初中数学竞赛平面几何常用公式及例题讲解
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)初中数学竞赛中，平面几何是一个重要的考点。
以下是一些重要的定理、公式和结论。
三角形面积公式（包括海伦公式）：三角形的面积S可以用以下公式计算：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，$a$，$b$，$c$分别为三角形的三条边长。
另外，三角形的面积也可以用以下公式计算：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$，$b$为两边，$C$为两边之间的夹角。
还有一个海伦公式：$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中$h_a$为三角形顶点$A$到边$BC$的垂线长度，$a$为边$BC$的长度。
XXX定理：对于三角形$\triangle ABC$及其底边上的一点$D$，有$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD-AD^2\cdotBC=BC\cdot DC\cdot BD$。
XXX定理：对于一个内接四边形，其对角线之积等于两组对边乘积之和，即$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$。
逆命题也成立。
同时还有广义托勒密定理：$AB\cdotCD+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD$。
蝴蝶定理：如果$AB$是圆$O$的弦，$M$是$AB$的中点，弦$CD$，$EF$经过点$M$，$CF$，$DE$交$AB$于$P$，$Q$，则$MP=QM$。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：对于一个直角三角形，锐角对边的平方等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍；钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍。
同时还有广义勾股定理。
中线定理（巴布斯定理）：对于一个三角形$\triangleABC$，如果$BC$的中点为$P$，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$。
同时，中线的长度可以用以下公式计算：$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$。
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。
3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。
（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。
平面解析几何的基本公式
平面解析几何的基本公式平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上点、线、圆等几何图形的性质和关系。
在平面解析几何中，有一些基本公式被广泛应用于求解几何问题。
本文将介绍平面解析几何的基本公式，并给出相应的示例和应用。
1. 点到直线的距离公式平面解析几何中，求点到直线的距离是一个常见的问题。
设直线的方程为Ax + By + C = 0，点的坐标为(x0, y0)，则点到直线的距离公式如下：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)示例：求点P(1, 2)到直线2x + 3y - 6 = 0的距离。
解：代入公式，得到d = |2*1 + 3*2 - 6| / √(2^2 + 3^2) = |7| / √13 ≈ 7 / 3.61 ≈ 1.942. 直线的斜率公式及两直线的夹角公式直线的斜率描述了它的方向性质，在平面解析几何中，直线的斜率可以表示为k = tanθ，其中θ为直线与x轴的夹角。
直线斜率和两直线夹角的公式如下：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)θ = arctan(k)示例：已知两点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线AB的斜率和与x轴的夹角。
解：代入公式，得到k = (4 - 2) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1，θ = arctan(1) ≈ 45°3. 两直线的垂直和平行判定公式在平面解析几何中，判断两条直线是否垂直可以通过斜率来判断。
若两直线斜率分别为k1和k2，则它们垂直的条件是k1 * k2 = -1。
判断两条直线是否平行可以通过比较斜率来判断。
若两直线斜率分别为k1和k2，则它们平行的条件是k1 = k2。
示例：已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2垂直于L1，求直线L2的方程。
解：由L1斜率为2，得到L2斜率为-1/2。
过点A(1, 2)且斜率为-1/2的直线方程为y - 2 = (-1/2)(x - 1)，整理得到直线L2的方程为2x + y - 4 = 0。
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式(二)
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式(二)初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式1. 模型一：直角三角形•直角三角形的斜边长度 = 根号下（直角边1的长度的平方 + 直角边2的长度的平方）–例题：已知直角三角形的直角边1的长度为3，直角边2的长度为4，求斜边的长度。
•解答：斜边长度 = 根号下（3^2 + 4^2）= 52. 模型二：等边三角形•等边三角形的边长 = 边长–例题：已知等边三角形的边长为6，求周长和面积。
•解答：周长 = 6 + 6 + 6 = 18，面积 = （6 × 6× √3）/ 4 = 9√33. 模型三：等腰三角形•等腰三角形的底边长度 = （底角对边长度× 2）/ sin（顶角的一半）–例题：已知等腰三角形的顶角为60°，底边对应的底角对边长度为5，求底边的长度。
•解答：底边长度 = （5 × 2）/ sin（60°的一半）= 10/ sin(30°) = 10/ = 204. 模型四：等腰梯形•等腰梯形的面积 = （上底 + 下底）× 高 / 2–例题：已知等腰梯形的上底为6，下底为10，高为8，求面积。
•解答：面积 = （6 + 10）× 8 / 2 = 805. 模型五：矩形•矩形的周长 = （长 + 宽）× 2•矩形的面积 = 长× 宽•矩形的对角线长度 = 根号下（长的平方 + 宽的平方）–例题：已知矩形的长为5，宽为3，求周长、面积和对角线的长度。
•解答：周长 = （5 + 3）× 2 = 16，面积= 5 × 3 = 15，对角线长度 = 根号下（5^2 + 3^2）= √34 6. 模型六：菱形•菱形的周长 = 边长× 4•菱形的面积 = 对角线长度1 × 对角线长度2 / 2–例题：已知菱形的边长为6，对角线长度1为8，求周长和面积。
初中数学奥林匹克几何问题梅涅劳斯定理及应用
初中数学奥林匹克几何问题-梅涅劳斯定理及应用第一章涅劳斯定理及应用【基础知识】梅涅劳斯定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，，三点共线，则．①证明如图，过作直线交的延长线于，则，，故．注此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．正弦定理证法设，，，在中，有，同理，，，此三式相乘即证．面积证法由，，，此三式相乘即证．梅涅劳斯定理的逆定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，②则，，三点共线．证明设直线交于，则由梅涅劳斯定理，得到．由题设，有，即有．又由合比定理，知，故有，从而与重合，即，，三点共线．有时，也把上述两个定理合写为：设，，分别是的三边，，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，，三点共线的充要条件是．上述①与②式是针对而言的，如图（整个图中有4个三角形），对于、、也有下述形式的充要条件：；；．③第一角元形式的梅涅劳斯定理设，，分别是的三边，，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，，共线的充分必要条件是．④证明如图，可得．同理，，．以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形式的梅涅劳斯定理设，，分别是的三边，，所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则，，三点共线的充要条件是．⑤证明如图，由，有．同理，，．于是．故由梅涅劳斯定理知，，共线．从而定理获证．注（1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论．（2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1如图，在四边形中，，，的面积比是3∶4∶1，点，分别在，上，满足∶∶，并且，，共线．求证：与分别是和的中点．（1983年全国高中联赛题）证明设（），交于．，，．．又因，，三点共线，可视为的截线，故由梅涅劳斯定理，得，即．化简整理，得，解得，（舍去）．故与分别是和的中点．例2如图1-5，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．（1999年全国高中联赛题）证明记，，，直线与相截，由梅涅劳斯定理，有．故．即，亦即，且只可能为0，故．例3设、分别为四边形的边、上的点，与交于点．若，则．证明如图1-6，只需证得当关于的等角线交于时，、、共线即可．事实上，、、分别为三边所在直线上的三点，且不在其三边所在直线上．又，，，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，有．故、、三点共线．注当平分时，即为1999年全国高中联赛题．2．梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法例2另证如图1-5，设，关于的对称点分别为，，易知，，三点共线，连，，只须证明，，三点共线．设，，，则．对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线．故．注在图1-5中，*式也可为，若在的延长上，则*式为．例4如图1-7，与和的三边所在的3条直线都相切，，，，为切点，直线与交于点．求证：．（1996年全国高中联赛题）证法1过作于，延长交直线于点．对及截线应用梅涅劳斯定理，有．由，有．显然，，三点共线，连，，，，则由，有，从而，即．又，则．对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线，即为直线与的交点．故点与点重合，从而．证法2延长交于，直线与的三边延长线都相交，直线与的三边延长线都相交，分别应用（迭用）梅涅劳斯定理，有，．上述两式相除，则有．而，，于是，即．连，，，，，，而，，共线，则，，且，从而，于是．故，即．【解题思维策略分析】梅涅劳斯定理是三角形几何学中的一颗明珠，它蕴含着深刻的数学美，因而它在求解某些平面几何问题，特别是某些平面几何竞赛题中有着重要的应用．1．寻求线段倍分的一座桥梁例5已知的重心为，是边的中点，过作边的平行线交边于，交边于，且与交于点，与交于点．证明：．（1991年第3届亚太地区竞赛题）证明如图1-8，延长交于，则为的中点．由，知，而．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，故．从而，且．同理，，且．由此可知，与的两边分别平行且方向相反，从而，且，故．例6是一个等腰三角形，，是的中点；是的延长线上的一点，使得；是线段上不同于和的任意一点，在直线上，在直线上，使得，，是不同的和共线的，求证：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）若，则．（1994年第35届试题）证明（1）如图1-9，连，，．由，易证，，，四点共圆，，，，四点共圆．则，因此．故．（Ⅱ）由，，对及截线运用梅涅劳斯定理，有，即．于是可证，得，故．例7在凸四边形的边和上取点和，使线段和把对角线三等分，已知，求证：是平行四边形．（1990年第16届全俄竞赛题）证明如图1-10，设，分别交于，，两对角线交于．要证是平行四边形，若证得（或），且即可．由，（等底等高），知，而，故有，从而有．对及截线，及截线，分别应用梅涅劳斯定理，有，①．②由①，②两式相除得．而，故，即有．此时，又有．又由，知，于是①式可写为，即有，亦即．故为平行四边形．2．导出线段比例式的重要途径例8在中，为边上的中线，为的平分线，且交于，为上的点，使．证明．（1997年第58届莫斯科竞赛题）证明如图1-11，延长交于，只须证．由平分，有．①由，有．注意到，对及截线运用梅涅劳斯定理，得．故，由合比定理，有，即为．②由①，②式有，故．例9给定锐角，在边上取点，（位于与之间），在边上取点，（位于与之间），在边上取点，（位于与之间），使得，直线，与可构成一个三角形，直线，与可构成另一个三角形．证明：（1995年第36届1mo预选题）这两个三角形的六个顶点共圆．证明如图1-12，设题中所述两个三角形分别为与．由已知条件，有，，，得，，，此三式相乘得．①对及截线，及截线，分别应用梅涅劳斯定理，得，②，③①，②，③三式相乘化简，得．故．同理，．故．从而点在的外接圆上．同理，可证得，也在的外接圆上．证毕．例10如图1-13，以的底边为直径作半圆，分别与边，交于点和，分别过点，作的垂线，垂足依次为，，线段和交于点．求证：．（-37中国国家队选拔赛题）证法1设直线与交于，连，，则知，直线与相截，直线与相截，迭用梅涅劳斯定理，有，．两式相除，得．在与中，有，，即．将其代入①式，得．又由，有．将其代入②式，得，从而，．而，则，故．证法2作高，连，，则，于是，，．．又，，，即，故．对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线．由，知．例11如图1-14，设点，分别为锐角的内心和垂心，点，分别为边，的中点．已知射线交边于点（），射线交的延长线于点，与相交于，为的外心．试证：，，三点共线的充分必要条件是和的面积相等．（-2003试题）分析首先证，，三点共线．设为的外心，连，，则．又，因此，，，，四点共圆在的外接圆上与重合，，三点共线．其次，再证．并在三角函数式中，用、、分别表示三内角．证法1设的外接圆半径为，的延长线交于，对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．①注意到，则．而，由①式，有．从而．②又对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．注意到，有，，即．从而．③由，注意②，③，且为锐角．证法2如图1-14，设直线交于，直线交的延长线于．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．④又由及角平分线性质，即有．令，，，则．由④式，有，即．而，则．又，（由题设知）．从而．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．将⑤式代入上式，得，．⑥同理．由，注意⑥，⑦．注例11还有其他证法，可参见笔者另文《关于20XX年中国数学奥林匹克第一题》（《中等数学》20XX年第6期）．例12如图1-15，凸四边形的一组对边与的延长线交于，且，过作截线交另一组对边所在直线于，，交对角线所在直线于，．求工业化：．证法1如图1-15，对及直线由梅涅劳斯定理得．对及直线由梅涅劳斯定理得．对及直线由梅涅劳斯定理得．由①②③得，所以，所以，故．证法2设与的延长线相交于．和均被直线所截，迭用梅涅劳斯定理，有，①，②由①②，得．③注意到（直线上的托勒密定理），则③式变为．④又由截和截，迭用梅涅劳斯定理，有，．将此结果代入④式整理，即得欲证结论．注当，④式显然成立，故仍有结论成立．此题是二次曲线蝴蝶定理的推论．3．论证点共直线的重要方法例13如图1-16，的内切圆分别切三边，，于点，，，点是的一个内点，的内切圆也在点处与边相切，并与，分别相切于点，．证明：是圆内接四边形．（1995年第36届预选题）证明由切线长定理，知，，，．设的延长线与的延长线交于，对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线，故由切割线定理有，．以而，即是圆内接四边形．例14如图1-17，中，内的旁切圆切的两边于和，直线与交于；类似地定义，，和，，．求证：，，三点共线．证明由切线长定理，知，，．对与直线，，分别应用梅涅劳斯定理，有，，．上述三式相乘，有．设切于，切于，则由，可得．同理．又由两内公切线长相等，即，故．同理，，．从而，故对用梅涅劳斯的逆定理，知，，三点共直线．例15如图1-18，设的三边，，所在的直线上的点，，共线，并且直线，，关于，，平分线的对称直线，，分别与，，所在直线交于，，，则，，也共线．证明对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有．由题设知，，，，，，，从而有，即．故由第一角元形式的梅涅劳斯定理，知，，共线．例16在筝形中，，．过上的一点作一条直线分别交、于、，再过点作一条直线分别交、于、．设与分别与交于、，求证：．证明如图1-19，过作的平行线交直线于，再过作的平行线交直线于，则，．进而．所以．又、、分别为三边所在直线上的点，且点不在三边所在的直线上．由第二角元形式的梅涅劳斯定理的逆定理知、、共线．于是，由，．有．因此，．故．注当，为中点时，即为1989年12月冬令营选拔赛试题．例17如图1-20，四边形内接于圆，其边，的延长线交于点，和的延长线交于点，过作该圆的两条切线，切点分别为，．求证：，，三点共线．（1997年试题）证明设圆心为，连交于，连，，，，则由切割线定理和射影定理，有，从而，，，四点共圆，即有，亦即为的内角的外角平分线．又，则平分．设分别交，于，，于是．同理，．于是，，，所以，，．直线与的三边延长线相交，由梅涅劳斯定理，有．对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线．所以，，三点共线．注此例的其他证法，可参见第二章例9，第九章例15等．例18已知的内切圆分别切、、于点、、，线段、分别与该内切圆交于点、，若直线与交于圆外一点．证明、、三点共线．（20XX年香港奥林匹克题）证明如图1-21，由切线长定理有．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，即有．设与交于点，由，，，有，，．又对及所在边上的点、、，有．于是，由梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线．4．注意与其他著名定理配合运用例19在中，已知，，是处接圆的圆心，直线、分别切于点、，与直线、与直线分别交于点、，与交于点，与直线交于点，又设是直线上的点，且使得，（不同于点）是与的交点，是与的交点，令与直线交于点．证明：．（20XX年韩国奥林匹克题）证明如图1-22，设的延长线与（过点）的切线交于点．由帕斯卡定理知、、三点共线，从而点与重合．由切割线窄弹知，．所以，．①设与交于点，对及截线，截线分别应用梅涅劳斯定理，有，．②注意相交弦定理，有．③由①、②、③，得．例20在梯形中，已知、分别为上、下底，为腰上一点，与交于点，为边上一点，满足，与交于点，与交于点．证明：、、三线共点．（20XX年乌克兰奥林匹克题）证明如图1-23，设直线与、与分别交于点、．先证、、三点共线．由，知，，．有．上述三式相乘，有．对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线．考虑和，注意到直线与，与、与分别交于点、、，于是由戴沙格定理，知、、三线共点．【模拟实战】习题A1．在中，点在上，，，分别在，上，，，交于点，求．2．在中，，分别是，的中点，与相交于，与相交于，求∶∶．3．是内一点，引线段，和，使在上，在上，在上．已知，，，，，求的面积．（第7届题）4．设凸四边形的对角线和交于点，过作的平行线分别交，于点，，交的延长线于点，是以为圆心，以为半径的圆上一点，求证：．（1996年全国初中联赛题）5．已知，分别是的边，上的点，且，连交边的延长线于点，求．6．设为等腰（）的直角边的中点，在上，且，求证：．7．在中，点和顺次三等分，点和顺次三等分，与，分别交于点，，求四边形与的面积之比．8．，，，分别为四边形的四条边，，，上的点，若，，三直线共点，则，，三直线共点或平行．9．设，，分别是的边，和延长线上的点，又，和分别是外接圆的切线．证明：，，三点共线．（1989年新加坡竞赛题）10．求证：三角形两角的平分线与第三角的外角平分线各与对边所在直线的交点共线．11．已知直径为的圆和圆上一点，设，和分别是这个圆在，，处的切线．设是直线与的交点，是直线与的交点，证明：，，三直线共点．（第6届加拿大竞赛题）12．是中任一点，过作的平行线分别交，于，，又过作的平行线，分别交，于，．求证：，，三线共点．13．在中，为中线，为角平分线，为上的点，使．证明：．（第58届莫斯科奥林匹克题）14．直线交直线，分别于，，点与是线段两侧的直线上两点，且．过的直线交于，交于；过的直线交于，交于．连结和，交直线分别于，．求证：．15．设四边形外切于一圆，，，，分别是，，，边上的切点，若直线与相交于点，则，，三点共线．16．设为的内点，过点的直线，，分别垂直于，，，若交于，交于，交于，证明：，，共线．（-28预选题）17．已知的与它的内切圆相切于点．证明：该圆的圆心在与的两个中点，的连线上．18．已知凸四边形内接于，对角线，相交于点，过分别作直线，，，的垂线，垂足分别是，，，．求证：，，三直线共点或互相平行．19．设为圆外切四边形，又，，，与该圆的切点为，，，．求证：，，，共点．习题B1．是内一点，，分别过，且分别与，交于点，，且分别与，交于点，．求证：，，三线共点．2．在中，为锐角，从上任一点作于，于，点是的垂心，求当点在线段上移动时，点的轨迹．（-7试题）3．在正的边，，上有内分点，，将边分成3∶，线段，，相交所成的（交于，交于）是的面积的时，求的值．（1992年日本奥林匹克预选题）4．在中，，点在上，点在上，的延长线交于．若∶∶，则．5．已知点，，在（）的边上，，交于，又与的延长线交于，交于，又与的延长线交于．求证：．（《数学通报》问题1353题）6．圆外切四边形中，，，，边上的切点分别为，，，．与的延长线交于点，与延长线相交于点．求证：（Ⅰ），，，四线共点；（Ⅱ），，，四线共点；（Ⅲ），，，四线共点（假定）．7．若凸四边形的对角线与互相垂直，且相交于，过点分别作边，，，的垂线，垂足依次为，，，，并分别交，，，边于，，，，再顺次连接，．，，则；．（-22试题的推广）8．面积为1的的边，上分别有点，，线段，相交于点．点，分别在，上移动，但满足四边形的面枳是面积的两倍这一条件，求面积的最大值．（1992年日本奥林匹克题）9．是边长为2的正方形，为的中点，是的中点，和相交于，和相交于．求四边形的面积．10．是凸四边形所在平面上一点，，，，的平分线分别交，，，于点，，，．（Ⅰ）寻找一点，使是平行四边形；（Ⅱ）求所有这样的点的轨迹．（1995年世界城市际联赛题）11．中，，为内角平分线，点在的内部，且，，求证：射线平分边．（《数学教学》问题536题）12．设为非等腰三角形，内心为，（，2，3）为过与和相切的小圆（增加的下标作模3同余），（，2，3）为圆和的另一交点，证明：，，的外心共线．（-38预选题）。
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】）（为内切圆半径，为外接圆半径，边上的高，表示，其中c b a p R BC h c p b p a p p pr C B A c b a C B A R R abc C ab ah S a a ++=---==++++=====21r ))()(()cot cot (cot 4sin sin sin 24sin 21212222ABC Δ【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD -AD 2·BC ＝BC·DC·BD ．【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC ，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD ．【蝴蝶定理】AB 是△O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP=QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)BP 2(AP AC AB 2222+=+中线长：【垂线定理】AB ⊥CD ⇔AC 2-AD 2=BC 2-BD 2 高线长： 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中，AD 平分△BAC ，则 （外角平分线定理） 角平分线长：【正弦定理】 222222a c b m a -+=bSinC cSinB SinA a bc c p b p a p p a h a ===---=))()((2ACAB DC BD =为周长一半）其中p A c b bc a p bcp c b t a (2cos 2)(2+=-+=为三角形外接圆半径）其中，R R C c B b A a (2sin sin sin ===【余弦定理】 【张角定理】【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
初中平面几何竞赛题
初中平面几何竞赛题题目一：已知在△ABC 中，AB = AC，D 是BC 中点，E 是AD 上一点，求证：BE = CE。
解析：因为AB = AC，D 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一性质，AD 垂直平分BC。
所以BE = CE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
题目二：在矩形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 上的点，且AE = CF，求证：四边形AECF 是平行四边形。
解析：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB△CD，AB = CD。
又因为AE = CF，所以BE = DF。
且BE△DF，所以四边形BEDF 是平行四边形，所以BF△DE。
又因为AB△CD，AE = CF，所以四边形AECF 是平行四边形。
题目三：已知在圆O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E，且△AEC = 45°，AE = 3，CE = 5，求圆O 的半径。
解析：连接OA、OC，过O 作OF△AB 于F，OG△CD 于G。
则AF = FB，CG = GD。
因为△AEC = 45°，所以△FEG = 45°，则OF = OG。
设圆O 的半径为r，在Rt△AOF 和Rt△COG 中，根据勾股定理可得：AF² + OF² = r²，CG² + OG² = r²。
又因为AF = (AE + EF)/2，CG = (CE - EG)/2，且EF = EG = OF = OG。
设OF = OG = x，则可得方程组：[(3 + x)/2]² + x² = r²，[(5 - x)/2]² + x² = r²。
解方程组可得r 的值。
题目四：在△ABC 中，△BAC = 90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 中点，求证：AE² = DE² + BD²。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2
1sin 21sin 21===∆
))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 2/)(c b a p ++=
和角公式
A B B A B A cos sin cos sin )sin(+=+ A B B A B A sin sin cos cos )cos(-=+
B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(-+=+ 差角公式
A B B A B A cos sin cos sin )sin(-=- A B B A B A sin sin cos cos )cos(+=- B
A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=-
常用角度的三角比
相关练习题：
1.已知ABC ∆中，,75 =∠B ,60 =∠C ,10=BC 求AB 与AC 的长及三角形的面积
2.求证面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2
1sin 21sin 21===∆
3.求证海伦公式 ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 2/)(c b a p ++=
4. 已知ABC ∆中，,7=AB ,8=BC ,9=AC 求sinA ， sinB ， sinC
5.在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。
6.已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长．
7.在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
A B C E F A
B C
P
8. 在△ABC 中，∠ACB =90°.
（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：AB
BD AD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
（3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.
9. ABC ∆中，3=AB ，4=AC ，5=BC ，D 是BC 上一点，若ABD ∆、ACD ∆的内心连线与AD 垂直，则AD =______。
B
10. D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上一点，CD BD <，AD 的中垂线EF 分别交AB 、AC 于E 、F ，点G 在BE 上，且CG ∥FE 。
求证：（1）BD GE =；（2）若
GDB BED ∠=∠，求BD 。
C B
B A C
D。