-初中数学竞赛知识点
数学竞赛一试知识点
数学竞赛一试知识点数学竞赛是一项对学生数学能力的综合考察，常常涉及到各个数学领域的知识点。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的数学竞赛知识点，包括数列与数列极限、函数与方程、概率与统计、解析几何等。
一、数列与数列极限数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的极限是指当数列中的数趋向于某个值时，这个值就是数列的极限。
在数学竞赛中，常常需要求解数列的极限，掌握数列的性质和求解方法是很重要的。
二、函数与方程函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。
在数学竞赛中，常常需要分析函数的性质，求解函数方程以及利用函数的性质解决问题。
掌握函数的性质、方程的求解方法以及函数图像的特点对于解题非常有帮助。
三、概率与统计概率与统计是数学中的一个分支，它研究的是随机事件和数据的规律。
在数学竞赛中，常常需要计算概率、分析统计数据以及利用概率和统计的方法解决问题。
掌握概率的计算方法、统计数据的分析技巧以及概率与统计在实际问题中的应用是很重要的。
四、解析几何解析几何是数学中的一个分支，它将几何问题转化为代数问题来求解。
在数学竞赛中，常常需要利用解析几何的方法解决几何问题，例如求解直线和曲线的交点、求解几何图形的面积和体积等。
掌握解析几何的基本概念、常见解析几何问题的求解方法以及解析几何在实际问题中的应用是很重要的。
五、数论与组合数学数论是研究整数性质的数学分支，组合数学是研究离散结构的数学分支。
在数学竞赛中，常常需要利用数论和组合数学的方法解决问题，例如证明数论定理、计算组合数等。
掌握数论和组合数学的基本概念、常见问题的解决方法以及数论和组合数学在实际问题中的应用是很重要的。
数学竞赛一试涵盖了数学的各个领域，包括数列与数列极限、函数与方程、概率与统计、解析几何、数论与组合数学等。
掌握这些知识点，并灵活运用于解题过程中，将有助于提高数学竞赛的成绩。
希望同学们能够加强对这些知识点的学习和理解，为数学竞赛的取得好成绩打下坚实的基础。
初中数学竞赛 知识点和真题 第26讲 赋值法
第26讲赋值法数统治着宇宙.——毕达哥拉斯知识方法扫描在解数学题时，将问题中的某些元素赋于适当的数值，把问题“数学化”，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶及相互之间的运算结果等来进行推理解题的方法叫做赋值法.常见的赋值方式有：对点赋值、对字母赋值、对线段赋值、对小方格赋值、对区域赋值、对方向赋值.电子线路中的开、关；数理逻辑中的是、非……就常用1，0来表示，这其实就是赋值。
赋值法的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算.染色方法也是一种赋值法，只不过赋的是色不是数而已.凡是能用染色方法来解的题目，一般都可以用赋值法来解，只需将染成某一种颜色换成赋于某一数值就行了.因此，赋值法的适用范围更为广泛.经典例题解析1.染色问题例1在一个圆周上，依次排列n个点：A1，A2，…，An，对每个点任意染上白色或黑色.证明：在连接相邻两点的n条圆弧中，端点颜色不同的圆弧的条数必是偶数.证明我们简称端点颜色不同(相同)的圆弧为异色(同色)圆弧，用数代表颜色，白色记为1，黑色记为-1.任一点Ak(k=1，2，…，n)都唯一地对应一个数ak ，ak=1或ak=-1.为同色圆弧当且仅当ak·a1+k=1,显然，为异色圆弧当且仅当ak a1+k=-1.因为(a1a2)·(a2a3)·…·(ana1)=(a1a2…an)2=1，所以a1a2，a2a3，…，an a1这n个数中只能有偶数个-1.即这n条圆弧中必有偶数条异色圆弧.评注若将题中的圆周从A1，An之间剪开，并将圆周拉成直线，附加条件A1与An异色，则得到如下问题：在直线l 上依次排列着n 个点A 1，A 2，…，A n ，对每个点任意染上白色或黑色，若线段A i A 1+i 的两端异色，就称线段A i A 1+i 为标准线段，又已知A 1与A n 异色，证明：直线l 上共有奇数条标准线段.证法与例1类似.例2 将正方形ABCD 分割成n 2个相等的小方格(n 是正整数)，把相对的顶点A 、C 染成红色，B 、D 染成蓝色，其交点染成红、蓝两色中任一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.分析与解 不妨将红色记为1，蓝色记为-1，并将小方格编号，分别记为1，2，…，n 2，记第i 个小方格四个顶点相应数字的乘积为A i ，若恰有三个顶点同色，则A i =-1，否则A i =1.在乘积A 1A 2…A 2n 中，正方形内部的交点各点相应的代表数重复了4次；边上非顶点各点相应的代表数重复了2次；A 、B 、C 、D 四点相应的代表数乘积为1，所以A 1A 2…A 2n =1.这说明A 1，A 2，…，A 2n 中-1的个数必为偶数，也就是恰有三个顶点同色的小方格数必为偶数.评注 上述两例都属于“两色分布”问题，这里我们将两种不同的颜色赋于+1，-1，使染色问题转化为对数值正负性的研究.对于例2也可以将红点记为0，蓝点记为1，并记第i 个小方格四个顶点相应数字之和为A (i =1，2，…，n 2).若恰有三个顶点同色，则A i =1或3，否则A i 为偶数，然后从考虑和A 1+A 2+…+A 2n 的奇偶性入手进行论证.例3 在一个圆上给定10个点，把其中6个点染成黑色的，余下的4个点染成白色的，它们把圆周划分为互不包含的弧段.我们规定：两端都是黑色的弧段标上数字2；两端白色的弧段标上数字21；两端异色的弧段标上数字1；把所有这些数字乘在一起，求它们的乘积.解 把黑点都标上2，白点都标上21，则每段弧所标数字恰好是它两端的数字的乘积.因此所有这些弧段所标数字的乘积就是所有点所标有的数字乘积的平方，即[(2)6(21)4]2=4.①评注 这个解法反映了题目的实质，即乘法满足交换律、结合律.对①中的20个数的乘积1282?· 2.?·22个个② 任意交换顺序，然后依次把两个两个作括号先结合，便对应着弧段上的一种染色方法.反过来，圆弧上的一种染色方法，也对应着②中的一次交换、结合过程.正因为解法反映了题目的本质，它不仅优美，而且推广立即成为可能：当黑点为m 个，白点为n 个时，答案为2n m -.2.棋盘问题例4 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2的正方形.问余下的60个方格能否剪成15块形如“”的小纸片？解 将8×8方格纸板余下的60个小方格分别标上+1或-1(如图所示)，则任一符合要求的“四连格”中的数字之和，或者为2，或者为-2.假定这60个小方格能剪成15块符合要求的“四连格”，设其中数字之和为2的有x 块，数字之和为-2的有y 块，则⎩⎨⎧=-=+.022,15y x y x 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.215,215y x x 、y 不是整数，矛盾.因此，题中所给的60个小方格不可能剪成15块“四连格”小纸片.例5 如图是半张象棋盘.(1)一只马跳了n 步回到起点，证明：n 是偶数；(2)一只马能否跳遍这半张棋盘，每格都不重复，最后一步跳回起点？(3)证明：一只马不可能从位置B 出发，跳遍半张棋盘而每个格点只经过一次(不要求最后跳回起点)；(4)一只车从位置A 出发，在这半张棋盘上每步走一格，走了若干步后到了位置B ，证明：至多有一个格点没有被走过，或被走过不止一次.解 在棋盘上打“×”号的格点记为+1，打“○”号的格点记为-1.(1)根据马的跳法，它每跳一步其符号改变一次，跳了n 步，符号改变了n 次.而它最后又回到了最初出发的地方，也就是经过n 次改变以后，其符号还与当初一样.显然，n 是偶数.(2)不可能.图中共有45个格点，马要想跳遍这半张棋盘，它要跳45次.这与结论(1)矛盾，由此得证.(3)图中有22个“×”，23个“○”，即有22个+1，有23个-1，所有这些数的和为-1，马是从B 处出发的，即从+1出发，以后反复经过-1和+1，不。
初中数学竞赛 知识点和真题 第17讲 勾股定理和勾股数组
B 第17讲勾股定理几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。
前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。
——开普勒知识方法扫描勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用。
它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算是一种重要的数学方法。
勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直。
经典例题解析例1．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．证明由勾股定理得AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例2．（1988年上海市初三数学竞赛题）如图，在凸四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_____ ．解连结AC，设AB=2k，则BC= 2k，CD=3k，DA=k.在Rt△ABC 中，2222)2()2(kkBCABAC+=+=,22k=.45,=∠=∠∴=BCABACBCAB在△ACD中．222222)3()22(CDkkkADAC==+=+,.90︒=∠∴CAD︒︒=+=∠+∠=∠∴1354590CABDACDAB例3．（2001我爱数学初中生夏令营试题）点D、E分别为△ABC的边AC 和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么，ABFE 的长等于________。
解 由DE ∥AB ，得 32===CA CD CB CE AB DE 记32=CB CE ＝k ，32=CA CD ＝m ，则有 CE ＝2k ，CB ＝3k ，CD ＝2m ，CA ＝3m 。
初中奥数知识点归纳
初中奥数知识点归纳初中奥数是一种培养学生逻辑思维和解决问题能力的数学竞赛，是学生在初中阶段接触到的一门重要学科。
初中奥数的题目难度相对较高，涉及的知识点较多。
下面将对初中奥数常见的知识点进行归纳和概述。
1. 基本运算和数学运算规律：初中奥数的第一步当然是对基本的加减乘除法进行熟练掌握，包括带括号的运算和逐步求解。
此外，还需要掌握数学运算规律，如分配律、交换律和结合律等。
2. 平方根与立方根：初中奥数中常常会涉及到对平方根和立方根的计算问题。
学生需要熟悉这些运算方法，包括如何简化开平方根和开立方根的步骤。
3. 分数与小数的运算：初中奥数中，分数与小数的转化和运算是常见的题型。
学生需要掌握将分数转化为小数，以及小数转化为分数的方法，并能够进行分数和小数的四则运算。
4. 百分数与比例：初中奥数中，百分数和比例常常用来描述和比较物体的相对大小。
学生需要掌握百分数和比例的相互转化，并能够进行相关的计算。
5. 方程与不等式：初中奥数中，方程和不等式的解是常见的题型。
学生需要熟练运用二次方程和一元一次方程的解法，并能够解决一些复杂的方程和不等式问题。
6. 公式与代数式：初中奥数中，公式和代数式通常用来描述一些规律和关系。
学生需要熟练记忆和灵活运用各种公式，如平方差公式、和差化积公式等。
7. 几何相关知识：初中奥数中的几何题目涉及到了图形的性质、相似、全等等概念，以及直角三角形的性质、面积和体积的计算。
学生需要了解和掌握这些几何知识，并能够运用到实际问题中。
8. 抽象推理与逻辑思维：初中奥数中的一些题目需要学生进行抽象推理和逻辑思考。
学生需要培养自己的观察力和逻辑思维能力，能够从题目中找到规律、推理解题。
9. 组合与概率：初中奥数中，组合和概率常常涉及到对事件的计数和概率的计算。
学生需要熟练掌握排列组合的基本原理，并能够应用到实际问题中计算概率。
10. 数列与函数：初中奥数中，数列与函数是常见的题型。
学生需要了解数列的概念，掌握数列的通项公式和求和公式，以及函数的定义和性质。
数学竞赛知识点资料
数学竞赛知识点资料初中数学联赛竞赛知识点1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
初中数学竞赛计算知识点归纳1，C ;2，m=1，n=6 或 m=3，n=2 或 m=6，n=1;3，a=17,4,a=12,x1=1,x2=-2,x3=-28,或a=39，x1=-1,x2=-565,就是第四题的变形。
a=12,或 39过程：1，因为这些数据成对出现，且每一对都是互为倒数，所以只要求出x=2007和x=1/2007的值，就可以知道结果了。
你去求吧。
2，二次函数与横轴的两个交点间的距离等于根号下(b^2-4ac)再除以a的绝对值。
因此有：根号下[(3-mt)^2+12mt]≥(2t+n)的绝对值化简后有：(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2≥0也就是有：y=(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2的图象与横轴最多只有一个交点，即有判别式小于或等于0，则得：(mn-6)^2小于或等于0，即mn=6余下的你可做了。
竞赛数学知识点总结
竞赛数学知识点总结竞赛数学，是指各种数学竞赛中需要掌握的一些数学知识和解题技巧。
同时，竞赛数学也是一种对数学思维和解题能力的锻炼。
通过参加竞赛数学的学习和训练，可以提高学生的数学水平，培养学生的数学兴趣和数学思维能力。
下面，我将对竞赛数学常用的知识点进行总结，供学生参考。
一、基本数学知识1. 数论数论是研究整数性质的学科。
在数学竞赛中，常常会涉及到数论知识。
比如，质数、合数、最大公因数、最小公倍数、同余数、循环小数等知识点都是数论中的重要内容。
掌握这些知识对于解决一些数论题目是非常有帮助的。
2. 代数代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与文字之间的相互关系。
在数学竞赛中，代数知识通常包括多项式、方程、不等式、函数、数列等内容。
解决代数题目需要熟练掌握各种代数知识，灵活运用各种代数运算法则。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、相对位置等性质的学科。
在数学竞赛中，几何题目通常涉及到直角三角形、相似三角形、圆的性质、平行四边形、多边形等几何图形的性质和计算。
解决几何题目需要清楚地掌握几何图形的性质和变换规律。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的一门新兴学科，它研究的是随机事件的规律性和统计数据的分析方法。
在数学竞赛中，通常会涉及到概率的计算、统计数据的分析、抽样调查等内容。
了解概率与统计知识对于解决一些概率与统计题目是很有帮助的。
二、解题技巧1. 分析题目解决数学竞赛题目的第一步是分析题目。
要仔细阅读题目，理解题目的要求，确定题目的难点和重点。
分析题目的条件和限制，清楚题目的求解目标。
2. 形成思路在分析题目的基础上，要形成解题思路。
可以通过举例、画图、列式等方法进行思维导图，找到解题的突破口。
在形成解题思路之前，可以适当进行头脑风暴，提出不同的解题思路。
3. 灵活运用知识在解题的过程中，要灵活运用所学的数学知识。
可以根据题目的要求，适当地引入数论、代数、几何、概率与统计等相关知识，使解题过程更加得心应手。
初中数学竞赛 知识点和真题 第28讲 反证法
第28讲 反证法欧几里德最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。
它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵或其它棋，但数学家用的却是整个游戏。
——哈代反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便，与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命题，也可以考虑用反证法。
反证法证题的一般步骤为：1、假设结论的反面成立；2、在假设的基础上利用已知条件和定理、公理、定义进行推理得出与题设或与公理、定理、定义及日常常识相矛盾的结果；3、矛盾源于假设，从而肯定原命题成立。
经典例题解析先看一个著名的例子．例1 伽利略妙用反证法1589年，意大利25岁的科学家伽利略(Galilei)，为了推翻古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还运用反证法证明如下：假设亚里斯多德的论断是正确的．设有物体A 、B ，且重A ＞重B ，则A 应比B 先落地。
现把A 与B 捆在一起成为物体A ＋B ，则()重B A +＞重A ，故A ＋B 比A 先落地；又因A 比B 落得快，A ，B 在一起时，B 应减慢A 的下落速度，所以A ＋B 又应比A 后落地，这样便得到了自相矛盾的结果．这个矛盾之所以产生，是由亚里斯多德的论断所致，因此这个论断是错误的．评注 伽利略所采用的证明方法是反证法．一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法．反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．例2 （2002年北京市初中数学竞赛试题）已知abc ≠0，证明：四个数abc c b a 3)(++，abc a c b 3)(--，abc b a c 3)(--，abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6.证明 abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(-- ＝abcc b a b a c a c b c b a ])()[(])()[(3333--+--+--+++ ＝abcac c b a b ac c b a b )633(2)633(2222222-++-+++ ＝abcabc 24＝24.(*) 如果abc c b a 3)(++＜6，abc a c b 3)(--＜6，abc b a c 3)(--＜6，abcc b a 3)(--＜6，则abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(--＜24. 与(*)式矛盾. 所以, 四个加数abc c b a 3)(++,abc a c b 3)(--,abcb ac 3)(--, abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6. 例3（1997年山东省初中数学竞赛试题）设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都有两个相等的实数根.证明 用反证法。
数学竞赛知识点整理
上海市初中数学竞赛知识点整理*1.3组合恒等式*6．图论一．正整数A 的p 进制表示：012211a pa pa pa Am mm m，其中1,,2,1},1,,2,1,0{mi p a i且01ma 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p mm a a a A)(021。
二．整除在数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0b，若存在整数c ，使得bc a则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a记作ba 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv aub 。
更一般，若n a a a ,,,21都是b 的倍数，则)(|21n a a a b 。
或着i b a |，则ni i i b c a 1|其中n i Z c i,,2,1,；(3)若a b |，则或者0a，或者||||b a ，因此若a b |且b a |，则b a；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0b，则存在整数q 和r ，使得r bqa，其中b r，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1， (1)。
若0r，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为ba （不超过ba 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r。
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初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数，②质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
四、零的特性一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔ b 是负数c≣0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≣0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≣0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≢0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a 、b 互为相反数⇔a+b=05， 减法 两个数a 和b 的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b ＞0,则a ＞b; 若a-b ＜0,则a ＜b 。
反过来也成立，当a=b 时，a-b=0；当a>b 时,a-b>0；当a<b 时,a-b<0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下：1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≢近似数1.60<1605五、a n 的个位数.1. 整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
4k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数)六、数学符号数学符号是表达数学语言的特殊文字。
每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。
2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4, 逻辑符号：略5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记作Z （b a ），而它的余数记作R （ba ）， 那么Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，⎥⎦⎤⎢⎣⎡32＝0，[]3-＝－3。
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。
七、用字母表示数1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。
2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。
例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数解：①当a ≠0时， a 的倒数是a1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数。
3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。
例题① 化简：⑴｜x －3｜（x<3） ⑵| x+5|解：⑴∵x<3,∴x －3<0，∴｜x －3｜＝－（x －3）＝－x ＋3⑵当x ≣－5时，｜x ＋5｜＝x ＋5，当x <－5时，｜x ＋5｜＝－x －5（本题x 表示所有学过的数）例② 己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数解：这个两位数是10a+b(本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b 表示0到9的整数)4， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。
例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是am bm a b =(m ≠0)，ma mb a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0， ②dc a b cd a b ⨯=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。
5， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。
例如：乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac, =⨯-)178********(8121724172-=1712 逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14路程S=速度V ×时间T ， V=T S (T ≠0)， T=VS (V ≠0) 6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。
例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则a ≣0)7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.推广到n 位正整数，则要观察其规律一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1二位正整数从10到99共90个， 记作9×10三位正整数从100到999共900个， 记作9×102四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1)…… ……∴n 位正整数共9×10 n-1个例2 _____________________________________________________A C D E B在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？ 加n 点呢？解：以A 为一端的线段有： AC 、AD 、AE 、AB 共4条以C 为一端的线段有：(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条以D 为一端的线段有：(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条以E 为一端的线段有：(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此如果是n 个点，则共有线段1+2+3+……+n+1= n n 211++=2)2(+n n 条 八、抽屉原则1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。
2， 如果用{n m 表示不小于n m 的最小整数，例如{}37＝3，{}236= 。