椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)

椭圆的极坐标方程及其应用

如图，倾斜角为θ且过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆

C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明:

22

11

PF QF +为定值

改为：抛物线2

2(0)y px p => 呢？

例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3

2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的

直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。

练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于

A ，

B 两点，直线l 的倾斜角为60o

,2AF FB =，求椭圆C 的离心率；

例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．

练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12

2

2

=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.

例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： |

|1

||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.

Q y O x P 2F A

y

O

x

B

F

推广：已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点

12

,,,

n

P P P

???,若

122311

n n n

PFP P FP P FP P FP

-

∠=∠=???=∠=∠,则

1

1

||

n

i i

n

PF ep

=

=

∑，你能证明吗？

练习3. （08年福建理科）如图，椭圆

22

22

.

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222

OA OB AB

+<,求a的取

值范围.

作业1. （08年宁夏文）过椭圆1

4

5

2

2

=

+

y

x

的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B

A,两点, O为坐

标原点, 则△OAB的面积为 .

作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆

2

2

:1

2

x

C y

+=的右焦点为F,右准线l，点A l∈，线段AF交C于点B。若

3

FA FB

=,求AF。

作业 3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点

1

(1,0)

F-和右焦点

2

(1,0)

F，且

AC BD

⊥，椭圆的一条准线方程为4

x=

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形ABCD面积的取值范围。

练习4.（08年安徽文）已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=＞＞，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点.求证：

2

42

2cos

AB=

-θ

；

（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求AB DE

+的最小值.

作业5. 已知以F为焦点的抛物线24

y x

=上的两点A、B满足3

AF FB

=,求弦AB的中点到准线的距离.

参考答案：

例1.

练习1.

例2.

练习 2..

例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为122

22=+b

y

a x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为c

a x 2

=，从而由已知

36,1222

==a c

a ，

因此3327,62

2

==-=

=c a b a .

故所求椭圆方程为

127

362

2=+y x . （Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性

假设1203θπ≤<,且213124,33

θθθθππ

=+=+

又设点i P 在l 上的射影为i Q ,因椭圆的离心率1

2

c e a =

=,据椭圆第二定义得 2||||(||cos )i i i i i

a FP PQ e c FP e c θ==--1

(9cos )2

i i FP θ=-(1,2,3)i = ∴

121

(1cos )92

i i FP θ=+(1,2,3)i =. ∴

1111

2311121243(cos cos()cos()9233FP FP FP θθθππ??

++=+++++???? 又

11111111241313

cos cos()cos()cos cos cos 03322θθθθθθθθππ++

++=--+= ∴1

2311123FP FP FP ++=(定值) 方法二:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203

θπ

≤<

,且 213124,33

θθθθππ

=+

=+,另设点(,)i i P x y ,则||cos 3,||sin i i i i i

i x PF y PF θθ=+= 点i P 在椭圆上,∴

22(||cos 3)(||sin )13627

i i i

i PF PF θθ++= ∴

11

(2cos )9

i i FP θ=+(1,2,3)i =,以下同方法一 ∴

1

2311123FP FP FP ++=(定值) 推广：

引理1:(1)sin

cos()22cos cos()cos(2)cos()sin

2

n n n ββ

θθθβθβθββ

+++++++???++=

.

证明:1cos sin

[sin()sin()]2222β

ββ

θθθ=+-------------------------(1) 13cos()sin [sin()sin()]2222

βββ

θβθθ+=+-+----------------------(2)

……

12121cos()sin

[sin()sin()]2222

n n n β

θβθβθβ+-+=+-+----------(1n +) 将上述1n +个式子相加得

1211

[cos cos()cos()]sin

[sin()sin()]2222n n β

θθβθβθβθβ++++???++=+-- ∴(1)sin cos()

22cos cos()cos()sin

2

n n n ββθθθβθββ+++++???++=

证明:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,,)i i AFP i n θ∠==???,不失一般性

假设120n θπ≤<,且2131124,,,n n n n n

θθθθθθππ2(-1)π

=+=+???=+

又设点i P 在l 上的射影为i Q ,据椭圆第二定义得 2

||||(

||cos )i i i i i a FP PQ e c FP e c

θ==--(1,2,,)i n =??? ∴

21(1cos )i i a

e FP b

θ=+(1,2,,)i n =???. ∴11121122(1){[cos cos()cos()]}||n

i i

a n n e PF

b n n ππ

θθθ=-=++++???++∑

在引理1中,令12,n πθθβ==,则11122(1)cos cos()cos()n n n

ππ

θθθ-+++???++

11(1)(1)sin cos()sin cos()220sin

sin

2

n n n n n

πββ

πθθβ

π

--+

+===

∴211||

n

i i na

PF b ==∑.

练习3.

解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，

因为△MNF 为正三角形，

所以3

2OF MN =, 即1＝

32, 3.3

b

b 解得＝ 2

2

14,a b =+=因此，椭圆方程为22

1.43

x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y

(ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，

222

2222

2

2

2,4(1),.

OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有

(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，

设直线AB 的方程为：22

221,1,x y x my a b

=++=代入

整理得22222222

()20,a b m y b my b a b +++-= 所以2222

1212222222

2,b m b a b y y y y a b m a b m

-+==++ 因为恒有222

OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.

2

121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++

222222222222

2222222

222

(1)()210.

m b a b b m a b m a b m

m a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立， 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.

当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0.

a 2

b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,

因为a >0,b >0,所以a 0,

解得a >152+或a <152-(舍去)，即a >15

2

+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（15

2

+，+∞）.

解法二。

作业 1.

作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2

||3

BM =.又由椭圆的第二定义,得222

||3BF =?=

||2AF ∴=. 作业3.

作业4.

作业5.

8

3