七年级数学竞赛常见题型及解析
初一数学奥数竞赛题
初一数学奥数竞赛题近年来，数学奥数竞赛在中小学生中越来越受欢迎。
这些竞赛要求学生具备扎实的数学基础知识和灵活的解题能力，提高他们的逻辑思维和问题解决能力。
今天，我们来看几个适合初一学生的数学奥数竞赛题。
题目1：小美在她家门口卖冰淇淋，一支冰淇淋卖5元，两支冰淇淋卖9元。
小美今天一共卖出了30支冰淇淋，她一共赚了多少钱？解析：我们可以设冰淇淋的单价为x元，因为一支冰淇淋卖5元，所以我们可以得到一个方程：5 = x。
两支冰淇淋卖9元，所以我们可以得到另一个方程：9 = 2x。
解这个方程组，我们可以得到x = 4.5。
小美一共卖出30支冰淇淋，所以她赚的总钱数为30 * 4.5 = 135元。
题目2：小明的爸爸今年40岁，小明今年12岁。
假设小明的爸爸每年的年龄都是相同的增长，他几年后的年龄和小明的年龄之和是100岁。
请问那时小明的年龄是多少岁？解析：设小明的爸爸从现在开始每年的年龄增长为x岁。
那么，小明几年后的年龄就是12 + x岁，小明的爸爸几年后的年龄就是40 + x岁。
根据题意，小明几年后的年龄和小明的爸爸几年后的年龄之和是100岁，所以我们可以得到一个方程：（12 + x）+（40 + x）= 100。
解这个方程，我们可以得到x = 18。
所以，几年后小明的年龄就是12 + 18 = 30岁。
题目3：一个长方形花坛周长是20米，其中一条边的长度是4米。
我们要在长方形花坛的周围建一道宽度相等的砖墙，这道砖墙的长度是花坛周长的一半。
问这道砖墙的长度是多少米？解析：设砖墙的宽度为x米，花坛的长度为L米，宽度为W米。
花坛周长是20米，所以我们可以得到一个方程：2L + 2W = 20。
其中一条边的长度是4米，所以我们可以得到另一个方程：2L + W = 4。
将两个方程联立，我们可以解得L = 4，W = 6。
砖墙的长度是花坛周长的一半，所以砖墙的长度是20 / 2 = 10米。
通过解这些数学奥数竞赛题，可以让初一学生锻炼他们的数学思维和解题能力。
七年级上册数学竞赛题和经典题
七年级上册数学竞赛题和经典题一、竞赛题与经典题。
1. （有理数运算）计算：( 2)^3+[26 ( 3)×2]÷4解析：先计算指数运算( 2)^3=-8。
再计算括号内的式子，[26-( 3)×2]=[26 + 6]=32。
然后进行除法运算32÷4 = 8。
最后进行加法运算-8+8 = 0。
2. （整式的加减）化简：3a + 2b 5a b解析：合并同类项，3a-5a=-2a，2b b=b。
所以化简结果为-2a + b。
3. （一元一次方程）解方程：3(x 1)-2(x + 1)=6解析：先去括号，3x-3-2x 2=6。
再移项，3x-2x=6 + 3+2。
合并同类项得x = 11。
4. （数轴相关）在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5，求A、B两点间的距离。
解析：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数（大数减小数）。
所以AB = 5-( 3)=5 + 3 = 8。
5. （绝对值）已知| x|=3，| y| = 5，且x>y，求x + y的值。
解析：因为| x|=3，所以x=±3；因为| y| = 5，所以y=±5。
又因为x>y，当x = 3时，y=-5，此时x + y=3+( 5)=-2；当x=-3时，y=-5，此时x + y=-3+( 5)=-8。
6. （有理数的混合运算）计算：(1)/(2)×(-2)^2-((2)/(3))^2÷(2)/(9)解析：先计算指数运算，(-2)^2 = 4，((2)/(3))^2=(4)/(9)。
然后进行乘除运算，(1)/(2)×4 = 2，(4)/(9)÷(2)/(9)=(4)/(9)×(9)/(2)=2。
最后进行减法运算2-2 = 0。
7. （整式的概念）若3x^m + 5y^2与x^3y^n是同类项，则m=_ ，n=_ 。
初一数学竞赛试卷及答案解析
初一数学竞赛试卷及答案解析二、填空题1、 有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简=------+c c a b b a 11.2、 三个互不相等的有理数,既可以表示为1,a +b ,a 的形式,又可以表示为0,ab ,b 的形式,则a 1992+b 1993=_________. 3、 计算:=-------++-+-)100011)(99911()511)(411)(311)(211(10201970198019902000 . 4、 已知,1||,1||≤≤y x 且u =|x +y |+|y +1|+|2y -x -4|,则u 的最大值和最小值之和等于___________.5、 有理数4.0,5.10,31,0,1.0,21,8,3---+-中,所有正数的和填在下式的〇中,所有负数的和填中下式的□中,并计算出下式的结果填在等号右边的横线上.〇÷□= .6、 已知a = -1，则1+)8)(8(2)6)(6(2)4)(4(2765432a a a a a a ++++++++ +)14)(14(2)12)(12(2)10)(10(21312111098a a a a a a ++++++++=___________。
7、 a 是自然数，且a a 22=，则a = 。
8、 能够使不等式成立的x 的{（|x |-x ）(1+x )<0}取值x 范围是_____。
参考答案二、填空题1、 -2解：由图可见,)(00,0b a b a b a b a +-=+⇒<+⇒<<, 又)1(10110--=-⇒<-⇒<<b b b b ,)(00c a c a c a c a --=-⇒<-⇒<<. 由图可知c c c c -=-⇒>-⇒<11011, 所以c c a b b a ------+11)1()]([)]1([)(c c a b b a --------+-=)1()()1()(c c a b b a ---+-++-=211-=+--+-+--=c c a b b a .2、 2解：由于三个互不相等的有理数,既可表示为1,a +b ,a 的形式,又可以表示为0,a b ,b 的形式,也就是说这两个三数组分别对应相等,于是可以判定,a +b 与a 中间有一个为0,a b 与b 中有一个为1,但若a =0,会使a b 没意义,所以a 0≠,只能是a +b =0,即a = -b ,又a 0≠得a b = -1,由于0, a b ,b 为两两不相等的有理数,在a b = -1的情况下,只能是b =1,于是a = -1.所以a 1992+b 1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2.3、 1000000 解：)10001)(9991()51)(41)(31)(21(10201970198019902000-------++-+- 100099999999854433221)1020()19701980()19902000(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++-+-= 10001)10101010(10100÷++++= 个 10001000⨯=1000000=.4、 10解：因为11,11,1,1||≤≤-≤≤-∴≤≤y x y x 从而y x x y y y 24|42|,1|1|-+=--+=+, 当0≤+y x 时, 52)2941)(+=-+++++=x y x y y x u .11≤≤-x ,73≤≤∴u ,又当1,1=-=y x 时, 3=u ;当1,1-=-=y x 时, 7=u ,即u 的最大值为7,最小值为3,则u 的最大值与最小值的和等于10.5、 417403- 解：〇中填的数是:3013135311.0)8(=++++, □中填的数是:10913)4.0()10()21()3(-=-+-+-+-, 而4174031391030403)10139()30403()10913(301313-=⨯-=÷-=-÷.6、 1541 解: 原式=1++-+-+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯)7151()5131(113152111329112792572352 （15411541151311)151131()131111()11191()9171=+=-+=-+-+-+-.7、 2或4解：a 为自然数，要使 a a 22= ①由于①右边只有质因数2，所以①左边也只能有质因数2，即m a 2=，m 为自然数。
初中数学竞赛试题及答案解析
初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、 甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、 已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、 填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、 从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、 计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、 如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、 在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、 一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、 一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、 若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、 小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、 计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、 已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、 已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、 若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、 若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、 大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
七年级超难数学竞赛题带解析
七年级超难数学竞赛题带解析一、代数部分。
1. 已知a,b为有理数，且a + b√(2)=(1 - √(2))^2，求a^b的值。
- 解析：- 先将(1-√(2))^2展开，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2，这里a = 1，b=√(2)，则(1-√(2))^2=1-2√(2)+2 = 3 - 2√(2)。
- 因为a + b√(2)=3 - 2√(2)，所以a = 3，b=-2。
- 那么a^b = 3^-2=(1)/(9)。
2. 若x^2 - 3x + 1 = 0，求x^4+(1)/(x^4)的值。
- 解析：- 由x^2 - 3x + 1 = 0，因为x = 0不满足方程，所以方程两边同时除以x得x-3+(1)/(x)=0，即x+(1)/(x)=3。
- 对x+(1)/(x)=3两边平方得(x +(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)=9，所以x^2+(1)/(x^2)=7。
- 再对x^2+(1)/(x^2)=7两边平方得(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4 + 2+(1)/(x^4)=49，所以x^4+(1)/(x^4)=47。
3. 化简(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)。
- 解析：- 因为(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(2019)-(1)/(2020))- 去括号后中间项都可以消去，得到1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。
4. 已知a^2 + b^2=6ab，且a>b>0，求(a + b)/(a - b)的值。
- 解析：- 因为a^2 + b^2 = 6ab，所以(a + b)^2=a^2+2ab + b^2=8ab，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2 = 4ab。
初一奥数竞赛试题及答案
初一奥数竞赛试题及答案试题一：数字逻辑问题题目：有一个数字序列，前三个数字是5，7，9。
从第四个数字开始，每个数字都是前三个数字的和。
请问这个序列的第10个数字是多少？答案：首先，我们可以计算出第四个数字是5+7+9=21。
然后依次计算后面的数字：- 第五个数字是7+9+21=37- 第六个数字是9+21+37=67- 第七个数字是21+37+67=125- 第八个数字是37+67+125=229- 第九个数字是67+125+229=421- 第十个数字是125+229+421=775所以，这个序列的第10个数字是775。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]，其中a和b是直角边的长度。
将题目中给出的数值代入公式中，我们得到：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]厘米。
所以，斜边的长度是5厘米。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。
问有多少种不同的放球方法？答案：首先，我们需要将5个球分成3组，其中至少有1个球。
我们可以将这个问题看作是将5个球中的4个球分配到3个盒子中，剩下的一个球可以放在任意一个盒子中。
这相当于在4个球之间插入2个隔板来形成3个部分。
我们有4个空位可以放置隔板，所以总共有\[ C(4,2) \]种方法，即\[ \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \]种方法。
但是，我们需要排除所有球都在一个盒子里的情况，这种情况有3种。
因此，最终的放球方法有\[ 6 - 3 = 3 \]种。
试题四：数列问题题目：一个数列的前两项是1和2，从第三项开始，每一项都是前两项的差。
求这个数列的第10项。
答案：我们可以列出数列的前几项来找出规律：1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...数列的规律是斐波那契数列，但是从第三项开始，每一项是前两项的差。
七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共20题
七年级下册数学竞赛题和经典题含解答共10题1. 题目：甲、乙两个正整数的和是300，差是120，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。
根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 300 （方程1）x - y = 120 （方程2）解方程组得到甲的数x = 210，乙的数y = 90。
2. 题目：某数的4倍减去该数的2倍等于30，求这个数。
解答：设这个数为x。
根据题意，我们可以得到以下方程：4x - 2x = 30化简得到2x = 30解方程得到x = 153. 题目：一个正整数加上自身的平方等于140，求这个正整数。
解答：设这个正整数为x。
根据题意，我们可以得到以下方程：x + x²= 140化简得到x²+ x - 140 = 0解方程得到x = 10 或x = -14，由题目要求为正整数，所以x = 10。
4. 题目：一个三位数加上它的逆序数等于1333，求这个三位数。
解答：设这个三位数为xyz。
根据题意，我们可以得到以下方程：100x + 10y + z + 100z + 10y + x = 1333化简得到101x + 20y + 101z = 1333由于101为质数，所以x和z只能为1，y只能为6。
解方程得到x = 1，y = 6，z = 1，所以这个三位数为161。
5. 题目：甲、乙两个数的和是90，差是20，求甲、乙两个数分别是多少？解答：设甲的数为x，乙的数为y。
根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 90 （方程1）x - y = 20 （方程2）解方程组得到甲的数x = 55，乙的数y = 35。
6. 题目：某个三位数的百位数是7，个位数是2，且各位上的数字之和是13，求这个三位数。
解答：设这个三位数为xyz。
根据题意，我们可以得到以下方程：x = 7 （百位数是7）z = 2 （个位数是2）x + y + z = 13 （各位上的数字之和是13）代入得到7 + y + 2 = 13解方程得到y = 4所以这个三位数为742。
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七年级数学竞赛常见题型有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算：200720061......431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211-=⨯，可利用通项()11111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（=2007120061......41313121211-++-+-+- =200711-=20072006例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+.分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a －b<0、c －b>0.解 由数轴知，a<0，a －b<0，c －b>0所以，b c b a a -+-+= －a －(a －b)+(c －b)= －a －a+b+c －b= －2a+c例3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211311...9811991110011 分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便. 解 原式=2132......9897999810099⨯⨯⨯⨯⨯=1001例4 计算：2－22－23－24－……－218－219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2－22+23=2+22（－1+2）=2+22=6.再考虑2－22－23+24=2－22+23（－1+2）=2－22+23=2+22（－1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2－22－23－24－……－218+219（－1+2） =2－22－23－24－……－218+219=2－22－23－24－……－217+218（－1+2） =2－22－23－24－……－217+218 =…… =2－22+23 =6【核心练习】1、已知│a b －2│与│b －1│互为相反数，试求：()()......1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a 、b 的值代入就成为了例1.） 2、代数式ababb b a a ++的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个） 【参考答案】 1、200820072、3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法. 【典型例题】例1已知：3x －6y －5=0,则2x －4y+6=_____分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x －6y －5=0，可得35=x ,把x 、y 的值代入2x －4y+6可得答案328.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由3x －6y －5=0，得352=-y x 所以2x －4y+6=2(x －2y)+6=6352+⨯=328例2已知代数式1)1(++-n nxx ，其中n 为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=－1时，代数式的值是 .分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=－1时，n 和(n －1)奇偶性怎么确定呢？因n 和(n －1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当x=1时，1)1(++-n n x x =111)1(++-n n =3当x=－1时，1)1(++-n n x x =1)1()1()1(+-+--n n =1例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25…… 752=5625= ，852=7225= （1）找规律，把横线填完整； （2）请用字母表示规律; （3）请计算20052的值.n=1,S=1①n=2,S=5②③n=3,S=9 分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n （n+1）+25(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S 表示三角形的个数.（1）当n=4时，S= ，（2）请按此规律写出用n 表示S 的公式.分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13(2)可列表找规律：所以S=4(n －1)+1.(当然也可写成4n －3.) 【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律： —1，21，31-，41，51-，61 ①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来: 【参考答案】1、①111-，121，1311-;②20081;③0.2、1+n×(n+2) = (n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便. 【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个. 分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解 找交点最多的规律：图1图2图3例2 两条平行直线m 、n 上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线.A ．20B ．36C ．34D ．22分析与解 让直线m 上的4个点和直线n 上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m 上的4个点和直线n 上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.例3 如图，OM 是∠AOB 的平分线.射线OC 在∠BOM 内，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON 的大小等于_______.分析 求∠MON 有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB －∠BON=∠AON －∠AOM=∠AOB －∠AOM －∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，所以∠MOB=21∠AOB ，∠NOB=21∠COB 所以∠MON=∠MOB －∠NOB=21∠AOB －21∠COB=21（∠AOB －∠COB ）=21∠AOC=21×80°=40° 例 4 如图，已知∠AOB=60°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.（1）求∠DOE 的大小；（2）当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD 、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问此时∠DOE 的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论. 分析 此题看起来较复杂，OC 还要在∠AOB 内绕O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE 是∠AOB 的一半，也就是说要求的∠DOE ， 和OC 在∠AOB 内的位置无关.解 (1)因为OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.所以∠DOC=21∠BOC ，∠COE=21∠COA 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21（∠BOC+∠COA ）=21∠AOB因为∠AOB=60°OAM C N OBAC D E所以∠DOE =21∠AOB= 21×60°=30° (2)由（1）知∠DOE =21∠AOB ，和OC 在∠AOB 内的位置无关.故此时∠DOE 的大小和（1）中的答案相同. 【核心练习】1、A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分. 【参考答案】1、15条2、分分或1165411921.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。