极坐标和参数方程-一轮复习
教学内容
【知识结构】
知识点一：极坐标
1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对
就叫做点的极坐标。
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：
直角坐标化极坐标：；
极坐标化直角坐标：.
此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.
知识点三：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
知识点四：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
（为参数）；
其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。
（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
（为参数，为为常数，）；
其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
2．圆的参数方程
（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
（是参数，）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中，点对应的角为（过作轴，
交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。
（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成，
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
双曲线（,）的参数方程为（为参数）。
5. 抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为（是参数）。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。
【例题精讲】
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是
_____，关于直线的对称点的坐标是_______，
思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。
解析：它们依次是或；；（）.
示意图如下：
总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的
多值性。
举一反三：
【变式】已知点，则点
（1）关于对称点的坐标是_______，
（2）关于直线的对称点的坐标为________。
【答案】
(1) 由图知：,，所以
；
(2) 直线即，所以或（）
例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) .
思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。
解析：
（1）方程变形为,
∴或，即或，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得,即，
故原方程表示直线。
(3) 变形为, 即，
整理得，
故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。
（4）变形为,
∴,即,
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。
总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。
举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.
(1)；(2), 其中；
(3)(4)
【答案】：
(1)∵，∴即,
故原方程表示是圆.
(2)∵, ∴，
∴，∴或，
∴或
故原方程表示圆和直线.
(3)由，得即，整理得
故原方程表示抛物线.
(4)由得,
∴，即
故原方程表示圆.
【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.
【答案】将代入方程得.
例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。
思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。
解析：
（1）由图知，所求的极坐标方程为；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.
（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.
总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.
举一反三：
【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。
【答案】：。
（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，
则原点（极点）到该直线的距离是；
（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，
极点到直线的距离为。
【变式2】解下列各题
（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的切线方程为____；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆的圆心为________。
【答案】
（1）（方法一）
设在圆上，则，，，，由余弦定理得
即，为圆的极坐标方程。
其平行于极轴的切线方程为和。
（方法二）
圆心的直角坐标为，
则符合条件的圆方程为，
∴圆的极坐标方程：
整理得，即.
又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，
即和
（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，∴两圆圆心距为.
（方法二）圆即的圆心为，
圆即的圆心为，
∴两圆圆心距为.
（3）（方法一）令得，∴圆心为。
（方法二）圆即的圆心为，即.
类型二：参数方程与普通方程互化
例4．把参数方程化为普通方程
(1) (，为参数)；（2）(，为参数）；
（3）(,为参数)；（4）(为参数).
思路点拨:
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。
解析：
（1）∵，把代入得；
又∵,, ∴,,
∴所求方程为：(,)
（2）∵,把代入得.
又∵，
∴,. ∴所求方程为(,).
（3）（法一）：,
又，,
∴所求方程为(,).
（法二）：由得,代入,
∴（余略）.
（4）由得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一:，
即（），故所求方程为（）法二: 由得，代入得，即
∴再将代入得，化简得.
总结升华：
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程
中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.
举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。
（1）(t为参数) ；（2）（t为参数）.
【答案】：
（1）由得，代入化简得.
∵, ∴,.
故所求方程为（，）
（2）两个式子相除得，代入得，即.
∵，故所求方程为().
【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
（2）参数方程(表示的曲线为（）。
A、双曲线一支，且过点
B、抛物线的一部分，且过点
C、双曲线一支，且过点
D、抛物线的一部分，且过点
【答案】：
（1）
其中，，∴半径为5。
（2），且，因而选B。
【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（）。
A、B、C、D、
（2）为锐角，直线的倾斜角（）。
A、B、C、D、
【答案】：
（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
（2），相除得，
∵，∴倾角为，选C。
例5．已知曲线的参数方程（、为常数）。
（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）
取两式的平方和，得
曲线是以为圆心，为半径的圆。
（2）方程变形为（为参数，为常数）,
两式相除，可得，即,
曲线是过点且斜率的直线。
总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。
举一反三：
类型三：其他应用
例6．椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
思路点拨:由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。
解析：设椭圆上第一象限的点，则
当且仅当时，取最大值，此时点.
总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。
举一反三：
【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，则
，
（当且仅当即时取等号）。
∴点到直线的最小距离为，此时点，即。
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
【答案】：已知圆方程为，
设其参数方程为（） 则圆上的点
到直线
的距离为
，即
∴或
又 ，∴，从而满足要求的点一共有三个. 【变式3】实数、
满足
，求（1），（2）
的取值范围.
【答案】： （1）由已知
，
设圆的参数方程为（为参数）
∴
∵，∴
（2）
∵
，∴.
【巩固练习】
1. 已知点M 的极坐标为-?? ?
?
?53
，π，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标为 A. 53
，-?? ??
?π B. 543
，π?? ?
?
? C. 523
，-?? ?
?
?π D. --?? ?
?
?553
，π 2. 点()22，-的极坐标为（ ）
3. 圆心为C 36
，π?? ?
?
?，半径为3的圆的极坐标方程为（ ） 4. 极坐标方程为cos 30ρθθ-=表示的圆的半径为（ ）
5. 若A 33，π??
??
?，B -??
?
?
?36，π，则|AB|=___________，S A O B ?=
___________。（其中O 是极点） 6. 极点到直线(
)cos sin ρθθ+=_____________。 7. 极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是____________。
8. 若圆C 的方程是2sin a ρθ=，则它关于极轴对称的圆心方程为____________，它关于直线θπ
=
34
对称的圆的方程为____________。 9. 方程sec 0cos x a ab y b θ
θθ=?≠?
=?
（为参数，）表示的曲线是____________。
10. 直线x x t y y t =+=-?
??00
3（t 为参数）上任一点P 到()Px y 000
，的距离为__________。 11. 直
线2211216x t t x y A B y ?=+??
+=??=-??为参数）与圆交于、两点，则AB 的中点坐标为
__________。
12. 22
121212516
x y F F P x PF F G +=?若、是椭圆的焦点，为椭圆上不在轴上的点，则的重心
的轨迹方程为____________。
13. 求椭圆22
11094
x y P +=上一点与定点（，）之间距离的最小值。
14. 若方程22cos 3sin 6cos 0m m ρθρθθ+-=的曲线是椭圆，求实数的取值范围。 15. 2cos sin x C y θ
θ=??
=?
已知曲线：，若A 、B 是C 上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平
分线交x 轴于P （a ，0），求a 的取值范围。
【试题答案】
1. A. 能表示点M 的坐标有（三）个，分别是B 、C 、D 。
2.
由2x y ==，
，得(2ρ==位于第四象限且
24
y tg x π
θθ=
=-=-或θπ=74
，故点2-
（，的极坐标为64
，-?? ???π或写成674
，π?
? ??
?。 3. 如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366
OP POA OA π
ρθ=∠=-=?=，，
((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6
πρθ??
∴=- ??
?
P
4. 方法一：方程变形为cos 2cos
6πρθθθ?
?==+ ??
?
，该方程表示的圆的半径与圆2cos ρθ
=的半径相等，故所求的圆的半径为r=1
方法二：把方程化为2cos sin 0ρρθθ-+= 化为直角坐标方程为220x y x +-+=
即2
2
112x y ??
?-++= ?
????
可见所求圆的半径r=1
5. 在极坐标系中画出点A 、
B ，易得150AOB ∠=?
((
((((((((((((((2
22
2cos 32
119
sin 33sin150224
OAB
AOB AB OA OB OA OB AOB
AB S OA OB AOB ??=+-?∠∴=====
??∠=????=中，由余弦定理，得：
6. 极点为（0，0），直线的直角坐标方程为0x y +-= ∴极点到直线的距离d =
=326
2
。
7. 方程两边同乘以ρ，则()2
2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。
8. 关于极轴对称的圆方程为2sin a ρθ=-，关于直线θπ
=
34
对称的圆的方程为2cos a ρθ=-。 9. 方程表示的曲线为双曲线（可把参数方程化为普通方程xy=ab ） 10. 所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 11. 中点坐标为()33，-
（把1
12
x t y =+=-，代入222168120x y t t +=-+=，得：，设A 、B 对应的参数分别为t t 12，，则AB 中点对应的参数为()01211
8422
t t t =+=?=，将t 04=代入直线参数方程，
可求得中点的坐标。）
12. 设()()()()125cos 4sin 3
030G x y P F F θθ-，，，，而，，， 由重心坐标公式，得：()5cos 335cos 334sin 004sin 33x y θθθθθ+-+?
==???++?==??
（为参数） 消参，得点G 的轨迹方程为22
9912516
x y +=
13. 解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
()()
3cos 2sin 10P P d θθθ=设，，则到定点（，）的距离为
3
cos )5
d θθ=(当时，
14. 解：将方程两边同乘以ρ，化为：
()()22
cos 3sin 6cos 0m ρθρθρθ+-=
即整理，得：若方程表示椭圆，则须满足：
m x y x x m m y m m 222
2
2360
393
1+-=-?
? ??
?+=
()()229
03
00303393m m m m m
m m ?>???>?>≠?∈+∞???≠??
U 且，
，
15. 解：()()设，，，A B 22cos sin cos sin ααββ
()ΘΘA B k k k z AB x P
PA PB
、关于坐标轴不对称
，且，的垂直平分线·····
与轴交于点∴≠±≠±-∈∴=απβαπβ221
()()()()2222
2cos sin 2cos sin a a ααββ∴-+=-+
()
3cos cos 4
3
cos cos 12
a a αβαβ+=
==解之，得：当时，取最大值；
3
cos cos 12
3322a a αβ==--??
∴- ?
??
当时，取最小值。
的取值范围为，
参数方程和极坐标方程知识点归纳
专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1
极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：
2018年高考备考极坐标与参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
极坐标和参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的 函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但 当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程
极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料极坐标与直角坐标普通方程与参数方程 的互相转化
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：???>='>='）（）（ 0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换????? x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆 可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线C 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．4x 2+9y 2=1 【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到： 故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′ 2＝1． 【解答】解：设变换为φ：?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 2 4＝1， 比较系数得λ＝1 3，μ＝1 2 ． 所以?????x ′＝13 x ， y ′＝1 2 y ．将椭圆4x 2 ＋9y 2 ＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1 2， 可得到圆x ′2＋y ′2＝1．
亦可利用配凑法将4x 2 ＋9y 2 ＝36化为? ?????x 32＋? ?? ?? ?y 22 ＝1，与x ′2 ＋y ′2 ＝1对应项比较即可得?????x ′＝x 3，y ′＝y 2 ． 3、（2015春?浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ） A ．25x 2+9y 2=1 B ．9x 2+25y 2=1 C ．25x+9y=1 D ．+=1 【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1， 故选：A ． 二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθ ρθ =??=?
最新极坐标参数方程题型归纳--7种
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.
极坐标与参数方程专题答案
2015年极坐标与参数方程专题答案 1 【解析】根据直线的位置特点，设出所求直线上点的坐标为(ρ，θ)，结合三角形的知识建立ρ和θ之间的等式，即可求出该直线的极坐标方程． 设直线上任意一点的坐标是(ρ，θ)， 由正弦定理 即 2 【解析】根据变换法则建立曲线C1的参数方程，求出普通方程，根据极坐标方程，曲线C2 的方程也是圆，求出普通方程即可求出公共弦长． (α为参数 )上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到 1 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 所以C1为(x－1)2＋y2＝4. 又C2为ρ＝4sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y， 所以C1和C2公共弦所在直线为2x－4y＋3＝0，所以(1,0)到2x －4y＋3＝0 3．2 【解析】1．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．参数方程化为普通方程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．(2)三角法：利用三角恒等式消去参数．(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．化参数方程为普通方程F(x，y)＝0时，在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性． 由C1 (x－4)2＋(y－3)2＝1；由C2：ρ＝2得x2＋y2＝4，两圆圆心距
为5，两圆半径分别为1和2，故|AB|≥2，最小值为2. 4 由已知，以过原点的直线倾 斜角θ为参数,则 以 。所以所求圆的参数方程 为 本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。5 该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系. 6 4 π θ?? += ? ? ? 对 7．2 【解析】本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档 题． 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且 又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3 p＝±2(负值舍去)，即p＝2. 8 【解析】考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
全参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ） 即 y f （t ） ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条 曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程 总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数， 的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos
4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角） ，中心在 （x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考 题含答案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得 1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积 o 11sin 452?=1 2 . 2.已知曲线194:22=+y x C ，直线?? ?-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,.
极坐标与参数方程专题复习
极坐标与参数方程专题复习
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试卷第8页，总6页 极坐标与参数方程专题复习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、知识点总结 1.直线的参数方程 (1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离， (2)一般式?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 转化为标准式 ??? ? ??? ++=++=t b a b y y t b a a x x 2202 20 2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换 (1)圆()() 22 2 x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θ θ=+?? =+? (θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π (2)椭圆122 22 =+b y a x cos sin x a y b θ θ=??=? (θ为参数)
试卷第8页，总6页 椭圆 1 22 22=+b y a y cos sin x b y a θ θ=?? =? (θ为参数) 3.极坐标 (1)极坐标与直角坐标互换。222cos sin x y x y ρρθρθ?=+? =??=? (2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ= 二、例题示范 题型一、坐标的互化。（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。 1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。 2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。 例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+???=??（t 为参数），以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 23sin ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为
北师大版2018-专题突破——极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参 数），两曲线相交于M，N两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数）， 代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2， 则t1+t2=12，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=． 2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值． 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆． （2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上． 把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0． 由韦达定理可得t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=．
3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程； （II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值． 解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为： ， 因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数）， 代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17， 则：||PA|﹣|PB||=，=． 4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点． （Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为． ∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分） ∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，
2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
极坐标系与参数方程一轮复习
极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周
极坐标与参数方程专题复习汇编
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1?坐标系 （1） 理解坐标系的作用； （2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2?参数方程 （1） 了解参数方程和参数方程的意义； （2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参 数方程都是放在选作题的一题中来考查。 由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所 以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简 称伸缩变换? 2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。 3?点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的? xOM 叫做点M 的极角，记为二。有序 数对（OR 叫做点 M 的极坐标，记为M （几旳. 极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ?Z ）表示同一个点。极点 0的坐标为（0门）（” R ）. 4.若? :：: 0,则- ? 0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二） 表示同一点。 如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表 示; 、题型分布: 1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿 X 「X, ( ■ 0),
高考文科数学复习第轮极坐标与参数方程
高考文科数学 一轮复习（极坐标与参数方程）
第二讲极坐标与参数方程 目标认知 考试大纲要求： 1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义； 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较，了解它们的区别； 5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程； 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生 成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 重点、难点： 1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程 的互化。 2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。 【知识要点梳理】: 知识点一：极坐标 1．极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 （1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所 求的点。 （2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的 终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对 应， 即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合； ③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下 关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线： 5. 圆的极坐标方程： （1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，，以为直径的圆： 知识点二：柱坐标系与球坐标系：
经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)
经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答 案) https://www.360docs.net/doc/5b4850356.html,work Information Technology Company.2020YEAR
《极坐标与参数方程》综合测试题 1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线 l 过点P （1,0），倾斜角为3 ，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点． （1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求 +． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求圆C的参数方程； （Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标． 4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=． （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为（t为参数）， 3 P,0 2 ?? ? ?? ，当直线l与曲线 C相交于A，B两点，求 2 AB PA PB ? .