全国卷20102017年高考整理极坐标与参数方程1
2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)
2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24yx=的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，ABDE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24yx=，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():AAl x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x yB x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k xkbx b +++-=122814kbx x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P AP By y kk x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y xy +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x ya b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a = A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．()A O DxyBPCE∴BD∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴0112xμθ==+，01yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sinϕ=，cosϕ)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标()1,0-，如图，BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>F4 3 2 112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++根据椭圆定义为一个椭圆，方程为22143+=，(0y≠)；⑵221:143x yC+=；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--，联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++，())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C）3（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的 取值范围是（A)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33- 答案：A解析：由条件知F 1(－，0)，F 2(，0)，＝(－－x 0，－y 0)，＝(－x 0，－y 0)， －3＜0.① 又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y 0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案：+y 2＝解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a ，0)(a ＞0)，所以＝4－a ，解得a ＝，故圆心为，此时半径r ＝4－，因此该圆的标准方程是+y 2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于,M N 两点。
极坐标与参数方程历年高考题
4-4极坐标与参数方程历年高考题（一）一、选择题、1、（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（ ）A 、(1,)2πB 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1，π)2、(2003全国)圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（ ） (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ3、(2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 (,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）（A ） （4、(2001年广东、河南)极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是（ ） (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 5、(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（ ）(A)圆(B)椭圆(C)抛物线 (D)双曲线6、(2011年高考北京卷理科3)在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）A 、(1,)2π B 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1,)π7、(2000年京皖春)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ） (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合8、（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（ ） （A ）两个圆 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线9、（安徽理5）在极坐标系中，点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）（A ）2 （B ）942π+（C ）912π+（D ）310、(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为（ ） (A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22=(D)θρsin 22-=二、填空（每题5分，共20分）11、（2008广东文理数）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________12、（2010·广东高考理科15）在极坐标系（ρ,θ）（02θπ≤≤）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=- 的交点的极坐标为 。
2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)
2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24yx=的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，ABDE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24yx=，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C ab-，（0a >，b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【答案】23【解析】如图，OA a=，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴3AP ，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++=3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，331P ⎛- ⎝⎭，，431P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y xy +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221xy ab+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b a c=-，可得()2223aa c=-，即2223c a =∴c e a =A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．C D ．2【解析】由题意，画出右图．设BD与C切于点E，连接CE．以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．∵||1CD=，||2BC=．∴BD∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=()A O D xyBPCE∴0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sin ϕ，cos ϕ) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++=由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 10M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， F||M MN y =-焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 于Q P ,两点，求四边形【解析】：⑴圆A BE AC ∥EBD ∴=∠AE EB ∴+=⑵221:43x y C +联立l 与椭圆圆心A 到所以||PQ =()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130xy x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34-（C （D ）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的 取值范围是（A)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33- 答案：A解析：由条件知F 1(－，0)，F 2(，0)，＝(－－x 0，－y 0)，＝(－x 0，－y 0)， －3＜0.① 又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y 0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案：+y 2＝解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a ，0)(a ＞0)，所以＝4－a ，解得a ＝，故圆心为，此时半径r ＝4－，因此该圆的标准方程是+y 2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于,M N 两点。
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2。
2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。
【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。
极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题
极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题一、极坐标系在平而上取一个定点0,由点0出发的一条射线6、一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系•点O 称为极点，O 工称为 极轴•平而上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度°和从Ox 到OM 的角度0 （弧度制）来刻画（如图16-31和图16-32所示）.这两个实数组成的有序实数对（°,&）称为点M 的极坐标.。
称为极径，&称为极角.二、 极坐标与直角坐标的互化设M 为平而上的一点，英直角坐标为（A -, y ）,极坐标为（p.O ）,由图16-31 和图16-32可知，下而的关系式成立：'x = pcos0八或< y = f sin8 三、 极坐标的几何意义p =）——表示以O 为圆心，7•为半径的圆:0 = % ——表示过原点（极点）倾斜角为％的直线，0 = > 0）为射线:p = 2acosO 表示以（a, 0）为圆心过O 点的圆.（可化直角坐标：p 2= lap cos 0 => x 2+ y 2= 2ax => （x-a ）2+ y 2=a 2.）四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y-y Q =k （x-x 0）t X 中R = tana （<z 为直线的倾斜角），代人点斜式方程:sin a z 、/ 亠兀、nny - y ｛）?QT = JT + ）厂 v（对QVO 也成立）.tan^ = —（x^O ）y-y（）= ----- （x-x0）（a^-）,即——=—^・cos a 2 cos a sin aX = X a+t COS a rr记上式的比值为匚整理后得彳°,« =-也成立，故直线的参y = y0 +1 sin a 2x = x a +tcosa数方程为｛・ a 为参数，&为倾斜角，直线上定点M o （x （p y o ）,动点y = y 0 +1 sin aMgy ） , f 为网両的数量，向上向右为正（如图16-33所示）.x = x 0 + rcos^ y = y 0 + rsi六、椭圆的参数方程七、双曲线的参数方程八、抛物线的参数方程抛物线y 2=2px 的参数方程为\X = 2pr（/为参数，参数/的几何意义是抛 ） = 2pf物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.1. 2020年全国统一髙考数学试卷（新课标I ）X = COS L在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为j ・k （/为参数）•以坐标原点为极y = sin t点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线q 的极坐标方程为4QCOs&-16Qsin& + 3 = 0. （1）当《 = 1时，G 是什么曲线？⑵当R=4时，求G 与G 的公共点的直角坐标.五、圆的参数方程若圆心为点Ma 。
极坐标与参数方程
1、（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=0（p ≥0）表示的图形是 （A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 2江西15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
3上海10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程为___________.4. （安徽13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是5.陕西15.．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ． 6．（2010年高考广东卷理科15在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．7、辽宁23. 在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:-2+=4C x y在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） 8.（2012年江苏省）在极坐标中，已知圆C经过点()4P π，圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．9.北京9．直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为_____。
10.广东14.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:x tC t y =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数）和2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.11 .(2010年高考天津卷理科13)已知圆C 的圆心是直线1t tχγ=⎧⎨=+⎩（t 为参数）与χ轴的交点，且圆C 与直线30χγ++=相切。
坐标系与参数方程全国卷真题.doc
劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017高考试题选编1.（全国卷【）在直角坐标系尤0），中，曲线C的参数方程为■〃（。
为参数），直线/的参y = sin6>数方程为『="+*（［为参数）.（1）若Q = -1,求C与/的交点坐标；（2）若C上的点到/距离的最大值为应，求。
.2.（全国卷II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C|的极坐标方程为Qcos。
= 4.（1）M为曲线G上的动点，点P在线段上，且满足|OM|・|OP| = 16,求点F的轨迹C?的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2,兰），点B在曲线G上，求△Q4B面积的最大值.3 一x = 2 + /3.（全国卷III）在直角坐标系双处中，直线4的参数方程为（，为参数），直线的参数y = ktX = -2 + 771m为参数）.设4与"勺交点为P,当#变化时，P的轨迹为曲线C.方程为」m（（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，设4： Q（cosO + sin。
）-扼=0, M为4与C的交点，求M的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线4pcos（^--） + l = 0与圆p = 2sin^的公共点个数为—.6工=一8 + 13.（全国卷III ）在直角坐标系X 。
），中，曲线G 的参数方程为《5. （江苏卷）在平面直角坐标系尤Oy 中，己知直线/的参数方程为t（「为参数），曲线Cx = 2s的参数方程为 l （$为参数）.设P 为曲线。
上的动点，求点P 到直线/的距离的最小值. y = 2V256. （北京卷）在极坐标系中，点A 在圆p 2-2pcos^-4psin^ + 4 = 0±,点P 的坐标为（1,0）,则|AP|的最小值为.三、2016高考试题选编X — Cl cos t一 .（，为参数，。
极坐标系与参数方程整理
极坐标系与参数方程 知识点整理1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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全国卷2010----2017数学高考真题-------极坐标与参数方程选讲
1、（2017新课标3）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,
x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程
为2,,x m m m
y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
(
)3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
2、（2017新课标2）22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．
3、（2017新课标1）22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方
程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a .
4、（2016新课标3）（23）（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,()sin ,x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为
极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
sin()4
ρθπ
+=.
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是cos ,
sin ,
x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.
6、（2016新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t
y a t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数，a ＞0）.在
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线
3:C ρθ=．
（Ⅰ）.求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．
8、（2015新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C :
x =-2，圆2C ：()()22
121x y -+-=,以坐标原点为极
点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN
V 的面积.
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
10、（2014新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程
已知曲线22
1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．
11、（2013新课标2）（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x y β
β
=⎧⎨
=⎩（β为参数）上，对应参数分别为β=α
与α=2π（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点. （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
12、（2013新课标1）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x =4+5cost y =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
13、（2012新课标）（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。
14、（2011新课标）(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v
,P 点的轨迹为曲线C 2
(Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
15、（2010新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），
（Ⅰ）当α=
3
π
时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。