2018高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标 精品
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点.
A(3, 0) D (5, G (6, 4 3 5 3 ) ) B ( 6 , 2 ) E (3, 5 6 ) C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
5 3 (-, +)
(, 2k+)
[-, +(2k+1)]
都是同一点的 极坐标.
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于极点O的对称点； (2) P是点Q关于直线 的对称点. 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。 注意点M的极坐标具有多值性.
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
2018版高中数学人教B版选修4-4教师用书：1-2 极坐标系
1.2 极坐标系1.2.1 平面上点的极坐标1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)[基础·初探]1.平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴.(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM 的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.2.点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数.特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示).图1-2-1(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？【导学号：62790002】【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置.2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？【提示】建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是惟一的.所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系.3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，则sin θ＝yρ，cos θ＝x ρ，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x.[自主·测评]1.极坐标系中，点M (1,0)关于极点的对称点为( ) A.(1,0) B.(－1，π) C.(1，π)D.(1,2π)【解析】 ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(p ，π＋θ)，∴M (1,0)关于极点的对称点为(1，π).【答案】 C2.极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ) A.(1,0) B.(2，π4) C.(3，π2) D.(4，π)【答案】 C3.点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( ) A.(－1，－3) B.(－3，1) C.(－3，－1)D.(3，－1) 【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3， y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1. 【答案】 C4.点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( ) A.(π2，0) B.(0，π2) C.(π2，π2)D.(π2，－π2)【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2， ∴M 的极坐标为(π2，π2). 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：类型一 确定极坐标系中点的坐标设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【尝试解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3). 关于直线l 的对称点为C (2，23π). 关于极点O 的对称点为D (2，－23π).四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后.[再练一题]1.在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).【解】 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称. 所以点B ，D 关于极轴对称.设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)， 且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求. 类型二 将点的极坐标化为直角坐标写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3).【精彩点拨】 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限.【尝试解答】 (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×(－12)＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×(－32)＝－ 3.∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点. (2)x ＝2cos(－23π)＝－1， y ＝2sin(－23π)＝－3，∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点. (3)x ＝2cos(－π3)＝1， y ＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点.1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题]2.分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π).【解】(1)∵x＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1).(2)∵x＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3).(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0).类型三将点的直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(－2,23)；(2)(6，－2).【精彩点拨】利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限.【尝试解答】(1)∵ρ＝x2＋y2＝(－2)2＋(23)2＝4，tan θ＝yx＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(－2,23)在第二象限.∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π).(2)∵ρ＝x2＋y2＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝yx＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6).1.将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)求解.2.在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.[再练一题]3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x，y)满足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围.【解】(1)根据与角α终边相同的角为α＋2kπ(k∈Z)知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈k)分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z ). (6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z ). (2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限.把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为 (π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z ). 类型四 极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，如果A (2，π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩点拨】 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标.【尝试解答】 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4， ∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2). 对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π， ∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2. ∴B (－2，－2).设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16. 解之得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6). ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π).1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成.[再练一题]4.本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标.【导学号：62790003】【解】 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2 ＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2. ∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2， ∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4).[真题链接赏析](教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：A(－1,1)，B(0，－2)，C(3,4)，D(－3，－4).已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________.【命题意图】主要考查直角坐标与极坐标的互化.【解析】∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2.∴x＝－2，且y＝－2.∴ρ＝x2＋y2＝2 2.又tan θ＝yx＝1，且θ∈[0,2π).∴θ＝54π.因此点P的极坐标为(22，54π).【答案】(22，5 4π)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2018高考数学文二轮复习课件：第二编 专题整合突破 专题八 系列4选讲 第一讲选修4-4坐标系与参
(2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 22，求实数 m 的取值范围．
解 (1)曲线 C 的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是 一个圆；当 m＝0 时，直线 l 的直角坐标方程为：x＋y＝0，
圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝ |11＋2＋11| 2＝ 2＝r，r 为圆 C 的半径，所以直线 l 与圆 C 相切．
4sinθ－6π. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x，y)是直线 l 与圆面 ρ≤4sinθ－6π的公共点， 求 3x＋y 的取值范围．
解 (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ－6π， 所以 ρ2＝4ρsinθ－6π＝4ρ 23sinθ－12cosθ 又 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以 x2＋y2＝2 3y－2x， 所以圆 C 的普通方程为 x2＋y2＋2x－2 3y＝0.
把 θ＝π6代入 ρsinθ＋6π＝ 23得 ρ1＝1，P1，6π. 把 θ＝π6代入 ρ2＝1＋26sin2θ得 ρ2＝2，Q2，6π. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即 P，Q 两点间的距离为 1.
4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xy＝＝2＋3＋tctossiαnα， (t 是参数)，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝8cosθ－3π.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面 积．
解 (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ＝2scino2sθθ，得 ρ2sin2θ＝ 2ρcosθ，所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2＝2x.
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4讲义：第一讲 一 平面直角坐标系.ppt
一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[例1] |2)．[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A ，B ，C ，D 的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， 所以|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则 (1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，求证：|AC |＝|BD |.证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝(b ＋a )2＋h 2， |BD |＝(a ＋b )2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，|AC |＝|BD |.2．在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 求证：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)， 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．因为d －b ≠0，所以－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以O 为线段BC 的中点． 又因为OA ⊥BC ，所以|AB |＝|AC |. 所以△ABC 为等腰三角形．[例2] AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示． 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0，则x 1＋x 2＝－813，x 1x 2＝－3213，那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·⎝⎛⎭⎫－8132－4×⎝⎛⎭⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l ，但在A 村的西北方向400 m 处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )， 则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1，求曲线C 的方程．[解] 设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4·⎝⎛⎭⎫12x ′2－9·⎝⎛⎭⎫13y ′2＝1. 整理得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.6．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入方程y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0B ．25x 2＋9y 2＝1C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，∴曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3，代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1，该方程表示椭圆，∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝2y 解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝ sin λx ，即y ＝1μsin λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos x ′2. 答案：y ′＝3cos x ′26．将点P (－2，2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y 7．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝cos ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f 2(x )＝cos ωx ，x ∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的，所以13＝1ω，即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.解：由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B (b,0)，C (0，c )， 则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2，故|AM |＝12|BC |.10．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程．(1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y ′＝sin 2x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin 2x ′得μy ＝sin 2λx ， 即y ＝1μ sin 2λx ，与原曲线方程比较系数得⎩⎨⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎨⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝18x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18，得到曲线y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤14(8x )＝2sin 2x ，再将其纵坐标缩短到原来的12，得到曲线y ＝sin 2x . (2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′29＋y ′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1，与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.。
2018学年高中数学人教A版课件选修4-4 第一章 坐标系
2 2 x ＋y －4x＝0， (2)由 2 2 x ＋y ＋4y＝0，
x1＝0， 解得 y1＝0，
x2＝2， y2＝－2.
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)， 故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
[再练一题] 3．(2015· 江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ ＋2 圆C的半径. 【导学号：91060012】
∴y－ 3x＝12，即 3x－y＋12＝0，所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线 3x－y＋12＝0的距离为 12 d＝ 2 2＝6<r＝10， 3 ＋－1 所以直线l被圆截得的弦长 |C1C2|＝2 r2－d2＝2 102－62＝16.
[再练一题]
π 4．在极坐标系中，点M坐标是2，3，曲线C的方程为ρ＝2 π 2sinθ＋4；以
(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C1、C2交点间的距离．
【规范解答】
(1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．
π 由C2：ρsinθ－3＝6， 1 得ρ 2sin 3 θ－ 2 cos θ＝6，
极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和 极点． (1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； (2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．
极坐标与直角坐标的互化
极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也 可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为 了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中 y 的方程．它们之间的互化关系为：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；ρ ＝x ＋y ，tan θ＝ x
人教版高中数学选修4-4《第一讲坐标系：2极坐标系》
归纳总结
根据以上2题，独立总结相应规律
并落实在导学案上 2min
合作探究
完成导学案例3 （独立思考4min
小组6人讨论2min）
讨论提前结束的小组可坐下进行整理 小组代表展示
归纳总结
结合导学案学习目标 同桌两人相互提问
时间3min
课堂检测
独立完成导学案课堂检测
时间3min
本堂小结：回扣目标
1.理解极坐标系的概念，理解极坐标 的不唯一性（θ不唯一， 可正可负）；
2.能够应用公式进行极坐标与直角坐 标的互化； 3.会用极坐标求两点间的距离，会求 简单的极坐标方程.
学习目标：
1.理解极坐标系、极坐标的概念，了 可 解极坐标 的不唯一性（θ不唯一， 正可负）； 2.能够应用公式进行极坐标与直角坐 标的互化； 3.会用极坐标求两点间距离、会求简 单的曲线的极坐标方程.
自主学习
推导极坐标与直角坐标的互化公式,
然后完成导学案探究点一 .
自主学习
完成导学案例4,例5,例6。
交流展示
全体起立，以小组为单位，交流例6的解 题思想和解题方法。
本堂小结：回扣目标
小组内两人一组，一个人根据学案本堂小结 部分谈自己本节课的收获，一个人倾听补充。
作业： 1.同学们自己试着画一画笛卡尔的心形 线； 2.完成训练案部分。
笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死 病的低吼他流浪到瑞典，认识了18岁的瑞典公主 克里斯丁，成为她的数学老师，日日相处使他们 彼此产生爱慕。国王知道后勃然大怒，下令将笛 卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里 斯丁也被父亲软禁起来。笛卡尔回国后不久染上 重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里 斯丁一直没有收到笛卡尔的心。笛卡尔在给克里 斯丁基础第十三封信后气绝身亡。这第十三封信 内容只有短短的一个公式：。国王看不懂，觉得 他们之间并不总是说情话的，大发慈悲就把这封 信交给了一直闷闷不乐的克里斯丁，公主看后， 立即明了恋人的意图，马上招收把方程的图形画 出来，看到图形，她开心极了，他知道恋人仍然 爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也 就是著名的“心形线”。 据说这封享誉世界的 另类情书还保存在欧洲笛 卡尔的纪念馆里。