高中数学 《极坐标方程的应用学案》
(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 )常见曲线的极坐标方程一、课前自主预习1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ43=,2.写出下列特殊图形的直线方程图3图1_________________ _____________________________________图5图4______________ ________________3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程.图3图2图1O____________________ ________________________________________图5图4_____________________ ____________________4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________二、课堂合作探究例1：按下列条件写出它的极坐标方程:⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及⎪⎭⎫ ⎝⎛6,6πA 的直线方程.⑷求过点⎪⎭⎫⎝⎛6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点⎪⎭⎫⎝⎛6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程..例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以⎪⎭⎫⎝⎛2,8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32πD 的圆例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.高二数学解析几何作业 ( 4 )1.求过极点，倾角为π/6的射线的极坐标方程_____________直角坐标方程___________2.求过点A(2, π/6)，且垂直于极轴的直线L 的极坐标方程____________3. 求过点A(2, π/2)，且平行于极轴的直线L 的极坐标方程____________4 (1)以极点O 与点()4,C π-连接的线段为直径的圆(2)圆心在极轴上,且过极点与点76D π⎛⎫⎪⎝⎭的圆5. 方程26sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ的直角坐标方程______________________6. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。
极坐标方程的应用教学设计
极坐标方程的应用教学设计引言极坐标方程是数学中重要的一种坐标系统，通过描述一个点的极径和极角，能够简洁地表示平面上的各种几何图形。
掌握极坐标方程的应用，可以帮助学生更好地理解数学概念，提高解决实际问题的能力。
本文将介绍一种应用极坐标方程进行教学的设计，旨在帮助学生深入理解极坐标方程的概念与应用。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 掌握极坐标方程的定义和基本概念；2. 理解极坐标方程的应用场景，并能够在实际问题中运用；3. 培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 极坐标方程的定义和基本概念a. 极坐标系的建立与说明b. 极坐标方程的表示方式和含义c. 极径和极角的物理意义和测量方法2. 极坐标方程的应用a. 极坐标方程在几何图形的描述中的应用b. 极坐标方程在物理问题中的应用c. 极坐标方程在工程问题中的应用三、教学过程1. 导入a. 引入极坐标方程的概念和背景，激发学生的兴趣和思考；b. 提出一个具体的实际问题，引出极坐标方程的应用场景。
2. 介绍极坐标方程的定义和基本概念a. 通过示意图和实例，解释极坐标系的建立和表示方式；b. 介绍极径和极角的物理意义和测量方法。
3. 展示极坐标方程的应用场景和方法a. 通过几何图形的描述，展示极坐标方程在圆、线、椭圆等图形中的应用；b. 通过物理问题的实例，展示极坐标方程在力的合成、天体运动等问题中的应用；c. 通过工程问题的案例，展示极坐标方程在机械设计、雷达定位等问题中的应用。
4. 练习与讨论a. 给学生提供一些简单的练习题，让学生用极坐标方程解答；b. 引导学生分析和讨论练习题的解题过程和方法；c. 提供一些拓展问题，让学生运用极坐标方程解决更复杂的问题。
5. 总结复习a. 对本节课的内容进行系统性的总结，并梳理关键知识点；b. 提醒学生进行自主学习，进一步强化对极坐标方程的理解和应用。
四、教学评估通过以下方式对学生进行评估：1. 教师观察和记录学生在课堂上的参与和表现；2. 练习题和问题解答的成绩；3. 学生的课后总结和思考。
极坐标参数方程导学案(一)
极坐标参数方程复习学案（一）【高考要求】：（1）坐标系①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义(2)参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程【教学目标】：1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。
}2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实践能力。
【自主探究】已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．)【巩固练习】1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。
,、2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. )（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积..【课堂小结】【课后作业】已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，曲线2C的参数方程为：x 2cos y =θ⎧⎪⎨θ⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．。
高中数学极坐标方程教案
高中数学极坐标方程教案
教学内容：极坐标方程
一、教学目标：
1. 理解极坐标的概念，掌握极坐标系的基本概念和用法；
2. 掌握极坐标系下的点、曲线、面积等的表示方法；
3. 能够根据题目要求，求解相关的极坐标方程。
二、教学重点和难点：
1. 极坐标系的基本概念和用法；
2. 极坐标方程的求解方法。
三、教学内容及步骤：
1. 极坐标系的概念和表示方法（5分钟）：
- 介绍极坐标系的定义和基本概念；
- 讲解极坐标系下点的表示方法；
- 演示极坐标系下点的坐标计算方法。
2. 极坐标方程的表示和求解（15分钟）：
- 解释极坐标方程的含义和表示方法；
- 示范如何根据题目要求，列出相应的极坐标方程；
- 练习相关题目，让学生熟练掌握求解极坐标方程的方法。
3. 极坐标方程的应用（10分钟）：
- 讲解极坐标方程在求解曲线、面积等问题中的应用；
- 练习相关题目，让学生掌握如何应用极坐标方程解决实际问题。
四、课堂练习及作业布置（10分钟）：
- 布置相关的课堂练习题，并进行答疑；
- 完成相关作业，并提醒及时复习和巩固知识点。
五、教学反思：
本节课主要围绕极坐标系及极坐标方程展开教学，通过理论讲解和实例演练，使学生掌握极坐标系的基本概念和应用方法。
在课堂练习及作业布置方面，应该注意引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固和深化对极坐标方程的理解和应用能力。
高三复习课：极坐标的应用(学案)
高三复习：极坐标的应用——《坐标系》第2课时【考纲要求】（1）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（2）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.【教学过程】一、知识回顾：1、极坐标系的概念极径—— ，记为ρ，极角—— ，记为θ.极坐标——有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(),M ρθ注意：一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。
极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角。
2、极坐标与直角坐标的转化直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到：极坐标(,)ρθ⇒直角坐标(,)x y ，公式：直角坐标(,)x y ⇒极坐标(,)ρθ，公式：注意：若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解.二、创设情境上一节复习完直角坐标系和极坐标系的互化之后，有同学就问：既然极坐标都可以化成直角坐标，那不就是所有的极坐标问题都可以化成直角坐标来解决？我们看看下面的例子：（1）在极坐标系中，已知(2,)3A π，(3,)3B π，则||AB = ； （2）在极坐标系中，已知(2,)3A π，2(3,)3B π-，则||AB = . （3）在极坐标系中,O 是极点，设点5(4,),(5,)36A B ππ-则△OAB 的面积是______，|AB|= 。
三、典型例题在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1:2sin C ρθ=，2:C ρθ=，曲线3:()C R θαρ=∈.3C 与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B .（I ）若6πα=，求AB 的值；（II ）若0απ≤<，求AB 的最大值；思考：若把条件3:C θα=改为3cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠）（其中0απ≤<） 其他条件不变，结果会有变化吗？四、变式训练（2016·新课标II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率．五、课堂小结(1)两种坐标系：直角坐标系与极坐标系的选择(2)两个变量：利用ρ与θ的几何意义解题(3)两种思想方法：化归与转化思想、数形结合思想六、课后作业：1、（2011·新课标）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C .（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .2、（2015·新课标II ）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos .C ρθ=（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.3、（2015·新课标I ）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 4、（2016·新课标I ）在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a >0）。
高中数学 4.2.2 第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用学案 苏教版选修4-4
第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝ep1－e cos θ，(***)其中p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示椭圆；当e ＝1时，方程(***)为ρ＝p1－cos θ，表示抛物线；当e ＞1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示双曲线，其中ρ∈R .[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝42－cos θ的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝4×121－12cos θ，则e ＝12，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知A 、B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，OA ⊥OB (O 为原点)．求证：1OA2＋1OB 2为定值．【自主解答】 以O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中得1ρ2＝cos 2θa 2＋sin 2θb 2.设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α±π2.1OA 2＋1OB 2＝1ρ21＋1ρ22＝1a 2＋1b 2(为定值)．[再练一题]1．本例条件不变，试求△AOB 面积的最大值和最小值． 【解】 由例题解析得，S △AOB ＝12ρ1ρ2，而ρ1＝ab a 2sin 2α＋b 2cos 2α，ρ2＝aba 2cos 2α＋b 2sin 2α，∴S △AOB ＝12·a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2αa 2cos 2α＋b 2sin 2α＝12·a 2b 2b 2＋c 2sin 2αa 2－c 2sin 2α＝12a 2b 2－c 4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－122＋a 2b 2＋14c 4∴当sin 2α＝1时，(S △AOB )max ＝12ab ；∴当sin 2α＝12时，(S△AOB )min ＝a 2b2a 2＋b2.过双曲线x 24－y 25＝1的右焦点，引倾斜角为π3的直线，交双曲线于A 、B两点，求AB .【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A 、B 两点极坐标，进而求AB . 【自主解答】 双曲线x 24－y 25＝1中，a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以e ＝32，p ＝b 2c ＝53.取双曲线的右焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.代入数据并化简，得ρ＝52－3cos θ.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π＋π3，于是AB ＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－3cos π3＋52－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝807.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝94－5cos θ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】 双曲线方程ρ＝94－5cos θ可以化为ρ＝54×951－54cos θ，所以e ＝54，p ＝95.设c ＝5r ，a ＝4r ，则b 2＝c 2－a 2＝9r 2.由p ＝b 2c ＝95，得r ＝1.所以2a ＝8,2b ＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρcos θ＝－p ，即ρcos θ＝－95；或ρcos θ＝－p －2a2c ，即ρcos θ＝－415.(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角．【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)．AB ＝ρ1＋ρ2＝21－cos θ＋21－π＋θ＝4sin 2θ＝16，即sin 2θ＝14得sin θ＝±12. 故l 的倾斜角为π6或56π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】 过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2， ∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4.又∵常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km 和2 384 km.若地球半径取6 378 km ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B两点，且AB ＝6，求直线AB 的极坐标方程．【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程． 【解】 设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|31－2cos θ1＋31＋2cos θ1|＝|61－4cos 2θ1|＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.1．抛物线ρ＝41－cos θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝42－λcos θ，则λ的取值范围是________．【导学号：98990016】【解析】 ρ＝42－λcos θ＝21－λ2cos θ，所以离心率e ＝λ2，由0＜λ2＜1，得λ∈(0,2)．【答案】 (0,2)3．椭圆ρ＝42－cos θ的焦距是________．【答案】 834．双曲线ρ＝42－3cos θ的焦点到准线的距离为________．【答案】 43我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
高中数学专题 简单曲线的极坐标方程 学案
高中数学专题简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程要点一 圆的极坐标方程例1 求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上.解 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设 M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上.规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ要点二 射线或直线的极坐标方程例2 如图，在极坐标系中，直线l 过M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2且该直线与极轴的正方向成π4，求此直线l 的极坐标方程.解 法一 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP＝π2＋π4＝34π，∠MPO ＝θ－π4.根据正弦定理得ρsin 3π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.法二 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线MP 的倾斜角为π4，∴直线l 为y ＝x ＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，∴ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2 求以A (1，0)为端点，倾斜角为π4且在极轴上方的射线的极坐标方程.解 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1，0)的坐标适合上述方程.因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.解 (1)因为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2，1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 (1)将x 2－y 2＝a 2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程.(3)将θ＝π3化为直角坐标方程.解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos 2 θ－ρ2sin 2 θ＝a 2，∴ρ2cos 2θ＝a 2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ·ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程. (3)tan θ＝yx ，∴tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≥0). 要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值.解 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆.直经l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.因为C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.3 B. 2 C.1D.22解析 极坐标方程化直角坐标方程为x 2＋y 2＝x 和x 2＋y 2＝y ，它们的圆心分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，圆心距是22.答案 D2.4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析 4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线.答案 D3.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析 由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得y －x ＝1.∴x －y ＋1＝0.而点A 对应直角坐标为A (2，－2)，则点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522. 答案 5224.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 经过P 点且与极轴所成的角为3π4，求直线l 的极坐标方程.解 如图，设M (ρ，θ)为直线l 上除P 点外的任意一点，连接OM 、OP ，直线l 交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，∠xAM ＝3π4，∠AOP ＝π4，故∠OPM ＝π2，∠MOP ＝θ－π4，所以有|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然P 点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.两条直线 B.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆D.圆解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ. 答案 C4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2). 答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12B.ρcos θ＝2C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________.(规定：ρ≥0，0≤θ<2π)解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π211.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)知，M 点的坐标(2，0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0. (2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
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学号
《极坐标方程的应用学案》
姓名
学习目标：（1）；掌握极直互化的方法，能将极坐标问题转化为直角坐标解决。
（2）．体会数形结合的思想，通过图像简化问题。
一．知识准备 1. 极直互化
⑴极坐标),(θρ转化为直角坐标),(y x ⑵直角坐标),(y x 转化为极坐标),(θρ _______________________ _______________________
2、圆的极坐标方程
基本式一：圆心在极点，a r = 基本式二：过极点，圆心在坐标轴上，a r =
基本式三：过极点，圆心为),(αa 的圆
3、直线的极坐标方程
基本式一：过极点，倾斜角为α 基本式二：
基本式三：倾
斜角
为α，
极点到
(2)_______
x
x
x
O
(1)_______x
O
(1)_______
x
)
0,(a )
,(πa
直线的距离为d
二．体验过程
1、(2013广一模)在极坐标系中，定点，点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，=AB _________；点B 的极坐标为_____________
2、已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=，θρsin 2a =，（a 是非零常数）。
若两圆的圆心距为，求a 的值。
3、(2012年上海)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6
π
α=，
则直线的极坐标方程
4、(2008高考改编)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为
3sin =θρ，θρsin 4=，
)20,0(πθρ<≤≥，则曲线1C 与2C 交点的极坐标________________
5、(2012年高考安徽)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θρ=
∈的距离是
_____
6、已知点)0.0(),4
3,
2(),2
,2(O B A π
π
试判断ABO ∆的形状
7、在极坐标系中，点)3
,
2(π
到圆θρcos 2=的圆心的距离为_______，切线长为_______
)2
3
,
2(πA 0sin 3cos =+θρθρ5)2
3,
(πa (2)_____________
(1)___________
x
O
8、极坐标系中，直线2)4
sin(=+π
θρ被圆4=ρ截得的弦长为
9、设N M ,分别是曲线0sin 2=+θρ和2
2
)4
sin(=
+π
θρ上的动点，则N M ,的最小距离是 .
三、技能训练
1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2. 曲线3ρ=与3
π
θ=
的交点的极坐标写法可以有（ ）
A.1 B . 2 C .4 D . 无数个
3. ①极坐标方程cos ρθ=化为直角坐标方程为 ( ) A. 22
11
()2
4
x y ++= B . x 2 +（y+）2 = C . x 2 +（y -）2 = D . （x -）2 + y 2
=
②极坐标方程2sin(
)3
π
ρθ=+化为直角坐标方程为 ．
③把极坐标方程化为直角坐标方程是 ． ④在极坐标系(,) [0,2)ρθθπ∈中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标
为______．
4. ①在极坐标系中，点(4,)3
π到直线cos()13π
ρθ-=的距离为（ ）
A.2 B . 1 C
D . 3
②在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．
③极坐标方程分别为cos ρθ=和的两个圆的圆心距为____________
5.①过极点且关于极轴的倾斜角是3
π
的直线的极坐标方程是___________
②过点(2,
)3
π
且与极轴垂直的直线方程为（ ）
A.4cos ρθ=- B . cos 10ρθ-= C
.sin ρθ= D
. ρθ=
③过点(2,
)3
π
且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
A.sin 1ρθ= B . cos 1ρθ= C
.sin ρθ= D
. cos ρθ=
6．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤
4
π
，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )．
M (-M (2,)3
π
(2,)3π-2(2,
)3π(2,2),()3k k Z ππ+∈21412141214
1
cos()16
π
ρθ-
=2sin θcos 1p θ=-π
4
θρsin =
A ．直线x ＋2y －3＝0
B ．以(3，0)为端点的射线
C ．圆(x －2)2＋y ＝1
D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段
7．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．0
8．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )．
A ．(－1，4
π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π) D ．(1，4π
5)
9．P 是圆 ρ＝2R cos θ上的动点，延长OP 到Q ，使|PQ |＝2|OP |，则Q 点的轨迹方程是
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