高中数学1.2.3、4、5直线和圆的极坐标方程 名师公开课市级获奖课件(北师大版选修4-4)
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1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
高考数学选讲部分坐标系与参数方程市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
√2
= -4 + 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)若|AB|=2√10,求 a 的值.
21/33
-22考点一
考点二
考点三
考点四
解 (1)由 ρsin2θ=2acos θ(a>0)可得 ρ2sin2θ=2aρcos θ.所以曲线 C
的普通方程为 y2=2ax;
|3cos+4sin--4|
.
√17
l 的距离为 d=
+9
+9
.由题设得
= √17,所以 a=8;
√17
√17
-+1
-+1
的最大值为
.由题设得
= √17,所以 a=-16.
√17
√17
当 a≥-4 时,d 的最大值为
当 a<-4 时,d
综上,a=8 或 a=-16.
19/33
-20考点一
= (),
都是某个变数 t 的函数
并且对于 t 的每一个允许值,上式所
= (),
确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线
的 参数方程
,其中变数 t 称为 参数
.
(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
= 0 + cos,
(t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点
11/33
-12知识梳理
考点自测
= -1 + cos,
(α 为参数),当圆心 C
= 1 + sin
到直线 kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为
( D )
= -4 + 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)若|AB|=2√10,求 a 的值.
21/33
-22考点一
考点二
考点三
考点四
解 (1)由 ρsin2θ=2acos θ(a>0)可得 ρ2sin2θ=2aρcos θ.所以曲线 C
的普通方程为 y2=2ax;
|3cos+4sin--4|
.
√17
l 的距离为 d=
+9
+9
.由题设得
= √17,所以 a=8;
√17
√17
-+1
-+1
的最大值为
.由题设得
= √17,所以 a=-16.
√17
√17
当 a≥-4 时,d 的最大值为
当 a<-4 时,d
综上,a=8 或 a=-16.
19/33
-20考点一
= (),
都是某个变数 t 的函数
并且对于 t 的每一个允许值,上式所
= (),
确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线
的 参数方程
,其中变数 t 称为 参数
.
(1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
= 0 + cos,
(t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点
11/33
-12知识梳理
考点自测
= -1 + cos,
(α 为参数),当圆心 C
= 1 + sin
到直线 kx+y+4=0 的距离最大时,k 的值为
( D )
极坐标和参数方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
y
直线 ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 化为
普通方程 x 3 y 2 .圆上任一
O
x x 点 P( x，y) 到得距离为
d | x 3y2| ． 2
思绪分析
例 6 在极坐标系中，设圆 C：ρ= 3 上的点到直线 l：ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 的距离为 d，求 d 的最大值.
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
方程为 x 2y 0 ．因此点 P 到直线 l 的距离是
C
O
x
思绪分析
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
3
C
思路 1：运用直接法，寻求点 P 的极径r与 O
x
极角q的关系，即是圆的极坐标方程.
思路 2：化为直角坐标研究.
求解过程
解 设 P( ρ，θ )是圆 C 上的任意一点，则
基础知识
极坐标与直角坐标旳互化
x r cosq，
y
r
sin q ．
r 2 x2 y2，
tan
q
y (x x
0)．
一般，将直角坐标化为极坐标时，r 0，0 ≤q 2π．
经典例题
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2， π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. 3
2.
过程解析
（2）设 P（x，y）为曲线 x2 y2 9 (0≤ x ≤3，0 ≤ y ≤3)
北师大版选修1.3.2直线的极坐标方程(全国优质课一等奖)
N
和 5
4
4
新 课 讲 解一 —过极点的直线方程
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起
来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射
线组合而成。原因在哪？
0
M
O 45° x N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R) 或 5 ( R )
4
4
变 式 练 习一
1、求过极点，倾角为
5
4
的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为
4
的直线的极坐标方程。
或 5
4
4
新 课 讲 解 二 —过定点且垂直于轴的直线方程
思考2：如图，过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O
θ a
A
a＞0时 设M(ρ,θ)为直线上任意一点，
则有 ρcosθ＝a；
x
总结概括
几种特殊的直线的极坐标方程：
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
M(， )
a
sin a
O
x
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
x
O
a
sin a
M(， )
新 课 讲 解 三 -过定点与极轴成一定角度的直线方程
思考3：设点P的极坐标为A (a, 0) ，直线l 过点P且与极轴
（4）化简：化简并检验所得方程即为所求。
新 课 讲 解一 —过极点的直线方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小
正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？
射线OM：
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
高中数学：圆的极坐标方程 PPT课件 图文
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
4
44
4 、 圆 ＝ 1 0 c o s( )的 圆 心 坐 标 是 （ C ）
A、(5,0) B、(53 , )
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、 写 出 圆 心 在 点 A(2,)处 且 过 极 点 的 圆 的
22
2
3、 极 坐 标 方 程 cos()所 表 示 的
4
曲 线 是（ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以＝ 化c为 os( )
4
以(1,)为圆心1， 为半径的圆。
24
2
解： ＝ cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin 即
6
圆心(a为 ,)(a0)半径a为
圆的极坐标 ＝ 方 2ac程 os为 ( )
此圆过O极点
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
题组练习2
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3)2 (y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10cos( )
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5
解：圆＝4sin的化为直角坐标方程是
x2 y2 4y 0即x2 (y 2)2 4 那么一条与此圆相切圆的的方程为
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
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当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
π π 坐标方程即可．例如对于极坐标方程 ρ＝θ，点 M(4，4)可以表 π π π π π 5π 示为(4，4＋2π)或(4，4－2π)或(－4， 4 )等多种形式，其中，只 π π 有( ， )的极坐标满足方程 ρ＝θ. 4 4
菜 单
课 时 作 业
BS ·数学 选修4-4
BS ·数学 选修4-4
2．3
课 前 自 主 导 学
直线和圆的极坐标方程
当 堂 双 基 达 标
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
课 堂 互 动 探 究
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方 程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的 课标解读 互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 表示.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极 坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？
【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找 到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系， 这常用到解三角形(正弦定理、
当 堂 双 基 达 标
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
把曲线的两种方程进行相互转化．
菜
单
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4．圆锥曲线统一的极坐标方程
课 前 自 主 导 学
设定点为 F，定直线为 l，过定点 F 作定直线 l 的垂线， 垂足为 K，以 F 为极点，FK 的反向延长线 Fx 为极轴，建立 极坐标系．如图 1－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p， M(ρ ， θ) 为 曲 线 上 任 意 一 点 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ρ ＝
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
π (1)求过点 A(1,0)且倾斜角为 4的直线的极坐标 方程； 3 (2)在极坐标系中，求半径为 r，圆心为 C(r，2π)的圆的
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中， 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ， θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 每个点 的极坐标中 至少 有一组(ρ，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上 ． 那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的 极坐标方程 ，曲线 C 叫作极坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的 曲线 ．
2． 在极坐标系内， 如何确定某一个点 P 是否在某曲线 C
课 前 自 主 导 学
上？
【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定 适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标 不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
否在某一曲线 C 上， 只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐 标适合曲线 C 的方程即可．
它的右焦点 ．
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
1． 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？
【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即
(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点 的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线 上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
BS ·数学 选修4-4
在△OAM 中，由正弦定理得 OM OA ＝ ， sin∠OAM sin∠OMA ρ 1 即 ＝ ， 3π π sin sin －θ 4 4 π 2 所以 ρsin( －θ)＝ ， 4 2
课 堂 互 动 探 究
余弦定理)的知识及利用三角形的面积相等等来建立 ρ，θ 之 间的关系．
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
4．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲 线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？
【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥 曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是
菜 单
课 时 作 业
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课 前 自 主 导 学
2．常见简单曲线的极坐标方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
极坐标方程． 【思路探究】
课 时 作 业
根据题意画出草图―→设点 M(ρ，θ) ―→建立 ρ，θ 的方程并化简―→检验
菜 单
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课 前 自 主 导 学
【自主解答】
(1)如图，设 M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除
点 A 以外的任意一点， π 则∠xAM＝4， 3π ∠OAM＝ ， 4 π ∠OMA＝4－θ，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
ep . 1－ecos θ
课 时 作 业
菜
单
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课 前 自 主 导 学
①当 0＜e＜1 时，方程表示 椭圆 ． ②当 e＝1 时，方程表示 开口向右的抛物线． ③当 e＞1 时，方程只表示双曲线的右支，定点是
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究