圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用 圆锥曲线的统一极坐标?/? Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程
ep
尸 1—eoR (
其中P 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距. 当Ov ev 1时，方程尸1—COSI 表示椭圆; 当e = 1时，方程(***)为p= —P —-，表示抛物线;
1 — cos 0
当e > 1时，方程P 「竟表示双曲线，其中p€ R .
I — ecos 0
2 2
已知A 、B 为椭圆予+ *= 1(a > b > 0)上两点，
OA 丄OB(O 为 原点).
［再练一题］
1. 本例条件不变，试求△ AOB 面积的最大值和最小值. ?例 1 1
求证：OA 2+OB 2为定值.
■2 +
2 2
过双曲线J-￥ = 1的右焦点，引倾斜角为扌的直线，交双曲线于A、B两点，求AB.
应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点（极点）的弦长非常方便.椭圆和抛物线中，该弦长都表示为p+ P,而双曲线中，弦长的一般形式是|p+ p|.
(1) 以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
(2) 过F 作直线I 交抛物线于A , B 两点，若AB = 16,运用抛物线的极坐标 方程，求直线I 的倾斜角.
3 p= 1—2C0SV 过极点作直线与它交于A ，B
两点，且AB = 6,求直线AB 的极坐标方程.
［再练一题］ 3.平面直角坐标系中，有一定点 F(2,0)和一条定直线I : x = — 2.求与定点F 的距离和定直线I 的距离的比等于常数 1 2的点的轨迹的极坐标方程.
已知双曲线的极坐标方程为
4
1.抛物线p「4/p>0）的准线方程为
I — cos D
4
2.设椭圆的极坐标方程是p= 4 ，贝U入的取值范围是
2 — yCOS U
4
3.椭圆尸2—cos B的焦距是
9
2.已知双曲线的极坐标方程是尸4^COS1），求双曲线的实轴长、
虚轴长
和准线方程.
卜例H已知抛物线y* 2 *= 4x的焦点为F.
4
4.双曲线p= 2 — 3COS B的焦点到准线的距离为
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题 知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条 定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -= . 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.（复旦自招）确定方程10 53cos ρθ= -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：3102 5333 1cos 1cos 55ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。 解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长
高中数学 《极坐标方程的应用学案》
学号 《极坐标方程的应用学案》 姓名 学习目标：（1）；掌握极直互化的方法，能将极坐标问题转化为直角坐标解决。 （2）．体会数形结合的思想，通过图像简化问题。 一．知识准备 1. 极直互化 ⑴极坐标),(θρ转化为直角坐标),(y x ⑵直角坐标),(y x 转化为极坐标),(θρ _______________________ _______________________ 2、圆的极坐标方程 基本式一：圆心在极点，a r = 基本式二：过极点，圆心在坐标轴上，a r = 基本式三：过极点，圆心为),(αa 的圆 3、直线的极坐标方程 基本式一：过极点，倾斜角为α 基本式二： 基本式三：倾 斜角 为α， 极点到 (2)_______ x x x O (1)_______x O (1)_______ x ) 0,(a ) ,(πa
直线的距离为d 二．体验过程 1、(2013广一模)在极坐标系中，定点，点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，=AB _________；点B 的极坐标为_____________ 2、已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=，θρsin 2a =，（a 是非零常数）。若两圆的圆心距为，求a 的值。 3、(2012年上海)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6 π α=， 则直线的极坐标方程 4、(2008高考改编)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为 3sin =θρ，θρsin 4=， )20,0(πθρ<≤≥，则曲线1C 与2C 交点的极坐标________________ 5、(2012年高考安徽)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6 R π θρ= ∈的距离是 _____ 6、已知点)0.0(),4 3, 2(),2 ,2(O B A π π 试判断ABO ?的形状 7、在极坐标系中，点)3 , 2(π 到圆θρcos 2=的圆心的距离为_______，切线长为_______ )2 3 , 2(πA 0sin 3cos =+θρθρ5)2 3, (πa (2)_____________ (1)___________ x O
参数方程和极坐标方程知识点归纳
专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1
利用极坐标解圆锥曲线题word版本.docx
利用极坐标解题 知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ep . 1 ecos 其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ． 当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆； 当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（ 1）若 ep 1+ecos 则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭 圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若 ep 1-esin 当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线 ep （3） 1+esin
当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例 1.（复旦自招）确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 3cos 5 2 3 10 解法一： 5 3 1 3 cos 1 3 cos 5 5 3 10 e ， P 5 3 c 3 3 a c a 25 a 5 5 8 b 2 10 5 10 c 15 c 3 a c 3 8 3 b ( 25 )2 ( 15 )2 5 8 8 2 3 15 长轴长 25 ，短轴长 5 方程表示椭圆的离心率 e ，焦距 ， 4 5 4 解法二：转化为直角坐标 （ 2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， 1、椭圆中， p a 2 c b 2 ， MN ep ep ) a 2 2ab 2 . c c 1 ecos 1 ecos( c 2 cos 2 若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ， 设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长 。
浅谈极坐标及极坐标方程的应用
浅谈极坐标及极坐标方程的应用 摘要 极坐标法是一种重要的解题方法，虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容，但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用，有必要加以深入研究。 本文首先对极坐标的基础知识进行阐述，给出了极坐标的相关概念，以及求曲线极坐标方程的方法与步骤，并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程，然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用，最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨，我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究，使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解，并使学生对高中平面几何内容有完整的把握，有更深层次的掌握。同时，这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任务。 关键词：极坐标；应用；优越性 前言 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由滴应用极坐标去研究曲线。 在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标系表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变得极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比直角坐标系具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。 国内外研究动态，不仅在数学理论反面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +- =. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有 ep NF MF 211=+.
三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θ θπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中， 若M 、N 在双曲线同一支上，θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2； 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点， 当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF + =.
全参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ） 即 y f （t ） ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条 曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程 总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数， 的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos
4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角） ，中心在 （x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题 一、适用题型二、基本理论： （一）极坐标系、 在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的 正方向（通常取逆时针方向），如图 对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。 （二）圆锥曲线的统一极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （成为标准极坐标方程）。 （1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。 （2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线. （3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中： （i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。 （ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a = 。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。 由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为： 推广1： 1+cos ep e ρθ = （1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 （2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 （3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 推广2：1-sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线 （3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 推广3：1+sin ep e ρθ = （1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 （2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线
圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的统一极坐标./. Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ρ＝ ep 1－e cos θ ，(***) 其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e＜1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示椭圆； 当e＝1时，方程(***)为ρ＝ p 1－cos θ ，表示抛物线； 当e＞1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示双曲线，其中ρ∈R. 已知A、B为椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为 原点)． 求证： 1 OA2＋ 1 OB2为定值． [再练一题] 1．本例条件不变，试求△AOB面积的最大值和最小值．
过双曲线x2 4－ y2 5＝1的右焦点，引倾斜角为 π 3的直线，交双曲 线于A、B两点，求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|. 2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝ 9 4－5cos θ ，求双曲线的实轴长、虚轴长 和准线方程． 已知抛物线y2＝4x的焦点为F.
(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角． [再练一题] 3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数1 2的点的轨迹的极坐标方程． 已知双曲线的极坐标方程为ρ＝ 3 1－2cos θ ，过极点作直线与它交于A，B 两点，且AB＝6，求直线AB的极坐标方程．
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
参数方程和极坐标方程知识点归纳
参数方程和极坐标方程知 识点归纳 Prepared on 24 November 2020
专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点 M 的ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0 (∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θ ρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θ ρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ) （极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定 ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： 4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；（如图1） ②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；（如图2） y O H O 图1 M (,)ρθ θ ρcos 2a =θ ρsin 2a =图4 θ ρsin 2a -=图5 θ ρcos 2a -=a =ρ图1 ) cos(2?θρ-=a 图6
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep
2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2
微专题 极坐标方程的应用
极坐标 一、内容回顾 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ???? x ′＝λx ，λ>0， y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对 应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝ x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)． 3．常用简单曲线的极坐标方程
二、典型例题 题型一：平面直角坐标系中图象的变换 1.在同一平面直角坐标系中， （1）求 x 2＋y 2＝1 在变换φ：? ??='='y y x x 32的作用下，得到的曲线方程 【解析】 由题意可得：??? ? ?? ?'=' =3 2 y y x x ，代入x 2＋y 2＝1，即13222=??? ??'+??? ??'y x ， 则所得新曲线方程为19 42 2 =+y x ； （2）曲线C 在变换φ：???='='y y x x 32的作用下得到椭圆x 29＋y 2 4＝1.求此曲线C 方程 【解析】 由题意可知：将???='='y y x x 32，代入x 29＋y 2 4＝1，即 149942 2=+y x ，
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？ 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？ 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
(完整版)极坐标与参数方程专题复习
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1.坐标系 （1）理解坐标系的作用； （2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2.参数方程 （1）了解参数方程和参数方程的意义； （2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 二、题型分布： 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用 表示线段OM的长度， 表示从OX到OM 的角度， 叫点M的极径， 叫点M的极角，有序数对 ，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ，．若点M在极点，则其极坐标为 =0， 可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表 示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加
后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定 或，那么除极点外，平 面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这 两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条 件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程：
3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用4.1极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M 的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。 4.4以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。 今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又 设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而 θ ρρ cos += = p DP OP e ，即θρcos 1e ep -= 椭圆（双曲线）的焦参数c b p 2 =（极和极线的距离） 椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （如右图） 其中02 >=c b p 是定点F 到定直线的距离， 当10<
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为