随机信号分析第四章
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第4章
(4-50)
第四章 随机信号的频域分析
对式（4-49）两边取数学期望， 则可得到随机信号的平均功 率
第四章 随机信号的频域分析
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析 4.2 随机信号的功率谱密度 4.3 互功率谱密度 4.4 随机信号的带宽 4.5 高斯白噪声与带限白噪声
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析
4.1.1 对于确知信号， 根据能量是否有限， 可将其分为能量信
号和功率信号两类。 在通信理论中， 通常把信号功率定义为 电流或电压信号在单位电阻(1 Ω)上消耗的功率， 即归一化 功率P。 因此， 功率就等于电流或电压的平方：
(4-29)
第四章 随机信号的频域分析
图4-1 截短信号示意图
第四章 随机信号的频域分析
显然， 截短信号sT(t)是时间持续有限长的能量信号， 我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(ω)|2或者 |ST(f)|2， 并由帕斯瓦尔能量守恒定理有
E
T T
sT2
t
dt
1 2π
ST
2
（1） s(t)在(－∞, ∞)范围内满足狄利克利条件（只
有有限间断点）；
（2） s t dt （绝对可积）的等价条件为
s(t) 2 dt
（信号s(t)的总能量有限）。
若s(t)满足上述条件， 则傅里叶变换对存在。
频谱（正变换）
第四章 随机信号的频域分析
S()
s
t
e jtdt
P
V2
I 2R
V2
I2
W
R
(4-1)
第四章 随机信号的频域分析
假定确知实信号为s(t)代表信号电压或电流的时间波形。
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析(第3版)第四章习题及答案
4-1习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ） （b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T Tττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=2222[()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]()Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=+++++++=+++++++=因此，()Z t 是均值各态历经信号4.54.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。
求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
4-2 解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯= 而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯= 显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
随机信号分析 (4)
方差与均方值
对于任意的时刻t，X(t)是随机变量，随机变量X(t)二
阶 中 心 矩 为 信号的 方 差 、 二 阶 原 点 矩 为 信号的 均 方 值 ，
方
差
记
为
D
[
X
(
t
)
]
或
2 X
t
，
均
方
值
记
为
2 X
t
。
2 X
t
D
X
t
E
X t E X t
2
2
x mX t fX x,t dx
随机信号的自相关函数具有如下性质： 表征了随机信号在两时刻之间的关联程度； 同一时刻间的相关性大于或等于不同时刻之间的相关性； 实际的随机信号，当两时刻越远时相关性通常越弱。
22
1.2 随机信号数字特征
相关函数
自协方差函数
设X(t1)和X(t2)是随机信号X(t)在t1和t2二个任意时刻的状
mX t E X t xfX x,t dx
随机信号期望是时间 t 的函数，统计期望是对随机信号中 所有样本函数在时间 t 的所有取值进行加权平均；
随机信号的期望可理解为 t 时刻所有样本函数取值的中心， 反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。
17
1.2 随机信号数字特征
方差与均方值
E
X
2
(t)
2 X
(t)
mX2
(t)
消耗在单位电阻 上总平均功率
平均交流功率
平均直流功率
19
1.2 随机信号数字特征
期望与方差的特性
数学期望和方差是描述随机信号在各个孤立时刻的重要数 字特征；
它们反映不出随机信号不同时间的内在联系； 事实上，对于不同的随机信号，不同时刻之间的相关关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
T
2T
T
x(t , ) dt
1 T 1 jt lim x ( t , ) X ( , ) e d dt T T T T 2T 2 T 1 T 1 jt d lim X ( , ) x ( t , ) e dt T T T 2T T 2 T 1 1 2 lim X T ( , ) d T 2T 2 1 1 2 lim X T ( , ) d (4.1.8) 2 T 2T
1 G X ( ) {lim T 2T
T
T t
T t
R X (t , t )dte j d
T
R X (t , t )dt }e j d
大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均
1 R X ( ) 2T
T
T
典型函数的付氏变换关系
表4.1时域
(t )
1 cos 0t
频域
1 2 ( )
sin(t / 2) 2 t / 2 e e
a
( 0 ) ( 0 )
2a a2 2 a a a 2 ( 0 ) 2 a 2 ( 0 ) 2 sin ( ) 2 ( )2 2
随机过程的功率谱密度
2 1 T W lim x(t , ) dt T 2T T 1 1 2 lim X T ( , ) d 2 T 2T
1 2 lim X T ( , ) 被积函数 T 2T
代表了随机过程的某一个样 本函数 x(t,ξ ) 在单位频带内、消耗在 1Ω 电阻上的 平均功率，称为样本函数的功率谱密度函数，记作 Gx(ω ，ξ )。
GX ( ) RX ( ) e
j
d
可见，平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的付 里叶变换。若进行付氏反变换，则有
1 R X ( ) 2
G ( )e j d
维纳－辛钦定理
S X ( )
RX ( )e j d
它成立的条件是 S X ( )和RX ( ) 绝对可积，即
S X ( )d
2 R ( 0 ) E [ X (t )]是平稳随机过程X(t)的平均功率。 可知， X
维纳－辛钦定理
若我们借助于δ-函数， 维纳-辛钦公式就可推广应用 到这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。 (1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正 常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原 点处的δ-函数表示。该δ-函数的权重即为直流分量的 功率。 (2) 当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时， 该成分就在频域的相应频率上产生δ -函数。
T 1 T jt1 lim E[ xT (t1 , )e dt xT (t 2 , )e jt2 dt2 ] T T 2T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim E [ X ( t ) X ( t )] e dt1dt2 T 1 T 2 T T 2T T 1 T T j ( t 2 t1 ) lim RX (t1 , t 2 )e dt1dt2 T T 2T T
(4.1.10)
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称 功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过 程X(t)在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均功率。 功率谱密度是从频率角度描述随机过程 X(t) 的统计 特性的最主要的数字特征。
随机过程X(t) 的平均功率为：
W E[W ]
例44
1 RX (t , t ) lim T 2T
2
a2 T RX (t, t )dt 2 RX ( ) cos0
T
GY ( ) R X (t , t ) e j d
R X (t , t )dt
即：
G X ( ) RX ( ) e j d
维纳－辛钦定理
G X ( ) RX ( ) e j d
即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。
若 X （ t ）为平稳过程，则时间平均自相关函数等于 集合平均自相关函数： RX ( ) RX ( )
x(t ), xT (t ) 0,
t T t T
xT(t）的付里叶变换是存在的，有
X T ( ) xT (t )e
jt
dt xT (t )e
T
T
jt
dt
1 xT (t ) 2
X T ( )e
jt
d
注意到xT(t)和XT(ω )实际都是实验结果 ξ 的随机函数， 因此它们最好分别写成XT(t,ξ )和XT(ω ,ξ ). 样本函数的平均功率为： 功率信号的帕塞 2 瓦尔定理 1 T
2
rect(
)
cos 0
a
1 , 1 0, 其他
例题
例 若随机过程X（t）的自相关函数为
1 1 2 R X ( ) (1 e ) 4 4
求功率谱密度
解：
1 1 2 j G X ( ) (1 e )e d 4 4 1 4 ( ) 2 16 (2 ) 2 2 1 ( ) 2 2 4 4 2
2
G X ( )d
若 X(t) 为各态历经过程，功率谱可由一个样本函数 得到： 1 2 G X ( ) lim X T ( , )
T
2T
功率谱密度是从频域角度描述随机过程 X(t) 的统计 特性的重要数字特征。但它仅表示 X(t) 的平均功率在 频域上的分布，不包含任何相位信息。 应用：
1 2 G X ( , ) lim X T ( , ) T 2T
如果我们对所有的ξ (实验结果)取统计平均，得
功率谱密度
如果我们对所有的ξ (实验结果)取统计平均，得
G X ( ) E[G X ( , )] 1 2 E lim X T ( , ) T 2T 1 2 lim E X T ( , ) T 2T
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
RX ( ) d S X ( ) d
即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分 或周期性成分 当 0 时，可得
R X (0) E [ X 2 (t )] 1 2
2 1 E s (t )dt S ( ) d 2 2 其中， S ( ) 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。 2
能谱密度存在的条件是总能量有限，所以s(t)也称 为有限能量信号。
s (t )dt
2
随机过程的功率谱密度
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有 限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。 首先我们把随机过程X(t)的样本函数x(t)，任意 截取一段，长度为2T，并记为xT(t)
Y (t ) aX (t ) cos 0t
式中a为常数，求功率谱密度GY(ω)。 解：
RY (t , t ) R[Y (t )Y (t )] E[a X (t ) X (t ) cos 0t cos 0 (t )]
2
a2 RX ( )[cos 0 cos(2 0t 0 )] 2
1 G X ( ) lim T 2T
T
T
T
T
RX (t1 , t 2 )e j (t2 t1 ) dt1dt 2
：
在上式中作积分变量替换
t t1 , dt dt1 ,
t2 t1 t2 t ,
d dt2
T T
则上式变为：G X ( ) lim 1 T 2T 将极限符号写入，则得：
§ 4.1
功率谱密度
先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及 能量的概念 设信号 s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件： 1） s(t ) dt ，即s(t)绝对可积；
2）s(t)在 ( , ) 内只有有限个第一类间断点和有限个极 值点，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
2 1 T lim E[ X (t ) ]dt T 2T T 1 G X ( )d 2
由此可见，随机过程的平均功率可以由它的均方值 的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个 频率域上积分得到。 若X(t)为平稳过程时，此时均方值为常数，
1 W E[ X (t )] R X (0) 2
1 W R X (0) 2
G X ( )d
1
0
1 2G X ( )d 2
0
FX ( )d
非平稳随机过程的功率谱换为其功率谱，也就是时间平均功率谱密度。 例4.4 若平稳过程X(t)的功率谱密度为Gx(ω )，又有
RX ( ) d S X ( ) d
维纳－辛钦定理 根据功率谱密度的定义： 1 2 G X ( ) E[G X ( , )] E lim X T ( , ) T 2T 1 * E lim X T ( , ) X T ( , ) T 2T
2
[ ( 0 ) ( 0 )]