有限元分析中的单元性质特征与误差处理
试验和有限元的误差
试验和有限元的误差全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：试验和有限元分析是工程领域常用的两种方法，它们常常用于预测和分析结构在不同载荷条件下的响应。
无论是试验还是有限元分析，都存在着误差，因此了解和评估这些误差是非常重要的。
本文将探讨试验和有限元分析中的误差，以及如何有效地管理和减小这些误差。
让我们来看看试验中存在的误差。
试验通常涉及到测量物理量，如应力、应变、位移等。
由于测量设备的精度、环境条件、人为操作等因素，测量结果往往会存在一定的误差。
测量设备的刻度可能不够精确，环境温度和湿度可能会影响到测量结果的准确性，操作人员的技术水平也会对测量结果产生影响。
试验中还可能会出现一些偶然误差，如设备故障、实验样品的缺陷等。
这些偶然误差在一定程度上会影响试验结果的准确性。
对于试验中可能存在的误差，我们需要采取相应的措施来减小这些误差的影响。
比如说，可以通过校准测量设备、控制实验环境、提高操作技术来减小误差，并且在试验结果分析时考虑到可能的误差范围，以便更准确地评估结构的响应。
与试验不同，有限元分析是一种数值计算方法，它通过将结构分割成有限个小单元，利用数学方程对这些小单元进行求解，从而得到结构的响应。
有限元分析中也存在着误差。
有限元分析中的误差可以来自模型的简化。
由于实际结构往往非常复杂，我们在进行有限元建模时往往需要对结构进行简化，例如忽略一些小的细节，这样会导致模型与实际结构存在一定的差异，从而引入误差。
有限元分析中的误差还可能来自数值计算的方法和参数选择。
数值计算方法的选取、边界条件的处理、网格划分的精度等因素都会对有限元分析结果的精度产生影响。
在进行有限元分析时，需要认真选择合适的数值计算方法，合理处理边界条件，以及进行网格收敛性分析，以减小这些误差的影响。
有限元分析中还可能存在由于数值计算误差引起的问题。
使用有限元方法进行求解时，使用的数值积分、迭代收敛条件等都可能会引入数值计算误差，从而影响到结果的准确性。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.5位移函数构造与收敛性要求
单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面： 1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
u (x ) N 1 u 1 N 2 u 2 N 3 u 3
k11 k21 k31
k12 k22 k32
k13 k23 k33
uu12 u3
pp12 p3
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
k11 k21
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
收敛性问题 在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。
有限元分析及应用总体介绍
与相关课程的关系
工程中的有限元分析专题 (研究生新课)
有限元分析 (本科)
有限元分析及应用 (研究生学位课)
《有限元分析及应用》课程体系及内容
课堂Project 2 12. 受内外压筒体的有限元建模与应力变形分析 课堂Project 3 13. 斜拉桥的有限元建模与振动模态分析 课堂Project 4 14. 封头的等温塑性成形过程的有限元分析 15. Case Study(大作业):自主选题
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3 有限元分析的数学求解原理
3.1 简单问题的解析求解(1D拉杆,弯曲梁) 3.2 弹性问题近似求解的加权残值法 3.3 最小势能原理及其变分基础 3.4 各种求解方法的特点及比较
《有限元分析及应用》课程体系及内容
4 杆梁结构的有限元分析原理
4.1 有限元分析求解的完整过程 4.2 有限元分析的基本步骤及表达式 4.3 杆单元及坐标变换 4.4 梁单元及坐标变换
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5 连续体的有限元分析原理
5.1 连续体的离散过程及有限元分析过程的表达式 5.2 2D单元(三节点,四节点)的构造 5.3 轴对称问题的单元的构造 5.4 3D单元(四节点四面体,八节点六面体)的构造 5.5 等参单元的一般原理
《有限元分析及应用》课程体系及内容
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第一部分 有限元分析的原理 1 引论
1.1 各力学学科分支的关系 (对象,变量,方程,求解途径等方面的比较) 1.2 任意变形体力学分析的基本变量及方程 1.3 有限元方法的思路及发展过程
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限元法分析结果的误差影响
一、引言有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。
随后，Clough于I960 年第一次提出了“有限元法”的概念。
其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。
然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。
只有这两者很好地结合，我们才能得到工程上切实可信的计算结果，否则只会在工程上造成极大的浪费，甚至带来严重的工程事故。
二、误差分析有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算-------- 精选文档-----------------模型的数值化和计算结果的分析。
每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
第一步，物理模型的简化，主要有几何实体、连接/装配关系、环境边界条件和材料特性的简化，进而构建数学模型。
这些简化或者说假设，是必要的，也是必须的，但是也由此在模型中引入了理想化误差（idealization error）。
有些理想化误差是非良性奇异的，比如几何实体简化时细节部位上忽略小的圆/倒角，连接/装配关系简化时忽略焊缝和螺栓连接等，往往导致模型发生结构方面（诸如L形截面的角点）的奇异，即结构奇异（奇异的数学定义是在某一点处导数无穷）；有些理想化误差是良性奇异的，比如边界条件简化时添加集中载荷和孤立点约束，导致模型发生边界条件的奇异，即边界奇异；其它理想化误差，比如几何实体简化时三维壳/面体简化为二维壳/面、三维梁简化为一维梁，边界条件简化时非均匀温度场和压力场简化为均匀温度场和压力场等，只会影响计算结果的准确度，不会引发计算结果方面的数值奇异，即应力奇异和位移奇异等。
有限元分析中的一些问题
有限元分析的一些基本考虑-----单元形状对于计算精度的影响笔者发现，在分析复杂问题时，我们所可能出现的错误，竟然是一些很根本的错误，这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的。
鉴于这个原因，笔者决定对一些基本问题（例如单元形状问题，单元大小问题，应力集中问题等）展开调查，从而形成了一系列文章，本篇文章是这些系列文章中的第一篇。
本篇文章先考虑有限元分析中的第一个基本问题：单元形状问题。
我们知道，单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响，而对单元形状的衡量又有着诸多指标，为便于探讨，这里首先只讨论第一个最基本的指标：长宽比（四边形单元的最长尺度与最短尺度之比），而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响。
为此，我们给出一个成熟的算例。
该算例是一根悬臂梁，在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷，我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时，对于A点位移的影响。
这五种不同的划分方式，都使用矩形单元，只不过各单元的长宽比不同。
例如第一种（1）AR=1.1，就是长宽比接近1；第二种（2）AR=1.5,就是长宽比是1.5.其它类推。
第五种（5）AR=24，此时单元的长度是宽度的24倍。
现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响，顺便我们也算出了B点的位移，结果见下表。
我们现在仔细查看一下上表，并分析其含义。
我们先考虑第一行，它是第一种单元划分情况，此时每个单元的长宽比是1.1，由此我们计算出A点，B点的垂直位移，可以看到，A点的竖直位移是-1.093英寸，而B点的竖直位移是-0.346英寸。
而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的，其精确解分别是-1.152以及-0.360.这样，我们可以得到此时A点位移误差的百分比是[(-1.093)-(-1.152)]/1.152 = 5.2%.对于其它情况，也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比。
从上表可以看出来，随着长宽比的增加，位移误差越来越大，竟然大到56%。
悬臂梁的有限元分析
悬臂梁的有限元分析I. 内容综述悬臂梁的有限元分析是结构工程领域中的一个重要课题，它是一种数值计算方法，通过将连续的结构分解成许多小单元，然后对每个单元进行分析，最终得到整个结构的性能指标。
这种方法可以有效地模拟结构的变形和应力分布情况，为设计和优化提供可靠的依据。
在实际应用中，悬臂梁的有限元分析需要考虑多种因素，如材料属性、几何形状、载荷条件等。
因此在进行分析时，需要选择合适的模型和网格尺寸，并对边界条件进行合理设定。
此外由于悬臂梁的结构特点，其在不同位置的受力情况也有所不同，因此需要对各个部位进行分别分析。
悬臂梁的有限元分析是一项复杂而重要的工作，只有通过合理的建模和分析方法，才能得到准确的结果，并为实际工程提供有效的指导。
A. 研究背景和意义悬臂梁作为一种常见的结构形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
然而在实际应用过程中，由于各种因素的影响，悬臂梁的结构性能可能会发生退化，导致结构的安全性受到威胁。
因此对悬臂梁的有限元分析具有重要的研究意义。
有限元分析是一种基于数学模型的工程分析方法，通过将复杂的结构分解为若干个简单的单元，利用计算机模拟这些单元在受力作用下的变形和应力分布，从而预测结构的响应。
近年来随着计算机技术和数学方法的不断发展，有限元分析在工程领域中的应用越来越广泛，已经成为工程设计和施工的重要工具。
对于悬臂梁这种特殊结构，有限元分析不仅可以帮助我们了解其在不同工况下的性能表现，还可以为优化结构设计、提高结构强度和刚度提供理论依据。
此外通过对悬臂梁的有限元分析，我们还可以更好地了解其在使用过程中可能出现的缺陷和损伤，从而为预防事故、保障人员安全提供技术支持。
悬臂梁的有限元分析研究具有很高的实用价值和理论意义，对于推动工程技术的发展、提高人类生活质量具有重要作用。
B. 研究目的和方法本研究旨在通过有限元分析方法，对悬臂梁进行分析，以探究其在不同荷载下的应力分布情况。
我们将采用ANSYS软件进行模拟计算，并通过对计算结果的分析，得出悬臂梁的最大应力、最小应力以及平均应力等关键指标。
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
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对于三维问题，m=3
K11 K12 0 K14 0 0 0 0
K22 K23 0
0
0
0
0
K33 K34 0 K36 0 K44 K45 K46 0
0
0
K55 K56
0
K
58
K66 K67 0
K 77
K
78
K88
K11 K12 0 K14
3）半正定性
4）稀疏性
5）非零元素呈现带状分布
U
1 qt Kq 2
1 2
n i 1
n
kijuiu j
j 1
0
1 2
k11u12 k12u1u2 ...... k1nu1un
1 2
k21u12 k22u1u2 ...... k2nu1un
...... 1 2
kn1u12 kn2u1u2 ...... knnu1un
K
22
K 23
0
0
K K
33 44
K 34 K 45
0 K 46
K 0
36
K
55
K 56
0
K
58
K66 K67 0
K
77
K 78
K 88
K11 K12 K13 K14
K
21
K 22
K 23
K
24
K K
31 41
K 32 K 42
K 33 K 43
K K
34 44
根据功的互等定理，可以得到结论：刚度矩阵是对称的。
性质4：单元刚度矩阵是半正定的。 性质5：单元刚度矩阵是奇异的。 性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位
移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。
同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质：
1）对称性
2）奇异性
1、左端发生单位位移，右端固定 2、右端发生单位位移，左端固定 3、发生刚体位移
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为
k11 k21
k12 k22
u1 u2
p1 p2
1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况 2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况 3、考察刚体位移
第六章 有限元分析中的单元性质特征与误差处理
6.1单元节点编号与带宽存储 6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 6.3边界条件的处理与支反力计算 6.4单元刚度矩阵的缩聚 6.5为以函数构造与收敛性要求 6.6C0型单元与C1型单元 6.7单元的拼片试验 6.8有限元分析数值解的精度与性质 6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理 6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法
K
51
K 52
K 53
K
54
K61 K62 K63 K64
K
71
K 72
K 73
K
74
K81 K82 K83 K84
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
以一维杆单元为例，杆单元 的位移场为
形函数矩阵
u(x)a1a2 x Nhomakorabea1
x le
ui
x le
uj
Niuui N juu j
N Niu N ju
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
直接法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
置“1”法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa 0
1 0
0 Kbb
qa
qb
0
Pb
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
直接法
Kbbqb Pb
1、只能处理零约束情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
k11 k21
k12 k22
1 0
kk1211
第一种加载状态
k11 k21
k12 k22
0 1
kk1222
第二种加载状态
第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下移动相应位移做的功为
k11 0+k21 1=k21
k12 1+k22 0=k12
第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下移动相应位移做的功为
6.1单元节点编号与带宽存储
计算机进行有限元分析时， 需要存储所有单元和节点信 息，随着所求解问题自由度 的增大，计算规模的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨 大。
由于整体刚度矩阵中显现出 相邻单元之间的关联性，因 此矩阵中的大部分数据都为 零，反映非零数据的一个指 标就是带宽。
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则 每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为 di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊m d=max（ di ） （i=1，2……n）
乘大数法
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
直接法
M Kaa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
M
Kaa Pb
u
M Kaa qa Kabqb M Kaa u Kbau Kbbqb Pb
1、 既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
qa 0
Kabqb Pa Kbbqb Pb
K aa
Kba
Kab Kbb
qa
qb
PPba
qa u
Kaau Kabqb Pa
Kbau Kbbqb Pb
qb
K -1 bb
Pb Kbau
1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、处理过程直观。 3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。 4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。
性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生 单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。
性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节 点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点 力。
性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对 于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性 质1和2得到。