1、4圆的极坐标方程

O θ C(r,0) ρ A(2r,0) x P(ρ,θ)
ρ＝2acosθ
跟踪演练1求过极
点O的弦的中点的轨迹. 解 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点.连接OM并延 长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，
设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为 （２r, π /2)。
设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ 在Rt△POA中，由于 cos∠POA=|OP|/|OA|， cos( ) / 2r , 即 sin / 2r, 所以 2
即ρ
2
π －16ρcosθ－3＋39＝0 为所求圆的极坐标方程.
公式 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为a ；
＝ a
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos ＝2asin
(３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ. 故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.
探究2：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的 圆的极坐标方程？
解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。
C.(x－2)2＋y2＝4
解析
D.(x＋2)2＋y2＝4
由已知得ρ2＝4ρsin θ，∴x2＋y2＝4y，
∴x2＋(y－2)2＝4.
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3.在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点的圆的方程为( A.ρ＝2 2cos θ C.ρ＝2 2sin θ B.ρ＝－2 2cos θ D.ρ＝－2 2sin θ
π π 易得 ρ＝2rcosθ－2＝2cos(2－θ)＝2sin θ.
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方法二
π π 在圆心 (1 ， 2 ) 中， ρ ＝ 1 ， θ ＝ 2 ，所以圆心的坐标为
x＝ρcos θ＝0， 即圆心的坐标为(0,1)，圆心到极点的距离为 1，即 y＝ρsin θ＝1 圆的半径为 1.所以圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝1， 即 x2＋y2－2y＝0， 即 ρ －2ρsin θ＝0，解得 ρ＝2sin θ，选 A.
B
)
解析 如图所示，P( 2，π)，在圆上任找一点 M(ρ，θ)，延长 OP 与圆交于点 Q，则∠OMQ＝90° ，
在Rt△OMQ中，|OM|＝|OQ|· cos∠QOM
∴ρ＝2 2cos(π－θ)，即 ρ＝－2 2cos θ.
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5.圆ρ＝2cos θ的半径是 1 . 解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，所 以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，半径为1.
∴3 ＝ρ ＋3
2 2
2
π 即 ρ＝6cosθ－3为所求.
→ → (2)若 Q 点在圆 C 上运动，P 在 OQ 的延长线上，且OQ＝2QP，求 动点 P 的轨迹方程.
解 设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ，θ)，
→ → → → → 由OQ＝2QP得OQ＝2(OP－OQ)，
2 → 2→ ∴OQ＝3OP，∴ρ1＝3ρ，θ1＝θ，
探究1、圆心在极轴且过极点的圆
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
例：求圆心在C（a，0），半径为 a 的圆的极 坐标方程。
解：建立极坐标系如图所示， 设P（ρ，θ）为圆上任意一点， 由于OP⊥AP |OA|=2a，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA 即 ρ＝2acosθ 所以 所求圆的极坐标方程为
3π 即 ρ＝2rcos 2 －θ，∴ρ＝－2rsin θ，
3π 经验证，点 O(0,0)，A2r， 2 的坐标满足上式.
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ. 规律方法 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦、余 弦定义找到变量ρ，θ的关系.在圆的问题中，经常用到直角三
π 跟踪演练 4 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C3，3，半径 r＝3. (1)求圆C的极坐标方程；
解 设M(ρ，θ)是圆C上任意一点，
π 在△OCM 中，∠COM＝|θ－3|，
由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|· cos∠COM，
π －2×3×ρcosθ－3，
π π 2 代入圆 ρ1＝6cosθ1－3的方程得3ρ＝6cosθ－3，
π 即 ρ＝9cosθ－3为所求.
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2.曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( B )
A.x2＋(y＋2)2＝4 B.x2＋(y－2)2＝4
2.常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点，半径为 r 的圆 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
图形
极坐标方程 ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝ 2rcos θ π π － ≤θ< 2 2
π 圆心为r，2，半
径为 r 的圆 过极点， 倾斜角为 α 的直线
ρ＝ 2rsin θ (0≤θ<π) (1)θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)
2
答案 A
要点一 圆的极坐标方程
例1
解
3π 在极坐标系中，求半径为 r，圆心为 Cr， 2 的圆的极坐标方程.
由题意知，圆经过极点 O ， OA 为其一条直
径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，
则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA，
在Rt△OAM中， |OM|＝|OA|cos∠AOM，
角形中的边角关系.
探究3、圆心与半径在任意位置
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π 4.在极坐标系中，求圆心为 A8，3，半径为 5 的圆的极坐标方程. 解 在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，
π |OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝3－θ.
2 2 2 8 ＋ ρ － 5 π 由余弦定理得 cos3－θ＝ ， 2×8· ρ
练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a π π － <θ< 2 2 ρsin θ＝a (0<θ<π)
π 过点a，2，与极轴平行的直线
1.4圆的极坐标方程
1、 求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极 坐标方程。
解： 如图所示，在所求直线 l 上任取一点P（ρ，θ），连结 OP， 则 OP＝ρ，∠POA＝θ 在Rt△POA中，由于OA/OP=cosθ， ρ O θ P(ρ, θ) A(2,0)
所以 2/ρ＝cosθ,
x
所以 ρcosθ=2为所求直线的极坐标方程。
A(2r, ) 2 P(ρ,θ) C(r, ) 2
θ O x
所以 ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。
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π 1.在极坐标系中，圆心为(1，2)，且过极点的圆的方程是(
A.ρ＝2sin θ C.ρ＝2cos θ B.ρ＝－2sin θ D.ρ＝－2cos θ
)
π 解析 方法一 如图所示，圆心为(1，2)，且过极点的圆的半径为 r＝1，设圆上任一点 P 的极坐标为(ρ，θ)，