就是导函数所对应区间的面积。
这样我们就可以发现，当边际值为正的时候，那么原函数的值始终是增长的。
当边际值一旦为负，那么原函数的值就开始下降。
因为一元函数是平面上的线，所以在这一条线上的极值是边际值为零所对应的函数取值。
由此我们扩充到二元函数领域。
二元函数相当于一个立体的单元。
我们可以将二元函数理解为等高地形图。
则极值点，也就是每一个峰值和低谷。
而最大值就是峰值最高的那一个点，最小值就是低谷最低的那一个点。
这些峰值和低谷有什么特征呢？垂直于地平面的任意截面，在这些截面平面上，（x0，y0）都是极值此我们可以得出，极值点的必要条件是。
对x的导函数我和y的导函数都存在。
且当这些导函数取（x0，y0）时，它们的值都是零。
那么，它的充要条件是什么呢？这个就要应用到二元函数的泰勒公式。
一元函数的泰勒公式表示的意思是，模拟出一条曲线，是这条曲线无限接近于原来的区县。
而二元函数模拟出来的是一个曲面，这个曲面无限接近于原来的前面。
那怎么求二元函数的极值呢？关于这个内容，我不做赘述，大家可以去查询资料，主要是关于二元函数的泰勒公式推导出来的。
先求出一阶偏导数等于零的方程组，得出（x0,y0）,再通过求二阶偏导数，FXX(x0,y0)=A,FXY(x0,y0)=B,FYY（x0,y0）=C,l 若AC-B2＞0，A＜0。
则有极大值l 若AC-B2＞0，A＞0。
则有极小值l 若AC-B2＜0，则没有极值l 若AC-B2＝0，则可能有极值，也可能没有极值。
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§3.4 函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。
一、函数的极值 1. 极值的定义观察图 3.11，可以发现，函数()y f x =在点14,x x 的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点25,x x 的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。
对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.定义 3.3 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x （x ≠0x ），恒有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），称0x 是函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），只是就0x 邻近的一个局部范围内，)(0x f 是最大的（或最小的），而对于函数)(x f 的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。
图3.112（2）函数的极值只能在定义域内部取得。
2. 极值的判别法继续观察图 3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。
由此，有下面的定理.定理 3.4 (极值存在的必要条件) 如果函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则)(0x f '=0.证明从略。
定义3.4 使()0f x '=的点,称为函数()f x 的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。
函数的极值与最值点的求解
函数的极值与最值点的求解函数的极值与最值点的求解在数学中是一个重要的课题。
它涉及到了对函数在给定区间内的最大值和最小值进行确定的问题。
本文将介绍函数的极大值、极小值以及最值点的概念，并讨论一些常用的求解方法。
一、函数的极值与最值点的定义在讨论函数的极值与最值点之前，我们先来定义一下这两个概念。
1. 极大值和极小值设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极大值；若存在x0∈(a,b)，使得当x∈(a,b)，且x≠x0时，有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在开区间(a,b)上的极小值。
2. 最值点函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值点；函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点，称为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点。
二、求解函数的极值与最值点的方法在求解函数的极值与最值点时，常用的方法包括导数法和边界法。
1. 导数法导数法是求解函数极值与最值点最常用的方法之一。
其具体步骤如下：（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求出所有解x0；（3）将x0代入函数f(x)，计算得到函数值f(x0)；（4）将x0及对应的函数值f(x0)进行比较，确定极大值或极小值。
2. 边界法边界法主要用于求解定义域为有限闭区间[a,b]上的函数极值与最值点。
其具体步骤如下：（1）计算函数f(x)在内部点的导数；（2）计算函数f(x)在边界点的函数值；（3）将内部点的导数和边界点的函数值进行比较，确定极大值或极小值。
三、举例说明为了更好地理解函数的极值与最值点的求解方法，我们来看几个实例。
例1：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值与最值点。
首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x+2=0。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解函数的极值与最值是数学中非常重要的概念，它们在解决实际问题和优化函数方面起着关键作用。
在本文中，我们将探讨函数的极值与最值的求解方法和相关概念。
一、函数的极值与最值在开始详细讨论如何求解函数的极值与最值之前，我们先了解一下函数的极值与最值的定义。
函数的极值分为极大值和极小值。
如果在某个区间上，函数在一个点处的函数值大于其他任意点处的函数值，则称该点为这个区间的极大值点。
同样地，如果在某个区间上，函数在一个点处的函数值小于其他任意点处的函数值，则称该点为这个区间的极小值点。
而函数在整个定义域上的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值。
二、求解函数的极值与最值下面，我们将介绍一些经典的方法和定理来求解函数的极值与最值。
1. 导数法导数法是函数求解极值与最值最常用的方法之一。
我们可以通过对函数求导，并将导数为零的解作为潜在的极值点进行分析。
当函数的导数在某个点的左侧变号为正，右侧变号为负时，该点为函数的极大值点；当函数的导数在某个点的左侧变号为负，右侧变号为正时，该点为函数的极小值点。
2. 集合论方法集合论方法是另一种常用的求解函数极值与最值的方法。
通过对函数定义域的划分，可以将函数值的范围进一步限定。
例如，对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过计算函数在区间端点处的函数值，再加上函数的极值点，从而得到函数在整个区间上的极值与最值。
3. 极限方法极限法是一种基于函数极限概念的求解函数极值与最值的方法。
通过分别求解函数在定义域的左右极限，可以得到函数在定义域边界处的极值与最值。
4. 辅助线法辅助线法是一种直观、简单的方法。
通过画出函数图像，并对图像进行分析，可以快速确定函数的极值与最值。
在图像上找出函数的极大值和极小值点，然后计算对应的函数值，便可得到函数的极值和最值。
综上所述，函数的极值与最值的求解可以通过导数法、集合论方法、极限方法和辅助线法等进行。
不同的方法在不同的场景中具有不同的优势和适用性。
极值和最值教材PPT课件
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
二元函数的驻点条件:
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
三元函数的驻点条件:
fx(x0, y0, z0 ) 0 , f y(x0, y0, z0 ) 0, fz(x0, y0, z0 ) 0
• 驻点不一定是极值点；
• 若点
是可微函数的驻点，且在其任何邻域
内既存在函数值大于
的点，又存在函数值
小于
的点，则称该点为鞍点.
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定理推广 （极值的必要条件）
设 n 元函数 f ( x) 在点 x0 处对各个自变量的一阶
偏导数都存在，且在点 x0 处取极值，则有 f (x0) 0
定理
(极值的充分条件) 设 n 元函数 f ( x) 在点
x0 处具有二阶连续偏导数，且 f (x0) 0, (1) 如果 H(x0) 正定，则 x0 为 f (x)的极小值点；
当
时,
当 时,
第21页/共53页
为极小值; 为极大值.
2. 多元函数最值问
题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
可能最值点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点 P 时,
f (P)为极小 (大) 值
最值点与极值点的关系(一)
最值点与极值点的关系(一)最值点与极值点的关系在数学中，最值点和极值点是重要的概念，它们在函数的图像中具有特殊的位置和意义。
以下是关于最值点和极值点的关系的简述和解释。
1. 最值点最值点是指函数图像上的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
它们是函数取得最大值或最小值的位置。
最大值点最大值点是函数图像上位于局部最高点的点。
它是函数取得最大值的位置。
最大值点可能是函数图像上的单个点，也可能是函数图像上的一个或多个区间的端点。
最小值点最小值点是函数图像上位于局部最低点的点。
它是函数取得最小值的位置。
最小值点可能是函数图像上的单个点，也可能是函数图像上的一个或多个区间的端点。
2. 极值点极值点是指函数图像上的局部最高点或最低点。
它们是函数局部取得最大值或最小值的位置。
极大值点极大值点是函数图像上的局部最高点。
它是函数在某个区间内取得局部最大值的位置。
极大值点处的函数值比它附近的其他点高。
极小值点极小值点是函数图像上的局部最低点。
它是函数在某个区间内取得局部最小值的位置。
极小值点处的函数值比它附近的其他点低。
3. 关系解释最值点是函数图像上的全局最高点或最低点，而极值点是函数图像上的局部最高点或最低点。
最值点是全局性质，与整个函数的变化趋势相关，而极值点是局部性质，与函数的局部变化趋势相关。
一个函数可能有多个极值点，但只有一个最大值或最小值点。
最值点一定是其中的一个极值点，但一个极值点不一定是最值点。
极大值点和极小值点通常是通过求导数来判断的，对函数求导后，在导数为零且导数变号的点处可能存在极值点。
但最值点的位置则需要通过分析函数图像来确定。
总之，最值点和极值点揭示了函数在数学上的重要变化和特性，对于函数的分析和优化有着重要的指导意义。
3.4函数的极值及其求法
证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法
证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法 证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果. 综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下: (1) 求导数 f ( x ); (2) 求驻点, 及使 f ( x ) 不存在的 点 x k ; (3) 检查 f ( x ) 在 x k 左右的正负号, 确定极值点; (4) 求出函数极值.
f ( 2) 18 0,
值, 仍用第一充分条件进行判断.
2. 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.
完
例5 解
2 3 f ( x ) ( x 1 ) 1 的极值. 求函数
由 f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 0, 得驻点 x1 1,
x2 0, x3 1. f ( x ) 6( x 2 1)( 5 x 2 1). 因 f ( x ) 6 0, 故 f ( x ) 在 x 0 处取得极小 值, 极小值为 f (0) 0. 因 f ( 1) f (1) 0,
5( x 1) f ( x ) 3 ; 3 x 1
( 2) 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 1; x 1 为 f ( x ) 的
不可导点;
( 3) 列表讨论如下:
例 2 求函数 f ( x ) ( x 4) ( x 1) 的极值.
3 2
解
( 3) 列表讨论如下:
f ( x0 x ) f ( x0 ) 证 (1) 因 f ( x0 ) lim 0 , x 0 x 故 f ( x0 x ) f ( x0 ) 与 x 异号, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 所以, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值.
高等数学第三章： 函数的极值与最值
一、函数的极值及其求法
1. 函数极值的定义
极大值(maximal value) 极小值(minimal value)
定义 若在x0的某邻域内,恒 有 f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )),
则称f ( x0 )为函数f ( x)的一个 极大值(或极小值), 函数的极大值与极小值统称为 极值. 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 极值点.
3( x
1)2 ( x
2
1)3
2
(x
1)3 ( x
1
1) 3
3
( x 1)2(11x 7)
1
3( x 1)3
(2)
驻点:
x
1,
x
7 11
.导数不存在的点:
x
1.
(3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,
确定极值点和极值.
11
2
求 f ( x) ( x 1)3 ( x 1)3 的极值及单调区间.
2
y
比较得: 最大值为 3 4 ,
最小值为 3 4 3 3.
1
2 1O 1
2
2
2x
26
求函数 f ( x) | x 2 | ex 在[0,3]上的
最大值与最小值.
解
( x 2)e x
f
(x)
(x
2)e x
f
(
x)
( x 1)e
(x
1)e x
驻点:
x
1,
x
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第五节函数的极值与最大值最小值
第三章微分中值定理与导数的应用
定义o
0U():
x x ∀∈0()(),f x f x <若恒有(1) 则称为的极大点,0x )(x f 称为函数的极大值;
)(0x f (2) 则称为的极小点,0x )(x f 称为函数的极小值.
)(0x f 极大点与极小点统称为极值点;
极大值与极小值统称为极值.
0()(),f x f x >若恒有注：极值与最值的定义有区别.
一、函数的极值及其求法
例5 设)(x f y =是方程042=+′−′′y y y 的一个解,
若,0)(0>x f 且,0)(0=′x f 则)(x f 在).
(0x (A ) 取得极大值;
(B ) 取得极小值;
(C ) 在某邻域内单调增加;
(D ) 在某邻域内单调减少.提示:,)(代入方程将x f .
0)(4)(00<−=′′x f x f A 得
令,0x x =
特别:
•当在上单调时,()f x ],[b a 最值必在端点处达到.•应用问题: 可以根据实际意义判别可能极值点是否为最大值点或最小值点.
作业
习题3-5 1(1,2,5,7,10); 2; 3; 4(2,3);
5; 6; 8; 9; 10; 13*; 15*.
下次课内容
第六节函数图形的描绘
第三章小结
内容小结
1. 连续函数的极值
定义o
0U():
x x ∀∈0()(),f x f x <若恒有(1) 则称为的极大点,0x )(x f 称为函数的极大值;
)(0x f (2) 则称为的极小点,0x )(x f 称为函数的极小值.
)(0x f 极大点与极小点统称为极值点;极大值与极小值统称为极值.
0()(),f x f x >若恒有
3. 连续函数的最值
内容小结
求闭区间上连续函数最值的方法:
(1)求在内的可能极值点
)(x f ),(b a (2)求最大值M 和最小值m
max M =1{(),f x ,)(2x f ,)(,m x f L ,)(a f ()},f b min m =1{(),f x ,)(2x f ,)(,m x f L ,)(a f ()}.
f b 12,,,.
m x x x L 驻点和导数不存在的点:
•当在上只有一个可能极值点时,)(x f ],[b a 特别:
•当在上单调时,()f x ],[b a 最值必在端点处达到.若在此点取极大值, 则也是最大值. (小)•应用问题: 可以根据实际意义判别可能极值点是否为最大值点或最小值点.(小)•列表法是判断最大值点或最小值点的有效方法.。