2.3 直线和圆的极坐标方程-文档资料

2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.2.圆心在极轴上且经过极点的圆的方程(1)圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A(2a，0)，圆的半径是a，圆心坐标是C(a，0) (a>0)，则圆的极坐标方程是ρ＝2a cos__θ.(2)圆心在A(a，0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2－2aρcos__θ＋a2－r2＝0.3.直线的极坐标方程(1)直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为θ＝α或θ＝α＋π (ρ∈R).(2)经过点A(a，0)垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcos__θ＝a.(3)经过点A(a，0)倾斜角为α的直线的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝a sin__α.*4.设定点为F，定直线为L，到定点F的距离和到一条定直线L的距离的比等于常数e的点的轨迹在如图所示的极坐标下的极坐标下的方程为(其中|KF|＝p.|MF|＝ρ，∠BFM＝θ，p为定值，ρ，θ为变量)ρ＝eρcos__θ＋ep此为圆锥曲线统一的极坐标方程.【思维导图】【知能要点】1.曲线的极坐标方程.2.圆的极坐标方程.3.直线的极坐标方程.4.两种方程的互化.题型一曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程φ(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程φ(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至少有一种能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如，对极坐标方程ρ＝θ点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π等多种形式，其中只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程. 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上的动点P (ρ，θ)的极径ρ和极角θ的相互关系.【例1】 判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3是否在曲线ρ＝cos θ2上？ 分析 在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解 ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2π3是同一点，cos 2π32＝cos π3＝12， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2π3在曲线ρ＝cos θ2上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5π3在曲线ρ＝cos θ2上. 【反思感悟】 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不同的.尽管⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，53π并不满足ρ＝cos θ2，但该点依然在曲线上. 1.A 、B 两点相距12，动点M 满足|MA →|·|MB→|＝36，求点M 的轨迹的极坐标方程. 解 以AB 所在直线为极轴，AB 中点为极点建立极坐标系(如图所示)，设M (ρ，θ)，由|MB→|＝ρ2＋62－2×6ρcos θ ＝ρ2＋36－12ρcos θ.|MA→|＝ρ2＋62－2×6ρcos （π－θ） ＝ρ2＋36＋12ρcos θ.由|MA →|·|MB →|＝36，得(ρ2＋36)2－144ρ2cos 2 θ＝362，即ρ4＋72ρ2－144ρ2cos 2 θ＝0，即ρ2＝72(2cos 2 θ－1)＝72cos 2θ.题型二 直线和圆的极坐标方程求直线和圆的极坐标方程，可以结合图形，找出直线和圆上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.【例2】 求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程.解 如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ).∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2， 在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以，过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2. 【反思感悟】 (1)在直线上任意取一点M ，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决.(2)在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.2.求出下列直线的极坐标方程.(1)过定点M (ρ0，θ0)，关于极轴的倾角为α；(2)过定点M (ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直.解 (1)设P (ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM ＝∠1，∠OMP ＝∠2，则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0).在△OMP 中应用正弦定理：ρsin ∠2＝ρ0sin ∠1， 即ρ＝ρ0·sin ∠2sin ∠1＝ρ0·sin （α－θ0）sin （α－θ）. 即直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).(2)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP为直角三角形，显然有ρcos(θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程.【例3】在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.解设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆.【反思感悟】求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量ρ，θ的关系.在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系.3.写出圆心在点(－1，1)处，且过原点的圆的极坐标方程.解因为圆的半径为R＝（－1）2＋12＝2，所以圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，变形为x2＋y2＝－2(x－y)，用坐标变换公式得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，故所求圆的极坐标方程为ρ＝2(sin θ－cos θ).题型三直角坐标方程与极坐标方程的互化在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定在0≤θ<2π，ρ>0范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.【例4】进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3；(4)ρcos2θ2＝1；(5)ρ2cos2θ＝4；(6)ρ＝12－cos θ.解(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin2θ＝4cos θ.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρ sin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)tan θ＝yx，∴tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x (x≥0).(4)∵ρcos2θ2＝1，∴ρcos θ＋12＝1，即ρcos θ＋ρ＝2，∴x＋x2＋y2＝2，整理有y2＝4－4x.(5)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4.化简得x2－y2＝4.(6)∵ρ＝12－cos θ，∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x2＋y2－x，整理得3x2＋4y2－2x－1＝0.【反思感悟】极坐标系和直角坐标系都是一对有序实数来确定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具.在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.4.(1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；(2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程.解(1)直接代入互化公式，ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝a2，∴ρ2cos 2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ×ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程.1.经过极点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程为________. 解析 将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 答案 ρ＝62cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 2.求过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线.解 在直线l 上任取一点M ，如图：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，所以|OH |＝2cos π6＝ 3.在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3，所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3.3.求两个圆ρ＝4cos θ，ρ＝4sin θ的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系. 解 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，x 2＋(y －2)2＝4，两圆的圆心坐标为(2，0)，(0，2)，半径都为2，圆心距d ＝22＜4，∴两圆相交.[P 18思考交流]当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得曲线上所有的点？当e ＞1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ表示了什么曲线？角θ在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？答 由ρ＝ep 1－e cos θ变形为ρ＝eρcos θ＋ep 转化为直角坐标方程为(1－e 2)x 2＋y 2－2e 2 px ＝e 2p 2当e ＝1时，方程为y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2可表示抛物线，当θ从0(θ≠0)变化到2π，就得到抛物线上所有的点.当0＜e ＜1时，1－e 2＞0，方程(1－e 2)x 2＋y 2－2e 2px ＝e 2p 2可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －e 2p 1－e 22e 2 p 2（1－e 2）2＋y 2e 2p 21－e 2＝1表示椭圆. 当θ从0变化到2π就得到椭圆上所有的点.当e ＞1时，1－e 2＜0，e 2p 21－e 2＜0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －e 2p 1－e 22e 2p 2（1－e 2）2－y 2e 2p 2e 2－1＝1表示双曲线 当θ从0变化到2π就得到双曲线上所有的点.【规律方法总结】1.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常利用三角形和正弦定理.2.曲线的极坐标方程和直角坐标方程进行化简，直接代入互化公式即可.3.圆的极坐标方程比较简便，而直线的极坐标方程形式复杂.一、选择题1.在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( )A.以点(－3，0)为圆心，3为半径的圆B.以点(3，π)为圆心，3为半径的圆C.以点(3，0)为圆心，3为半径的圆D.以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2为圆心，3为半径的圆 解析 由ρ＝6cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x x 2＋y2，x 2＋y 2＝6x ， 即(x －3)2＋y 2＝9，故选C.答案 C2.在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为( )A.ρ＝22cos θB.ρ＝－22cos θC.ρ＝22sin θD.ρ＝－22sin θ解析 如图所示，P (2，π)，在圆上任找一点M (ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°，在Rt △OMQ 中，OM ＝OQ ·cos ∠QOM∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ.答案 B3.极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( ) 解析 ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝2sin θ·cos π4＋2cos θ·sin π4＝2(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －222＝1， ∴圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22. 结合四个图形，可知选C.答案 C4.在极坐标系中，已知一个曲线的方程为ρ＝12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，则过曲线中心与极轴垂直的直线的极坐标方程是( )A.ρsin θ＝3 3B.ρsin θ＝－3 3C.ρcos θ＝－3D.ρcos θ＝3解析 将曲线的方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋6x －63y ＝0，这是一个圆，圆心坐标(－3，33)，所求直线方程为x ＝－3，化为极坐标方程为ρcos θ＝－3.答案 C5.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 将极坐标方程转化为直角坐标方程即可.A 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x ＋y ＝1，∴y ＝1－x (0≤x ≤1).B 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ， 得y ＝1－x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22. C 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x 2＋y 2＝x ＋y (0≤x ≤1).D 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x 2＋y 2＝x ＋y ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22. 答案 A二、填空题6.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________. 解析 借助极坐标与直角坐标互化求解.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋（3）2＝22＝1.答案 17.已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ＜π2)，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________.解析 ∵⎩⎨⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，∴4cos 2θ＝3， ∴2(1＋cos 2θ)＝3，∴cos 2θ＝12.∵0≤2θ≤π，∴θ＝π6代入ρ＝4cos θ得：ρ＝2 3.∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6 8.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 解析 ∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋y 2－2y ＝0.答案 x 2＋y 2－2y ＝09.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________. 解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为|12×3－32×1＋1|⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 答案 1三、解答题10.画出极坐标方程⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4ρ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin θ＝0表示的曲线.解 将方程分解因式得⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4(ρ－sin θ)＝0， 即θ＝π4为一直线，ρ＝sin θ为一个圆(如图所示).11.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.12.设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，自M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程.解 以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图.设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点.∵MP ⊥MA ，∴|MA |2＋|MP |2＝|P A |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|P A |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a （a －r cos θ）a cos θ－r. 习题1－2 (第18页)A 组1.2.A 与B 关于极轴对称.A 与C 关于θ＝π2对称.A 与D 关于极点对称.3.解 (1)表示过极点，倾斜角为π3的直线.(2)垂直于极轴与极点距离为2的直线.(3)以极点为圆心，3为半径的圆.(4)以(3，0)为圆心，3为半径的圆.(5)以⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2为圆心，5为半径的圆. 4.解 (1)设直线上任一点为(ρ，θ)则3·sin π3＝ρsin θ∴ρsin θ＝332.(2)设直线上任一点为(ρ，θ)则2·cos π4＝ρcos(π－θ) ∴ρcos θ＝－ 2.(3)设圆上任一点为(ρ，θ)则ρ＝10cos(π－θ)∴ρ＝－10cos θ.(4)设直线上任一点(ρ，θ)则ρsin （π－α）＝a sin （α－θ）∴ρ＝a sin αsin （α－θ）∴ρsin(α－θ)－a sin α＝0.5.(1)ρ＝4 (2)ρ2sin2θ＝2a(3)ρ＋2sin θ＝0 (4)ρ2cos 2θ＝a 26.(1)x ＝5 (2)2x －5y －3＝0(3)y 2＝－6x (y ≠0) (4)3x 2－y 2－24x ＋36＝0.7.D8.解 ρ＝sin θ与ρ＝cos θ直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14；圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则圆心距为d ＝14＋14＝ 22，9.解 点p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π的直角坐标为(3，－1)， 直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为3y －x －2＝0， ∴d ＝|－3－3－2|1＋3＝3＋1. 10.解 ρcos θ＋1＝0直角坐标方程x ＋1＝0，直线θ＝π4直角坐标方程y ＝x ，则x ＋1＝0关于y ＝x 对称的直线方程为y ＋1＝0.化为极坐标方程为ρsin θ＋1＝0.11.解 (1)设圆C 上任一点为(ρ，θ)，则1＝ρ2＋9－6ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. ∴ρ2－33ρcos θ－3ρsin θ＋8＝0.(2)设动点P (ρ，θ)，Q (ρ1，θ1)，OQ ＝ρ1，QP ＝OP －OQ ＝ρ－ρ1， ∵OQ ∶QP ＝2∶3，∴ρ1ρ－ρ1＝23. ∴ρ1＝25ρ，θ1＝θ.∵Q 在圆上，∴ρ21－33ρ1cos θ1－3ρ1sin θ1＋8＝0，∴即425ρ2－635ρcos θ－65ρsin θ＋8＝0.∴P 的轨迹方程为：2ρ2－153ρcos θ－15ρsin θ＋100＝0.B 组1.解 设中点坐标(ρ，θ)，圆上一点(ρ1，θ1)，则θ＝θ1，ρ＝12ρ1，∴⎩⎨⎧θ1＝θ，ρ1＝2ρ，∴2ρ＝2a cos θ，∴ρ＝a cos θ，∴中点所在曲线的极坐标方程为ρ＝a cos θ.2.解 设P 点(ρ，θ)，M (ρ1，θ1)，则θ＝θ1，∵OM ·OP ＝12，∴ρ1·ρ＝12，∴ρ1＝12ρ，∴12ρcos θ＝4，ρ＝3cos θ，∴点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ.3.解 设点M (ρ，θ)，线段两端点分别为A 、B ，则由三角形面积公式可得S △ABM ＝12|AB |·|OM |＝12|OA |·|OB |.即2a ·ρ＝ρcos θ·ρsin θ.所以ρ＝a sin 2θ.∴M 轨迹的极坐标方程为ρ＝a sin 2θ化为直角坐标方程为2axy ＝(x 2＋y 2)32.。